Multiplier
ideal
の標数
$0$
の手法と標数
$p$
の手法及びその応用
東北大学・大学院理学研究科
原伸生
(Nobuo Hara)
Mathematical Institute, Tohoku
University
$0$
.
序に代えて
本稿は,
2006
年
8
月
28
日
-9
月
1
日に行われた短期共同研究集会
“Arc
Spaces and
Multiplier Ideals”
における筆者の二つの講演のノートを
,
香川和広氏
(
岡山大学大学
院自然科学研究科
)
がまとめて下さったものである. このような板書の筆記という形
で記録が残ることは望むところではないが
,
講演内容についての多少の注意と参考
文献を添えるにとどめ
,
後は編者に下駄を預けることとする
.
本稿の標題には『標数
$0$の手法と標数
$P$の手法』
とあるが,
講演では『標数
$p$』の
部分の解説に重きを置いた
.
標数
$0$における乗数イデアル
(multiplier ideal)
の手法
は,
90
年代中頃にはその様々な応用と共に代数幾何でもよく知られるところとなり
[E],
2000
年代に入り
[La]
で理論としても確立されたと言ってもよいだろう
. 一方
,
80 年代後半に,
Hochster-Huneke
[HH]
による密着閉包
(tight closure)
の理論におい
て正標数の可換環の判定イデアル
(test ideal)
なる概念が定義されていたが
,
90 年代
後半になって
,
標数
$P$への還元を通してある種の乗数イデアルと判定イデアルとの
対応が示された
([H1], [S2]).
ここで,
『ある種の乗数イデアル』 と書いたのは
,
これ
が単位イデアルに付随して定まるごく特殊なものだったからであるが,
いずれにせ
よこれが事の発端であった
. その後
,
[HY]
において
,
一般のイデアル
$\mathfrak{a}\neq 0$と実係数
$t\geq 0$
(本稿の記号法では実指数という方が正確だが)
に付随する乗数イデアル
$\mathcal{J}(a^{t})$に対応するものとして
,
判定イデアルの一般化
$\tau(\mathfrak{a}^{t})$を定義してみると,
これがこと
のほか『標数
$P$の乗数イデアル』
と呼ぶに足るものであることがわかってきた
.
標数
$P$の乗数イデアル
$\tau(a^{t})$は, 密着閉包の一般化である
$\mathfrak{a}^{t}$-密着閉包の零化イデ
アルとして定義される
. すなわち,
その定義において本質的なのは標数
$P$の環のプロ
ベニウス写像であって
,
特異点解消を用いて定義される標数
$0$の乗数イデアルとの見
かけ上の共通点は全然ない
. にもかかわらず
,
イデアル
$\tau(a^{t})$は
$\mathcal{J}(\mathfrak{a}^{t})$と同様の諸々
の局所的性質をみたし
,
また
,
両者は標数
$0$から標数
$P\gg O$
への還元により対応して
いる
.
この対応は
,
小さい標数 $p>0$
では崩れることもあり得るのだが
,
上記の局所
的性質の多くはこうした『病的な』状況でも成り立つ
.
例えば
,
Skoda
の定理という
のは
,
$a$が
$n$個の元で生成される
(
節減をもつ
)
イデアルならば
$\mathcal{J}(\mathfrak{a}^{n})=\mathcal{J}(a^{n-1})a$が
成り立っという主張であり,
その標数
$0$における証明には標数
$p$では成り立たない消
滅定理が用いられるが
,
標数
$p$では消滅定理を用いずにイデアルのフロベニウス巾
の簡単な考察だけで
$\tau(a^{n})=\tau(a^{n-1})\mathfrak{a}$が示せてしまう
[HT].
1 回目の講演では,
この
辺りについて解説したつもりである
.
正標数の
Skoda
型定理を射影多様体
$X$
上の豊富な直線束
$L$に付随する次数環
$R(X, L)$
に適用することにより,
次の
Smith
の結果
[S1]
の別証明が得られている
[H2]:
$X$
を正標数の非特異射影多様体
,
$L$を
$X$
上の大域生成的な豊富直線束とするとき,
随
伴東
$\omega_{X}\otimes L^{\otimes\dim X+1}$も大域生成的である
.
これは藤田予想の最も簡単な場合で
,
標
数
$0$では
Mumford
の補題と小平消滅定理から自明であるが,
これは言うまでもなく
$L$が大域生成という仮定が強すぎるのである. 数年前この議論を再検討したところ,
標数 $P>0$ においても
,
随伴東を階数〆
$e$のベクトル束
$L^{\emptyset\dim X+1}\otimes F_{*}^{e}\omega_{X}$で置き換
この第
3
の証明は
2
回目の講演で紹介したが
,
そのポイントは
,
フロベニウス写像に
よる引き戻しにより
$L$の豊富性を拡大して小平消滅定理の代わりに
Serre
消滅定理
を使うということであり, これを可能にしているのが非特異多様体
$X$
の『
F-
特異点』
に関する良い性質
(
$F$-
純性
/F-purity)
である
.
Smith
の定理のあまりにも簡単な別証明ができてしまったので
,
$L$が大域生成でな
い場合一例えば,
正標数曲面の
Reider
型定理一もこの方法で何とかならないかと
期待したいところだが,
ここで遂に
$F$-
特異点の病理が大きな障害となって発現した
.
2 回目の講演の後半はこの失敗の報告に終始したわけだが,
いささか舌足らずの気味
もあったので多少補足しておくことにする
. 以下の議論において
, [HW]
で定義され
た組の
$F$-
特異点
(
強
$F$-正則,
$F$-
純
)
が組の特異点
(
対数的端末
/klt, 対数的標準/lc)
の
標数
$P$における類似概念であることに注意されたい
.
観察
.
$X$
を標数
$p>0$ の非特異射影曲面
,
$x\in X$
を閉点とし
,
$X$
上の直線束
$L$
が
,
$L^{2}>4$
かっ
$x\in C$
なる任意の曲線
$C\subset X$
に対し
$LC\geq 2$
をみたすとする
.
すると,
$D\sim QtL(0<t<1)$
かつ
$ord_{x}D=2$
なる有効
$\mathbb{Q}$-
因子
$D$
がとれて
,
組
(X,
$D$
)
の
$x$に
おける
$F$-
純閾値
$c=fpt_{x}(X, D)\leq 1ct_{x}(X, D)\leq 1$
となる
. このとき
,
組
(X,
$cD$
),
は
$x$において
$F$-
純だが強
$F$-正則ではない.
ここで,
$\{x\}$
が組
(X,
$cD$
)
の
$F$-純中心
(center
of F-purity)
$\Leftrightarrow\forall\epsilon>0$
と
$x$
を通る一般の有効因子
$D’$
に対し,
(X,
$cD+\epsilon D’$
)
が
$x$で
$F$-
純でな
\iota \,
と定義してみる
. これは勿論
,
対数的標準中心
(center
of log
canonical
singularities)
の概念を模倣したものである
.
このとき
,
命題
.
上の状況で
,
$\{x\}$
が組
(X,
$cD$
)
の
$F$-純中心ならば,
$x\not\in Bs|K_{X}+L|$
.
ここまではまず妥当な結論であるが
, 問題は,
$x$が組
(X,
$cD$
)
の孤立した非強
F-正則点
(
すなわち
,
$\tau(X,$
$cD)_{x}\subset O_{X,x}$
の零点が
$x$のみ
) にもかかわらず,
$\{x\}$
が組
(X,
$cD$
)
の
$F$-
純中心でな
$Aa$という状況が起こり得ることである
.
局所的な例として
,
$p=chark\equiv 3(mod 4)$
のとき
,
Spec
$k[[x, y]]$
上
$xy(x-y)(x+y)=0$
で定義される
因子
$D$
を考えると,
$fpt(X, D)=(2p-1)/2p<1ct(X, D)=1/2$
で
,
$\tau(X, \frac{1}{2}D)=m$
にもかかわらず,
組
(X,
$\frac{1}{2}D$)
の最小
$F$-
純中心が
$D$
自身というべき状況になっている
.
一般に
, 最小の対数的標準中心は正規であることと比較すると,
これは非常に病的な
状況といえるだろう
.
組
(X,
$cD$
)
の
$F$-
純中心の振舞いが
wild
であるのに対して
,
$D=0$
の場合には
Aberbach-Enescu [AE]
が
,
F-純な局所環
$R$
に対し
,
$X=$
Spec
$R$
(
と
$D=0$
の組
)
の
$F$-純中心の定義イデアルに相当するイデアル
$\mathcal{P}(R)\subset R$を定義して,
$\mathcal{P}(R)$が素イ
$N(\int|+|\backslash P\}tertdea|\#)\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\backslash }R04)\Rightarrow\ranglea*t$
$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\backslash }R\mathcal{P}\ell)\neq\backslash \rangle ac\ll\alpha r_{C^{\backslash \backslash }}^{\llcorner}|R$
I
$kkAgA_{6-\Re}^{t\}\cdot \mathfrak{B}\S^{\backslash }ffl\%\#^{\backslash }$
$\hslash_{\backslash }\not\in\#$A
$(Nh_{0}H\alpha \mathfrak{w})$
$GmA\mathfrak{u}attS_{C}\Uparrow oo1$
A
$\Sigma_{C1}^{\backslash }enoe$,
Tohok
$u_{\mathfrak{n}_{1}^{\backslash }vets_{\mathfrak{l}}^{\backslash }\dagger\gamma}$$(ckr. 0)$
X
$\backslash \backslash$normql
$\mathbb{Q}-60re\wedge ste\grave{\iota}\eta$
varlety
1
$k$
, ckqr
$\ltimes=0$
$\alpha\underline{c}Ox$:
$|\backslash d_{lQ}\iota$skea\dagger
A
$\backslash \backslash Yarrow X$:
$1_{0}@reso\mathfrak{l}_{1A}t\grave{\iota}0\mathfrak{n}$of
$(X,\alpha 1$
$\alpha\cdot O_{Y}\simeq \mathcal{O}_{Y}(-z)$
$Exc(J\sqrt{})\cup$
Supp(Z):
$SNCd\iota v\backslash$,
$+\in \mathbb{R}_{-0}$
$\alpha^{\{})\backslash =\bigwedge_{*\mathcal{O}_{Y}(k_{Y}}\ulcorner m^{14^{*}K_{\kappa}-}$
七
.
$z^{\urcorner})\underline{c}0_{x}$$K_{Y/X}$
$AE\mu’$
.
$\textcircled{0} k(01^{t})$:
$1\mathfrak{n}k_{\lambda^{V\propto}}||\gamma c|osd\iota\backslash 8ea|$ $\underline{C}$ $\mathcal{O}_{X}$
$Olh\underline{c}\mathfrak{a}\Rightarrowb^{t})\underline{c}\#(\sigma\iota^{\{})$
.
$b^{\underline{c}}o\backslash \prime tt\prime r\epsilon i\mathfrak{u}ct_{\grave{t}0}\mathfrak{n}’ d\prod$
$\Rightarrow$
$k(b^{k})=\theta\cdot(\mathfrak{a}^{k})$
.
$(S\overline{b}-\overline{U(}r\in\theta_{-}v_{\mathbb{N}1}0I^{0+r_{-}}-\mathfrak{a}^{r_{\mathfrak{b}^{\eta}}}(\forall\eta\succeq 0))$$O3\{\leq\{’-->$
$a(01^{+})\supseteq\theta\cdot(0t^{+}’)$
.
$\cross=S_{P}e_{C}R$
$\mathfrak{a}=(\mathfrak{r}_{\iota^{t\backslash },}\cdot \text{叉_{}A})$
欧
$R$
$t^{9b}\cdot bAe\backslash e\mathfrak{m}e\mathbb{R}$
.
$\Rightarrow$ $\int-($
(
$\text{又^{父}}b$七
)
$=$
$\beta(\mathfrak{N}^{A\sim 1}h^{\{})\cdot 01$.
$AC_{0}$
.
$(br|a\mathfrak{n}\sigma\backslash ,0\mathfrak{n}-Skoda’s\phi \mathfrak{m}$
.
$)$
$X_{\backslash }^{1_{0}+er\mathfrak{m}^{\backslash }}|\S tY\backslash a|$)
di
as
qbove
$–>\overline{Ul^{n}}\underline{c}$
の偽
-
父
$+1$
$(\forall\eta\geq 0)$
$\backslash \backslash \overline{m^{\eta}}\subseteq$
$\#(0^{T}\iota)=\#(\mathfrak{a}^{\eta})--\sigma\iota^{n-\lambda+1}\gamma(\pi^{A\sim t})\underline{C}\mathfrak{a}^{\eta\sim\lambda\star 1}$
.
’
成
$\underline{P+0\}Sk_{0}da}’\backslash$
$\mathcal{M}|Yarrow\cross$
’
$(08\aleph S0(.$
$0\#$
$(x,$
$\mathfrak{a})$$\mathfrak{a}\cdot 0_{Y}=\alpha(-Z_{\iota})$
$e\backslash \overline{\sim}|\cdot\bigoplus_{1}^{X}q\cdot e_{\grave{t}}$ $\cong \mathcal{O}_{Y}^{\omega}\underline{(\kappa_{\iota},\cdot\backslash \cdot\prime \mathfrak{r}_{A})}\alpha(-Z_{*})\backslash 1$
$Assoc\{a\}ed$
Kos
$Z1\lambda|C0\mathfrak{m}Plex$
$0arrow(\wedge^{t}\in 1\otimes O_{Y}(\#z)arrow\cdots$
$arrow(\wedge e)\otimes O_{Y}(2.Z)aarrow C@O_{Y}(Z)arrow \mathcal{O}_{Y}arrow 0(ex)$
$\otimes \mathcal{O}_{Y}(\ulcorner K_{Y/X}^{\urcorner}-A\cdot\sum)$
$aMbre\alpha k$
up
$\dagger h$$sAor\}\mathfrak{e}xac\cdot\}s\Re utY\kappa\epsilon s$
$H^{\grave{t}}$
(
$\gamma$
,OY
$t^{\ulcorner}K_{Y/X}^{1}-\grave{l}\cdot E$)
$–0$
$(\dagger>0, l\geq 0)$
$H^{0}(\ulcorner/x^{1}arrow H^{0}(Y, O_{Y}(Kv/\chi-AZ))arrow 0$
$k(o\iota^{k\sim 1})^{\oplus A}||\infty^{sur}*(\alpha^{l})||$
.
$(\tau_{\iota},\cdots’\prime \mathfrak{r}_{\lambda})$
:.
$k( \mathfrak{a}^{A})=(K_{t,\prime}\cdots \mathcal{R}_{A})\oint\cdot(0t^{\mathfrak{g}-1})--\alpha\cdot k(\alpha^{A\sim 1})$.
$//$
$\ovalbox{\tt\small REJECT} L$:
ample
$9^{1}\cdot@^{e\mathfrak{n}}$
.
$t\mathfrak{n}v\mathfrak{e}M\mathfrak{b}\backslash esA\Re f\theta\eta X$$ff_{\backslash }|cok\mathfrak{e}re\mathfrak{n}+skea+$
$H^{\grave{\iota}}(K, *\emptyset\llcorner^{\sim\grave{\iota}})\simeq 0$
$(\grave{|}\succ 0)$
$\Rightarrow\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash 8^{e\mathfrak{n}}\cdot by3^{1_{0}ba\backslash }secb^{\backslash }o\eta\S$
.
(
$M\mathfrak{u}\mathfrak{m}^{-}ford’s$levame)
$O_{\backslash }\backslash \backslash V\overline{\sim}E^{0}(X, \llcorner),$
$\gamma_{\Phi}0_{X}-*L$
’
$sur_{1^{\backslash }}$
.
$–>|\langle osz\mathfrak{u}1se\mathfrak{q}$
.
$1S\backslash$ $ex\mathfrak{a}c+$.
$\Rightarrow H^{0}(X, \yen)$
$\Phi H^{0}(K,$
$L^{m}$)
$arrow H^{0}(X,$
$\#\Phi\llcorner^{m})$
$(\forall m\geq 0)$
.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$@
$L^{\mathfrak{m}}\backslash 8^{1}\cdot 3^{e\backslash }$
.
)
$\mathfrak{m}>>0$
$–>H^{0}$
(
$X,$
$\neq\Phi\llcorner$鴇
)
$\emptyset \mathcal{O}_{X}arrow\#$
の
$L^{w}$
$H^{0}(X, *)\Phi H^{Q}(X, L^{m})\emptyset 0_{X}\phiarrow H^{0}(K,$
$\#$
)
$\emptyset L^{m}$//
$R’\backslash \uparrow \mathfrak{n}te_{@^{r\propto(}}d_{0}\mathfrak{m}a\grave{\iota}\mathfrak{n}$ $\supseteq$
$F_{P}$
(not
$\mathfrak{n}ec.$hormal
$\mathbb{Q}\sim Q_{0\Gamma}.)$$F_{R}\backslash Rarrow Rw$
$Frobe\mathfrak{n}\backslash \Downarrow s\backslash$ $\mathfrak{m}ap$$\mathfrak{T}-p\mathcal{K}^{p}$
$F_{R}^{e}\backslash Rarrow R$
)
$\backslash$$K\mapsto X^{f}$
$(\#’=\varphi^{e})$
11
$\circ fl1$
$R\ovalbox{\tt\small REJECT}\subset_{\geq}R^{1\prime\iota}$;
$x_{*}-\mathcal{R}$
$H$
,
$R-\mathfrak{m}oi_{\mathfrak{U}}(e$$F_{M}^{e}=F_{R}^{e_{6}}1_{M}\backslash M=R\Phi_{R}Marrow R_{\Psi}*\{\wedge=:F^{e}(M)$
$Carrow$
$\{\emptyset \mathcal{K}=:K^{t}$N
$c,$
$\mu\dot{\iota}\Re \mathfrak{b}mdu\mathfrak{l}e$$N_{M}^{[\J}\backslash --1\mathfrak{m}(F^{e}(N)arrow F^{q}(M1)CF^{e}(\cup)$
$\iota cR\iota\backslash \iota 4ea1$
$\Rightarrow\iota^{L}’\backslash =I_{R}^{C 1}=(a^{\varphi}|a\epsilon 1)R$
$CR$
Def.
$0\neq\alpha CR$
,
$t\in \mathbb{R}\geq 0$
$N\underline{c}H$
,
S‘bm0dU|
紀
$N_{\aleph}^{s\phi_{\underline{C}}}M$
:
$o(\{-+{}^{\grave{t}}\lambdah+c(osuno\}N\backslash \eta\backslash MtS\backslash d\#b_{Y}$
,
$Z^{\epsilon}N_{\aleph}^{S01^{*}}\Leftrightarrow 0\neq aC\epsilon R$
$S$
え.
$c0\iota z\ulcorner N_{M}^{T 1}$
$1\mathfrak{n}$$F^{e}(M)$
$+or\propto|\backslash t-=P^{e}>>0$
.
1
欧
$R$
!
$\backslash |ieq($$Z\epsilon I^{\text{
冬砧
}}\Leftrightarrow 0\#^{a}C\epsilon R$
駄
$\circ(\varpi^{r_{\text{帆^{、}}}}z$魯忌
$1^{[\text{
笥
}}hr\forallapprox P^{e}>>0$
$0CM$
$\not\leq\in 0_{M}^{*\sigma\iota\star}\Leftrightarrow 0\neq 3C\epsilon Rs_{\backslash }t$
.
$c\Re^{\ulcorner}{\urcorner E^{*}=0$
$\backslash |\eta F^{\epsilon}(M)$
$k\forall_{t>>0}$
.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$
$Ut=R$
$(or+=0)$
$\Rightarrow\iota^{*R}=T^{*}(\supseteq 1)_{\iota}’+\backslash \backslash s^{h+C}\}_{0S\mathfrak{U}\aleph}[H_{0C}kster^{-}$
Hwnekel
$R^{\backslash }\backslash F- re_{\psi}\mathfrak{l}\alpha r\ovalbox{\tt\small REJECT}- L\approx 1^{*}$
も
,
$\forall_{I^{\underline{c}}R}$ $R_{1}’\Re^{(\lambda\backslash \alpha r}$$–>$
$R\backslash \backslash$$Farrow w^{\mathfrak{l}\propto 1-}$
$\Rightarrow$ $R\backslash \backslash \mathfrak{n}ov\mathfrak{m}\alpha|$
&
$c_{oke\mathfrak{n}\sim M\alpha\omega \mathfrak{u}\mathfrak{l}a\gamma}$
’
$\aleph_{\aleph}^{X0t^{t}}\gamma_{N}$
$\cong$ $o_{\psi_{N}}^{*\alpha}t$
.
$\Phi N_{\backslash t}^{*\phi g}\underline{C}N_{ti_{\dot{\mu}}}^{*\mathfrak{a}\star}b$
.
$b\underline{c}0\backslash$ $\Rightarrow$ $N_{\dagger\wedge}^{*6^{t}}\supseteq\aleph_{\aleph}^{*\alpha^{t}}$
.
$h\subseteq\varpi|r<d_{4C}b^{\backslash }o\mathfrak{n}\theta \mathfrak{a}$ $\Rightarrow$
$N_{M}^{*6^{t}}--N_{M}^{*m^{t}}$
.
$O\ni\{<\sim\{J$
$\Rightarrow$ $N_{M}^{*m1}\underline{c}$ $N_{\aleph}^{*\sigma\iota^{t’}}$.
$Def-T*\mathfrak{m}_{-}\backslash (Ge\mathfrak{n}ev\cdot\alpha 1\uparrow zed\uparrow es\}\backslash |\sqrt q\mathfrak{g}|)$
$\in=\oplus$
$E_{R}(Vw)$
$n_{G}m\sim*R$
$c(\sigma_{(t})=$
$\cap A\mathfrak{n}\eta_{R}(0_{t\{}^{*\sigma_{t}\star})$$=$
$\cap(1_{R}^{\backslash }\backslash 1^{*\mathfrak{a}+})$
$\underline{C}R$
$M’\prime f.8.$
$\sim\tau(\mathfrak{a}^{t}):=A_{\mathfrak{n}\mathfrak{n}_{R}}(0_{R}^{*\mathfrak{a}^{t}})$ $\underline{c}R$
$T\Delta L$
$R\backslash \backslash \mathfrak{n}or\mathfrak{m}a|\mathbb{Q}-Q_{0\Gamma}$.
$\Rightarrow$$\tau(\alpha^{+})--\sim\tau(\mathfrak{a}^{+})$
.
$b\alpha s\backslash c$
ffi
$ert\iota es\backslash$
.
1
$\prime c(o({}^{t}t)$
$\supseteq t\cdot\tau(\mathfrak{a}^{t})$.
$Olb\underline{c}o\iota$
$\Rightarrow\prime c(t^{\{})\underline{c}\tau(\sigma\iota^{t})$
.
$b^{\underline{c}}\mathfrak{a}\backslash r\mathfrak{e}duc\}_{\grave{|}0\eta}0\#\mathfrak{N}$ $\Rightarrow$
$c(\mathfrak{b}^{t})=c(\sigma(+)$
.
$\textcircled{3} t\leq t^{\gamma}-->\tau(\mathfrak{a}^{t})\supseteq$
-c
$(\alpha^{t’})$
.
$\sigma\iota=(X_{I,},..X_{\lambda})’$
$\Rightarrow$$\tau(\mathfrak{a}^{p}b^{t})=\tau(0\iota^{A-1}b^{t})\cdot 01$
.
$R$
$R$
,
$F^{-oe\mathfrak{z}}u\mathfrak{l}\alpha r$ $\Rightarrow$ $\overline{o\iota^{n}}\underline{c}$ $\mathfrak{a}^{\eta-A+1}$$(\forall\eta\geq 0)$
$+\sigma\}SkAkr\subset$
$(\begin{array}{lllllllllll}\mathfrak{a}^{u} b_{Y}\S^{e\wedge} \mathfrak{m}o\mathfrak{n}om\backslash \iota a|_{S} |\kappa \chi_{1_{\prime}} 4\cdot \text{ノ }r_{l} *de_{@} lambda\Rightarrow \mathcal{K}_{|}^{\text{魯}}\backslash x(-) \end{array})$
$Z\epsilon 0_{H}^{*\sigma\iota^{A}}rightarrow E\epsilon M$
$0\neq\ni_{C^{\epsilon}}R$
嘗天
.
$c\alpha^{u_{Z^{8}=0}}\sigma\iota[\sigma$
(
」
$\llcorner.$
$\Leftrightarrow 0\neq\exists c\in R$
s
大
.
$c\sigma\iota^{w-t1}(\mathcal{K}_{\grave{t}}ZI^{t}=0$ $(\forall_{t\overline{\sim}\mathfrak{l}_{2}}$$\Leftrightarrow 0\#a_{C^{e}R}s_{\backslash }tt$
$\mathcal{R}_{\mathfrak{i}}Z\epsilon 0_{M}^{*\alpha^{A-l}}$$\Leftrightarrow$ $z\epsilon o_{H_{t\}^{\backslash }}^{*\mathfrak{a}^{A-t}}\cdot\sigma\iota$
$\Rightarrow$
$-c(\mathfrak{a}^{R})=$
口
$(0(A-\iota)\cdot\sigma($
.
$//$
$T\Delta_{L}(H$
,
$Yosh\grave{\backslash }A\alpha)$$F\backslash \iota\cross$ $\{\xi \mathbb{R}\geq 0$
$R^{\backslash }\cdot f\backslash 0\triangleright\Uparrow|a($ $\alpha-G_{0}re\mathfrak{n}ste_{1h}^{\backslash }$
$ess$
.
$ft_{\iota \mathfrak{n}|}\backslash \backslash \}Q\}_{YP^{e}}/klA_{0}\uparrow\cdot k=0$$0\neq\sigma\backslash$
欧
$R$
$->$
$R_{9}l0l_{P}$
,
$(k\alpha^{t})$
$)_{r}$ $\backslash \backslash$匝
$d$.
$\mathfrak{m}odP$$s\varphi_{9}\overline{\sim}p_{0}(+)$
$s_{\backslash }t$
.
$\forall\varphi\geq P_{0}$
,
$\tau((o\iota_{P})^{t})=(P(o\iota^{k}))_{F}$
$\underline{R\mathfrak{m}k}$ $C\underline{c}\ovalbox{\tt\small REJECT} k$
$\iota \mathfrak{n}\backslash$ $\wp m\mathfrak{w}|$
$g_{e}$
$R_{\iota}^{1}\backslash oca|,$$F^{\sim}\ltimes\S$
.
$(\geq-\subset(R)=R)$
伏欧
$R$
$+_{P}+(0|)\overline{\sim}S$
斌
$P(+\in \mathbb{R}\approx 0|\tau(\sigma\iota^{t})=R\}$
$(\alpha’\backslash P^{ro}P^{tb}$
$–>ft(o1,)\in R)$
$Rem_{\tau}$
$+_{p\neq}(01_{P})\underline{<}Ac\{(\mathfrak{a})$
$\mathfrak{l}$寡
$\backslash$
\mbox{\boldmath$\lambda$}!{
寡
\epsilon
$\mathfrak{g}|$.
$M\mathfrak{u}|+\backslash |P\}_{1}^{\backslash }er\backslash |dea\}0)E_{1\backslash }R00)\mp\backslash \}a_{L}$
標軟十
$0$)
$\neq$法
$L$
その応用
I
東
r
区六尊大学院・邊学禰略
i
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$+“
原
‘
伸生
(
$N\mathbb{L}ko$H\mbox{\boldmath$\lambda$}r
の
$G\mathfrak{w}d\mathfrak{u}a\cdot\}\mathfrak{e}$
School
$\sigma\theta$ScIence,
‘Tohoku
$\cup^{\backslash }\mathfrak{n}|vers^{\backslash }|\}_{\int}$$TA\mathfrak{m}R\backslash$
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$\otimesrightarrow Gor$
.
$\int \mathbb{R}$$0\neq \mathfrak{a}\underline{C}R$
,
$t\in \mathbb{R}\geq 0$
$\exists\varphi_{0}=\mathcal{P}_{0}(\{)$
)
$\forall\rho\geq P_{0}$
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.
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,
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$\overline{a\backslash sp1_{\dot{1}}\aleph\iota \mathfrak{n}_{8}\alpha s}0_{X^{-}}mA|_{e}k_{0}\mathfrak{w}\mathfrak{n}$
.
\copyright
$(X,D)\backslash \backslash sb\mathfrak{v}\mathfrak{n}q^{1Y}F-te_{8^{\mathfrak{U}}}|ar$$g0\#\forall C\in R=0_{X}$
,
$\exists*=P^{e}(\Leftrightarrow\forall_{k>>0)}$
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,
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.
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字
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※
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貌
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,
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$\backslash \dot{X_{\backslash }}’\Uparrow 0|k+or\mathfrak{e}\backslash >0$
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$\underline{0bs}$
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,
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$\cross\backslash s\mathfrak{m}o\sigma^{\phi}suhc\mathfrak{e}$ $\llcorner^{\forall}C\geq l$
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$Darrow cD$
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$( \mathfrak{m}_{1^{\backslash }}\eta\uparrow \mathfrak{m}a\backslash CQ\mathfrak{n}*rof4cs\iota \mathfrak{n}_{@}\backslash . 0+(X, \frac{1}{1}D)\alpha\cdot\} \mathcal{K})=\int_{\mathcal{K}}\}$
$\Leftrightarrow(K,\pm D+\not\in,D^{\nearrow})$
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,
$\forall\epsilon>0$,
$X^{\epsilon}D’@^{e\aleph r\propto \mathfrak{l}}$$ckar_{\backslash }P_{-}$
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,
$f_{P}t_{x}(X,$
$D)=\perp 3$
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$\epsilon\leq\frac{2}{3}$$(\mathfrak{m}\grave{\iota}n_{1}^{\backslash }\mathfrak{m}a|oe\mathfrak{n}+er\sigma\not\in (\chi,\perp 3D\rangle a\star X)$
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$*F\sim pur\dotplus J$
$u\mathfrak{m}\backslash \backslash \mathfrak{n}\grave{\iota}\mathfrak{m}a\backslash c\mathfrak{e}\mathfrak{n}kro\dagger F^{-}\mu r|\backslash t\gamma"\kappa\underline{D=0}$ $t_{e}k\mathfrak{a}VQSwe(\backslash \int$
’
$W*-\sim P^{e}\}$
$lt\mathbb{P}\backslash |S+kd\mathfrak{e}f_{1}\mathfrak{n}|n_{8}|\backslash \ \alpha 1ofm_{1}^{\backslash }\mathfrak{n}\grave{|}$
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$e\mathfrak{n}ie\vdash 0\}F^{-r^{rv^{\backslash }}}|\{y$”
$\ovalbox{\tt\small REJECT} T$
