基本的な級数の計算まとめ

(1)

基本的な無限級数の計算

等比級数,

等比

×

等差型の級数

2011

年

7 月

27 日

1 等比数列の和

1.1 等比級数

初項a,公比rの等比数列{a, ra, r2_a,_{· · · , r}n_a,_{· · · }}_の和 Sn= n X k=0 rka = a + ra + r2a +· · · + rna. (r6= 1) (等比級数)の値の求め方を考える. このような等比級数は,以下のような手順に従って求められる. 1. Sn= a + ra +· · · + rnaの両辺に公比rをかけて次の式を得る. rSn= ra + r2a +· · · + rna + rn+1a. 2. Sn=· · · の式からrSn=· · · の式を辺々引く. Sn= a + ra +· · · + rna rSn= ra + r2a +· · · + rna + rn+1a. 辺々引けば, (1− r)Sn = a− rn+1a. 3. 両辺を1− rで割ると, Sn= 1− rn+1 1− r a. この公式は等比数列の和の公式と呼ばれ,数学の様々な場面で極めて重要な役割を演じる. よって, この公式を覚えておいても良い. （が, 導出は簡単なので,導出ができるようになっておくのが望ましい）ちなみに,最初にr6= 1を仮定したが, r = 1の場合は, 簡単に次の結果を得る. Sn = n X k=0 rka = a + a + a +· · · + a = (n + 1)a.

1.2 無限等比級数

先ほど導出した公式, Sn= n X k=1 rka =1− r n+1 1− r a. (r6= 1) 1

(2)

において, n→ ∞とすることにより,無限等比級数P∞_k=1rk_a_{の値が次のように分かる}_. ∞ X k=1 rka =    1 1− ra (|r| < 1) ∞ (|r| ≥ 1) すなわち,|r| < 1のとき(rn+1がn→ ∞でrn+1→ 0となる)無限等比級数は和を持ち,値が₁_−r1 aとなる. 特に,|r| < 1の時の次の無限級数（幾何級数） ∞ X k=0 rk は, a = 1の場合と考えられるので, ∞ X k=0 rk= 1 1− r. という結果を得る. (この結果も非常に重要である.)

2 等差

×

等比型の無限級数

たとえば次の無限級数は, (等差数列)×(等比数列)の形をしている. ∞ X k=1 krk= ∞ X k=1 k· rk= 1· r + 2 · r2+· · · + n · rn+· · · このような形の無限級数は,等比級数と似た方法で値を求めることができるので,頭に入れておこう. 1. Sn= 1· r + 2 · r2+· · · + n · rn から,両辺に公比rをかけた次の和を辺々引く. rSn= 1· r2+ 2· r3+· · · + n · rn+1 結果として次が得られる. (1− r)Sn= (r + r2+ r3+· · · + rn) | {z } (∗) −nrn+1_. 2. ところで, (∗)の部分は有限な等比級数なので,等比数列(初項r, 公比r)の和の公式より, (1− r)Sn= 1− rn 1− r r− nr n+1_. 両辺を1− rで割れば, Sn= 1− rn (1− r)2r− nrn+1 1− r. 3. n→ ∞とすれば, ∞ X k=1 krkの値を得られる. このようなパターンの無限級数の例 ∞ X k=1 k µ 2 3 ¶k , ∞ X k=1 k 2k など. 2

基本的な級数の計算まとめ

基本的な無限級数の計算

等比級数,

等比

×

等差型の級数

2011

年

7

月

27

日

1

等比数列の和

1.1

等比級数

1.2

無限等比級数

2

等差

×

等比 型の無限級数

等比型の無限級数