古典力学と量子力学との関係

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古 典 力

学

と

量

子

力

学

と

の

関 係

村

田

良

夫

＊

The

　

Relation

　

between

　

Classical

　

Mechanies

　and 　

Quantum

　

Meehanics

Yoshio

，　

MURATA

　　

By　using 　the　

formulation

　of　quantum 　mechanics 　with 　classical 　pictures，　the　motion 　of　a　

quantum

is

　analysed 　

for

　

linear

　

harmonic

　oscillator

．

　

On

　this　occasion 　it　

is

　postulated　that　the　

quantum

　mecha

・

nical 　momenttlm 　of　the　

quantum

　

is

　approximately 　equal 　to　the　corresponding 　classical 　mechanical 　mo

・

mentum 　in　the　region 　of　va！idity　of　the　coordinates

．

　

According

　to　this　analysis 　

it

　

is

　shown 　that　the

quantum

　mechanical 　motion 　 well 　 corresponds 　to　the　 classical　 motion

，

　 and 　that　

the

　wave 　equation

determines

　the　ass   iated　wave 　along 　the　whole 　orbit　of　the　_quantum 　in　the　co 面 _guration　space 　and the　uniqueness 　of　the　wave 　tllroughout 　the　orbit 　plays 　an 　important　role　

in

　

quantum

　mechanics

．

_In

addition 　to　the　abDve

，

　an　attempt 　

is

　made 　

to

_皿ake 　dear 　the　wel1

・

known

　

fact

　that　class 玉cal　mechanics

with 　the　quantization　gives　apProximately 　the　sa皿 e　results 　as　quantum 　mechanics

．

§

1

．

ま え が き

　1952

年に

Bohmi

） ， 高 林2 ｝ な どによ り粒子の軌 道の_存 在を示唆する ような

，

古典 的 描 像 を もつ量 子力学の理論 形 式が展開 されたが

，

いわ ゆ る quantum 　Potential の 効 果が複 雑であるた め に粒 子の量 子力学的な運 動が具 体 的に はほ とん _ど調べ られて い_ない。 そこで ， こ こで は上 記の理論 形式に した が っ て

，

もっ とも 簡 単な

一

次元の調 和 振動 体に関 し て粒子の量 子力学的な運動を分 析し， 古 典力学と量 子 力 学の 関 係につ い て 考 察 する。 ま ず

，

§2 で は理 論形式を概観 し， 粒 子の量 子力学 的な運 動 量を定 義 する。 つ い で， §

3

で は 古 典 力 学に よっ て粒 子に附随 する古典 的な波 動をつ く り

，

通常の

Sehr6dinger

の_波 動 関数と 比較 するこ とに よ り， 紋 子の古 典 的 な 運 動 領 域 に お い て は 両 者の 間に極め て よい_{対 応}が あるこ_{と を示} す。 §

4

で は こ の対 応に も とつい て量 子 力 学 的 な 運動量 は古 典 的な粒子の運動領 域で は， 近 似 的に古典力学的な 運 動 量に 等しい と仮 定 するこ とに よ

D ，

量子 力学 的な運 動 量 を

一

意 的に_定め， 粒 子の運動を調べ る

。

そ して

，

量 子 力 学的 な粒 子の運 動は古 典 的な運 動に よく対 応して お り

，

量子 条件を加え た古 典 力学 が 量子 力学の よ い近 似と なっ て い る意 味を 明ら かにする。 ま た

，

波 動 方程式は粒 子の軌 道にそ う附 随 波 を決定するものであり， こ の波 動 が

一

意 的に定ま るべ _きで _ある とい _う要請が波 動関 数に対 する通 常の境界条件に相 当 す るこ とを 示す。 §

2．

　 量 子 力 学 的 運 動 量t）m

　

ス ピ ン _がない_質量

Pt

の_粒子 が ポ テ ン シ ャ ル

V

（r）の 作用 を うけてい る場合につ い て理論の_概要を述ぺ る。 こ の場 合の

Schr6dinger

方程式 に 　

ht

一

至

〆

ψ（「_）＋

v

ω ψ（「）

＝E

ψ（「_） ψ（r）− R（r）・x ・

匸

XS

_（r_）

］

（

2・

1

） （2

・

2） を代入する と， つ ぎの 二つ の基本 的 な方程 式 が 得 られ る。

　

　

　

毒

・・

S

）2・

（

　　　

ht

　

dR

TL −

　　　

2P

　

R

）

− E −

・ …

3

・ ＊ 助 教 授 　 　物理 学 科 　 　　 　 　 　　 　

div

（

Ri

ク

S

）

』0

　　　　　　（

2・

4

） 　こ こ で

， R2

を粒 子の 位 置の確 率 密 度 と み な し， 量 子 力学的な運 動 量 P が 　 　 　 　」P

≡

ク

S

　　　　　　　（

2・

5） で与え られる と す れ ば

，

S

は運動量ポ テ ン シ ャ ル である と考 えるこ とがで きる。 すると

，

（2

・

3

）より次式が得ら れる。

一 25 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

　

　

　

　

　

留

一

一7

（

V −

　　　

2

μ　

R

）

　

・ ・_…

　

したが っ て， （

2・

3

）

，

（

2 ・

4

）は 運 動量ポテ ン シ ャ ル

S

に 属 する粒 子の軌道の集 合 を 表 現 し， その軌道は ポ テ ン シ ャ ル

V

に量 子力 学 的な効 果と み られ る _quantum 　

po ・

tentia且

一h2

　

dR

／

2

μ

R

が加わる と し て

，

古 典 力 学に よっ て決定され る と 考 えて よい。 そ して， 任 意の解

S

，

R

が 求め られれば

，

（

2・

5

）を積分 す るこ とに よ り個々 の軌 道 を定め うる。

　

（

2・

3

）

，

（2

・

4） を満足 する解 を 直 接に求め るこ と は困 難 であるが

，Schr5dinger

方 程式の解が知られて い る場 合 ｝こは （2

・

2）から P

，

8

は ・

一

音

・・

［

立

ψ＊

］

　　

　

　

　

　

・

− h

・・

L

咢

］

に よっ て 得られ る。 こ こで， （

2 ・

7

） （2

・

8）

　　　　　　　

ψ＊ _{は ψ の複 素 共 軛で} あ り

，

　

lrn

_{は虚数部 を と るこ とを意 味} する。

　

量 子 力 学に おい て は

，R

，　

S

が得られ れ ば_， 問題は完 全に解けた ことに な り， 個々 の軌道 を 求め る 必要が ない とい える。 し か し な が ら， 量 子 力 学 的 な運 動量 P を 求 め うれば， 古典 的な描 像の もとに古 典 力学と量 子 力学の 関 係を み るこ とがで _きると思わ れ る。 実際に は， 多くの 例につ い て具 体 的に こ の_{関 係 を 示 す}のは困難で あ る が

，

一

_{次 元の} 調和 振動体の場 合に は ある程度まで _粒子の量 子 力学 的な 運動を分 析 する ことによ り

，

古 典力学との_{対 応} を み るこ と がで ぎる。

　

§

3

・ 古

典 的 な 波

動

　

（2

・

5）は古 典 力学 的に は 作用

S

と 運動 量との関 係 を 与え る もの とみ られ る か ら， 古 典 力学に し たがっ て （

2 ・

2

_）に対 応す る 古 典 的な 波 動をつ く り

，

通常の_{波 動}関 数 と比 較し てみ る。

　

一

次 元の 調 和振 動 体の エ _ネル ギ

ー

方程式

　　　　　　　

E 一正

＋ μω 2 ・2 　 　 　 2μ 　 　 　 2 に より， 運 動量はつ ぎの よ うにな る。

　

　

　

　

　

　

；

（

＝

±P （x

，

E

_） x_，

B

_）

＝

_μω》αL ”・

｝

ただし， α は 振 動体の振幅で

　

　

　

　

　

　

　

α

一

標

（

3・

1

） （3

・

2

） （3

・

3

） である。 作 用

S

（X

，

E

）をつ ぎの ように定 義する

。

　

　

s

（x

_・

・

E

_）＝＝

∫

z

．

P （x・

E

）

d

・

　

　

　

　

　

一

噐

ノ

・

一

 

＋・・n

−

・

2

_・

9

｝

・・_… この場合に は （

2・

4

）か ら

R2 ・

dS

／

dx 　

は

一

定であるか ら，

R

はつ ぎの式で与え られる_。

　

　

　

　

R2

（x）

＝

1

釜

「

詣

（

3 ’

5

＞ こ こ で

j

。 は定数で ある

。

一

_{次元の調 和 振 動体 に 対し て}

_，

_{つ ぎの} 波動を 定 義す る。 の・ ω

一

黜

・x ・

［

XS

］

一

・x・

［

一

詞

｝

　 　 　 （

3・

6

） （

3

・

4

）

，

（

3 ・

5

）を 上 式に代入すると

，

S… _（x）

一

…

一

…

−

a

−

…

S

・

｛

（

i

x！）_＝1 gbnel（x_{） （}・_の

　

　

Sn

…

一

・・＋ ・・

欄

・

一

（

α

）

2 ＋・・n

−

・

詈

・

9

｝

　 　 　 （

3・

8） こ こで

jo

／ω

；1 　

_とし ，

　　　　 E

≡11En

＝

海ω （n 十

1

_）

　　

_（n ＞

− 1

_）

　　

_（3

・

9_） とおい た。 n は

一

1 より大きい任 意の実 数である。

　

軌 道を 通 して こ の波動が

一

意 的に定ま る ときを定 常 状 態とすると

，

こ の定常 状態に対する_{条 件}は

　　

・x・

［

is

（a

・

・E ・）

］

一

・x ・

［

一

；

S

（・・

E

・）

］

一 ・ す な わ ち

，

　　S

（α

，

E

。）＝ πh （

N

＋1）

　

（

N

： 整 数 ）

　

（

3・

10） とな る。　し か るに

　

　

　

　

　

　

s

_（c…

En

）一

∫

二

！

（x・・

E

・）

dx

＞

o

であるか ら

，

N は

0

または 正整 数でな け れ ば な ら ない 。 　また_，　（

3・

4_{）， （}3

・

9_{） よ り} 　 　 　 π

en

　 　 　 　 　

s

（α，

En

）＝ 　 　 　 ＝ π充（n 十1） 　 　 　 ω であるゆえ， n

　

＝＝ ヱ

V

で ある。 した がっ て， 定 常 状 態の 条件 （

3 ・

10）は つ _ぎの式で表 わせ る。

　

　

∫

1

．

P （x

・

・

En

）

dx

−

・鰤 ＋ ・） （n

一

α 塙

…

） 　 　 　 （3

・

11） これは

Sommerfeld

・

Wilson

の量 子 条 件 と 完全に

一

_致 する。 した がっ て， 定 常 状 態の 古典的な波動 関数は

　　

o

。・・（。）

一

（。・

−

x・）

−

₁

・ …

［

_・・＋

1

・

｛

lt4

・

一

（

詈

｝

2 ＋ …

−

1

諺

｝

］

　 　 　 （

3・

12

） で与 え られ

，

その エ _ネル ギ

ー

は

q

一 26 ＿

）

NII-Electronic Library Service 古典 力学と 量 子 力 学 との 関 係 （村田良 夫 ） 1 　 00z

＝

1

一

2

一

3

一

4

」

2　 3　4

一

4　

−

3　

−

2　

−

l　 O　　1 　 　 　 （π

π

／） 2　 3　4 　 432 20z

＝

1

　

2

一

3

【

4

［

一

4

−

3

−

2

−

1　0　　1　　2　　3　4　　　　

−

4

−

3

−

2　

−

1　0　　1　　2　　3　4

　　　　　

（n

＿

3）

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

（”

i4

） 　 　 　 第

1

図 　古 典 的な_波動 関数 ψ評 （x_）の_{概 形。}

　

　

　　

　

　

　

　

繍 ま ・

イ

争

黼 ・ _・。・・（・）・欄 値・ ・

一

・

−

e 　 　 　 　

En ＝h

ω （_{n 十}

1

）　　 （n ＝

0，1

_，

2，

…

）　 （

3・

13

＞ である。 　n

＝0，1

，

2

，

3，

4 に対する gb。 cl （x）の概形 を第

1

図に 示す。 対応する量 子力学 的な 波動 関 数の形と比較する と8）

_，

古典的 な粒子の運 動 領 域に お い て は両 者の間に非 常に よ い対 応が ある こ とが わ か る

。

　 §

4．

　 量 子 力 学 的 な 取 扱い 　（2

・

4）お よ び （2

・

4）を m につ いて微 分した式を用い る と，

一

次元の 調和 振動 体の量 子 力 学 的 な 運 動 量 P   ，

E

）が満足する方程式は

　

　

・e

｛

・

・

籌

一一

⊇

儒

）

21 ・・_P・ …

−

q2・一 ・ _・・_… となる_。 た だ し

　　　　　

92≡ _qE（x・・

E

）

一

・・

（

・」

亨

2

）

（… _） であり， 古典的な運動領域に おい て は古 典力 学 的 な 運 動 量の 2 乗に相 当 する。 量 子 力 学 的 運動量を

一

意 的に定め る ため に

，

初期条 件とし て _p（X

，

E

り　はつ ぎの条 件 を 満 足 すると 仮 定 する。

　

　

　

　

　

磊

欝

二

鬻

諾

｝

  （4

・

1）および （4

・

3）か ら， さ らにつ ぎの初 期 条件が導き 出され る_。 　 　 　

d2

　　　

d2



































3

　

　

瀛

q2（

o，

　

E

）

　　　

魂

互ρ（

o

・E ）

＝

±

’

2

’

α（

o

，、

E

） 　 　 　 　

＝

ttO _（4

・

4） 　これらの条 件は §

3

で示 さ_れたよ うに 古 典 的な波 動 関 数が 量 子力学 的 な波動関 数 とよ く対応し てい ること， お よび （2

・

3）は

　

　

　

　

　

　

　

劃

翌

L

_。 　 　 　

IE

一

γ

1

一

₂₇

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

の極限で は古典力学と 同意 義の方程式に な る であろう と の推測に よっ て仮定した ものである。

　

（

4 ・

1

）を直接に解 くこ とは困難であるが，

一

次元の調 和振動 体に対する

Schr6dinger

方 程 式の_解を 利 用 して p （X

，

E ）を決 定す るこ と が で _きる。 　

一

次元の調和 振 動体に対 する

Schr6dinger

方程式

　

　

　　

　

　

一

器

雲

＋ μω

1

炉 _ψ

一E

_・ ・・_… に おい て

　

　　

　

　

　

E

曇

En − h

ω

（

　 　 1n 十

一

　 　

2

）

　

　　

　

　

・

−

4

争

とおく と

，

つ ぎの式 を う る。

　

　　

　

　盤

・（・n＋・

一

・・）ψ

一

・ （4

・

6） （4

・

7） （

4・

8

） ただし

，

n は 任 意の実数である。 こ の方 程式は よ く知ら れ てい る ように， つ ぎの

一

組の基 本解をもつ 4｝5〕 。

1

：

：

二

：

二

：

：

：

鴇

繭

：

1

_）

｝

　 　 　 （4

・

9

） こ こ で

，F

（α，　

b

，　Z2）は合 流 型 超 幾 何 関 数

　

　

F

（a

_・

b

… ）

一

急

乃

子

（

黠碧

i

ナ

喚

吉

缶

弖

、

）（x2） k 　 　 　 （

4 ・

10

） である

。

（

4 ・

8

）の

一

般 解は ψb ψ2 の

一

次 式 で あり

，

各 々 が未知の

_実

_係数を2個ずつ 含む

。

し た が っ て

，

（

2 ・

8

） を用い て _p（X，　

En

）の

一

般 解を求め る場 合に は 未知の係 数は

3

個で_ある。 そ こで

，一

般に は p（x

，

En

）はつ ぎの よ うに_書ける。 P，。

，

、

E 。

_，．

．

＝

_±

h

・。

1

（1

畿

鵲

i

欝

｝

　

　

　

　

　

　

h

_・・

一

・β・

體

蝸 」

謝

　　　　　

±

1

（

1

＋

i

。）_ψ、＋（β．

ir

）ψ、

1

・

　

（ 4

’

11_） ところが， ψ1

，

ψ2 は （

4 ・

8

）の基本解 で ある か ら その

Wronskian

は定 数である。 した が っ て

，

　

　

・・x，・… 一 ±

1

（、．

認

編

_。、， （…

2

・ こ の式の未知の係

数

α，β，

r

は （

4 ・

3

）お よび （

4・

4

）の初 期条 件に よっ て 定 め ら れ

，

a ＝ _β

＝O

， γ

＝

》

2

π＋1 と な る。 したがっ て

，

量子 力学 的な運 動量は P（x

・

・

En

_）

一

±

亙

瓦

講

鴇駕哉

伽 ）｝2 （4

・

13

） で与え られる。 　逆に

，

こ の _p（x

_，

　

En

_{）か ら古 典 的 な 方 法 と対 応 を と り} つ つ _{， 定}

_常

_{状 態}の

波動

関数を構成するこ とが で ぎ る。 ま ず， （

2 ・

5

）より古 典 力 学 的に は作 用に相 当 する運 動 量ポ テン シ ャ ル

S

をつ _ぎの_式で定め る。

　

　

　

　

　

　

　

・ ・x_・・E”・

一　

S

＝ P・x_・跏 （… 4） っ ぎに， （

3 ・

6）に対 応さ せ てエ ネル ギ

ー

が 現 の粒子の 運動に_附随する波動を ・鳳

驃

’

｛

・xp

［

−

i

sh

］

一

・x ・

［

−

fs

］

｝

　 　 　 　≡ _ψn（x_{）　　　　　　　（}4

・

15_） と とる。　（

2・

4）か ら

　　R2

（x）P（x

_，



E

π）

　

＝　

Ro2 ，

P（0

，

　

En

）

　

＝　

Ro2

．

》

2

μ

E

． である か ら

，

（

4 ・

15

）は 醐

一

劈

灘

黜

1）

呵去

∫

二

_．

_．

P・・ 玖

呵

　 　 　 （

4・

16

） と なる。 こ こ で Ro は定数で ある が n に依 存する と考 えるこ と もでき る。 （4

・

16）は 直接に 計 算するこ とは困 難で_ある が， （

2 ・

7）お よ び ψ、

，

ψ2 の

ixl

→ 。。 におけ る漸近 形を用い て計 算できる。 その計 算は付 録

1

に示 す が， 結 果はつ ぎの ように なる。

　

ψ

。

（x）

；R

。｛ψ1（X

，

％）sin δ

。

＋

V2ii

＋1

・

_ψ、（x

，

　n）c。sδ。｝ 　 　 　 （4

・

17） た だ し，

　

　

　

　

一

甼

縞

］

で

，r

はガ ン マ

ー

_関数である_。 この 波 動が 軌 道を通し て

一

意 的に定ま る ときを

定

常 状態とす れば

，

その_{条 件}は P（x，

En

）＞ 0 に対 し て， （3

・

10）と 同様に

∫

二

e

．

P ・x… ”・

一

・・

N

（

N

−

…

…

） （…

8

） と な る

。

上式の左 辺の_{積 分}を計 算すると

∫

：

．

．

・（・・　・・）　

一

・h （・ ＋ ・） （n… 　・

・

・…

2

・

…

） と書 ける。 こ の計算は付録皿に示す。 したがっ て， n

＝

N

− 1

が得られる。 ゆ えに

，

定 常状 態の条 件は

　

　

∫

：

e。

p

（x_・・

En

_）

d

… 　 ・

h

（n ＋ ・_） （・

−

qL

亀…

） 　 　 　 （4

・

19

） であり， その と きの波動 関 数は （

4 ・

17

）で与え られ

，

エ ネル ギ

ー

は

a

− hw

_（

　 　％十

一

1

　 　 2

）

（n

−

・_・・_…2_・

…

_{） （}・

・

2・_） ノ 隣

一 28 一

NII-Electronic Library Service 古典力 学 と量 子 力学との関係 （村田良 夫） となる。 n が

0

また は 正整数の場 合に は 病 （x）は よ く 知られて い る定 常状態に対する波動 関 数になる。 注 意 す べ _ぎこ とは， 基底 状 態に おい ても， 量 子力学的運動量 p（x

，

Eo

）は0に なら ない こ とで ある

。

し たがっ て

，

零 点 エ _ネル ギ

ー

は粒子の実際の振 動に よっ て生ずる ものであ るこ と が示 さ れ， 不確定性 原理 と直 接に は無 関 係と考え られ る。

　

っ ぎに，

lxF

が十分 大 きい ときの （

4・

13

）の形 を 調べ る と

，

その 漸 近 形の 主要な項は ・凧 酬

痂

プω

（

！

　

；

’ ！



_・・

）

n＋’ ex ・

［

一

響

］

と なる_。 こ こ で_，

f

（n_）は n の _ある関数で ある。 上 式よ り，

lxi

が大きい と き， 粒 子の運動量は古典 的 運動領 域 に おける値よ りも十 分 小 さい ことが わか る。 した がっ て， 量 子 条 件 （4

・

19

）に対して

，

lx

「が 大 きい ところか らの寄 与は ほ とん ど ない と み て よく， 古 典的な 量 子条 件 は よい近似を 与 えると考え られる。 　運動の周 期の大 略 を 知 るた めに． 十 分 大 きい Xo に対 し て Xo

＝

X（to）

，

また Q。

＝

X_（

T

_{） とすると}

∫

1

，

dt −

_∫

_こ

φ

畿

）

　

　

　

　弍

（

咢

停

… 卿

階

が

コ

ー ・ ・ と な るか ら

，

周期は 。。 _{とみ られ る。 粒 子}の運 動 が

一

D。 か ら Q。 _{の領 域で起}こ _り

，

_その _{周 期}が 。 。 _{と な}る_点が_何 に原 因し てい るの か全 く不明である。 §

5．

む　 す 　び 　

一

次元の _{調 和}振動体に対 して は量 子力学 的 な粒于の運 動量を

一

意 的 に 定め ること が で き

，

古典論と対応さ せ て， 量 子力 学は粒子の運動に附 随 する波動の

一

意性の条 件に よっ て特性づけ られること が明ら かに なっ た が

，

以 上の_{議 論}は粒子が他の ポ テンシ ャ ル の作用 を うけて い る 場 合に も原 理 的に は可 能で ある と思わ れ る。 ところ が，

S

を 作 用 とみな す と， 基 本方程式 （

2 ・

3

）は 形式 的には

古 典力学に おけ る

Hami

！ton

・

Jacobi

の_{方程 式}と考え ら れ る が，

S

は同時に （

2・

4）に よっ て quantum 　poten

・

tial _{を 定}め る

R

に関 連し て い る か ら

，

古 典 力 学 的 な

HamiltOn・

Jacobi

の理 論 を 展 開 することは で きない と思 わ れる。 し か し な が ら， 量 子 力 学に おい て も

，

古 典 的 な 意 味 を もつ 粒 子の概 念 を 導 入 する余 地はあ るの で はない だ ろうか。

付 　録　

1

． 波動関数

の計 算 （2

・

7）お よ び α

＝

_β

＝0，

r　

＝

：

》2処 十

1

を用い て 　 　 　 　

s

　

．．

　

s

　 　 COS

−

十 Zsm

−

　 　 　 　

h

　 　 　 　

h

　

　

　

　

一

砂

毒

禰 ψ夢｛

e

，・

W

・ ・ ＋・_¢s｝ を うる。 （4

・

16）を書き代えると

　　　　　　R

。

V

μha）（

2

痴

1

　 　 ψ。＠）

＝

　　　　　

VIP

（x，　

En

）

1

　 　　

．

　

s

（x_，

En

_） 　 　　 　 　 　　 　 　　

s

（

一

　co，　E．） ・

｛

・i・ 、 ・・S

−

r

−

一

…

−

S

（

轡

…

S

（

一

響

弓

と な るか ら

，

前 式に よ り （A

・

1） ¢・（・）　

・

　

Ro

［

V

・赧

叫

虹

研

毒

壥

　

　

　

　

一

血

_瓢

読

鑑

睾

鑷

］

と書ける。 し か るに

，

ψ、

，

ψ2 はそ れ ぞ れ x の偶 関数お よ び， 奇 関数で あるか ら sb・（m）

＝

・

　

R

・

［

蟻

講

黠

寄

捧

　

　

　

　

　

・

v

・・＋_恥

凱

％ 舜

缶

f

両

］

　 　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 （

A ・

2

） と なる。 とこ ろで

，

ψ、

，

ψ2 は合 流 型超幾何微 分方 程式 の

一

組の 基本解

Wi ，

恥 を 用い てつ ぎの ように表 わせ る6） egl ・ ・（・，・n・… ・

［

＄

］

｛

叫 号

・

麦

・z2

）

ー

）

22 ⊥ 2 竺

2

　

一

（

脆 十 ψ・・X

・

・… X・_{x ・}

［

一

瓠

殕

e

ヂ

・

9

・・

う

・

畷亭

・

昜

・ z2

）

｝

　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　 　 　（A

・

3） こ こ で

，

Z

＝

〜／

痴

7

万忽

　

で あ り

，

　

Wl ，

　

W2

はつ ぎの式 で_与えられ る。 　 　 　

r

（

b

） 　 　 　 1

Tl

” ・（α；

b

；Ω

＝

贏

2。吻

＿

i

’

7

（。_）

r

_（

b＿

。）

　

　

　

　

　

　

×

呵

蛸

輔

 

　va2（a ；b；

9

）＝

　　　　　　　　 　

コ

exp _｛2π

i

（

b−

a）｝

−

1 　 　 r（

b

） X 　 　厂_（α_）厂_（卜 α_）（

一

_ζ）

−

a

∫

广

・・

−

v

（

1＋

『

₁

）

b

“

aJl

　

dy

へ

一 29 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

ただ し

，

積分 路は第

2

図に示すもの で ある。 丿

一

平 面

q

y

＝0

ジ

コ

ζ α 第 2 図 そ し て，

lzl

→ 。。 の場 合の 耽 ， 耽 の 漸 近 形は 　 肌 （th；

b

；z2）

　

　

　

告

磊

％

（

−

z・ ）

一

・

G

（・…

− b

…

一

・・） 　 脆 （a；

b

；z2）

　

　

　

　

望

鵄

〆

・

_・z・_・a

−

・_σ・・

一

・・ゐ

一

・_・z2_・ で ある。 こ こ で

G

はつ ぎの級 数を示 す。 ・（・・β・z・）

一

・・

轟

・

響

辺

・

…

これ らを用い ると　圍 → 。。 の ときの

di1

， ψ2 の主要な 項はつ ぎの よ うに な る。 ψエ（x，　n）　！1r

（

12

）

ψ2（x

，

n）　ny r

_（

2

）

亀

略

困

・xp

［

升

一

・ 輯 　 　 　 （A

・

4） し た が っ て

，

（A

・

2）の極 限の 部 分は （A

・

4）に よ り計算 で き る。 また，

一

般に tan　

B ＝A

とすれ ば

　

　

・…

一

》、

転

、， … B

−

kt

．

一

一

・

Al

一

、 である_。 これ ら｝こ_{注 意す}ると （A2 ）は （4

・

17）で表 わ せ る。 　 　 　 　 　付 　 録 　

II

．

量 子 条 件の 計 算 　（

4 ・

18

）の左 辺の積 分は p （x，　

En

）が x の偶 関 数であ る か ら

∫

2

． P（x_・・

E

・）伽

一2

∫

『

P （…

En

）

dx

　 　 　 　＝

＝2

_｛

S

（co ，　

En

）

−

S

（

0，

　

En

）｝　 （

A ・

5

） ところで

，

（2

・

7） を 用い ると

　　　　　　

ψ1 ＋

iV2ii

＋

1

_ψ2 　 　 　

8

（x，　

En

）

＝ − ih

　

ln

　　　　　　

A／_ψit 十（

tnt1

’

）

癬

一

と書け る

。

そ こ で

，

（

A ・

4）に ょ り

，

S（oo

，

　En_{） は} 　 　

S

（QQ_，　En_）

ニ

hθ ・

州

1

甼

割

網 に なる。 ま た

，

ψエ（

0，En

）＝

1，

ψ2（

O．

　

En

）＝

0

　である か ら

8

（0

，

En）

＝

・

　O _である 。 （A

・

6

）は n が

0

ま た は 正整 数の とぎ以 外は nh の整 数 倍に な り得 ない。　n を負で な い_{整 数}と する と

　　　　　　　

θ

一

詈

（n ＋

1

） とかける。 したっ て，

∫

二

．

．

P（x・・

En

）

d

・ ・

一

　_{nh （}n _{＋・） （}n

−

・_・ ・・…

…

） と表わせ る

。

）

1

）

2

）

3

）

4

）

5

）

6

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