超関数理論に基づくFFT手法を用いた地震動の分離と合成に関する理論的考察

NII-Electronic Library Service 【論　 文】 UDC ：550

．

34

．

03 ：517

．

5 日本 建 築 学 会構 造系 論 文 報 告 集 第 390 号

・

昭 和 63年 8 月

超 関 数

理

論

に

基

づ

く

FFT

手

法

を

用

い

た

地

震 動

の

_{分 離}

と

　　　　　　

合 成

に

_関

す

る

理

論 的 考 察

正 会 員 正 会 員 正 会 員

和

勝

大

泉

倉

野

正

哲

＊

裕

＊ ＊

晋

＊ ＊ ＊ 　1

．

はじめ に 　耐 震工学に とっ て地 震 動の特 性を と らえ る こ と は不 可 欠なことであり

，

これ まで， 多くの方 法に よ り研 究が な され て き た

。

筆 者等も

，

地 震 動の フ

ー

リエ解 析に着 目 し

，

特に_， 位 相 特 性の研 究によ り地震動の特 性の検 討 を行っ てきた （例え ば

，

文 献

1

）

，2

））。 地震動の フ

ー

リエ 解 析

『

に お い て は

，

時 間 領 域で観 測さ れ る

_堆

震 動は_，

FFT

（高 速フ

ー

リエ _{変 換 ）}に よ り周 波 数 領域に変換され

，一

般に

，

その振 幅 特 性 や位 相特性の考 察が な さ れ る

。

文 献 1）， Z） 等で は

，

周 波 数 領 域と時間領域に おい て振 幅 と位 相 を定 義し て地 震 動の特 性を考察 し；特に位 相はその傾き で見 ると 意 味が明快になり地 震動の非定 常性に関す る貴 重な 情報が抽 出で きる こと

，

等を示して いる。 位相の傾きに 着目して い る ところ がこれ らの研 究の _特徴の 1つ で はあ る が

，

フ

ー

リエ _{解 析}の対 称 性に着 目し， 時間領域と周 波 数 領域の両 領 域につ い て振 幅と位 相を定 義し

，

領 域 相 互 の_{関 係}まで を考 察し て いる ところ が

，

特 筆すべ _き点で あ ろ う

。

　最 近

，

地 震 動の周 波 数 領域にお け る振 幅， すな わち

，

フ

ー

リエ スペ ク トル か ら決 定で き る最 小 位 相 推 移 関 数 を 導入 し

，

地 震 動の特 性に関 する情報を引き出そ うとす る 研究が 展 開 され て い る

。

（文 献3 ）

，

4））これ らは_， 基 本 的に は_， 振 幅の対 数の Hilbert変 換にか か わ る

、

問題であ り

，

こ れ らの文 献で はWiener

−Lee

変換が用い ら れ て は い る が， 後 述す るよ うに

，

FFT を 用い たフ

ー

_リエ 解 析 の基本に か か わ る問題で も あ る

。

な お， 振幅の情 報に基 づ き最小 位 相 推 移 関 数を評 価す る問 題は， スペ ク トル分 解に関係す る問題で も ある

。

振 幅の 対 数で は な く

，

振 幅 と位 相の _両方 を含むフ

ー

リエ _{変 換}の対 数の Hilbert変換 に関しては， 複素ケプス ト ラム解 析におい てすで に検討 さ れて お り

，Homomorphic

分 解 （

Homomorphic

　De

・

convolution ＞を基 本と す る信 号の 分離の問 題が考 察さ れ て いる。 （文 献5）

，

6））しか し， 対 象と す る の が 地 震 　寧_{東 北 大 学 　 教 授}

・

_工博 ＃ _{東 北 大 学　助 教 授}

・

_{工博 （現　清水建 設 大 崎 研 究 室 〉} 事 榊 _{東 北 大 学　大 学 院生 ｛現　鹿 島建設技 術研究 所 ）} 　 　 〔昭 和 6Z 年 7 月22日 原稿受 理 ） 動の_{短 周期成分}の よ うに不 規 則に見え る地 震 動の とき に は

，

意味のある位 相 を定義する ことは_極めて大 変な こと で あり

，

位 相までを含めて

Hilbert

_変換す るこ と に大き な問 題点を有し て いる

。

　これら の

．

研 究を ま と め る と

，

次の よ うに整理 する こ と ができ る。 　1） 最 小 位 相 推移関 数や ケプス トラム解 析に関する研

　　

究は

，

Homomorphic 、分

解

を基 本と し てい る

。

　

2） Homomorphic 分解は，　

FFT

を 用い た フ

ー

リエ 　 　解 析が適用で き る問 題であ り

，FFT

の工 学 的な有

　　

効

性

を考える な ら ば

，

む し ろ積 極 的 に

FFT

を導 入 　 　し て考 察すべ _{きであ る} 。 な お，

Hilbert

変 換は

FFT

　 　によ り容 易に_実行で き る。

　

3）

蒔

間 領 域と周 波数領 域に お け るフ

₇

リエ 解析の対 　 　称 性 を考え る な ら ば

，

周 波 数 領域のみ な らず， 時 間 　 　領 域に お い て も

Hornomorphic

分 解が可 能で ある。 　本 論 文で は

，

以 上の考 察に基づき， は じ めに

，

超 関 数 論に基づ きFFT を用い た フ

ー

リエ 解 析 （以 後FFT 解 析とよ ぶ_）にお け る時 間領域と周 波 数 領 域の対称 性につ い て整理 し

，

次に

，FFT

解 析の立 場で， 時 間 領 域と周 波 数 領 域の

Homomorphic

分解である因 数 分解につ い て 解 説し

，

そ の応 用と して模擬地 震 動の合 成に関する考 察 を行う。 　

2．

超 関 数 論に基づく地震動の

FFT

解 析 　地 震 動の FFT 解析を考え る

。

地 震 動x （

t

）が与え ら れ た 場合

，

x （

t

）は

一

般に実因 果関 数で ある の で

，

そ の フ

ー

リエ _変換

F

_（ω）は，共 役 対 称

F

＊ （

一

ω〉

＝

F （ω） で あ り実 部と虚 部が

Hilbert

変 換の関 係を満足 して い る

。

また

，

そ の フ

ー

リエ _{変 換}の_{実 部}で ω＞

0

の部分の み を4倍して逆フ

ー

リエ _{変 換す る と} ， 共 役対称で あ り実 部 と虚 部がHilbert変換の 関係を満 足し

，

実 部の

t

＞0の 部 分は 元の_{時間 関 数}と

一

致する関 数が得ら れ る

。

本 論文 で展 開する

FFT

_解析は_，こ の よ う な考え方 （共 役対 称

・

Hilbert_{変 換 対}に基づ く時 間領 域と 周 波 数領域の対 称 性 ） を基 本と し てい る

。

周 知の通 り， 多くの

FFT

解 析では，

N

．＝ 2

”

個の離 散デ

ー

タを用い て解 析を行い

，

フ

ー

リエ 変換で は

，

一

₁₈

N工 工

一

Eleotronio _Library

　 　 　

一

△ω （

N

。／2

−

1｝≦ω≦Atulv，ノ2 の_範囲の_周波数が評価で きる

。

こ こ に_， 時 間 間 隔 を△

t

と お く と

，

　 　 　

T

己

→VEA

　t

，

△ω

；2

π／

T

， で あ る。 この フ

ー

リエ 変 換の実 部の ω ＞0の部分 を 取 り 出し て， 逆フ

ー

リエ 変 換に よ り， 共 役 対 称な時 間 関 数 を 評価す る た め に は

，IV

．≧2N ，で ある必 要 が ある

。

こ こ に，

IV7

は

，

元々 の地震 動の_離散デ

ー

タ数である

。

した が っ て_， 本論 文で展 開す る よ う な

FFT

解析で は，　

N

．≧2　

N

，であ ることを前 提 としてお り

，

この た めには地 震 記 録に後 続 の

0

を付加す る必要が あ る。 な お，

FFT

の アル ゴ リ ズ ム を考え る な らば， 因 果時間 関数の

FFT

に よ る フ

ー

リ エ _変換と 因果周波 数関数の

FFT

によ る逆フ

ー

リエ変 換 の間には対 称 性が存在して お り

，

周 波 数デ

ー

タ と全く同 様に

，

　 　 　

− At

（

Ns

／

2− 1

｝≦t≦

A

　tlv_，／

2

の よ う な時 間デ

ー

タ が

FFT

に よ り計算され るこ とにな る。 　この よ う に

，FFT

解析で は

，

時間デ

ー

タ

，

周波 数デ

ー

タ を間 隔

At ，

　

A

ω の 等 間 隔な離散デ

ー

タ と し て扱う。 し た がっ て， 等間隔パ ル ス列の フ

ー

リエ 変換， 逆フ

ー

リ エ 変換が_周期_関数で あ ること か ら も わ か る よ うに

，

時間 デ

ー

タを 等 間 隔パ ル ス列と考え ると きに は

，

周 波 数 デ

ー

タ は

，

NB

△ω を周 期とする周 期 関 数と み なすこと がで き

，

逆に

，

周 波 数デ

ー

タを等間 隔パ ル ス列と考えるとき に は

，

時 間デ

ー

タ は

，

N．At を周 期とする周 期 関数とみ なすこ と がで き る。 な お

，

等間 隔パ ル ス列のフ

ー

リエ 変換か ら 定義で き る周期関 数の 1周 期だ け を取り出し

，

他は0と おいた関 数の逆 変換は

，

連 続 関 数であ る。 サンプ リング 定理 に よ れ ば

，

こ の連 続 関 数は も との等 間 隔パ ル ス列と 重なり

，

ま た

，

連続 関 数の任 意 点の値は等 間 隔パ ル ス列 の値で

一

意に決 定で き る

。

し たがっ て，

FFT

は連 続 関 数の フ

ー

リエ _{積 分 を 離 散 的}に_{評 価}し た もの と も考え る こ とができ る

。

　時間関 数や周 波 数 関 数の Hilbert 変換や complex envelopei ］

・

2｝

・

iO）_は

_，

_{FFT に基づ き容 易に評 価する こ と} ができる

。Figs．

1

．

a

〜

2

．

　

b

に

，

その フ ロ

ー

を示し た

。

　本 論 文で は

，

こ の ようなフロ

ー

を多用す る

。

こ の フロ

ー

の出 発 点は， 左 上の ブロ ッ クで あ り

，

左 下

，

右 下

，

右上 へ _{と 流れ}て いくことにな る。 ま た

，

そ れ ぞ れ のブロ ック の間に は

，

ブロ ックを結びつ ける何ら かの 関係が存在し てい る

。

左 上か ら右 上へ の流れ がこ の フロ

ー

の 目的とす るところである

。

こ の フロ

ー

の詳 細に関しては

，

文 献

7

） を参照 して頂きた い

。

な お

，

フ ロ

ー

の中の記 号の意 味は

，

その_説明文と対応さ せ て読むことに よ り理 解できる よ う になっ てい る

。

　要す るに_， も と も との関 数 を

FFT

で変 換し （こ れ を 記 号

FFT

で表す）， これに符 号 関 数 （sgn ω

，

　sgn 　

t

） やス テッ プ関数 （

U

（ω）

，U

（t））を 掛け

，

再 度

FFT

で逆 に変換す る （これ を記号

IFFT

で表す）だ けの簡

単な手順で， 関数の

Hilbert

変換や complex 　envelope

が評価で き る

。

な お

，

周期関 数に符号 関数やス テップ関 数を掛け た もの は 周期 関数で は ない の で

，

Hilbert変換 や complex 　envelepe を評 価す る領 域で は

，

求め た関 数 を等 間 隔パ ル ス列で あるとは考えられな い ことに_注意を 要す る。 　 因 果 関 数と して与え ら れる地 震 動x （

t

）の 時 間 領 域 で の振 幅と位 相は

，

地 震 動の complex 　e皿velope を考え て も導入で きるが

，

本 論 文で は

，

Fig

，

3

．

　_{a に示} し たよ う に

，

母 関 数

f

（t）な るもの を用い て導 入 する。 （図 中の 41FFT は

，

周 波 数デ

ー

タを4倍し て か ら

，

　FFT で逆 フ

ー

リエ _{変 換す}る こと を意 味し て い る

。

｝こ れ は_， x 〈t）

甲

一

無

_÷

∫

響

dy

｛

鄭

　 FFT　 　 　 　IFFT

直

ト

i・，、、）

。

。gnu，X、u ，

也

Fig

．

1

．

aDiagram　to　calculate 　Hilbert　transform　Qf 　 　 　 time　function

甲

　

FFT

齒

ff_（t_＞

富

x（の＋i殳（t） Y_（tO_）

＝

2U（ω）x（ω）

犀

　 　

IFFT

遖

Fig

_．

₂

_．

　aDiagramtocalculate complex enve 且ope of 　time

　 　 　 function

甲

一

’

lt

_（tU_・

・

蓋∫

：

礬

dy

｛

回

　IFFT　 　 　 　

FFT

画

一

_i

_・

_・

_，，），sg 。t・・，，

遍

コ

Fig

．

1

．

bDiagram 　to　calculate 　Hilbert　transform 　of　frequency

function

鴎

　IFFI］

血

Fig

_．

₂

_．

　b

　

　 　　 　　 　 　　 　　 　 　　 　　A X （ω）

＝

X （ω）＋ix（ω） X（t）

＝

2U（t）X（t）

軍

　 　 FFT

也

Diagram　to　calculate 　complex 　envelope 　of　frequency

function

NII-Electronic Library Service のフ

ー

リエ _変換

F

_（ω）との対 称 性が確 立さ れ_， 共 役 対 称で あ るので後で述べる対 数の数 値 的な扱い も容 易に な る とい う 理 由 か らで あり

，

ノ （t）に おい て は_， 振 幅， 位相は そ れ ぞ れ偶関 数

，

奇 関 数で あり

，

F （ω）と同じ 性 質を持っ て いる。 上記の 議論は実因 果 周 波 数 デ

ー

タ

X

（ω）におい て も 成 立 し

，X

（ω）に対して F （ω）が 定 義で き る。

Fig．

3．

　a

，

　

b

におい て

，

　x （t＞と

X

（ω）な らびに

f

（t）とF （ω）に関し て綺 麗な対 称 性が成 立し て い ること が わか る

。

　本 論 文で の

FFT

解 析では_， これらの母関数／ （

t

）

，

F （ω）が解 析の対 象とな る

。

超 関 数 論に よ れば_， 超 関 数の 標 準 母 関 数と その

Hilbert

変 換は同 じ関数形を持 ち

，

∫（

t

）

，

F

（ω） を 超 関 数 と 考え ると

，

その母関数は 超 関 数 自 身と同じ関 数 形 を 持つS，

。

本 論 文では

，

x _（

t

_）

_，

X （ω ）を超 関 数_，

f

（t）_，　F （ω ）を 母関数と する と らえ 方 をするが

，

これは実 因 果 関 数の母 関 数 を

Hilbert

変 換 で は な く

，

偶 関 数に置き換え てその complex 　envelope で定義する こと と_解釈でき， 超関数論にお け る母関数と 類 似 性 を持つ

。

ま た

，一

方の_領域で定 義さ れ た母 関数の フ

ー

リエ _変換は他の _{領 域}の超関 数に

一

致するこ と か ら も

，

対称性を考慮し たフ

ー

リエ_{解 析}におい て

，

これ ら を 母関数と呼ぶこと は妥当と思わ れ る。

　

な お

，

Hilbert_{変 換 等}を評 価す る場 合と同 様に

，

与え ら れ た 地震 動 x _（t）につ い て母 関 数 ∫（t）

，

F （ω〉を 定義す るこ と は極め て簡 単で あ り

，FFT

解 析に付随し て 自動的に定 義さ れて し ま う もの であ る という認 識が 重 要で あ る。 な ぜ な ら

，N

，≧

2N7

とすることに注 意して

，

Fig．

3

に示し た よ う に

，

　 x （t）_をFFT で フ

ー

リェ _{変 換} す る こ と に よ り

F

（ω）が

，

U （ω）Re ［F （ω）］ を

FFT

で逆フ

ー

リエ_{変換 す}るこ とに よ り

f

（

t

）が定 義で

卑

｝

f（°

黜

188

｛

_奪

　 　 FFT　　　　　　　4工FFT

由

一

_・ ω ＿ ・_{ω ，}

痢

Fig

．

3

．

　a_Diagram　to　calcu1ate 　generating　function　of　causal 　 　 　 　time　funct五〇n

下

一

一 一 a（ω_）＋iθ（ω）＝

−

1nF（ω ） FM（ω） FA_（ω） FM_（ω）

；

exp _［

− d

（ω）］ FA（ω）＝exp ［

−

ieA （ω）］ α（ω） iθ（ω）

d

（ω）冨 α（ω）＋ia（ω） iθA（ω）

＝

iθ（ω）

−

i＆_（ω） a （ω） ieA（ω）

Fig

_．

₄

_．

　aDeconvolntion　in　freque【Lcy　domain

・

−

₂₀

一

きるか ら で あ る

。

　

3

．

母 関 数の Homomorphic 分解 と因 数 分解

　

時 間 領 域と周波数領 域で対 称 性 を 有 する母関数 が 定義 で き たの で_， 次に

_，

_{時 間 領 域}と周 波 数 領 域で共 通に扱え るHomomorphic 分解と因 数分解の_概念につ いて解 説す る。 　

一

般に因 数分解と は

，Lt

空間に属 す る 非 負 実 数 値関 数 が 与え ら れ た場合， そ れをフ

ー

リエ スペ ク トル と す る 因 果 関 数 を求め る問題 を指す9〕 が

，

本論 文で展 開す る因 数分解とは_， 母 関 数の振幅の対 数の Hilbert_{変 換}か ら定 義で き る最小位相推移関 数に基づ く

Homomorphic

分 解 を 意 味してい る

。Homomorphic

分解につ い ては後で説 明 す ることに し て， は じ めに周 波 数領域 に お け る 因数 分 解につ いて解説す る

。Fig．

4．

　a が周 波 数領 域にお け る因 数 分 解の フロ

ー

で ある

。

　因数分解によ り

，

母関 数

F

（ω）は

，

　 　　

F

（ω）；

FM

_（a））

FA

（ω） と 分解さ れ るこ とにな る

。

こ こ に

，

F”（ω）は最小位相 推 移 関 数

，

凡 （ω）は 全域 通 過 関 数と よ ば れ る。 これら は

，

　 　　

1F

。（ω）

1

＝

IF

（ω）

i

　　　

lF

、（ω＞

1

＝

1 の性 質を有して い る。

、

ところで

，

訊ω）は

，

　 　　ff（ω）

＝

α（ω）＋ ‘∂（ω｝ であ り

，

実 部と 虚部が Hilbert変 換の関 係で結ば れ_， さ らに共 役 対 称であ るの で

，

実 因 果 時 間 関数の フ

ー

リエ _変 換である。2つ の実因果時間 関数の フ

ー

リエ 変換の積は

，

時 間領 域で は合 積であり

，

因 果 性が保 存さ れ る。したがっ て

，

　 　　 F．（ω｝

＝

exp ［

−

i（ω）］

甲

一

F 

、

織

一

：

1

・

［

鄭

41FFT 　　　　　　FFT

齒

一 ，、Re ，・_，、_）

D

［

劃

Fig

．

3

．

　b_Diag匸am 　to　calculate 　_generating　function　 of 　causal

　 　 　 　frequency　funetbn

区

｝

一 一 a（t）十iθ（t）

＝

−

lnf（t） fm （t_） fa（t） f皿（t）

＝

exp ［

一

　冠（t）】 fa（t）

＝

exp ［

−

iθa（t）］ α（t） le （し）

ti

（t_）

＝

α（t）＋i＆（t） iθa（t）

＝

iθ（t）

−

iG（t_）

a

（t_） 1θa_（t_） Fig

_．

₄

_．

　bDeconvolution 　in　time　domain

を級 数 展 開すれば容 易に分か る よ うに

，F

．（ω）は実 因 果 関数の フ

ー

リエ _{変 換}である

。

また

，

F （ω）と 凡 （ω） が実因果関数の フ

ー

リエ 変 換であると きに は

，F

＾（ω ） も実因果 関数の フ

ー

リエ 変 換とな る

。

　以上の ことを， （複 素 関 数 論に基づ く） 超 関 数 論の 立 場で記 述すると次の よ うにな る。 実 因 果 関 数の フ

ー

リエ 変 換は 下超 関 数で実 部と虚部は

Hilbert

_変換の関係に あ り， その超 関 数 論に お ける母 関 数

F

（z）（z ＝ ω十

iA

） は下 半 平 面 （lm ［z］≦0）で解 析 関 数 （ゼロ_点は持ち得 る）と な る

。

こ の母 関 数は下 半 平 面で解析的でありかつ ゼロ 点 を持た ない関 数凡 （紛 と下 半 平 面で解析 的な関 数

F

＾（z） との積で表 すこと ができ る。 こ こで

，ff

（z） は下半 平 面で解析 的に な る よ う に設 定し た の で

，

凡 （2_｝

＝

_{exp ［}

−

_{i （z）］は下 半 平 面で解 析 的で あ り ゼロ点を} 持たない。 ま た

，

凡 （z ）が ゼロ点を持た ない こと か ら， F，（z）

＝

F （z）／凡 （2）は下半平面で解析的で あ る

。

し たがっ て

，

F承ω）と

F

。（ω）は実因果 関 数の フ

ー

リエ 変換で あ ること が分か る

。

　こ の よ う な因数 分 解は

，Fig．

4

．

　

b

に示し た よ う に

，

時 間領 域の_{母 関 数}

f

_（t_）につ いても可 能で あ り， 　 　 　

f

（t）

＝

fm

（t）

fa

（t） 　 　 　

lfm

（t

−

＞

1

　

＝

　

i

∫　

@

（

t

｝

　　　

lfa

（

t

）

1 _＝ と 分 解するこ とが で きる 　_Fig

，

5．

　

a，　 b

に

は， ス ペクト ル分解を行う

フ

ローを し たが ，

こ

れ は ，基本

的

に は ， 最 小 位 相 推 移 関数凡 ω ） と

fm

（

t

）を 求め る 問題 で あ る こ とが わ かる 。 お ，時 間 領域 に お けるスペク ト

ル

分 解とは_，包絡線 分 解を意 味 する とになる。 　以 上 に示 し た因数分 解に よ り 最小位相

移

関

_{数 と} 域 回

一

一

一

・（・） −1 ・・

S

・） FM ω ）

FM

膏（ ω 〉 　 　　　　　　　　　

　

　FM（ω）

exp

［ −

Ct

（ ω ）

l

　　　　　　　　　

　

_{FM （}ω

）FMce

（ω

冒

ex

p

【

−

ｿ（ω

〉

］画_・一風・痼 Fig ．5．　a　Spectral　Factorization 　in 　f

quency 　domai

L

（ω

）

匸一

1nF

（ω） iω）冨

Fi

ω）F2 ω）

F1

（ ω_） F2_（ω） 1（_ω）_＝exp _［−

L1

（_ω）】 2_（ω）

＝

exp［−L2 （ω）】

L

（ω ）＝ （ω）＋

L

iω） L1（ω） L2 （ ω） Fig ．6． 　 a　Homomolphic　Deconvelution 　

　

frequency

　

domain

通_過関数を評 価す る問 は，

Homomorphic

分 解 の 1例 と考_えるこ とが

で

き 。

HomomOiphic

分 解の フローを

Fig

．

6

．

a

，　

ﾉ

示した 。線形システムの関係 のよう に時 間 領域で 積 で表 される入 力

と

シ ステ_{ム の}関 係 は ，周波_数 領域

で

積 で あ り

，

さ らに 対 数をとる と 和

の

関 係 と な る。 す わち，この_よう に 変換 すると ，

も

ともとの_線形シ ス ム

が

和 で 表 される こと に な り_，数学的に記_{述 す}る な ら ば ， 準_同 （

Homomorphic

）の関 係と なる。 す なわ ち， に示したL （ω），L （ t） にお いては，評価基 準が存 す る

場

合 ，それ に沿って2 つの関数の和に分 解する と が ，直 接， 入力 と線 形システ

ム

に関係する 成分 とに 分 する ことを 意 味し て

い

る

。

工（ _ω〉，

L

〔t

）

を

ﾂ

の関

数

の和に 分解

す

る ときに は， フーリ エ変換 が役立つ。L （ω），

L

（

t

） のう ち ， 振幅 の_情報のみ_{に 着 目 し}

Hilbe

変換という 観 点で Homomorphic 分解しよ と するの が， 母関 数 の 因数 分_解であり_{， 先 に 述 べ た よ} う に 相

の

情報ま で を含_{めて Homo}

rphic

分解しよう とするの が，複 ケプ ス_ト

ラ

ム

解

析

で

ある。 　

4

．因 数 分 解 に基 づ く模 擬地震動 合 成 　

Fig

．

7

．

a

，　 b

で

は， フー リ エ ス ペ ク ル

あ

るい は包 絡線 が全く同 じラ ンダ ム 波

を

シ ミュレ ショ

ン

す る た め の フ ロー を示して

い

る。因 数分解さ れている と ， 振幅の情

報

は ， 最 小 位 相 推 移関数FM （（v）， 　

fm

t

）

の み に含ま れ てい

る

ことか ら ，全域通過関数瓦 ω ），

fa

〔

t

） を シ ミ ュ レ ー シ ョ ンすること に

よ

，振幅

が

全く同じ波が合成 で き る こ

と

に _なる。こ

の

と き，全域通 関数に関 し ては ， 例えば ，

F

， 〈

tU

）につ いて考 る と ， 　F _（ω） ＝ 凡 （ω ）

F

， （ω）で あること ら

も

明ら かな

よ

うに ，最 _{小 位相推 移 関数凡（ω ）}

_を

達

関

_{数 と} ると きの入 に相当してお 閨

C

こ

れ

は

フー リエス_ペ

ク

トル_が1_の非

定

常

波

で

あ

り

，

回

一

一

一

（t

）

fms

it

）

・

・

…

−1_・ns（・）　，。，、、、1罪18：：：1｛二、霞181 磁｝…一・…Pt 　　Fig

．

5．　

b

　

S

ctral 　Facteriza on　intime

　

mainL

（t ）

＝

−1nf（

t

f

（

t

）＝fl （

t

）

f2

（

t

） f1（

t

）

f2

（t） fl t）＝exm −

L1

（ j］ f2（t_）＝exp ［−L2（t）】 L（t） ；L1（t） ＋L2（t） Ll（t） L

it

_）

NII-Electronic Library Service 非 定 常 ホワイト ノイズと考える こと ができ る

。

ある地 震 動の _{凡 （}ω）の非 定 常性は

，

すな わち， 非 定 常ホワイ ト ノイ ズF＾（ω）の 非 定 常 性は

，

凡 （ω）と同 様に地 震 動 固有の もの と考え ること がで き る。 し た がっ て

，

2つ の 地 震動につ い て 因 数 分解を行い

，

FA（ω）を交 換し て波 を合成す れ ば

，

フ

ー

リエ ス ペ ク トル が_等し く他の地 震 動 の

F

_，（ω）に含ま れ る非 定 常 特 性 を加味し た模 擬 地 震 動 が作成で きる

。

他の地 震動の 凡 （ω）の代り に_， 非 定 常 ランダム波 群の

F

，（ω）群を用い て_， 波を_{合 成 す}れ ば ， フ

ー

リエ_{振 幅が全く同じ ランダム波 群が合成で き る}

_。

　

母 関 数の

f

（

t

） と

F

（ω ）の数 学 的な対 称 性を考え る

・

_と

_，

これ と同じこ と は

，

物理的な解 釈は多少異な る が， 時 間 領 域の因 数 分 解につ いても言え ることは明ら か で あ る。 し た がっ て

，

こ の よ う な対称性まで を考 慮す る と

，

　

1） ある フ

ー

リエ ス ペ ク トル_{特 性}を有し_， 包絡線が全 　 　く同 じである ランダム波群

　

2

） あ る非 定 常

_特

性 を有し

，

フ

ー

リエ スペ ク トルが 全 　 　く同じ であるランダム波群 　 3） 2つ の地 震 動の_特性を合 成し た4組の波 の よ うな 模 擬 地 震 動が容易に合成で き るこ とにな る

。

　

な お

，Homomorphic

_{分 解}の特 性を考え る と， 最 小 位 相 推 移 関 数 を， さ ら に 　 　 　 F聞（ω）

匸F

肌 （ω｝

F

脚κ（ω） 　 　 　

fm

（t）

＝

プ』L（

t

）

fmH

（t） の _{よ う}に分 解 すること も可能で あ る。 こ こ に， 指 標

L ，

H

は

，

それ ぞれ_，

Low −

_pass

_，

　

High−

passを意 昧し て お り

，

例え ば

，

F鼠ω）に関 して説明す れ ば，時 間領域で

F

鼠ω） を

，

0≦

t

≦

t

、で定義で き る部 分とそ うで ない部分 に分 離 した のが， そ れ ぞ れ

，

凡 乙（ω） と凡 。（ω）で あ る。 こ のよ うに考える と

，

　 　 　

F

（ω）

＝F

肌 （ω）［

F

． 。（ω）F、（ω）］ 　 　 　　 　

＝F

。H（ω）［F”L（ω＞F、（ω）］ 　 　 　

f

（

t

）＝

fML

_（t_）［

fmH

　

O

_）

fa

_（t_）］ 　 　 　　 　r 隔 ω ［

f

。、L（

t

）

f

。｛t）］ の ように分 離す るこ と も可 能であり

，

振 幅の変動の長 周 期成 分か ら構 成され る波

FNL

（ω ）凡 （ω）

，

　

fML

_（t）

fa

_（

t

_） や

，

短 周 期 成 分か ら構 成さ れ る波

FMH

（ω＞FA（ω）

，

ム、 （t）

fa

（t）の合 成が可 能と な る

。

　こ の よ うに

，

い くつ かの

Homomorphic

_{分 解}を行い

，

これ を組み合わ せ る こ と によ り， 様々 な 波の合 成が可 能 と な る

。

な お

，

も ともとの関 数が因果性を有している と き

，

こ の ような合 成 法におい て は_{， 因 果 性 を 十 分}に満足 す る よ う な波が合 成され るとい うことに注 意が 要 る

。

周 波 数 領 域で

，

地 震 動の位 相だ けを残 し振幅は 1と し た合 成 波

，

異な る地 震 動の位 相 と振 幅 を 結 合し た合成波

，

位 相と振 幅を勝 手に定 義し た合 成 波 等で は_， 因 果 性 が 大 き く乱れ るのが普 通である

。

因 数 分解に基づ く

Homomor −

phic分 解では

，

分 解 され たもの は因 果 性 を満足 し て お り

，

さ らに

，

い くつ か の分 離 成 分 を 因 果 性が崩れ ない合 積で合 成す るこ とになる の で

，

因 果 性が満 足され る の は 当然のことで あ る。 　

5．

数 値 解 析 　以上に述べ たこと を

，

数 値 解 析に基づい て確 認し た の が，

Figs．

　

8．

　

1− 7

であ る。 　

Fig．

8

．

1は

，

1 質点振動系の イン パ ル ス応 答の フ

ー

リ エ変 換 を 母関数

F

（ω）と す る と きの因 数 分 解 を 示し た も ので あ る。 凡 （ω） の 逆フ

ー

リエ 変 換

F

．（

t

）は， も との イン パ ル ス応 答とほ ぼ

一

致し

，

F，（t）もδ関数に 極めて近い。 すな わち

，

1質 点 系の インパ ル ス 応 答は

FFT

解析に おい ても最 小 位 相 推 移 関 数であること が分 か る

。

　

Fig．

8．

2

は

，

因 数 分 解の精 度 を イン パ ル ス応 答で検 討 し た も のであ る。 伝達 関 数か ら求め たもの は原 点におい て少し差 が あ る （す な わ ち有 限デ ジタ ルデ

ー

タに お い て はインパ ル ス _{応 答}の フ

ー

リエ _{変 換 と伝 達 関 数 とは完 全}に は

一

致して い ない _）が

，

イン パ ル ス応 答および， その最 小 位 相 推 移 関 数から求め た最 小 位 相 推 移関数は_， 誤 差が ほ ぼ ゼロ で あるこ と か ら

，

FFT に より実 用 上 十 分な精 度の解 析が可 能であ る と思わ れる

。

　Fig

，

8

，

3で は

，

　Fig

．

8

．

1の インパ ル ス応 答 を母関数

f

（t）と し た と きの時 間 領 域の 因 数 分 解 を示して い る

。

図か ら明ら か な ように

，

イン パ ル ス応 答の母 関 数は， 最 小 位相推移 関数では ない。 　

Fig，

8，

4は 地震 記 録の _{最 小 位 相 推 移 関 数 を示}し て い る

。

地 震 記 録が与え ら れ た と き

，

最小位相 推 移 関 数と し て は

，F

層（ω）

，

fm

（t）の他に

，

　

F

”m （ω）（FN （a））か ら Fl（ω） ．n

識

’

謡瓢 諮

_嬲

．．．　

F2

（・）

Deconvolution

F1

（ω）

＝

FIM（ω）FIA （ω） 　 　 　 Synthesize

F2

（ω）

言

FIM

（ω）F2A（ω）

畢

謙

譜

：

臨

 

Deconvolution

　　　　　　　

Synthesize

fl（t＞

詈

flm（t）

fla

（t）　　　　　 f2（t）

＝

flm（t）f2a（t） FIM（ω_）

FIA

（ω）

Simulation

　 of 　F2A（ω） FIM（ω） F2A（ω）

Fig

．

7

．

　aSimu且ations　of　function　with 　the　same 　Fourier　Spec

−

　 　 　 trum

f1皿（し）

fla（t） Si皿ulation 　of 　f2a（t）

fla _（t）

f2a（し）

Fig

．

7

．

　b

』

Simulations　of　function　with　the　same 　time　enveloPe

一 22 一

求ま る

fm

　（

t

））とム闇  ）（

fm

（

t

）か ら求 まる 凡 （ω）〉 が計算で き るの で， 全 体で 4個の最 小 位 相 推 移 関 数が定 義でき る。 　

Fig．

8．

5

は 地震 記 録の全域通 過 関数であ る。 全域通過 関数の振 幅 は 1であ り

，

地 震 動の 振 幅の 小 さい 領域の成 分の_{特 性}も強く現れ る。 し た がっ て， これに関して は， あ る程度は振 幅の重み を掛け て評価す る 必要が あ る

。

こ の と き

，

因 果 性 が 崩 れ ない よ うに_， 最 小 位相推 移 関数の

Homomorphic

_分解に基づ く重み を掛け るの が

，一

つ の 評 価 方 法 となる。 こ こ で は

，

10Hz までの矩 形の ウ イン ド ウを掛けた F湘（ω）

，

FML（ω ）　FA（ω〉

，

10　

Hz

_まで の矩 形の ウイン ドウを掛けた F_””（ω）凡 （ω）を示して い る

。

フ

ー

リエ スペ _{ク ト}ル の短 周 期 変 動 を 重み と し てい る

F

“H （ω）凡 （ω）で は

，

エ コ

ー

解析的な特 性が 現 れて継 続 時 間の_後の方で も大き な振幅と なっ てい るが_， 他は_， 継続 時 間の前の方で振 幅が大きい

。

な お

，

これ ら の合成 波は

，

模 擬 地 震 動と して も興 味深い特 性を有してい る

。

　

Fig．

8

．

6では_， 2つの地 震 動の 因数分解か ら得ら れ る 60 x（t ）

一

6

₋

2　 　 0　 　 　2 6 ＝ 　 　D 　 4　 　 6　 　 （sec ）

↓

F買 FM（t）

一

6

₋

2　 　 　0　 　 　2 5 100 5 　 　 　

一

100

个

・FE

’

r 　 　 　 5 4 　6 （sec ）

−

2 　0 　2 　4 　6　 Cseに） T5 F（ω）

一

5

₋

2

一

］ O　 　 　 　 l

↓

一

・・ ＝ 　 巧 FN（ω） 　 　 　

一

5 CHz）　 　

−

2

一

1O 　 　 　 　 l

个

・ ・p卜 ］

个

・FFr ●　 T5 10 ；10

一

lo 　

−

50　 　

−

2S FA（ω） α_（ω_）．e（ω） 0 　 REAL　PART IMACINARY 　PA即 25 匚o ＝ 刊0 　 　

一

10 （Hz》　 　

−

50 0

．

1 　 　 　

一

5 （Hz ）　 　

−

2 石（ω）

一

25025 　 　 （Hz） 】0 十 刊o

一

_艮

一

la

₋

50　 　

−

25 O　 　 　 l　 　 （Hz ）

个

・ ・p［

一

］ 025 　 　 （Hz）

Fig

．

8

．

1　

Deconvolution

　of　

SDOF

　transfer　function　in　frequency　domain

　 　 　 〔N，

＝

8192

，

At

＝

0

，

01

，

　damping　factor　O

．

1

，

　natural 　frequency　1

，

0Hz ）

o

．

（a ） F（t）

−

FM（t）

一

_〇

_。

L 　

−

2　 　 0 　 2roO3 　

−

2 （b） F（t）

−

FM（t） 246 （sec ）

−

20246 5 　 　 D

（

n ， 9x

）

　 　

一

1

．

5 （sec ）　　　

F2

　　　　0 　　　　 2 　　　　4

　 　 　 　 （a）Thecausal し1mefunctiQnisdetermined fromX_（ω_）　of　the　ヒransfer 　function

　 　 　 　 （b＞Thecausal timefunctienisdeしermined f【om 　x（t ）；　the　impulse 　response 　 　 　 　 （c）

　 　 　 The　causal Lime function isthe　minimum _phaseshif し　function　of 　X（ω） Fig

_．

₈

_．

₂Diffelences　between　original 　causal 　time　functions　a皿d　their　minimum 　_phase　shift 正unctions

6　 　（sec ） Is0 _x （ω_）

一

18 　

−

10 馳　 　 　 　 2

↓

・FFT 180

．

f叩（ω） 　 　

一

18 （Hz）　 　

−

10 1　 　 　 　 2

个

FFT 100 ＊　 　o 6T6 6 fa（ω） f（t ）

一

6

₋

8

一

4 ＝ 　；6 0　 　 　 4　 　 　 （s已に）

↓

一

・・

．

一

巨8 10 　 　

一

100 （Hz ）　 　

一

【 6 0 1　 　 　 　 2

个

田 （Hz） fm（t ＞ 8　 　 　 　

−

4 0 4se

个

exp 同 ・　；6 fa_（t） 　 　

一

6sec ）　 　

−

8 10

一

4 0 　 　 　 4 　 　 　 （sec ）

个

・・p_［司 10 ；】0

膊

_且 ヨ4 二 ；10 a（t ） 十；10 _θa（し） 　 　 　

一

LO 　 　

−

10ec ）　

−

41 　

−

20

。

5　 0 　 　 20

。

5 　 （sec ）　

−

4t　

−

2e

．

S　 O　 　20

。

5　 （sec ）

Fig

．

8

．

3　Deconvolution　of 　SDOF 　impulse　response 　in　ti皿e　domain

NII-Electronic Library Service 3SO

3o

-3SO

o tlOO q

:

ao

g

-1100

o 300 a <o e

-300

o 2soo

z

le

-"2

soe o 7

So

-1

o 1.S v

za1.0

.

io.s

e o. 0-2 to 2 ]o 2 20 4 20 4 20 6Fig. 8.5 6･ 30 6 x(t) 30 <sec) x(ul) 8(Hz> x(t) 40(see) x(to) 8

<Hz)

Fig.8.4 FA(t) 30 _{sec)

)FA(w)1

8 _CHz) 1000

'

750 FM(t) u m A M

go

;o

g

-1000

-]SO

O LO 20 30<sec)

'

700

.

6SO v fm(w) mm A AO

go

<

･

o

-700

-650

O 2 4 6 SCHz)

,(a)

EL CENTRO !940 NS 650 I02S FM(t) o m n th

8D

hO

･

¢ o

-6SO

-t02S

o to 2o 3o 4oCsec) 900 550 u fm(tu) mm

_-:

ho'

se

8

-goe

-sso

O 2 4 6 8<Hz) (b) TOHOKU Univ. IF 1978 NS

Minimum phase shift functionsof seismic waves

o o o 24 10

,

24 6 20

s3o:

O-3oo

lj

3SO

evs

e A2so <o e

-250.

400 A

So

-400

All 2SO A <o e

-250

300 300ISO o4002oa o A<e U$i<e in vmca .A<e vmca .Arto ' U:h<v va:ts 8 o-8 3 2 L o 3SO 6fMM(t) olo2o3o4ose 10 4 O' ]O 20 30 _(sec)

]FML(w)FA(us)1

'

'

%2468

(Hz) WeightpdAH passfunctionsofEL CENTRO 1940NS

J<o a<e A<e A<e ]oo150 o3oe150 o oIO203040(sec) ole2030 (a) FMm(co) 8 (Hz) fmM(t) 30{sec) FMmCus) 8 (Hz) sec) o 102030 {sec) O･2 frequency 175 Oo2 4domain 4 o10203040(seE)375ISS o 700350 ]ooISO o 6

t/tt

6 e (Hz)

IFI(us)I

B (Hz) 40(se:)Minimumphase pass O [O 20, 30 shift- EL CENTRO 1940

-

IVHOKU Univ. IF

.40(sec)

NS (Fl(tu) 1978 NS o fl(t))(F2(to),

%

24 f2(t)) 24' o

.o

10 10

24

20 2q 30 40(sec) .

So

-300

30 40(sec)

_'

.(b)

Minimurn All Fig.8.6 Feur oLO2e3040(see> O LO 20 30

phese shift- TOHOKU Univ. IF

pass

-

EL CENTRO 1940

synthesized waves with properties

6 6 8 <Hz) S _CHz) 40(sec) O 2 1978 NS (F2(u,),f2(t)) NS _(Fl("])fl(t))

of two selsrnlc waves

46S

NII-Electronic

（a）　Waves　having　the　5ame FourierSpectrumof　TOHOKU　Univ

．

1Fl978　NS _（F（ω〉） 300A 《 ［500 3000 口 く O 　 　 　

一

300 0　　　　10　　　　20　　　　30 　　　 40 〔sec ） 007 　 　 0 　 　 5 　 　 39 国

 

二 く O

lF

（ω）

1

300015 日 く O 3000 日 く O 0 　 　 　

−

300 　 　0　 　 10　 　20　 　30　 　40（sec ） O　 　 　IO　 　 20　 　 30 O　　　　lO　　　　20　　　30　　　40（sec ） 8　 　 （Hz ） 1

．

55

．

OO

。

50

．

EI　

IG

（t ）

1

〕 400 0　 　 10　 　 20　 　 30　 　 40〔sec ）』 　 　 　

8

　0

一

400 　 　 　0　　 　10　　 20　　 30 400A く2000 4000 日 ぺ O 0　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　

−

400 　 　 0 　 10　 20 　 30　 40 （sec ） 　 　 　 　500

　韓

　h250 　 ぎ 40（。 。c）　 Q6　 2005 　 　 0 　 　 5 　 　 20 国 9

・

ロ 目 く O O　　　　IO　　　2Q　　　　30 　　　　40（sec ）　　　　0 46 　 　 　8　 　 （H：） 2 4 　6 　8 （Hz）

（b）　Waves having the same ゼimeenvelope of ELCENTRO l940 NS （f （［））

Fig

．

8

．

7　Synヒhesized　random 　waves

凡 （ω）とF、（ω）

，

お よ び

，

ん（t）と

fa

（t）の組み合 わせ を変えて得ら れ る4つ の _{合 成 波}を示して いる。 　Fig

．

8

．

7（a）に は

，

フ

ー

リエ ス ペ ク トルが全く同じ で

，

包 絡 線の特 性が類 似して い る

，

2つ の合 成 波を示し た

。

　Fig

，

8，

7 （b）に は

，

包 絡 線が全く同じで

，

フ

ー

リエ ス ペ ク トル_特性が類 似して いる

，2

つ の合 成 波を示し た。 　6

．

結 　び

　本 論 文で は

，

Hilbert 変換や complex 　envelope の_評

価 も含めて超 関 数 論の立 場か らFFT 解析を整 理し

，

母 関数の _{概 念}を導入 す ることにより時 間 領 域と 周 波 数 領 域 の_{対 称 性}を確 立し た。 関 数 概 念を 超関 数まで拡 張す るこ と の主な意味は

，

例えば複素関数論に基づ く時間

・

周波 数平面 間の積 分変換 がフ

ー

リエ解 析 理 論の わ く内に納 ま ること， あるい は フ

ー

リエ 級 数がフ

ー

リエ 変換に吸収さ れ

FFT

解 析の

一

般 性 が保 証さ れ ること等

，

よ り統

一

的 な わ か り や すい視 点か ら関 数 論 を 基 礎とする各 種の解 析 法 をと ら え直すこ と が で き るとい っ た こ と に ある

。

こ の 視 点に立 ち

，FFT

解 析に お ける時 間

・

周 波 数 領 域の対 称 性 を考え ながら

，

因 数 分 解 を

Homomorphic

分 解の

一

例とし て解 説し_， 因 数 分 解より得ら れ る最 小 位 相 推 移 関 数や 全域 通過関 数に基づ く 地震 波の _{分 離 方 法}を示し た。 また

，

その応 用問題 として

，

因 果 性 を乱さずに

，

各領域 で の特 性 をほ ぼコ ン トロ

ー

ル で き る模 擬 地 震 動の合成の 考え方 を示し た。 参 考 文 献 1＞和 泉 正 哲

・

勝 倉　裕；地 震 動の位 相 情 報に関する基 礎 的 　 　研 究， 日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第327号

，

pp

．

20

−

27

，

　 　 19832

）H

．

Katukura

，

　T

．

　Watanabe

，

　and　M

．

　Izumi；A　Study　en

　 　the　Fourier　Analysis　of　Nonstationary　Seismic　Waves

，

　 　8th　WCEE

，

1984 3） 辰巳安 良

・

佐 藤 忠 信 ；地震 波の 因 果 性を用い た 1979 　 　1mperial　Valley_{地 震}の_多重 震 源解析

，

土 木学会論文集， 　 　 第380号

，

pp

．

475

−

484

_，

1987

．

4 4） 壇 　

一

男

・

渡 辺 孝 英

・

神田　 順 ；Wiener

−

Lee 変 換を用 　 　い て 地 震 動 波 形の Fourier振 幅か ら原 波形 を再現 する試 　 　み

，

日本 建 築 学 会 構 造 系 論 文 報 告 集

，

pp

．

15

−

25

_，

　 　 1987

．

9

5_） T

．

_J

．

　Ulrych

，

　O

、

　G

．

　

Jensen

，

　R

．

　M

．

　Ellis

，

　P

．

　G

．

　SQme

．

　 　n厂ille_；Homomorphic　Deconvolution　of　Some　Teleseis

−

　 　mic 　Events

，

　B

．

S

，

S

．

　A

，

　Vol

．

62

，

　No

，

5

，

　_pp

．

1269

〜

1281

，

　 　 19726

＞ A

，

V

．

　Oppenheim

，

　R　W

，

　Schafer

，

　and　T

．

　G

．

　Stockham　_；

　 　Nonlinear　Filtering　Qf 　Multiplied　and 　Convolved　Sig

−

　 　nals

_，

　Proc

．

　IEEE　65

，

　pp

．

1264

〜

1291

，

1968

7） 和 泉 正 哲

・

勝 倉 裕

・

遠 藤 良 幸；拡 張Tonti　DiagTamの 　 　 構成 と その有効性に関す る 研究 （その 3）

，

日本建築 学会 　 　 大 会 学 術 講 演梗 概 集

，

昭 和62年 8）今 井　功；応 用 超関数論1

，

且

，

サ イエ ンス社

，

1981 9） A

．

パ ポ

ー

リス ；アナログ と ディジ タル の信 号 解 析

，

現 代 　 　工学社

，

1982

10） A

．

V

．

　Oppenheim

，

　R

．

W

，

　Schafer_；DIGITAL 　SIGNAL

　 　PROCESSING

，

　Prentice

・

Hal1

，

1975

NII-Electronic Library Service

SYNOPSIS

UDC:550.34.03

STUDIES:517.5ON

SEPARATION

AND

SYNTHESIS

OF

NONSTATIONARY

SEISMIC

USING

FFT

TECHNIQUE

BASED

ON

HYPERFUNCTION

THEORYWAVES

by Dr.MASANORI IZUMI.Professor of TohokuUniv.,Dr.

HIROSHI KATUKURA, AssociateProfessoref Tehoku

Univ.,and _{SUSUMU OHNO, GraduateStudent} of

Toho-ku

Univ.

.

Members ofA.I._J

The

objectives of this

_paper

are to

_present

FFT

technique, which can evaluate

Hilbert

transforms, complex envelopes, and _generating

functions

in

hyperfunction

theory, and to show

ideas

to separate seismic waves

into

several meaningful components and to synthesize seismic waves with

definite

characters,

by

means of the

FFT

technique.

Several

examples of synthesized seismic waves, such as random waves with the same

Fourier

spec-trum and similar time envelope _properties,random waves with the same time envelope and similar spectrum prop-erties, and waves with mixed properties of two observed seismic waves, are also presented.