空 気 圧 シ リンダ に お け る ス テ ィ ッ クス リップ 運 動*
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(2) 精 密 工 学 会 誌 54 / 1/ 1988. 18 4 C1,C2. : 絞 り の 無 次 元 有 効 断 面 積(c1=c1/A1,c2=. (1 ). C2/A2) fa. こ こで,Fは. : 強 制 加 速 度(=A2Ps/M). F:. ピ ス ト ン‑シ. FS. : ピ ス ト ン‑シ. リン ダ 間 の 静 摩 擦 力. Fd. : ピ ス ト ン‑シ. リン ダ 間 の 動 摩 擦 力. Fdc. リン ダ 間 の 摩 擦 力. : ピ ス ト ン ーシ リ ン ダ 間 の 動 摩 擦 力(相. G:. 対速. dx/dt≠0の. と き. (ii ). dx/dt=0で,か. F=Fd・sgn(dx/dt). つ. (a ). P2A2‑P1A1<‑FSの. (b ). P2A2‑P1A1>FSの. (c ). │P2A2‑P1A1│<FSの. と き. : f=F/M,fS=FS/M,fd=Fd/M 流 量 制 御 弁 を 通 過 す る重 量 流 量. g. : 重力 加速 度. l. : ピ ス トン の 全 ス ト ロ ー ク. M:. ( i ). (2 ). 度 が 大 き い 場 合 の 定 常 値) f,fS,fd. ピ ス トン と シ リ ン ダ との 間 の 摩 擦 力 で あ. り.次 の 関 係 が あ る.. 次 に,空. 負荷 質量 : シ リン ダ 室 内 の 圧 力. p1,p2. : シ リ ン ダ 室 内 の 無 次 元 圧 力(p1=P1/PS,. とき. 気 圧 シ リン ダ 内 に お け る ポ リ トロ ー プ変 化. を 仮 定 す る と,各. P,P1,P2. (3 ). と きF=Fs. シ リン ダ 内 の温 度 変 化 は. (4 ). p2=P2/PS) P0. : 大気 圧. p0. : 無 次 元 大 気 圧(p0=P0/PS). PS. :供給 圧. (5 ) で 表 され,ま. R:. ガス定 数. T0. :大 気温 度. T,T1,T2. : シ リン ダ 室 内 の 温 度. TS. :供給 源 空気 温 度. t:. (6 ) (7 ) で 与 え ら れ る.こ. 時 間. ta. た シ リン ダ 内 の 圧 力 変 化 の 状 態 式 ば. こ で,. : ス リップ時間. tb:. ス テ ィ ッ ク時 間. tS. : ステ ィ ックス リップの周期. V,V1,V2. : シ リ ン ダ 室 内 の 体 積(V1=αA2(l‑x),. (亜 音 速 域 ). V2=A2X) x,xc: X,Xc:. ピ ス トン の 変 位 ピ ス ト ン の 無 次 元 変 位(X=x/l,Xc=xc/. (音速 域 ). l) XS:. ス テ ィ ッ ク ス リ ッ プ の ス テ ッ プ量. α:. A1/A2. ま た,式(1)の. γ. :空 気 の比 重量. ε. : 減 衰 率(=λ/2M). x:. (8 ) 運 動 方 程 式 を 無 次 元 化 す る と次 式 で. 表 さ れ る.. (9 ). ポ リ トロ ー プ指 数. λ. これ ら の式 は 非 線 形 微 分 方 程 式 と な るた め 解 析 的 に. : 粘性 減衰 の係数 特 に 指 定 が な い 場 合 は,添. 入 側 の シ リ ン ダ を 示 す.ま. 字 の1は. 排 出 側,2は. 解 を 求 め る こ とは 困 難 で あ る が,駆. 流. え られ る な ら ば 計 算 機 に よ り数 値 的 に ピ ス トン の 運 動. た 状 態 変 化 の 式 に お い て,. を 求 め る こ と が で き る.. は ポ リ ト ロ ー プ 変 化 前 の 状 態 を 示 す.. 3. 図1に. 4.. 空気 圧 シ リンダの運 動 の式. 示 す よ うに 空 気 圧 シ リン ダ の 可 動 部 分(ピ. トン とそ の 付 属 部 分)の 等 価 質 量 をMと. 動 の初 期条件 が与. MO回. 路 に お け る ス テ ィ ッ ク ス リ ップ 運 動. 両 シ リン ダ 間 の 圧 力 差 が 少 さ く,ピ. ス. ス トン の す べ り. 速 度 が 小 さ くな る と ピ ス トン は ス テ ィ ッ ク ス リ ップ 運. す る と,ピ ス. 動 を 始 め る.図2は,実. トン の 運 動 方 程 式 は 次 式 で 表 さ れ る. 18 4. 用 さ れ て い る空 気 圧 シ リ ン ダ.
(3) 岡 部 ・神 谷 ・三 浦 ・横 山: 空 気圧 シ リ ン ダ に お け る ステ ィ ッ クス リ ップ 運 動. (a ) XC= Fig M. .. 2. =8.64. Ps=. Calculated kg, l=15.0. 4.9 •~. 105. Pa,. 0.5. results cm, Po=. (b ) XC= of. stick-slip. A2=19.6. 9.8 •~. 104. cm2, Pa, ƒÉ=0,. pneumatic. = 0.87,. C1=. 3.0 •~. の摩 擦 特 性(図5お. よ び 図6に. で の連立 非 線形微 分方 程 式 を数値. 示 さ れ る)を 考 慮 し て,. ず れ の 場 合 に も ス テ ィ ッ ク ス リ ップ 運 動 の. 扱 い の 便 宜 上,速. C2=. 5.84 •~. circuit) 10-3. cm2,. X•à. 1/ =一 1- Xc. 定. (10 ). こで,Xcは. ス リ ップ 運 動 の. 初 期 変 位 を 示 す. (4 ). 度 の ピ ー ク値 か ら. 流 体 摩 擦 の 項 は 固 体 摩 擦 の 項 に 比 べ て 小 さ く,. 無 視 で き る.. 次 の ピー ク値 まで の 時 間 を1周 期 と定 義 す る こ と に す る.MO回. cm2,. 0.9. (M-O. の 関 係 が 成 り立 つ.こ. 発 生 が 見 ら れ る.こ れ らの 運 動 は 厳 密 に は 周 期 運 動 と は な らな い が,取. 10-5. 1 / 1-. 計 算 に よ っ て 解 い た 運 動 波 形 の 例 で あ る が,図(a), 図(b)い. cylinder. x=1.2. 式(2)か. ら式(9)ま. of. a. motion. 18 5. い ま,解 析 の 便 宜 上 ピ ス トン に 加 わ る 推 力 が 最 大 静. 路 で は 排 気 側 シ リン ダ の 体 積 が 減 少 す る と. 止 摩 擦 力 よ り大 き く な り,相 対 静 止 か ら す べ り運 動 に. と も に 等 価 的 に 系 の ば ね 定 数 が 大 き く な る た め,図. 移 行 す る 時 刻 を 原 点 に と っ て 考 え る.こ. (a),(b)を. り運 動 中 の 圧 力 変 化 は 近 似 的 に. 比 較 し て も 分 か る よ う に,ス. リ ップ の 周 期,変. テ ィ ック ス. 位 量(ス テ ップ量)は と も にXcの. の と き,す. べ. 増. 大 と と もに 小 さ くな る傾 向 を と る. 次 に,ス. テ ィ ック ス リ ップ 運 動 に 関 す る 理 論 展 開 を. 簡 単 化 す るた め に,次 (1). 排 気 側 お よ び 流 入 側 シ リン ダ 内 の 温 度 変 化 は. 小 さ く,各 T2≒Tsで (2). (11 ). の よ うな 仮 定 を 導 入 す る. で 与 え ら れ る.さ ら に 式(11)を. シ リン ダ 内 の 温 度 は 近 似 的 にT1≒T0,. 式(9)に. 代 入 し,初 期. 条 件 を 考 慮 して 解 く こ と に よ り次 式 が 得 られ る.. 表 され る.. 排 気 側 ス ピー ドコン トロー ラを通 過 す る空 気. は音 速 域 で あ る.し た が っ て φ(P0/P1)=一. 定 とな. る. (3). ス テ ィ ック ス リ ヅプ 発 生 時 の 変 位 量 は ピ ス ト. ン の ス ト ロ ー ク に 比 べ て 十 分 に 小 さい.ゆ. (12 ). え に,. ただ し. 流 入側 シ リン ダ 内 の 圧 力 変 化 は 無 視 で き る と と も. (13 ). に 18 5.
(4) 精 密 工 学 会 誌 54/1/ 1988. 18 6 で あ る.式(12)は,次 ら れ る 時 刻taに 0と. 式 で 与 え お い てdX/dt=. な り極 値 を と る.. (14 ) た だ し,. この 時 点 で 摩 擦 力 の方 が駆 動 力 よ り も 大 き い と,ピ. ス トン は ス. テ ィ ック 状 態 に移 行 す る.こ. の と. き の シ リン ダ 内 の 圧 力 変 化 お よ び ピ ス トソ の 変 位 量(ス Xs(=X‑Xc)は t=taを. テ ップ 量). 式(11),(12)に. 代 入 す る こ と に よ り近 似 (a ). 的 に 求 め る こ と が で き る.. Period. of stick-slip. 次 に ス テ ィ ッ ク状 態 に つ い て考 え る.シ (6)に. Fig . 3. リ ン ダ 内 の 圧 力 変 化 は式. よ っ て 与 え ら れ る が,改. め. M=8.64kg, 10-3 Fdc=. motion. Influence. l=15.0cm,. cm2,. Solid. 27.5. N. lines and. Fs=. (b ). of position. A2=19.6cm2,. of piston α=0.87,. ; approximated 37.3. Displacement of stick-slip. results. (M-O. during motion circuit). PS=4.9×105Pa,. under. the. one period. C2=5.84×. conditions ƒÉ=0,. x = 1.2,. N. て ス テ ィ ッ ク の 開 始 時 刻 をt=0 と お き,初. 期 条 件 を 考 慮 し て 積 分 す る と,. (18 ) (15 ). 図3(a),(b)は. そ れ ぞ れ ピ ス トン 位 置 と ス テ ィ ッ ク. ス リ ップ 周 期 お よ び ス テ ップ 量 と の 関 係 を,絞. こ こ で,. 効 断 面 積 を パ ラ メ ー タ と し て,図. りの 有. 示 した も の の 例 で あ. る.な お 図 中 に は都 合 上,実 験 結 果 を も記 入 して い る. が 得 ら れ る.ス. ス テ ッ プ量 は 式(12)に. テ ィ ッ ク状 態 か ら ス リ ッ プ 運 動 に 移 行. え ら れ る が,一. す る 時 刻 をtbと す れ ば. お い てt=taと. 般 に右 辺 の2項. 小 と 見 な す こ とが で き,Xc=1.0の (16 ) が 求 め ら れ,ス. ωata=‑1と い.し. テ ィ ッ ク ス リ ッ プ 運 動 の 周 期tsは. Xcの. (17 ). おいた値で与. 目 は1項. 目に比べ て微. 近 傍 を 除 い てcos. な るた め 絞 りの影 響 は ほ とん ど現 れ な. た が っ て 図(b)に 増 加,す. 示 さ れ る よ うに ス テ ップ量 は. なわ ち排 気 側 シ リン ダ の 体 積 の 減 少 と. と も に ほ ぼ 直 線 的 に減 少 す る傾 向 を と る.一 方,周 は 式(17)か. で 与 え られ る.. ら 明 らか な よ う に,Xcの. 期. 増 加 とともに ほ. ま ざまのパ. ぼ 直 線 的 に 減 少 す る傾 向 を と り,ま た 排 気 側 の 絞 り有. ラ メ ー タ が ス テ ィ ック ス リ ップ 運 動 に 及 ぼ す 影 響 に つ. 効 断 面 積 が 小 さ く な る と と も に 周 期 は増 大 す る こ とが. い て 調 べ て み る.な. わ か る.. 次 に これ ら の 近 似 式 に 数 値 を 代 入 し,さ. お 数値 計 算 にあ た って は次 の よ う. 図4(a),(b)は. な 仮 定 を 置 く こ と に す る. (i ). 静 摩 擦 力 は ス テ ィ ッ ク時 間 と無 関 係 に 一 定 値. タ と し て 描 い た も の で あ る が,周. を と る. (ii ). そ れ ぞ れ 周 期 お よ び ス テ ッ プ量 に 及. ぼ す 供 給 圧 の 影 響 を 示 した もの で あ る.Xcを. 動 摩 擦 力 は,ス. に近 似 的 に(fa‑fs)に. リ ップ 運 動 中 の 平 均 す べ り速. 期,ス. 逆 比 例 し,し. パ ラメー. テ ップ量 と も. た が っ て 周 期,ス. 度 を考 慮 して 次 式 で示 され る よ うな平 均 摩 擦 力. テ ップ量 と もに 供給 圧 の増 加 と と もに 減 少傾 向 を と. (図6参. る.. 照)を. と り,一 定 の 値 と す る.. ま た,周 18 6. 期 お よ び ス テ ッ プ量 に 及 ぼ す 負 荷 の 影 響 に.
(5) 18 7. 岡部 ・神 谷 ・三 浦 ・横 山 : 空 気 圧 シ リン ダ に お け る ス テ ィ ッ ク ス リ ッ プ運 動. (a ) Period. of stick-slip Fig.. M=8.64kg, Solid Fs=37.3. 4. l=15.0cm, lines;. approximated. (b ) Displacement of stick-slip. motion Influence. of pressure. A2=19.6cm2, results. of air supply. α=0.87, under. (M-O. conditions ƒÉ=0,. one period. circuit). C1=3.0×10‑5cm2,. the. during motion. C2=5.84×10‑3cm2, x=1.2,. Fdc=27.5. N. and. N. 着 目 し て み る と,運 動 に 大 き な影 響 を 及 ぼ す 式(12)の 右 辺 第1項. 目 に は 負 荷 質 量 の 項 は含 ま れ ず,し. たが っ. て 負 荷 の大 き さ は ス テ ィ ッ ク ス リ ッ プ運 動 に ほ と ん ど. 前 と同 様 に し て,こ. れ らの 式 に 諸 条 件 を 代 入 す る こ. とに よ り,ス テ ィ ック ス リ ッ プ運 動 に 及 ぼ す 各 種 パ ラ. 影 響 し な い と言 え る.. メ ー タ の 影 響 を 知 る こ と が で き る.MO回 5.. MI回. 路 に お け る ス テ ィ ッ ク ス リ ップ 運 動. 期,ス. よ り,MI回. 路 に お け る ピ ス トン の ス リ ップ 時 間taは. 増加 とと もに ほぼ 直線 的 路 で はXcの. 逆 の 挙 動 を 示 す.す. な わ ち,図3に. Xc座. を 置 き換 え た か の よ う な 特 性 が. 標 の0と1.0と. 得 ら れ る.絞. こで. りの 有 効 断 面 積,供. 響 に 関 し て はMO回. おいてあたか も. 給 圧,負. 荷 な どの影. 路 の場 合 と類 似 の 傾 向 を示 す. 6.. 実. 験. 前 節 ま で の 理 論 結 果 を 実 証 す る た め に,ロ また,ス. リ ッ プ運 動 に よ る変 位 量(ス. 増加. と と も に 系 の 等 価 的 な ば ね 定 数 は 小 さ くな る た め 全 く. (19 ) と な る.こ. テ ッ プ量 と も にXcの. に 減 少 す る傾 向 を 示 した が,MI回. 前 節 と同 様 な 仮 定 を 導 入 し て 運 動 の 式 を解 く こ とに. 路 で は周. ー ラ ガイ. ドを用 い た 負 荷 用 テ ー ブ ル を空 気 圧 シ リン ダ に よ り駆. テ ッ プ量)は. 動 さ せ る 装 置 を作 製 した.摩. 擦 力 は両 シ リン ダ 室 の 圧. 力 お よ び ピ ス トンの 加 速 度 か ら演 算 回 路 を 用 い て 電 気 的 に 算 出 し た.実 験 に 用 い た 空 気 圧 シ リン ダ の 概 略 は, ピ ス トン の ス トロ ー クl=15cm,ピ A2=19.6cm2,A1/A2=0.87で. ス トン の 受 圧 面 積 あ り,ル ブ リ ケ ー タ を. 用 い て タ ー ビ ン 油 で 潤 滑 し た. 図5は. (20 ) で 表 さ れ,ス. テ ィ ッ ク 時 間tわ. 特 性 を 求 め た 結 果 の 例 で あ る.静. は. 摩 擦 力 は ス テ ィ ック. 時 間 の 増 加 と と も に指 数 関 数 的 に 増 加 し,ま. た供 給圧. の 増 加 と と も に増 加 す る傾 向 を と る こ と が わ か る.. (21 ). 図6は と な る.こ. ステ ィック時間 に対 す る静摩 擦 力 の時間 依存. ピ ス トソ と シ リ ン ダ 間 の 相 対 摩 擦 速 度 に 対 す. る動 摩 擦 特 性 を 求 め た も の の 例 で あ る.摩. こで 18 7. 擦速 度 が約.
(6) 精 密工 学 会 誌54 / 1/ 1988. 18 8. ス リ ッ プ運 動 に 及 ぼ す 影 響 を 明 らか に し た.主. な結果. は 次 の とお りで あ る. (1 ). ス テ ィ ックス リップ発 生時 にお け る運 動 の周. 期 お よ び1周. 期 間 の ピ ス トソ の変 位 量 を 求 め る近. 似 式 を 導 い た.こ. れ らの 式 か ら,各 種 の 駆 動 条 件. が 運 動 に 及 ぼ す 影 響 を 容 易 に 評 価 す る こ とが 可 能 と な っ た. (2 ). ス テ ィ ッ ク ス リ ップ 運 動 の 周 期 は ピ ス トン の. 位 置 に よ っ て 大 き く変 化 す る.MO回. 路 では流 入. 側 シ リン ダ の 体 積 が 増 加 す る と と も に 系 の 等 価 的 な ば ね 定 数 が 大 き くな る た め 周 期 は 小 さ く な る. Fig . 5. Characteristics of friction on static friction force -. force. - Time. ま たMI回. effect. 路 で は逆 に 流 入 側 シ リン ダ の 体 積 増 加. と と も に 等 価 的 ば ね 定 数 は 小 さ くな り周 期 は大 き くな る. (3 ). ス テ ィ ッ ク ス リ ッ プ 運 動 に お け る1周 期 間 の. 変 位 量(ス. テ ップ 量)は. 大 き く変 化 す る.MO回. ピ ス トン の 位 置 に よ っ て 路 で は 流 入 側 シ リン ダ の. 体 積 が 増 加 す る と と も に 小 さ くな り,MI回. 路で. は 逆 に 流 入 側 シ リン ダ の 体 積 増 加 と と も に 大 き く な る傾 向 を と る. (4 ). MO,MI回. 路 い ず れ の 場 合 も,絞 りの 有 効 断 面. 積 が 大 き くな る と周 期,ス. テ ップ量 と も に小 さ く. な る傾 向 を と る. (5 ). MO,MI回. る と周 期,ス Fig . 6. Characteristics effect on kinetic. 0.5cm/s以. of friction force friction force -. - Velocity. お. (7). た,静. 路 い ず れ の 場 合 も,負 荷 の 大 き さ は. これ ら の 解 析 結 果 は 実 験 結 果 に よ って 確 か め. られ て い る.. 下 に な ると摩擦 速度 の 減少. と と も に増 大 の 傾 向 を と る.ま. MO,MI回. ス テ ィ ック ス リ ップ 運 動 に ほ と ん ど影 響 し な い.. 上 で は 動 摩 擦 力 は ほ ぼ 一 定 値(Fdcと. く)を と る が,0.5cm/s以. (6 ). 路 い ず れ の 場 合 も,供 給 圧 が 高 く な テ ップ 量 と も に 小 さ くな る.. 摩 擦 力 と同 様 に. 謝. 辞. 供 給 圧 の増 加 と と も に 動 摩 擦 力 も増 加 す る5). 実 験 に あ た り,種. 実 験 に 際 し,ス テ ィ ッ ク ス リ ッ プ発 生 時 の ピ ス トン の 変 位,速. 度,加. の 様 子 を測 定(測 た が,図2に. 速 度 お よ び両 シ リン ダ 室 の 圧 力 変 化. 氏,当. 定 結 果 は ペ ー ジ数 の都 合 上 割 愛)し. を 表 す る.. 示 した 理 論 結 果 と は ほ と ん ど よ く一 致 し. た 波 形 が得 られ て い る.こ トン位 置Xcに. 参. の よ うな 運 動 波 形 か ら ピ ス. 対 す る ス テ ィ ッ ク ス リ ッ プ 周 期tsお. び ス テ ッ プ量XSを. 読 み 取 っ た 結 果 を 図3中. 1). よ. 結. と ん ど理. 論. い くつ か の 仮 定 の も と に,空 実 用 的 な 近 似 式 を 導 き,各. 気 圧 シ リン ダ の動 特 性,. K. Yamafuji & T. Iwagaya : Speed and Position Control of a Pneumatic Cylinder Using a Cam and Air Sensors, Proc. 5th World Congr. Theory of Machines and Mechanisms, (1979) 1275.. 3). 花 房 秀 郎,則 次 俊 郎: 空 気 圧 シ リン ダの 高 精 度 位 置 決 め の. 4). た め の圧 力制 御 方式,日 本 機 械 学 会 論 文 集,47,415(1981) 328. 亘 理 厚,杉 本 隆 尚: 摩 擦 に よ る振 動,日 本 機 械 学 会 論 文. 論 結 果 と一 致 し た 傾 向 を得 て い る. 7.. 竹 中 利 夫,浦 田 暎 三,滝 沢 正 隆:空. 2). 一 致 した 傾 向 を と る こ と が わ か る . 路 に つ い て も 同 様 の 実 験 を 行 い,ほ. 考 文 献. 日本 機 械 学 会 論 文 集,35,279(1969)2287.. に 示 す.. こ れ ら の 図 か ら,実 験 結 果 は 近 似 計 算 の 結 果 に ほ ぼ. MI回. 々協 力 され た 金 沢 大 学 ・野 村 久 直. 時 の 金 沢 大 学 学 生 ・寺 田 弘 司 氏 に深 く感 謝 の 意. 5). 気 圧 シ リンダの運 動 の. 種 パ ラ メ ー タ が ス テ ィ ック 18 8. 集, 29, 200 (1963) 769. 荒 木 獻 次,棚 橋 綱 男,大 野 賢 一:空 気 圧 シ リン ダの 摩 擦 測 定,春 季 油空 圧 講 演 会 講 演 論 文 集(1979) 59..
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