「空気でっぽう」における前玉の運動 : 理論式と数値計算法の確立

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(1)Title. 「空気でっぽう」における前玉の運動 : 理論式と数値計算法の確立. Author(s). 高橋, 成和. Citation. 北海道教育大学紀要. 教育科学編, 52(1): 103-117. Issue Date. 2001-09. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/252. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 北海道教育大学紀要（教育科学編）第５２巻第１号ｉぢｏｆＥｄｕｃａ錠ｏｎ（Ｅｄｕｃａ錠ｏｎ） ▽ＯＬ５２ｌｏｆＨｏ主出血ｄｏＵＤｉＪｏｕｎｏａｖｅｒｓ．１，Ｎｏ. 平成１３年９月Ｓｅｐｔｅｂｅｒ１ｍＬ，２００１. 「空気でっぽう」における前玉の運動－理論式と数値計算法の確立－. 高. 橋. 成. 和. 北海道教育大学函館校理科教育研究室. がある１１この教具の一つに「空気でっぽう」が. の運動に大別して検討するのが妥当である．このとき，前玉が筒先を発射する速さを①と②の仲立ちにする‐ なぜならば，前玉に作用する力の種類が， ①では筒内空気の圧力と筒からの摩擦力であ. 取り上げられてきた．子どもに空気の弾性を認識. り， ②では重力と空気抵抗力であって，異なる力. させる指導で，この教具を使用することについて. の作用に基づく運動の計算になるからである‐ 本論においては，筒内における前玉の運動を取. １. はじめに. 小学校理科に「空気の存在と弾性」を扱う単元. は賛否両論がある‐ 授業実践においても、前玉が. ）これで空気の性質を議論す飛ぶ理由の追求２～３，）製作活動と飛ばず工夫ることの批判と改善４～５，～６７）などを行なった，事例が見受けられへの誘いる‐ しかし空気でっぽうは，明治時代から現在に０）さ至るまで，教科書に登場し続けている８～１ ‐ らに遡ると，江戸時代初期（１６４６年＝正保３年）に沢）で取り上げているこ庵和尚が「東海夜話」１１ ‐. れは，小児が竹の筒に噛み濡らした紙の前玉と後玉を詰めた鉄砲について，前玉が飛ぶ理由を両者の間に「気」が充ちているからだと説いている．. 現在この玩具の前玉が筒先を発射する原理は，後玉との間にある筒内空気柱の圧力と，前玉が筒から受ける摩擦力の兼ね合いにより説明される．. り上げる‐ 今回は，この運動を，まず解析による. 計算方法で解き明かす‐ この遂行における問題点を指摘し，次にこれを回避するための簡便な計算法を試み，解析による計算結果と比較して，その方法が妥当であることを確認する．この結果に基づき， ①筒や玉の状況から生じる各種因子の変動による運動への影響を調べ，実測の結果と照合する， ②この照合の結果は，定性的な一致を見るが，現実において前玉は力オス的な運動を示す‐ ③この原因となる機構を追究し， ④ 最後に前玉の飛距離についての検討を加える‐ ２. 筒内における玉の運動に関する仮説と記号. ）は少なくしかし，このことに関する文献１２～１４，. この中での理論的扱いは部分的であったり，現実味に欠けている．そこで，前玉の運動と各種因子との関係を検討し，小学校理科を指導する上で参考になる「資料の提供」を目論んだ‐ すなわち，. この運動に関する幾つかの因子と前玉の飛距離の関係を，また指導者が塑…む関係を「探る方法」を示したい‐ ′. この理論の構成においては，前玉が①筒内にあり，装填位置から筒先を発射するまでと， ②筒先を発射したあとに空中を飛び着地するまでの二つ. 筒は一様な円形の中空断面をもつ直管であり，その長さを乙，断面積をＳとする．この軸に沿っ. て玉の位置をきめ，手元側の端を０，先端を上とおく．前玉と後玉の長さは共にｄであるとし，前. 玉の位置ヱは，その後面における位置で示すことにする。前玉の，装填位置ｘ＝ｘｏから筒の先端ｘ＝乙に至る発射までの運動は，図１と図２に示すよう. であると仮定できる．前者は前玉の前面が筒先に達するまでのｘｏ≦ ズ≦ 上一歳こおける，後者は. １０３.

(3) . 高橋. 筒ｊ爾Ｏ手. ）装填位置Ｘ。（．. ＾時間. 鷺. 玉移. 成和. １訂ＳＴ・猟. 糞＋÷ＰＡ状気圧［１］. ｝ｄ伍の長さ・ー. 譲ｏ. ＶＲ. ２鵬Ｓ…. ［２］. 臓. ‘. 筋Ｅの滋）. ｌ. 鷲玉噸ｔ婚. ｔ. ，. 、. 位置. ｘ. ｉＮＴＨＳＴにＫ. ［４］. ｆ’ 働摩擦が義Ｖ÷Ｔ. ‐. ＳＴＩＣＫ. れ. ！. １. 速さ）Ｖ（く. ２１ｍＳＴ１撮. ＼. ］ ≠〒欝（静大最. 』藁. ＼灘［５］、. 筒先に到達. １鈷ｓＴ，甑. 図１前玉が筒先に達するまでの，前玉と後玉の運動．一定の速さで後玉を押し進めると前，玉は滑走と固着を繰り返す‐ 図は左から右へ位置上から下へ時間経過を表す ‐ ，. 〈筒先でＳＴＩＣＫしないとき〉Ｌ. ＜筒先でＳＴＩＣＫするとき〉. ＶＴ. 議茅動発射. ＫＣ. ［７］. ＶＬ醗射の滋）. 力止摩擦大静最擦力摩動ＶＬ焼射の速さ）. 発射. ［８］. 筒先端Ｌ図２前玉が筒先に達した後の，前玉と後玉の運動‐. 前玉が筒先を抜け出て行く乙－ｄ≦ ズ≦Ｌにおける状態を示してある．これらの図は左から右へ，. １０４. 筒の手元側から筒先への位置を，上から下へ時間経過に沿って間欠的に描いた．さらに，理論構成.

(4) . 「空気でっぽう」における前玉の運動－理論式と数値計算法の確立－. で必要となる主要な状態には，各図の右側に番号. ろん第１回目や第２回目などの固着を見る前に，. ｛１］～［８］をつけてある‐ まず，これらの状態について説明を加えて行こう‐. 前玉が筒先に達し発射する場合もある‐ ［５］筒先に達する前玉. １］前玉を装填する［最初に前玉をｘ＝ｘｏに装填する‐ 大気圧は一. ）の固着を終えてからて第Ｎ回目（Ｎ＝０，１，２， … ・・. 定であり，ＰＡとする‐. 筒先ズニ乙－ｄに達したとする‐ このときの速さ. ２］後玉を装填する［. を ▽Ｔとおく‐. このようにして前玉は，滑走と固着を繰り返し. このとき前玉は動かないとし，前玉と後玉の間にある筒内空気柱（以後これを筒内空気と言う）は，. ［６］前玉が筒先で固着しないときこのとき前玉は、その÷部が筒先からはみ出すにつれ動摩擦力が減少して加速の後，筒先を時刻. 長さがｘｏからｘｏ一歳こ変わり圧縮される．ここ. 云＝Ｌのとき速さ巧で発射するとおく．このと. で筒内空気の圧力は，ＰＡ十Ｐｏになったとする‐. き動摩擦力は，前玉が任意の時刻Ｚ，位置ｘにあ. 次に後玉を筒の手元側の端にゆっくり詰める．. ［３］前玉が動きだす後玉が棒で押され，前玉へ向けて移動を開始する時刻を基準０とし，これからの経過時間をｆとする‐ また，後玉の速さは一定で法Ｒと書く‐. り，筒内に残留している部分の長さＬーｘに比例した［（乙－ ×）／引ｒであると仮定し，筒内空気の圧力をＰＡ十Ｐとおく‐. ７］前玉が筒先で固着するとき［. 後玉が彬；動を開始しても，初め前玉は筒から受ける静止摩擦力により停止している‐ しかし後玉が前玉に近づくにつれて，筒内空気の圧力は上昇. ′ 固着の位置をズ＝ｘｏ′，乙－ｄ≦ ｘｏ ≦ Ｌとおく‐ ここから前玉が，滑走を再び開始する時刻ｆ＝ｒｓ′は，筒先に残留している部分に働く最大. する‐ この圧力がＰＡ十Ｐｓに達し，大気圧ＰＡと. 静止摩擦力の大きさで定まる‐ この最大静止摩擦. の差に基づく前玉に及ぼす力Ｐｓｓが最大静止摩擦力んを超えると，前玉は筒先に向けて移動を開始する‐ この時刻をｒ＝ｆｏｓとする．このあと摩擦力はんより小さな動摩擦力ｆ′に変わる．こ. れらは一定であると仮定する‐ ［４］. 前玉の滑走. 前玉が珊１き始めると，この運動は大気圧ＰＡ，筒内空気の圧力ＰＡ十Ｐ，動摩擦力ｆ′によりきまる‐ その速さ瑳が後玉の速さ瑳Ｒを超えると前. 玉と後玉の間隔が開き，筒内空気の圧力は減少する‐ すると前玉は加速を経て減速へと変わり，ついに停止に至る‐ この時刻をｒ＝ＺｏＧとする‐ こＬＩＰ）のようにして前玉は，第１回目の移動（滑走Ｓ. （乙－ｘｏ）／引ｆｍであると仮定し，筒内力は［空気の圧力をＰＡ十Ｐ′とおく．，. 動摩擦力は，前玉が移動するにつれ筒先からのはみ出しが多くなり，減少する‐ この動摩擦力も（Ｌーズ）／位置ズ＝ズ，ｘｏ′≦ ×≦ 上において［ ′ 引ｆであると仮定する‐ この状態で前玉は運動をつづけ，時刻云＝ｒＬにおいて速さ玖Ｌで筒先を発射したとする．３. 計算式の確立図１と図２において番号［１］～［８１で示した状. 前玉が固着している間にも後玉は押し進められて，両者の間の筒内空気の圧力が再上昇する．す. 態に注目し，それらの状態における前玉に働く力や二つの状態間における筒内空気の体積と圧力の関係から計算式を導きだす‐ このとき，現実では玉と筒の間からの空気漏れがあると予想され，こ. ると前玉は，第２回目の滑走を開始し，第１回目. れが結果に影響すると考えられる．しかし，各々. と同じ運動を繰り返して第２回目の固着に至る．これ以後の前玉は，同様な運動を繰り返す‐ もち. の関係因子の作用を調べる立場から，ここでは空気漏れが無い理想化した状態で論究する‐ ［１］と［２］における筒内空気は理想気体であり. ）を行なう．と停止（固着ＳＴＩＣＫ. １０５.

(5) . 高橋. 等温変化すると仮定すれば，ボイルの法則により（凡十Ｐ）｛ｘｏ－の＝＆×。ｏ. 成和. が求まる．ここでＦＩＸＯは（）内の整数部を表している‐. となる．これから以後の筒内空気は，体積変化に伴い準静的断熱変化をすると仮定してポアソンの法則が成立するとし，その空気の比熱比をγとす. 前玉が筒先で固着をしない場合その一部が筒，先から出ている状態［６１において時刻Ｚ，位置ｘにおける筒内空気の圧力をＰＡ十Ｐとすれば［６１. る．等温変化と仮定する場合は， γ＝１とすればよい‐ 現実には，これらの中間であると想像でき. と｛２］において，. よう．後の数値計算は，両者について行なう．［２１と［３１において筒内空気の圧力は，. また【６］における運動方程式から. ）』（凡十Ｐ氏ｔ）（×ｏ－の γ ｏｓｏ. （ＰＡ十Ｐｓ）（×。‐. （凡十月（小筏『）た（凡十Ｐ）（ｘｏ－の γ ｏ. む‐× ′ 一一一ｆニあ２２ａｄ. Ｆ. であり，［３］において，前玉に働く力の釣合からＰｓ. ん. であるから，これら２式より，. である．これら３式より，前玉が滑走を開始する. 時刻は，. ｌ. γ. ｘｏ‐ｄ. ｘｏ. Ｌ‐ｘ. （）－｝凡ａ＝－ ” １：鴎ｍ ×＝ｄ三字. ｘｏ』＝評訓－（． ×。‐ｄ. １. ÷ ）（ゐ … ・）Ｓ. ｌ十如／払. となる‐ 【２］と前玉が第１回目の滑走を行なっている任. 意の時刻ｆの状態［４］における筒内空気の圧力につ〉い÷て，. （５）. となる‐. 前玉が筒先で固着し，再びｉ＝. ′ ｉｓ，ヱ＝ズｏ′. の状態［７］から滑走を開始するとき，［７］におけ. る筒内空気の圧力ＰＡ十Ｐ′と，［２１の筒内空気の圧力について，（凡十Ｆ））｛ｘｏ‐. （凡十月（ｒ小叢ｔ）た（凡十Ｐ）（ｘｏｏ－のγ. ”. 氏ｆ）｛ｘｓ）を（凡十Ｐｏｏ－の γ. であり，【７］における力の釣合から，. となる‐ また［４］で，滑走している前玉の，任. 意の時刻ｆにおける運動方程式は，前玉の質量を. ′ Ｐ. ′ Ｌ‐ｘｏ. 一一一ｆｍ′. 凪加速度をａとすれば， . であるから，これら２式より. である．これら２式より，. 島）一Ａ肘′ ］霧ゑｉＨ茎（三洋. ′ ｔｓ＝－｛｛ｘｏ－の. ②. になる．さらに，［３１と［５］における前玉と後玉の距離から，. . －≧三 ×ｏ‐ｄ. ））＝×。‐（針装ｔｘＮ‐（みぬｔｏｓＮｓ. １. １ ′ ｘ。. 如. ）γ（ｘ。一命｝. ６（）. . ここでｘ，はゑの解から求まり，ｄ‐×ｏ. （３）. ＝ＦＩＸ（落雷）Ｎであるから，，。ｓ十Ｎｆｔ. １０６. 三ご皇. 氏. Ｎ. （）４. となる‐ このあと前玉が筒先を発射するまでの時 ′ 刻ｆｓ ≦ ご≦ 云Ｌにおける［８］の状態の運動方程式より（５）と同じ関係式が導き出される．.

(6) . 「空気でっぽう」における前玉の運動. 一理論式と数値計算法の確立一. ４. 前玉の運動に関する解析. ×. た－－ｔすなわちＦ叢針氏Ｙ. 本論の目差す，種々の因子が前玉の運動に関与する効果を調べるにあたり，解析に基づく計算結２）の解を基に行な）と（５果、すなわち運動方程式（う数値計算が，果たして得策なのであろうか‐ このことが，これからの課題である‐ ５）この検討は，前玉が筒先を抜け出す状態（２）についてについても，筒内を滑走する状態（２）について，また玉のも同様である．ここでは（大きさを無視したｄ＝０として検討する．さらに. 前玉は滑走と固着を同じように繰り返すので，装填位置ｘｏから第１回目の停止位置ｘｏｃに至るまでの時間ｒｏｓ≦ Ｚ≦ たＧにおける運動についての. ２）を解いてみる．み考察する‐ まず運動方程式（. （．“. . とおく．すると，ｄ２ｘ. ｄ２Ｙ. －ｄＦ. ＝船－. ｄｔ２. ９）式はであるから（ ‐ ＡＩｄ２Ｙ一一＝（１‐“ －２ｒｄｔ２. Ｂ（１２）２. となる‐ ここで，. Ａ＝. ゑ凡Ｓに佑）γ 氏. ｍ. ｌ‐γ. ，Ｂ＝. ２. 払Ｓ１. 叢. ｍ. （１３）. ｋα. とおいた．さらに，. 前玉の運動開始の時刻：ｔ＝ｔｏｓ）式においてｄ；０とすると，（１Ａ. 聖. “Ｒ. ＡＩ. （８）. －－）１＋－ α＝１／（Ｐｏｓ. したがって，ｒとヱの関係を表すグラフ上で点Ｓ）は直線ｘ一法詩＝ α１／γヱｏの上に乗ｘｏ１／γとなるり，この傾きは瑳Ｒ ‐ ，ｘ切片は α. ｄＺ. ．ｚ. ）（，４. ｄＹ. Ｂ. －］ｄＹ２. ２ｒｆｍ. ＝. であるから，躍捧［１‐“－－（. ただし，. ｄ２ＹｄＦ. ｄｔ. （７）. ）－１一 αγ ｔｏｓ＝（. ＝ｚとぉくと. 初期条件は仁ｔｏｓｏｓにおいてＦｘ，於０すなわち，Ｙ＝. ！三. 一も. ｚ：－１. . （ｆｏｓ，. であるから ▲. Ｂ. ＸＸｓ．斧± Ａ［ｒ－Ｌ（竺－ゐ）．‐ゴー頭Ｆ（三…－◎］＋. 滑走中の運動：ｔｏｓ≦ ｔ ≦ ｔｏＧ. 後. ２）より，運動方程式（ｄ２ｘ. 馬Ｓ. （１５）１. ｌー三ｉｉ÷ 生新…ゴ. ‐. ｄｔ. ｘ。／聡 γ. 援. ９（）. となる．ここでだ彩ぬ‐ｉ，斧ｄ“ｄｔであるから. 斧ｗ於１すなゎち於御難であり灰が求まる‐ また，. ただし，. （１６）. 如. ｆ藍. Ｐ。ｓ. Ｐ。ｓ. １十一一）に（１＋－－）／（この方程式の解を求めていく‐ まず，. （１０）. とおけば，ｘ. き. 氏. 氏. 跨・－－ｔ＝－ ×ｏ. １０７.

(7) . . 高. 橋成和. さらに（）式より，７ ×ｏｓ－抜ｔｏｓ＝ α１／γ×。. （１７）. であるから. １‐γ. １. ÷；÷ き・サー α. ；孝一 α. . ／ “，．“〒〆. 瑳氏±. ‐ 一一１＋跨２. －－ × 。. （２６）. . この根の一つはき＝ α１／γであり，他の根を書＝β１／γ. （β ≠ α）. ２７（）. とする．（１６）式より，Ｆ氏汁 β１／γ×。. （１８）. ただし復号は，撃≦乾で－陰…佑で十をとる， ‐ Ｂ－１. 前玉が後玉の速さＶＲになったとき. （２８）. となり，孫；０となる点Ｇ（ｆｏＧｘｏＧ）は，この，. 直線上に乗る‐ （２６）式に（２７）式を代入して，. （１８）式より，. （β／α）１／ＬＩ. に. （１‐“ ）／γ‐１１‐γ （β／α）（. 八一１に. （１９）入１－ＬＩ. Ｐ。Ｓ. １一 γ. 胆. 一一一十氏２／（２一一. １一γ ×。α γ ）. となる．これよりβ が求まる．Ｃ. 位置 ×と時間ｔの関係. （１４）式と（７１）式はただし，書＝八 α１／γ. ２０）（. この２根ス＝入′ 入″ が定まると（１６）１９）式よ，，（り（ｒ，ヱ）の関係は，Ｆ装ｔ十八. ′ １／γ α ｘ。，Ｆ聡ｔ十八″ α１／γ×。（２１）. だから， ′とヱの関係を表すグラフ上で薩佑に，相当する点は，これらの直線上にありまた（１１），より， ″ １／γ 跨入′ α１／宝。／装 ×。／援，八 α. このとき加速度ａ＝０であるから孫＝ ” ｍ．ｘに. なる点は（９）式より・. 於叢汁（友α）１／宝。. ２３（）. の上に乗る．また（１６）式と比べて，套＝（丘α）１／γ. に相当する． ” １８）式より，ｍｘは（. ｓｋ！警，一， γ. １‐γ γ－. １. １. ｌ－γ 一一. －十一 α γ 十氏２. ，－ｄ. （２５）. Ｂ－３. 前玉が停止Ｖ＝０に至るとき. （１３）式より，. １０８. であるから｛１５）式より，ｄｉ＝ ±躍Ｙ. （）３０. ただし，（３１）. た. . 前玉の速さが最大Ｖｍａｘのとき. 監．ｘ＝援＋２一 × 。（一. ｄｉ. ＝Ｚｘ ‐陀ｔ＝ αγ× ｏｓｏｓ。. ２２（）. となる．Ｂー２. ｉ. ｄｙ. とおいた‐ また復号は瑳≦ 佑のとき－，陛…佑のとき十である‐. 前玉の滑走は速さ防が， ①初め０から加速されて， ②後玉の速さ蔭に等しくなり， ⑧最大の速さ ”ｍａ．になって， ④停止の０に至る．これら① ～ ④ に対応するた彩氏‐ｔの値は α１／γｘ。／叢＝助１，ら八′α１／γｘｏ／叢＝Ｑに減りこの値から入″ α １／γ ，為／陀＝Ｒへと増し，再びこの値から β１／γｘｏ／聡＝Ｓ. へと減る‐ したがって，これらの領域を考慮して. 場合に分け，（３１）式の積分を実行しなければならない‐ すなわち，.

(8) . 「空気でっぽう」における前玉の運動 ‐理論式と数値計算法の確立－. 表１. 空気でっぽうの前玉の運動に関する計算式のまとめ。ただし，玉の大きさは無視している。１. １. 筒内の空気が. ｋ α ＝－－－－－－，ｆ’. α＝. 断熱変化をする場合. ｆｍ. 十一１. 十一１. ＰＡＳ. ＰＡＳ. た【１－α，“）. 滑り出す時刻：にｔｏｓ. Ｆ装針 α１庁ｘ。. 後玉と同じ速さ：於叢. ｘ＝ＶＲｉ十八 α１／γｘｏ：. ：. ！. “Ｒ入一１. ” 今入＝入’，八. に済Ｒ２. 入１‐ Ｌ１. －＋ＰＡＳ. １－ γ. ２一－－ｘｏ α. ヒヱ γ. 皿 ′. ‐ １. 速さが最大：総監．ｘ. 十１十／. １－γ ｆ ” ′ ‐‐ １．‐γ ｇ γ１. ｈ＾ｒＡ. Ｆ恥 ”（止α）. ｌ‐ γ. ｍ. ：に. ．→ （β／ α）÷うたー１１‐ γ. 加速度：. ＰＡｓ. －. －］ｋα. １γ 一三ドＬα；ー参ら．，１一 γ 左α ｍ. ：▽. ｄＹ. 時刻ｔ. ・. １. γ. 彩ぬ‐ｆ. ｍ. 速さ. ｘｏ／装. （－）ａニー【. ａ. と位置. ×. の関係. 瞬．，. ｘ. ：た－－ｔ. ｄ. 復号は艦≧ 氏のとき十『≦ 鍛のとき－. 柘. ヒ. ｋ. γ. ÷ （β／ α）二１. 審＝氏 “ β １／γｘ。. 停止するとき：吃０. 一１. １Ｉ（－－－－１十一）十氏２. γ×。：ぬ；ぬ十セー ×。 α ．ｘ. ー酬. １‐ γ ２ＰＡＳＩ２ＰＡｓｘｏ γ Ａ＝－－－｛－），Ｂ＝－広Ｒｍ. ▽Ｒ ×ｏｌ‐γ. Ｃ；‐Ａ（α１‐γ－）. 欣Ｒ朋. 十Ｂ（α１／γ 一）十１. 京Ｒ. 速さＶを媒介変数. 積分順序. Ｙで表す. ×ｏ. α１／γ一. 鴎 ”， ×ｏ. → 牛入’ α１／γ一. 済Ｒ. 猪Ｒ. １－ γ －獅）. に. １‐ γ ×ｏ. → Ｐ → 砕だ α１／γ一. ＶＲ. ｔ ‐ｔｓ≦ｔ≦ｔズ：ｉｓ＝し躍Ｙ. 友α. ×ｏ. （３３‐１）. →. ×ｏ. 鉢 β１／γ－. ＶＲ. Ｐｔご≦ｔ≦ｔＧ：ｔ→ｓニー＋Ｑ. 最 ≦ｔ≦ｔ〆：ｒ ‐ｒｓ. Ｐ. Ｙ. 十Ｉ則？ＱＱ. （３３‐２）. → Ｒ. →Ｓ. 諸Ｒ. Ｆ用Ｙ（３３－３）. Ｆ十Ｑ. Ｙ. また▽をー降ド表すと（）よりｄ“ｄＦＷ氏‐１だから，１１. １０９.

(9) . 高. 表２. 橋成和. 空気でっぽうの前玉の運動に関する計算式のまとめ。ただし玉の大きさは無視している。，. 筒内の空気が等温変化をする場合. １１ α＝－－－－－，友α＝－－－－－－ ’ ｆｍｆ. １十一. １十一. ＰＡＳ. ＰＡＳ ×ｏ. 滑り出す時刻：にｉｏｓ. Ｆ履行 α×。. 後玉と同じ速さ：於氏. Ｆ装【十八 α×ｏ：. ：. ｔｏｓ＝（１‐ α）－装入一１. 今八＝八’，八“. に玖Ｒ２一一一. ｌｎ八十. ＰＡＳ２一一ｘｏ胆. ／凡ｓＩＦ陀ｔ＋＆αｘｏ：監．．＝氏十セーｘ。（ーｎｒｌ十一）十氏２. 速さが最大：降監．ｘ. ・. （β／ α）‐１. 停止するとき：影０. 蕃＝氏 “ βｘｏ. ＰＡＳ. 加速度：. 陵. ：▽. ：に. ×. ｌｎ（β／の. 佑. －［. ａ＝. ａ. ｍ. 速さ. １. －】彩ぬ‐ｔ. ｋα. 左塾ｄｍｉキー均駕，互α ｍ α ｄＹ. 時刻ｔ. と位置. ×. ｋ. ｍ. の関係. ｄに±. ぼ鑓．，. ｘ. ：粋－－ｔ. ′Ａ１ｎＹ－Ｂ升Ｃ. 復号は. 鷹聡のとき十. 氏. 『≦ 氏のとき－２ＰＡＳｘｏＡ＝－－－ ▽Ｒｍ液. ２ＰＡＳＩ. ，Ｂ＝－－. ×ｏ. 氏ｍ. －ｋα. ×ｏ. Ｃ＝－ＡＩＤ（α 一）十Ｂ（α 一）十１玖Ｒ. 速さ ▽ を媒介変数. ×ｏ. 積分順序止α 一. ＶＲ. Ｙで表す. →. 陀聡（１± ′Ａ１ｎＢ粁Ｃ） ×ｏ. ×ｏ. 留Ｒ. 騨Ｒ. 天 α 一 → Ｐ → 紗だ α 一→. Ｉ. 於聡（１±Ｆ）. ３４）（. となる．. ）３４３）からＦが求まり（０ここでｒを設定すると（１１０. 瑳Ｒ. ×ｏ. β 一 → Ｒ→ Ｓ騨Ｒ. から灰が定まる．積分（３３）よりｒ－ｒｓが求まり. ｆが決定する．すると設定したｒと（１１）式からｘが求まる．これで任意の時刻Ｚに対する位置ズと速さ灰が定まり，前玉の運動が判明する‐ 以上，玉の大きさを無視し，筒内空気が理想的.

(10) . 「空気でっぽう」における前玉の運動. －理論式と数値計算法の確立－. に断熱変化すると仮定したときの前玉の運動を記述する解析を行なった‐ この結果を表１にまとめておく．併せて筒内空気が等温変化すると仮定したときの結果を表２に示しておく．. ５積分の計算（断熱変化の場合）計算に先立ち，表３の左列に示した値を設定する．これらの値から導いた，これからの計算で使. う値を中央と右の列に示した．Ａ. 前玉が動き始めるとき. （８）式より，表３の値を使って，７），（２入. （３５））ｔ。ｓ＝０ｓ ‐０７２９４２７（また，ｆとｘの関係のグラフにおいて，このとき. ）が乗る傾き装の直線のｘ切片はを表す点（ｔｏｏｓ，ｘ α１／γ×。＝０－０７７０５７２（ｍ）. 図３. 入と友の関係．. ３６）（. このときを表す点を通り，傾きが陀である直線のＢ. ×切片は，. 前玉が後玉の速さに等しくなるとき. ‐２ｍ入′ α１／γ ）ｘｏ＝７－７０５００ＸＩ０（ ″ －２（ｍ）入 α１／γ為：１２－７５００ＸＩＯ. （）式において隊聡とすると，１９１一入尾＝. 前玉の速さが最大のとき. Ｃ. ２５）式より，（. のとき分母０となる‐ 入. ）ぬ．＝１＋Ｊ９４９７ｍ／ｓ ‐７６（ ‐６３０１０８×。十１＝３８. とｋの関係をグラフに描くと図３になる．これより表３に示したに１ ‐４３５１７においては，. ″ ９９９０７３２８．６５４６０，入＝１. （３８－２）. （３７）. ０４２ ‐５／入 ‐ －２５０００２８１. となり，入＝０ ‐９９９９７１９. ）（３８－１. 入′＝０‐９. （３９）. となる．このときのぎ切片は－２ｍ（ｋα）１／γｘｏ＝９） ‐９７４４６×１０（. と読み取れ，Ａと同様に. ′表３数値計算においての設定値と計算に関連する量の計算値，記号（単位）記号（単位）値記号（単簡物理量値. ４０）（. 値. ６ ‐３６. Ａ. ４－３ ‐１９０４８×１０. ９‐ＯＸＩ０‐３ｆ一／ＰＡＳ. １ ‐５４０８８. Ｂ. ５３ ‐２１７１５ＸＩ０. ｋｇ）胆（. ７‐ＯＸＩＯ－５. ｆ／ＰＡＳ. ０ ‐７７０４４. Ｃ. Ｓ１ ‐１３７３８ＸＩＯ. 前玉の装填位置. ）ｘ。（ｍ. １．５ＸＩ０‐ｌ. ｋ. １ ‐４３５１７. 後玉の速さ. ）ぬ（ｍ／ｓ. １ ‐Ｏ. ）ｓｘ。／聡（. ０ ‐１５. 大気圧. Ｎ／ｍ２）凡（. ５１ ‐ＯＸＩ０. 筒の内径. ）Ｄ（ｍ. 前玉の質量. ）ＮルＳ（. ）０‐０７０２３０８｛ｓ × 。／ぬ）γ（. ）最大静止摩擦力ｆ凧（Ｎ. ９ ‐８. α. ０ ‐３９３５６. 動摩擦. ’（ｆ）Ｎ. ４．９. 止α. ０．５６４８３. 比熱比. γ. １．４. １＋ｆＰＡ瀞 α＝１／（. ／ α１ γ. （ｋの１／γ. ０ ‐５１３７１４８０ ‐６６４９６４４. ＋ｆ／Ｐ１＋ｆ凡９パ１Ａ９，炉（. １１１.

(11) . 高構. Ｄ. 成和. 前玉が停止するとき. ２９（）式においてβ／α→１のときβ／α＝６とおくと，. に. ．７１４２８５７ ‐ｌ（β／α）０．２８５７１４２一１（β／ α）一０. ｘ（．４）. ）（４１. β／αとｋの関係をグラフに描くと，図４になる‐ ここでβ／α＝１は不連続点である．これより表３. （． ÷ の－１. に示した値に１ ‐４３５１７においてはβ／α＝２０２３５８が求まる． α＝００ ‐３９３５６４３だからβ＝ ‐７９６４１であり. （トガコ. . β１／γｘｏ＝１２‐７４８９４ｘｌｏ‐２（ｍ）. （４２）. となる‐. 以上の結果を，位置ズと時間ｆのグラフに描く２９である．さらに（）式は，. と，図５のようになる．. 左. Ｅ止キ１・４３５１７. 被積分関数. ）（３１）（）より，（１３３２. β／α；２ ‐０２３５８. . . －０４１０２ ‐３ ‐１９０４８４Ｙ・ ‐３２ ‐１７１５Ｙ十１１ ‐３７３８４５（４３）. ここでＰ ≦ Ｙ ≦ Ｒだから，０ ‐０７７０５００≦Ｙ≦０ ‐１２７５０００. ０，５. 図４. １，０. １．５. ２，０ β／α. β／α とｋの関係‐. であり，両端の値が漸近線となる‐ このグラフを図６に示す‐ Ｆ. 被積分関数の計算. （３３）式の積分を実行する．この積分は，これま. ７６（）ｍ／ｓ. Ｐーｔｏｓ＝０．０７２９４２八”α１／γｘ＝１２．７４９８８. ０. ０. ０．０５. ０，ｌｏ. ｏ．１５. 後玉移動開始後の経過時間ｆ（｝ｓ. 図５時間経過ｒに対する前玉の位置ヱ‐. １１２. ０．０６. １. ０．ｌｏ. ）媒介変数Ｙ（ｓ. ｏ．１４. 図６媒介変数 γと被積分関数Ｆの関係‐.

(12) . 「空気でっぽう」における前玉の運動. ‐理論式と数値計算法の確立－. 表４. 被積分関数Ｆの数値積分（台形法による．表中のＥー□は１０‐□を表す）Ｙ（）ｓ. Ｆ. Ｐ；０．０７７０５７２５７０５６０. ５４０：. １ ‐００１１４７９７４１ ‐０１５４９９５４９１３６６９ ‐０９７８４１３４８８２７７３９．. ＦｄＹ. ｔ‐ｔ（）ｓ００ ‐２０１６６４７５２３Ｅ‐６１ ‐２５８３３６３６１３ ‐７０５００７７６９. ２ ‐０１６６４７５２３Ｅ‐７１ ‐０５６６７１６０９２ ‐４４６６７１４０８３ ‐２７４８５５７９７，. ：. ：. ：. ０ ‐０７７０５００７５５７５４０７７００７５０５３Ｑ＝０．. ７５４７５５. １７１ ‐４９８５８５１２１８．２１７８９０２４０８ ‐２４８２９０５２１８ ‐２１７８９０２１７１ ‐４９８５８５１. ：. １５７ ‐９１８０７６２１９４．８５８２３７７３１３．２３３０９０４. Ｅ‐１０. １９４ ‐８５８２３７７. Ｅ‐９. １４．４８５９４８５１Ｅ‐６１４ ‐５０５４３４３３１４ ‐５３６７５７６４１４ ‐５６８０８０９５１４．５８７５６６７７. ２ ‐４４６６７１４０８Ｅ‐６１ ‐０５６６７１６０９２ ‐０１６６４７５２３Ｅ‐７１ ‐９８８５３６１３８１ ‐９６１５６９１６４１ ‐９３５６７１４６０１ ‐９１０７７２８９６. ２５ ‐３６８５０７５２Ｅ‐６２７ ‐８１５１７８９３２８ ‐８７１８５０５４２９ ‐０７３５１５２９２９ ‐２７２３６８９０２９ ‐４６８５２５８２２９ ‐６６２０９２９７. ３１３ ‐２３３０９０４. Ｅ‐９. ：. ０ ‐０７７０５４０５６０５７０Ｐ＝００７７０５７２ ‐ ５７４５７６５７８. １ ‐３４８８２７７３９ｉ ‐０９７８４３６６９１ ‐０１５４９９５４９１ ‐００１１４７９７４０ ‐９８７３８８１６３０ ‐９７４１８１００００ ‐９６１４９０４５９. ‐. ：. ０ ‐０９８９９０（）Ｍａｘ： ‐０９９７４４－０ ‐１００１０１. ：. ０ ‐０２６５４８５３２４９５２６８０（０２６４８３５６４）－４８４９２９５１６３４３. ２６－５２１９００８８Ｅ‐６２６ ‐４９００９９２９・. ２６．５００６３６５５２６ ‐５５２６５２７１. ′. ０．１２７４８６４８８２Ｓ＝０１７ ‐ ４８９４４９０４９２. ：. ８９５ ‐０１６１２４Ｅ‐６９２１ ‐５３８７１３３（９４１）－２６３２４１２９４８０２２６８８１．９７４ ‐５２９４４９２. ：. ０ ‐８６８０１８２７４０ ‐９３６５３０７７１０ ‐９９５４４６２９４１．０２４３４０７１６１ ‐１４２６２５０９７. １ ‐８０４５４９０４６＄１１ ‐３５２３８３９４６０ ‐６０５９３６１０３２．１６６９６５８１３２ ‐４５７０２３７６４. ：. ２１０４ ‐１８１５２２１０５ ‐５３３７３６２１０６．８８６１２０２１０７ ‐４９２０５６２１０９ ‐６５９０２２. Ｅ‐６. ：：. ． ‐. ０．１２７５００１８５９１８６０. １８６１Ｒ＝０ ‐１２７５００１８６１. １８６１１８６０１８５９. ：. ：. ２０４．１２４１４５２２５８ ‐１９８８８９７４４７ ‐２１３５９５５４４７．２１３５９５５４４７ ‐２１３５９５５２５８ ‐１９８８８９７２０４ ‐１２４１４５２. ０ ‐０２３１１６１５１７５０ ‐０３５２７０６２４２６０－０４４７２１３５９５５０ ‐０４４７２１３５９５５０ ‐０３５２７０６２４２６０ ‐０２３１１６１５１７５０ ‐０１８９１００９００６. ：. ：：. ：. ２１２９ ‐９９６９９６２１３０ ‐０２０１１２２１３０ ‐０５５３８３２１３０ ‐１００１０４２１３０ ‐１４４８２５２１３０ ‐１８００９６２１３０ ‐２０３２１２. Ｅ－６. ．・. ：. ０ ‐１２７４９４４９２. ４９０Ｓ＝０ ‐１２７４８９４. １ ‐３１４３９８６６７１ ‐１４２６２５０９７１ ‐０２４３４０７１６. 、０ ‐９９５４４６２９４. ２．４５７０２３７６４２ ‐１６６９６５８１３. ０３６１０５９３．６０ ▼. ２１４７ ‐８１９６４０２１５０ ‐２７６６６４２１５２ ‐４４３６３０. Ｅ‐６. ２１５３５６６．０４９１１３.

(13) . 高. 橋. 成和. でに示したｘ切片の値を後で割った値が上限と下. て，積分は発散しない‐. ０５７２（）から０ｓ限になり，０．０７７０５００７５ ‐７７０７）を）を経てＰに戻り，さらに粋０ｓ３（ｓ．１２７４８９４（）で折り返し，Ｓに戻りｓ経て砕０．１２７５００１８６１９９（. ）式の積分が実行できたので，時間ｆ３３これで（が定まる．さらに（３）より位置４）より速さ口（１１ズが定まる．この結果を表５にまとめた．. 終わる．積分の実行は台形公式による区分求積法によった‐ この計算の主要部分を表４に示す‐ こｉｉの値に対応しながら調整の刻みはＦｄｙのとき，ｙ. ６簡便な計算方法. し，Ｆのグラフが立ち上がる漸近線の近傍で最も細かくＩＸＩＯ－ｌｏとした．この刻みで，Ｆの値をあとひと刻み増減するとＦの根号内が負になる手前. ７）式で；また滑前玉が滑走を開始する時刻は（８）式で与えられた．この方程走中の加速度ａは（. ‐５におけるおａ玄の累積は，１ ‐５ＸＩ０と２１３０であった．これに対して，ここでのＦｄ警ま３ＸＩ０‐８と０ ‐０４５５であり累積の２ＸＩ０‐３倍と２×１０‐ 倍となってい. えられている‐ この被積分関数Ｆは無限大の値を伴い，しかも積分範囲の反転が入り，計算に手数. ，る．このことから漸近線近傍での累積が，Ｆの値Ｉ０‐ｌｏ刻みならば無視できが無限大であってもＩＸ表５. がかかった．. そこで，初期条件にｔｏｓにおいて. 影０ｘｏ，. 解析解に基づく前玉の運動（後玉から１５ｃｍ離して前玉を装填したとき））Ｙ（ｓ. Ｐ＝０．０７７０５７２０ ‐０７７０５００８１Ｑ＝０ ‐０７７０５００７５３０．０７７０５００８１Ｐ＝０ ‐０７７０５７２０ ‐０７７２００ ‐０７７７０ ‐０７８４０ ‐０８００ ‐０８２０ ‐０８５０ ‐０８７０ ‐０８９０ ‐０９１０ ‐０９５０．０９９７４４６. ‐ ０ ‐１０４. ０ ‐１０８０ ‐１１２０ ‐１１４０．１１６０ ‐１２００ ‐１２３０．１２５２０．１２６５０ ‐１２７３Ｓ＝０ ‐１２７４８９４０ ‐１２７４９８０ ‐１２７５００１８５０Ｒ＝０ ‐１２７５００１８６１９０ ‐１２７５００１８５００．ｉ２７４９８Ｓ＝０ ‐１２７４８９４. １１４. ）式で与３３式の解は，た彩佑‐ｔを媒介とする積分（. ）ｔ（ｓｔｏｓ＝０ ‐０７２９４２７００ ‐０７２９５６８６０ ‐０７２９５７２４Ｑ０７２９５７６１０ ‐０７２９７１７７０ ‐０７３０３１２００．０７３１０２５１０ ‐０７３１６３５７０ ‐０７３２６０６００ ‐０７３３５１９５０ ‐０７３４６３０８０ ‐０７３５２８２４０ ‐０７３５８９１３０ ‐０７３６４７０９０ ‐０７３７５７５１０ ‐０７３８８３９６０ ‐０７３９９７２１０ ‐０７４１０６５６０ ‐０７４２２１９３０ ‐０７４２８３２１０ ‐０７４３４７９３０．０７４４９３０５０ ‐０７４６２６４４０ ‐０７４７５４４６０ ‐０７４８６２５００ ‐０７４９７７６２０ ‐０７５０４９５９０．０７５０６１５４０ ‐０７５０７２５８０．０７５０７２８００．０７５０７３０２０．０７５０８３８００ ‐０７５０９５７５. ）ｃｍｘ（０ ‐１４９９９９９９０．１５０００１６８０．１５０００７３１０ ‐１５０００７６９０．１５００２８９７０１５０２２１１７０．１５０８０２５１０ ‐１５１５６３５７０．１５３２６０５７０ ‐１５５３５１９５０ ‐１５８４６３０８０ ‐１６０５２８２４０ ‐１６２５８９１３０ ‐１６４６４７０９０ ‐１６８７５７５１０．１７３６２８５６０ ‐１７７９９７２１０ ‐１８２１０６５６０ ‐１８６２２１９３０ ‐１８８２８３２１０ ‐１９０３４７９３０ ‐１９４４９３０５０ ‐１９７６２６４４０ ‐１９９９５４４６０．２０１３６２５００．２０２２７７６２０ ‐２０２５３８９９０．２０２５５９５４０ ‐２０２５７２７６０．２０２５７２９９０ ‐２０２５７３２１０ ‐２０２５８１８００ ‐２０２５８５１５. Ｖ（）ｍ／ｓ０ ‐００１１４７０．４８０８１ ‐００２＝ＶＲ. １ ‐０２８１ ‐９９９５ ‐５７２１０．４４８１４．４７４２０．４３６２５．４０３３０ ‐４７０２３ ‐８９０３４ ‐７６９３６ ‐２１４３８ ‐０５３. ３８．７５９＝Ｖｍａｘ. ３８ ‐２３２３６ ‐７９７３４ ‐４１９３２ ‐８３９３０ ‐９５９２６－０５８２０ ‐８７５１５ ‐４４０１０ ‐６０９５ ‐３２２２ ‐００５１ ‐４５２１ ‐０１００．９９８＝ＶＲ０ ‐９９００ ‐５４８ ‐０ ‐００４５７. ）（４４.

(14) . 「空気でっぽう」における前玉の運動. －理論式と数値計算法の確立－. から出発し、加速度ａを基に，微小時間燈の経過ごとにｘとｙを順次に求めてみる．この方法で最も簡便であり，誤差の搬入が少ない「蛙跳び法」. ）を採用して計算を試み解析の結果と比較１５『６，. する‐ 果たして，この簡便法の結果は信頼できるものとなるであろうか‐. ‐ ＝１，２）この方法は，時間経過Ｎ４１（Ｎ，３， … ・. きに対し，位置ｘＮ，速さ恥，加速度ａＮとすると ▽，. ＝. 氏十，； ×１. ＝. ×Ｎ十，＝. ）１４２（）（４. 脆＋ａｏ・４ｔ. ２４ｉ）氏－．十βＮ（４）２ ×。＋▽０４”０ ‐５８０（１ ×Ｎ－. （４５一３）. ４４））２（２４ｔ２４ｔ）十０張（．５ゑＮ（. の関係に基づき計算する．すなわち，Ｎ＋１番目の. 値は肝１番目の値を初期条件として，この間で. 表６蛙跳び法に基づく前玉の運動（後玉から１５ｃｍ離して前玉を装填したとき））ｔ（ｓ. Ｖ（）ｍ／ｓ. ０ ‐０７２９４２７０ ‐０７２９９２７０ ‐０７３０４２７０ ‐０７３０９２７０ ‐０７３１４２７０ ‐０７３１９２７０ ‐０７３２４２７０ ‐０７３３４２７０ ‐０７３３９２７０．０７３３９２７０ ‐０７３４４２７０ ‐０７３４９２７０ ‐０７３５４２７０ ‐０７３５９２７０ ‐０７３６４２７０ ‐０７３６９２７０ ‐０７３７４２７０ ‐０７３７９２７０ ‐０７３８４２７０ ‐０７３８９２７０ ‐０７３９４２７０ ‐０７３９９２７０ ‐０７４０４２７０ ‐０７４０９２７０ ‐０７４１４２７０ ‐０７４１９２７０ ‐０７４２４２７０ ‐０７４２９２７０ ‐０７４３４２７０ ‐０７４３９２７０ ‐０７４４４２７０９２７ ‐０７４４０ ‐０７４５４２７０ ‐０７４５９２７０ ‐０７４６４２７０ ‐０７４６９２７０．０７４７４２７０ ‐０７４７９２７０ ‐０７４８４２７０ ‐０７４８９２７０ ‐０７４９４２７. ０３ ‐５０００９４１９８３６０１６ ‐９８４４６７８８２２８７５１０ ‐３９６１５４４９４８９２１３ ‐７２２０３０５５２３２１１６ ‐９０８５１３２００４７０１９ ‐９４９２０５８４４７９０２２ ‐７９５７５５９８６６５９２５ ‐４５１３１３４４９１９６２７．８７３２０３３９２２９２３０ ‐０７５４２６１１３７４４３２ ‐０２０１０１０６６８８７３３ ‐７３２１３２３１３４００３５ ‐１７６６３７３６６９１９３６ ‐３８８７２３０５９８２０３７ ‐３３４３０２６２３３６０３８ ‐０５７７１６６３４３５７３８ ‐５２３４７０５８２２７９３８ ‐７８４２４５３７３１１３３８ ‐８０１１６８８８４１８５３８ ‐６３４６２５０７７３０８３８－２４０７１１８４４６５１３７ ‐６８７１９２６２０８５８３６ ‐９２３７８６３８５６０２３６ ‐０２５６１３７８３３０２３４ ‐９３４９０７１９１７９３３３ ‐７３４３８３０５４１４６３２ ‐３５７８４３７８３１９１３０ ‐８９６０５７７７７３９０２９３０４０６５ ‐２７３５４４２７５８９７６３４７８９３２ ‐ ２５７９２５１３５３８６４５ ‐ ２３ ‐８９０５７９２１１２２５２１ ‐８８７５６９８５７３９１１９ ‐８６９５０４１７４３５６１７．７２７９１６７８４１４４１５．５９３７９２２９０５６９１３ ‐３４５７０２３９８３３９ ▼ １１ ‐１２７５１００４７５５０８ ‐８０３５９９３３２５３２５６．５３２２２３７８７０９７２. ）ｍｘ（０ ‐１５０ ‐１５００８７５０２３５４９６０ ‐１５０３４９２２３３９４１１０ ‐１５０７８２３１４７８９６３０ ‐１５１３８４５４８３１５８４０ ‐１５２１４７５４８１７４４００ ‐１５３０６８１１０１３５６９０ ‐１５４１３２７６１６３３７６０ ‐１５５３３８１３６１００３９０ ‐１５６６６６２０９６０２７１０ ‐１５８１１４４７３０７８５４０ ‐１５９６６０８７４８２５６７０ ‐１６１３０４８５０９９９８９０ ‐１６３０２０７１１７４７３６０ ‐１６４８１０８９３７６８５５０ ‐１６６６４６２５８７４６８７０ ‐１６８５３３２１５７５３２６０ ‐１７０４３９１４７４０７１６０ ‐１７２３７５３１３８５３６４０ ‐１７４３０５３７９３８０４９０ ‐１７６２４６２５７３７６１６０ ‐１７８１５７４７３４１６９３０ ‐１８００６２３４８２７１０７０ ‐１８１９１５６９８３２８４５０ ‐１８３７４７９８８５８１２８０ ‐１８５５０８６３３００７３２０ ‐１８７２３５９８８４２３１５０ ‐１８８８７３２７０５５６０７０ ‐１９０４６７５１０４６４６４０ ‐１９１９５４８３９９６０４３０ ‐１９３３９１８０１５２７５４０．１９４７０６４７３３５２５７０ ‐１９５９６５８１８６６２０４０ ‐１９７０８８８０８０２２３７０ ‐１９８１５３８２２８３１３２０．１９９０６９５８２３５４４５０ ‐１９９９２６９８７６５４５７０．２００６２３２６３３１３５７０ ‐２０１２６３０５２７７１４８０ ‐２０１７３０７２８４００１１０ ‐２０２１４６０３９４６３２２. ０ ‐０７５０４２７０ ‐０７５０９２７. １ ‐８６７７５８１８１７５３４ ‐０ ‐５１９５０１９５９６００９. ０ ‐２０２５６６０３８５６１６６０ ‐２０２５６１１４７３５９３７. ０９９２７ ‐０７４. ４３ ‐１６２１４０９０６１６４. ０．２０２３７９０１５４１２０４. ｝ａ（ｍβ／ｓ７０００１ ‐８８３９６７２０２６９８４４ ‐６７８８２２８７５６８９６０ ‐６０２９６５３２２６７３７５ ‐６２６７００３３０６５１２３ ‐５８７０５５７７９６２２７１ ‐７５２９２４６９５８８７２．４２７８６１８９１５５０２１ ‐０７６０４４０５３５０７７４ ‐４７４０５６３２６４６２４１ ‐１２６６４５４８３４１４６８ ‐９７６７４５９４５３６５６７ ‐０６１９９６５５５３１５６５ ‐３６３０００３１８２６５６５ ‐９０７４６４１９８２１５７６ ‐６５２５６４４１０１６６８９ ‐９３５７４５３６９１１８９１ ‐６７９５８９１８５７２６５ ‐２８７３８７５５７４２７７６ ‐９８３０１９０６３０ ‐１４９６ ‐２０２９５８０４５７ ‐５６０４ ‐５７０３９５３３５４ ‐９４７４ ‐３２４５６４５０４９ ‐１３１６９ ‐２５４５９０４９４ ‐１６６１５ ‐７８８３７５５６５ ‐１９８８８ ‐７９１９３８０８６ ‐２２９１２ ‐３０７２９１５５６ ‐２５７７０ ‐６３４０８６０２２ ‐２８３８３ ‐２５２７６７５６４ ‐３０８４２．９９４７９１２６２ ‐３３０６２ ‐９４２９８４５７８ ‐３５１４４ ‐２０７６５４２０５ ‐３６９９１．８４２６７７０７３ ‐３８７１５ ‐５３６８１２５４４ ‐４０２１０ ‐７５０３６８６９５ ‐４１５９６ ‐５３０７３２４７０ ‐４２７５７ ‐１１８８３７８７３ ‐４３８２２．１４３８５８０４９ ‐４４６６２．８２２４３０１９３ ‐４５４２１ ‐０３０６５８０６５ ‐４５９５２ ‐８６２６０４５２８ ‐４６４１４ ‐５８４２６３６８２ ‐４６６４４ ‐６５６０５３４３８－４６８１６ ‐４２８６５７６５２ ‐４６７４７ ‐６７００９７０４１. １１５.

(15) . 高橋成. 中央Ｎ番目の加速度が変わらないとして計算す. 和. ７計算結果の比較. る方法である．表３の設定に基づくと，ｔｏｓ ‐０７２９４２７（）， × ０）， ▽ ）ｓ４６ｂｓ＝０（ｍ ‐１５（. １５ｉ・逆器）ｍ鞭狽略２）『 . 時間Ｚと前玉の位置ズおよび速さ灰の関係について，筒内空気が理想的な断熱変化をすると仮定して計算して表５と表６にまとめた結果を図７と図８に図示する‐ 併せて等温変化を仮定した場合. （４７）. の計算結果を図９と図１０に図示する．ここで実線. となる．４に０ｓ月こして行なった計算結果 ‐００００５（を表６に示す‐. は解析による解を基にした区分求積により，０印磯蛙跳び法により求めた結果である‐ これらには. １７．３６２８６３８．７５９. ５. １８. ２１. １５. 前玉の位置ｘ｛）Ｃｍ図７. 筒中空気が断熱変化するときの，前玉の位置と速さの関係．. ０．０７３. １８. 筒中空気が等温変化するときの，. 図９. 前玉の位置と速さの関係．前玉の位置ヱ（｝Ｃｍ. ２１. １５. ０，０９. ０．０７２９４３. ０，０７４. ２１. ）前玉の位置ｘ（ｃｍ. 前玉の位置認ｃｍ｝１５. １８. １８０．０９０９６６. ０．０９１９３２２. ０．０９２１７．３６２８６. ２１. １７．６６５６２. 亜０，０７５. ０．０７５０９. 墨ｏ９３，０. ．０２６１５０．０９３３０. 図８筒中空気が断熱変化するときの，前玉の位置と経過時間の関係．. １１６. ０筒中空気が等温変化するときの，図１前玉の位置と経過時間の関係‐.

(16) . 「空気でっぽう」における前玉の運動. －理論式と数値計算法の確立－. 差異が認められず，後者は前者に比べて全く遜色がなく，「蛙跳び法」による計算結果の正確さが確認できた．. ３）西川. 彰：第３学年. 空気でっぽう，理科の. 教育３０（１９８１）１８８．. ４）小佐野正樹：見えない世界から見えてくる「空気」の学習を理科教育３６６（）２２１９８６， ‐. ８. ５）来栖公明，高瀬一男：児童の理解を深める教材と指導過程の研究」－小学校３学年「空気. まとめ. 空気でっぽうの筒内における前玉の運動を，理論をもって探る前準備をしてきた．筒内で空気漏れが無く，それが理想気体であり，筒の内径が変わらないなどの理想化と，摩擦力などに与えた仮定の下で，運動についての計算式を確立した．この計算式の解は，時間ｒと位置ｘを含む媒介変数た彩氏‐ｔによる積分形式で表された．ところが，この被積分関数には無限大の値を含有し，しかもその定積分においては，その無限大の値を含めて上限と下限の反転が混入していた‐ このため，この積分について具体的な数値計算を行なうには，微細な区分求積と２度に亘る積分区間の反転を考慮する必要があり，煩雑であった‐ 加えて時間云に対する位置ｘ，速さＶを決定するには，さらなる手続きを必要とした．. これらのことを回避するために，運動方程式すなわち運動の加速度を直に使う「蛙跳び法」による，はるかに簡易な数値計算を試みた．するとこの結果は，解析による厳密な解を基にした結果となんの遜色もないことが確１認できた‐ すなわち，この方法を使うことの妥当性が保証され，また十分であることが判明した．今後は，この方法で計算を実行し，幾つかの因子について，それらが前玉の発射の速さに与える影響を考究する．併せてその結果を，実測の結果と比較し，現実の前玉が行なっている運動の姿を捉えていく‐ （つづく）. 参考文献１）文部省：小学校学習指導要領解説理科編. と水の学習を通し. －，日本理科教育学会研. 究紀要３０‐２（１９８９）４５．６）山口勇蔵：空気でっぽう，理科教室２８０（１９８１）６２－. ７）永田四郎：考え工夫し，作りあげて楽しみ，発展してゆく授業－－空気・水でっぽう作り. 理科の教育３１（１９８２）４２３‐‐ ８）文部省編纂「尋常小学校理科書（第５学年教師用）第４２課空気の性質」，（国定教科書共同販売所，１９０８＝明治４１），理科教育史資料３（東京法令出版社，１９８６）２２５．９）文部省「初等理科（教師用）」巻一（１９４２＝. ７）理科教育史資料３（東京法令出版社，昭和１１９８６）６２６ ‐. １０）文部省「理科の本（教師用）」｛第４学年用）１０紙ダマ鉄砲（１９４７＝昭和２２）理科教育史資料５（東京法令出版社，１９８６）４４．１１）沢庵宗彰：東海夜話「気」（），理科教育１６４６史資料５（東京法令出版社，１９８６）３３．１２）曾田範宗：摩擦の話（岩波新書青版７９１岩波書店１９７１）９４．１３）近藤正夫：紙玉デッポー，ロゲルギスト著，物理の散歩道（岩波書店１９６４）９５ ‐. １４）小関真紀，津留俊介：大口径空気鉄砲を作る. ．日本理科教育学会紀ことは可能か，１９９８）要３９（. ８１‐. ）石川徳治：作図による蛙跳び法，物理教育１５１９８２）８５－３２‐２（. ）高橋成和：半固定端における横波の反射，北１６２００１）海道教育大学紀要（教育科学編）５２－２（９５‐. （東洋館出版社１９９９）３３ ‐. ２）浅利圭子：空気でっぽう，理科の教室２６８. （本学教授. 函館校）. ）６７（１９７９ ‐. １１７.

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