微積分
I (2019
年前期
)
期末試験類題
(
理工学部共通
)
1
問題
1.1
1
階導関数
1. 次の関数の1階導関数を求めよ． 1 2x4 x2 3 1 x 2 x2 º x 3x 2 15 4ax b cx d 5 x x2 1 6 x 2ex (7) 103x(8) logx ºx2 3 (9) excos3x (10) sin2x (11) sin12x 12 cos13x 13 tan1x 2 2. 次の関数の導関数をf, fを用いて表せ．1fx2 2fº x 3xfx2 3. 数直線上を運動する点Pの時刻tにおける位置xtが次で表されるとき、与えられたtの区間で点Pが最も 原点x 0から離れる距離を求めよ． (1) xt t33t 0 F t F 2 (2) xt te3tt G 0 (3) xt ete2tt G 0 (4) xt etsin tt G 0 4. 球の体積が毎秒a m3の割合で増加しているとき,半径がb m (b A 0)となった瞬間の，球の表面積の増加 速度を求めよ. 5. 水平な水面上10mの高さの、水面に垂直な崖の上から舟までの距離が50mである.綱を舟に結びつけこれを 弛まないように毎秒1mの速さで手繰るとき,引き始めてから10秒後の舟の速さを求めよ.
6. y A sin3x B cos3x Ce12xが全ての実数xについてy 12y 51 cos3x, y0 10を満たすとき定 数A, B, Cを定めよ.
1.2
接線
1. y 1 x のx aA 0での接線とx, y 軸とでつくる三角形の面積を求めよ． 2. y x2 の傾き正の接線でx軸の正の方向とのなす角が π 4 であるものを求めよ． 3. y x 1 x2 の接線で 1 2, 1 2を通るものを求めよ． 4. y e2x の接線で原点0, 0を通るものを求めよ． 5. y log2x 1の接線で1 2, 0を通るものが, y軸を切る点の座標を求めよ． 6. 曲線y cos2πxのx 1 4 における接線の式を求めよ． 7. 曲線y º3 sin12xのx 1 4 における接線の式を求めよ． 8. 曲線y tan1ºx 3 のx º 3における接線の式を求めよ．1.3
逆三角関数
1. 次の値を求めよ． 1 tan1tan 3π 4 sin 1sin 3π 4 2 sin 1cos 2π 3 cos 1sin 2π 3 3 tan 11 2 tan 11 3 4 tan12 º3 tan12 º3 5 sin1x cos1x 6 tan1x tan11x 2. 次の関数fxの逆関数を求めよ． (1) fx 1 3x 4 (2) fx x 3 2x F 3 (3) fx ex 5 3. 次の方程式を解け．(1) sin1x cos12 3 (2) sin 1x tan11 2
1.4
極限
1. 次の極限を求めよ． 1 lim x 0 sin2x 3x 2 limx ª sin2x 3x 3 limx 0 cos2x 3x 4 limx ª cos2x 3x 5 limx 0 tan2x 3x 6 limx 0 e2x 1 2x1.5
高階導関数・ライプニッツの公式
1. 次を満たす定数A F を求めよ．1 x1005 100! A! x B 2 ºx5 1 3 5 7 2C x D 3 log SxS5 E! xF 2. 次の関数のn階導関数を求めよ．nは自然数、a, bは定数とする．1 eax 2 sinax b 3 cosax b 4 xe2x 5 x2ex 6 x cos2x
1.6
テイラー展開・マクローリン展開
1. 次の極限を求めよ．必要ならばexA 1 n Q k 1 xk k!(nは自然数)がxA 0で成立すること、及び ª Q k 0 xk k! e xが任意 の実数xで成立することを用いてもよい． 1 limx ª x4 ex 2 limx ª log x ºx 3 limx 0log x 4 limx 0x log x 5
ª Q n 0 nx n n! 6 ª Q n 0 n2x n n! 2. 次のfxの与えられた次数までのマクローリン展開、及び極限値を求めよ．剰余項の具体形は不要である． (1) fx e2x (x3まで), lim x 0 e2x 1 2x 2x2 x3 (2) fx e x ex (x2まで), lim x 0 ex ex 2 x2 (3) fx cos 2x (x4まで), lim x 0 cos 2x 1 2x2 x4 (4) fx sin 2x cos x (x 3まで), lim x 0 sin 2x cos x 2x x3
1.7
関数のグラフ
1. 以下の関数のグラフを描け．増減凹凸表は必要無い．(6)(7)については周期も答えること． (1) y Sx 2S Sx 1S (2) y 2x 3 x 1 (3) y º 2 x (4) y log Sx 1S (5) y 81 e3x (6) y Vsin πx 4 V (7) y cos 2πx 4 (8) y sinsin 1x (9) y sin1sin x 2. 以下の関数に対して増減凹凸表を書き(yの符号も書き入れ)、極値及び変曲点を求めよ． (1) y x3 3x2 3 (2) y 1 2x 3 6x 8 (3) y xe1 2x (4) y e 1 2x 2 3. y e14x3 2 のグラフが単調減少し, 上に凸となっているxの範囲を求めよ． 4. 次の空欄を埋め, (選択) には下の【選択欄】から選べ． 4次関数y 4x3 3x4 に対して, y a x2 b x, y c x d 3xであるから, y 0 を満たすxは α , γ , y 0を満たすxはα , β である． これより増減凹凸表は次のようになる． x α β γ y e(選択) 0 f(選択) f(選択) f(選択) 0 g(選択) y h(選択) 0 i(選択) 0 j(選択) j(選択) j(選択) y k(選択) l m(選択) n o(選択) p q(選択) これより, x αのときyはr(選択)．x γ のときyはs(選択)．また上に凸で単調増加しているxの範囲 は, xF t 又は u F x F v である． 【ej選択欄】(1) (2) (3) 【k,m,o,q選択欄】 (1)¼ (2) Ä (3) ¿ (4) Ç 【r,s選択欄】(1)極小値をとる (2)極大値をとる (3)極値はとらない5. 次の関数のグラフを下の【選択欄】から選べ. ただし該当するグラフがないときは「なし」と答えよ．
(a)y x3 x (b)y x3 x (c)y x 2 x2 1 (d)y 4x 3 3x4 (e)y x3 2x2 x (f)y x2e1 2x x y O (1) 【選択欄】 x y O (2) x y O (3) x y O (4) x y O (5) x y O (6) x y O (7) x y O (8) x y O (9)
1.8
不定積分・原始関数
1. 次の不定積分を計算せよ．(a)S ex ex2dx (b)S sin2xdx (c)S º2x 3dx (d) S xe2xdx (e)S x sin2xdx
2. 以下の関数を下の選択欄から選んで埋めよ． ただし該当するものがないときは「なし」と答えよ． (a) e2xの原始関数(の1つ) (b) ex2の原始関数(の1つ) (c) 1 2xe 2xの原始関数(の1つ) (d) x3ex2の原始関数(の1つ) 【選択欄】 1 2e2x 2 e2x 2 3 2xe 2x4 e2x 2x 5 x 2e2x 6 2xex2 7 ex 2 2x 8 ex2 2 9 xex2 2 0 x2 1ex2 2 3. 次の不定積分を下の選択欄から選べ． ただし該当するものがないときは「なし」と答えよ(選択欄の積分定数 は省略する)． (a)S 2x 1 x2dx (b)S 1 º 1 x2dx (c)S 2x º 1 x2dx (d)S 1 º 1 x2dx (e)S º 1 x2dx (f)S 2 x2 1dx 【選択欄】 1 logx2 1 2 1 2sin
1x xº1 x2 3 log Sx ºx2 1S 4 log Sx º1 x2S 5 log Sx º1 x2S 6 log Sx 1S log Sx 1S 7 log Sx 1S log Sx 1S 8 sin1x 9 cos1x 0 tan1x
4. 関数FxがFx log x x , Fe 2 0を満たすとき , Fe4の値を求めよ． 5. a を定数とする． 何回でも微分可能な関数xtは 全てのtに対してxt aを満たし, x0 0, x0 15, x4 36 となっているとする．xT 0となるT とxT の値を求めよ．
2
解答及び解説
2.1
1
階導関数
[1] ((1)は答えのみ) (1) 8x3 2x 1 x2 (2) x2 º x x21~2 3 2x 1~2 3 2 º x (3) fx x2 1、gx x5 とするとhx x2 15 gfx である．fx 2x、gx 5x4 より hx gfx fx 5x2 14 2x 10xx2 14 (4) ax b cx d ax b cx d ax b cx d cx d2 acx d cax b cx d2 ad bc cx d2 (5) x x2 1 x x2 1 x x2 1 x2 12 x2 1 x 2x x2 12 1 x2 x2 12 (6) x2ex x2 ex x2 ex 2xex x2ex x x2 xex(7) fx 103x elog 103x e3x log 10に対して、fx e3x log 10 3x log 10 3 log 10 103x (8) logx ºx2 3 x º x2 3 xºx2 3 1 x23 2ºx23 xºx2 3 ºx2 3 x~ºx2 3 xºx2 3 1 º x2 3 (9) excos3x ex cos 3x ex cos 3x excos 3x 3 sin 3x
(10)sin2x 2 cos x cos x 2 cos x sin x 2 sin x cos x sin 2x (11)sin12x 2x º 1 4x2 2 º 1 4x2 (12)cos 13x º3x 1 9x2 3 º 1 9x2 (13)tan1x 2 x~2 1x42 2 4 x2 [2] (1)fx2 fx2 x2 2xfx2 (2) fºx fºx ºx f ºx 2ºx (3) xfx2 xfx2 xfx2 fx2 xfx2 x2 fx2 2x2fx2 [3] (1) xt 3t2 3 3t 1t 1より区間0F t F 2での増減表は下表のようになる．従って2 F xt F 2で あり、原点からの距離SxtSは、t 1, 2で最大値2を取る． (2) 積の微分公式よりxt te3t te3t e3t1 3tである．向きを変えるのはt 1 3 のときである．従っ て増減表は下表のようになる．tG 0で常にxt t ® G0 e3t ± G0 G 0なので原点からの距離はSxtS xtである．tG 0 で原点から一番遠くに来るのはt 1 3 でxtが最大値を取るときであり、その距離はx 1 3 1 3e である． (3) まずxt et e2t et1 et G 0より原点からの距離は常にSxtS xtである．xt et 2e2t et2et 1より et 1 2、即ちt log 1 2 log 2 よりt log 2のときx log 2 0を満たす．このとき
xlog 2 e log 2 e2 log 2 e log 2 e log 4 1
2 1 4 1 4 であり増減表は下表のようになる．従って原点からの距離 SxtS xtはt log 2で最大値xlog 2 1 4 を取る．
(4) 積の微分公式よりxt etsin t etsin t et sin t cos t º2et 1 º 2 ° cosπ4 sin t º1 2 ° sinπ4 cos t º2etsint π 4である．従って0F t F 5π 4 での増減表は下表のようになり、以下同様にしてt 1 4n 4 πで極値 を取る(n 0, 1, 2,)． 区間1 8n 4 πF t F 5 8n 4 πで(n 0, 1, 2,)xtは単調減少し、 e58nπ~4 º 2 F xt F e18nπ~4 º 2 を動く． 区間5 8n 4 πF t F 9 8n 4 πで(n 0, 1, 2,)xtは単調増加し、 e58nπ~4 º 2 F xt F e98nπ~4 º 2 を動く． 従ってSxtSがVx π 4V eπ~4 º 2 を超えることは無い．従って原点からの距離はt π 4 で最大値 eπ~4 º 2 を取る．
(tG5π 4 でSxtS が Vx π 4V を超えない別解) SxtS Te tT ± Fe5π~4 Ssin tS ² F1 F e5π~4 eπ~4 e ® 2.71 πFeπ~4 2 F eπ~4 º 2 が tG 5π 4 で成立するこ とからも示せる．但しこの解法では eπAº2 であることを用いている． (1) t 0 1 2 (2) t 0 13 (3) t 0 log 2 (4) t 0 π4 5π4 xt 0 xt 0 xt 0 xt 0 0 xt 0 2 2 xt 0 3e1 xt 0 14 xt 0 eπ~4º 2 e5π~4º 2 [4] 時刻t での球の半径をrとすると, 体積V はV 4 3πr 3 である. dV dt aであるから, a dV dt dV dr dr dt 4πr2dr dt dr dt a 4πr2 である. よってr bのときは, dr dt a 4πb2. そして表面積はS 4πr 2から, dS dt dS dr dr dt 8πr a 4πr2 2a r となり, r bのとき球の表面積の増加速度は dS dt 2a b m 2~s. [5] t秒後に船が崖の下からxt[m]離れているとする．t秒後の綱の長さは50 t[m]なので三平方の定理より xt »50 t2 102 ºt2 100t 2400である．従ってvt xt t 2 100t 2400 2ºt2 100t 2400 t 50 º t2 100t 2400 より、求める速さはSv10S W10º 50 1500W 4º15 15 [m/s]である．
[6] yx 3A cos 3x 3B sin 3x 12Ce12xである．y 12y 3A cos 3x 3B sin 3x 12Ce12x 12A sin 3x B cos 3x Ce12x 3A 12B cos 3x 3B 12A sin 3x 51 cos 3xより連立方程式3A 12B 51, 3B 12A 3B 4A 0を解けばよい．3A 4B 3A 4 4A 51A 51 よりA, B 1, 4である．
y0 sin 0 4 cos 0 Ce0 10よりC 6なのでA, B, C 1, 4, 6である．
2.2
接線
[1] fx 1 xに対してf x 1 x2 より、f a 1 a2 である．従って接線はy fa x af a 1
a2 x a 1 a x 2a a2 である．方程式x 2aを解いてx 2aより点2a, 0でx軸と交わる．y軸との交点は0, f 0 0, 2 a である．従って三角形の面積はS 1 2 2a 2 a 2である． [2] fx x2に対してfx 2xである．接点のx座標をtとすると、x tでの接線の傾きはft 2t tanπ 4 1 なのでt 1 2 である．従って接線はy f 1 2 x 1 2 f 1 2 x 1 2 1 4 x 1 4 である． [3] fx x 1 x2 とすると導関数はf x x1 x2 x1 x2 1 x22 1 x2 x 2x 1 x22 1 x2 1 x22 である．従って 接点をt, ftとすると接線はy ftxtft 1 t 2 1 t22xt t 1 t2、即ち1t 2x2t3y1t22 0で ある．これが点1 2, 1 2を通るのでx y 1 2を代入して1t 24t31t22 t43t24t3 t2t1t3 0 を得る．これよりt 0, 1, 3である．従って求める接線はy f0 ² 1 x f0 ± 0 x、y f1 ² 0 x 1 f1 ± 1~2 1 2、 y f3 ² 2~25 x 3 f3 ± 3~10 4x 27 50 である． [4] fx e2xに対してfx 2e2xである．接点の座標をt, ftとすると接線の方程式はy ftxtft 2e2tx t e2t e2t2x 2t 1である．これが原点を通るのでx y 0を代入してe2t2t 1 0をtについ て解いてt 1 2 である．従って接線の方程式はy 2exである． [5] fx log2x 1とするとfx 2x 1 2x 1 2 2x 1 より点t, ftでの接線はy f tx t ft 2 2t 1xtlog2t1である．これが点 1 2, 0を通るのでx 1 2, y 0を代入して 2 2t 1 1 2t 2 log2t1 0 である．従って2t 1 eであり接線はy 2 ex e 1 2 1 4x 2e 1 2e 2e 4x 2 2e である．従ってこの接線 のy切片は0,1 e である．
[6] fx cos2πx 1 cos2πx 2 に対してf x π sin2πxより、f1 4 π sin π 2 πである．従って接 線はy f1 4 x 1 4 f 1 4 π x 1 4 1 2 πx π 2 4 [7] fx º3 sin12xに対してfx º3 sin12x º 32x º 1 4x2 2º3 º 1 4x2 より、f 1 4 2º3 » 1 1~4 2º3 º 3 2 4である．従って接線はy f 1 4 x 1 4 f 1 4 4 x 1 4 º 3π 6 4x º 3π 6 6 [8] fx tan1ºx 3に対してf x tan1ºx 3¡ x~º 3 1x32 º 3 3 x2 より、f º3 º 3 6 である．従って 接線はy fº3 x º3 f º3 º 3 6 x º 3 tan11 º 3 6 x π 2 4
2.3
逆三角関数
[1] (1)tan1tan3π 4 sin 1sin3π 4 tan 11 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ π~4 sin1 º 2 2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ π~4 0 (2) sin1cos 2π 3 cos 1sin 2π 3 sin 11 2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ π~6 cos1 º 3 2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ π~6 0 (3) a tan11 2、b tan 11 3 とすると、0@ a @ π 4, 0@ b @ π 4 より0@ a b @ π 2 である．従ってtan a 1 2, tan b 1 3よりtana b tan a tan b 1 tan a tan b 1~2 1~3 1 1~2 3 1よりtan 11 2 tan 11 3 a b π 4 (4) a tan12 º3, b tan12 º3とする．0@ tan a 2 º3@ 1 tanπ
4, 1 tan π 4 @ tan b 2 º 3より 0@ a @π 4 (即ち π 4 @ a @ 0)、 π 4 @ b @ π 2 である．従って π 4 π 4 0 @ b a @ π 2 0 π 2 である．加法定理より
tanb a tan b tan a 1 tan b tan a 2 º3 2 º3 1 2 º32 º3 2º3 2 º 3を得る．従って0@ b a @π 2 よりb a π 3 (5) fx sin1x cos1xとすると定義域は1 F x F 1である．fx º 1 1 x2 1 º 1 x2 0よりこれは一定で ある．従ってfx f0 sin10 cos10 0π 2 π 2 である． (別解) sin1x a とするとπ 2 @ a @ π 2、x sin a cos π 2 a、0 @ π 2a @ π である．従って fx sin 1xcos1x aπ 2 a π 2 で一定である． (6) fx tan1xtan11 xとする．tan 11 x 1~x 1x12 1 x2 1x12 1 x2 1 より、f x tan1x ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 1~1x2 tan1 1 x ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 1~1x2 0 である．従ってfxは定数関数である．定義域は xx 0以外の実数全体で、x 0 で不連続である．f1 tan11 tan11 π 2 、f1 tan 11 tan11 π 2 よりfx ¢¨¨¨ ¦¨¨ ¨¤ f1 π2 x @ 0 f1 π2 x A 0 (別解) tan1x a π 2 @ a @ π 2 とすると x tan a、 1 x cos a sin a sinπ2 a cosπ2 a tan
π 2 a である． x@ 0、即ち π 2 @ a @ 0 のとき、 π 2 @ π 2 a @ π、 π 2 @ π 2 a π @ 0 なので、fx a π 2 a π 2 xA 0、即ち 0 @ a @π 2 のとき、0@ π 2 a @ π 2 なので、fx a π 2 a π 2 [2] (1) y x 12 3 は全実数xで単調増加する．xとyを入れ替えてx y 12 3 より、y f 1x 3x 12である． (2) y x 3 はxF 3で単調減少する．xとy を入れ替えてx y 32(y 3 F 0より、y 3 ºx、即ち y f1x 3 ºxである． (3) y ex 5 は全実数 xで単調減少する．xと y を入れ替えて x ey 5 より、y logx 5、即ち y f1x logx 5である． [3] (1) sin1x cos12 3 aとすると(0@ p @ 1)、cos a 2 3, sin a xである． 2 3 cos aA 0より0@ a @ π 2 なので、
sin aA 0, cos a A 0である．従ってx sin a º1 cos2a º 5 3 である． (2) sin1x tan11 2 aとすると、tan a 1 2, sin a xである．tan 2 a 1 1 4 1 5 4 1 cos2a 1 1 sin2aであ る．tan aA 0より0@ a @π
2 なので、sin aA 0, cos a A 0である．これよりx sin a ¾ 14 5 º 5 5 である．
2.4
極限
[1] (1)公式lim x 0 sin x x 1よりxlim0 sin 2x 3x xlim0 sin 2x 2x 2 3 2 3 (2) lim x ªV sin 2x 3x V 0を示す．0F S sin 2xS F 1より0F V sin 2x 3x V F V 1 3xVである．xlimª0 xlimªV 1 3xV 0より挟み撃 ちの原理より lim x ªV sin 2x 3x V 0、延いてはxlimª sin 2x 3x 0 (3) limx 0cos 2x cos 0 1、xlim0 1 3x ªより、xlim0 cos 2x 3x ª (4) lim x ªV cos 2x 3x V 0を示す．0F S cos 2xS F 1より0F V cos 2x 3x V F V 1 3xVである．xlimª0 xlimªV 1 3xV 0より挟み撃 ちの原理より lim x ªV cos 2x 3x V 0、延いてはxlimª cos 2x 3x 0 (5) 公式lim x 0 sin x x 1よりxlim0 tan 2x 3x xlim0 sin 2x 2x 2 3 cos 2x 2 3 (6) 公式lim x 0 ex 1 x 1よりxlim0 e2x 1 2x xlim0 e2x 1 2x 1 1
2.5
高階導関数・ライプニッツの公式
[1] (1)x1005 100x994 100 99x98 100 99 98x97 100 99 98 97x96 100 99 98 97 96x95 100 96 95 94 1 95 94 1 x 95 100! 95! x 95より A 95, B 95 (2) ºx 1 2x 1~2、ºx 1 2x 1~2 1 2 12x 3~2 1 4 x 3~2、ºx 1 4 x 3~2 3 8x 5~2、ºx4 3 8x 5~2 15 16 x 7~2、ºx5 15 16 x 7~2 3 5 7 25 x 9~2よりC 5, D 9 2 (3) log SxS 1 x、 log SxS 1 x 1 x2、log SxS 1 x2 2 x3、log SxS 4 2 x3 6 x4、log SxS 5 6 x4 24 x5 4! x5 よりE 4, F 5 [2] (1)eax aeaxは1回微分する毎にa倍されるのでeaxn aneaxである． (2) fx sinax b は fx cosax b ax b a sinax b π2, f
x a2sinax b
a2sinax b π, fx a3cosax b a3sinax b 3π
2 等を満たし、1 回微分する毎に位相が
π
2 加
算されるとともにa倍される．従ってfnx ansinax b nπ
2
(3) fx cosax b はfx sinax b ax b a cosax b π
2, f
x a2
cosax b
a2cosax b π, fx a3sinax b a3cosax b 3π
2 等を満たし、1 回微分する毎に位相が π 2 加算 されるとともにa倍される．従ってfnx ancosax b nπ 2 (4) gx x、hx e2xとすると、gx 1、gx 0よりnG 2でgnx 0である．一方hx e2xは hnx 2ne2xを満たす．従ってライプニッツの公式より次式を得る． fnx gxhxn gx ± x hnx ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 2ne2x nC1 ± n gx ² 1 hn1x ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 2n1e2x 2nx n2n1eax (5) n 1のときはfx x2ex x2ex x2 2xexである． n G 2のとき、gx x2、hx exとすると、gx 2x、gx 2よりnG 3でgnx 0である．一方
hx exはhnx e2xを満たす．従ってライプニッツの公式より次式を得る．これはn 1でも成立する． fnx gxhxn gx ± x2 hnx ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ex nC1 ± n gx ² 2x hn1x ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ex nC2 ± nn1~2 gx ² 2 hn2x ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ ex x2ex 2x n ex 2 nn 1 2 e x exx2 2xn nn 1 (6) gx x、hx cos 2xとすると、gx 1、gx 0よりnG 2でgnx 0である．一方hx cos 2x はhnx 2ncos2x πn 2 を満たす．従ってライプニッツの公式より次式を得る． fnx gxhxn gx ± x hnx ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 2ncos2xπn 2 nC1 ± n gx ² 1 hn1x ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 2n1cos2xπn12 2n1sin2xπn 2 2nx cos2x πn 2 2 n1 n sin2x πn 2
2.6
テイラー展開・マクローリン展開
[1] (1) x A 0でex A 1 x x 2 2! x3 3! x4 4! x5 5! A x5 5! A 0なので逆数をとって0 @ x 4ex @ x4 5! x5 が成立する． lim x ª0 xlimª 5! x 0なので挟み撃ちの原理よりxlimªx 4 ex 0である． (2) t log xとするとx ªでt ªであり、x et、即ちºx et~2である．従って lim x ª log x º x tlimªte t~2 である．x A 0 で ex A 1 x x 2 2! A x2 2! A 0 なので逆数をとって0 @ te t~2 @ t 2! t~22 8 t が成立する． lim t ª0 tlimª 8 t 0なので挟み撃ちの原理よりxlimª log x º x tlimªte t~2 0である． (3) lim x 0log x ª (4) x etとすれば、x 0はt ªにあたる．Sx log xS Vt etV t et でありe tA 1 t t 2 2 A t2 2 を用いて不等式 0@ t et @ 2 t を得る．よってtlimª0 tlimª 2t 0より挟み撃ちの原理よりxlim0Sx log xS 0、延いてはxlim0x log x 0 (5) ª Q n 0 nx n n! ± 0for n 0 ª Q n 1 nx n n! ª Q n 1 n x n1 x n 1! n ª Q n 1 xn1 x n 1! l n1 x ª Q l 0 xl l! ² ex xex (6) ª Q n 0 nn 1x n n! ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 0for n 0,1 ª Q n 2 nn 1x n n! ª Q n 2 xn2 x2nn 1 n 2! nn 1 ª Q n 2 xn2 x2 n 2! l n2 x2 ª Q l 0 xl l! ² ex x2exである．これ よりªQ n 0 n2 ¯ nn1n xn n! ª Q n 0 nn 1x n n! ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ x2ex ªQ n 0 nx n n! ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 5 xex xx 1ex [2] (1) fx e2xとすると、fnx 2ne2xよりfn0 2nである．fx f0 ± 1 x f0 ² 2 x2 2 f 0 ² 4 x3 6 f 0 ´¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¶ 8 1 2x 2x24x 3 3 R4よりlimx 0 e2x 1 2x 2x2 x3 limx 0 4x3 3 R4 x3 xlimª 4 3 R4 x3 4 3 (2) fx ex exとすると、fnx ex 1nexよりfn0 1 1nである．2次迄のマクローリン展開 はfx f0 ± 2 x f0 ² 0 x2 2 f 0 ² 2 2 x2 R3である．lim x 0 ex ex 2 x2 xlim0 x2 R 3 x2 xlimª1 R3 x2 1 (3) fx cos 2xとすると、f0 cos 0 0である．f0 sin 2x 2x 2 sin 2xよりf0 2 sin 0 0
で あ る ．f0 4 cos 2x よ り f0 4 cos 0 4 で あ る ．f0 8 sin 2x よ り f0 8 sin 0 0
で あ る ．f0 16 cos 2x よ り f0 16 cos 0 16 で あ る ．従 っ て 4 次 迄 の マ ク ロ ー リ ン 展 開 は fx f0 ± 1 x f0 ² 0 x2 2 f 0 ² 4 x3 6 f 0 ´¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¶ 0 x4 24f 0 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 16 1 2x22x 4 3 R5である． 従ってlim x 0 cos 2x 1 2x2 x4 limx 0 2x4 3 R5 x4 xlimª 2 3 R5 x4 2 3 を得る．
(4) 和積の公式よりfx sin 2x cos x 1 2sin2x x sin2x x sin 3x sin x 2 である．これよりf0 0 である．f0 3 cos 3x cos x 2 よりf 0 2である．fx 9 sin 3x sin x 2 よりf 0 0である．fx 27 cos 3x cos x 2 よりf 0 14である．従ってfx f0 ± 0 x f0 ² 2 x2 2 f 0 ² 0 x3 6 f 0 ´¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¶ 14 2x7x 3 3 R4 よりlim x 0 sin 2x cos x 2x x3 xlim0 7x3 3 R4 x3 xlimª 7 3 R4 x3 7 3
2.7
関数のグラフ
[1] (1) fx Sx 2S Sx 1S ¢¨¨¨ ¨¨ ¦¨¨ ¨¨¨¤ x 2 x 1 1 x F 1 x 2 x 1 2x 3 1 @ x @ 2 x 2 x 1 1 x G 2 として絶対値が外れる．x軸の交点は 2x 3 0を1@ x @ 2の範囲で解いて3 2, 0．y軸との交点は0, f0 0, 1 (2) fx 2x 3 x 1 2 1 x 1 より漸近線はx 1とy 2．x軸との交点は(分子) 2x 3 0より 3 2, 0．y軸 との交点は0, f0 0, 3 (3) fx º2 xとする．定義域は不等式2 x G 0を解いてxF 2、値域はyG 0．x軸との共有点は2, 0．y軸と の交点は0, f0 0,º2 (4) 漸近線はx 1．方程式logSx 1S 0を解いてSx 1S 1よりx軸との交点は0, 0 , 2.0．原点はy軸との交 点でもある． (5) fx 81 e3xに対して、fx 0を解くとe3x 1 e0よりx 0である．従ってこのグラフは原点を通 り、これはy軸との交点でもある．漸近線がy 8である． (6) fx Vsin πx 4 Vは、fx 4 Wsin πx 4 4 W Vsin πx 4 πV V sin πx 4 V fxを満たす．0@ x @ 2 ではfxは単調増加、2@ x @ 4ではfxで単調減少するので4より小さい周期は有り得ない．従ってfxの周 期は4である．fx 0を解くと πx 4 nπ (nは整数)よりx軸との交点は4n, 0であり原点を通る．原点はy軸 との交点でもある． (7) fx cos2πx 4 1 cos πx2 2 はfx 4 1 cos πx2 2π 2 fx を満たす．fxは 0 @ x @ 2で 単調減少、2 @ x @ 4ではfxで単調増加するので4より小さい周期は有り得ない．従って fx の周期は4 である．fx 0を解くと πx 4 2n 1 2 π (nは整数)より x軸との交点は4n 2, 0である．y軸との交点は 0, f 0 0, cos20 0, 1である．(8) fx sinsin1xの定義域は1 F x F 1である．このとき a sin1xとするとx sin a なのでfx
sinsin1x sin a x(但し1 F x F 1)である．x, y軸との交点は原点のみである．
(9) fx sin1sin xの定義域は実数全体である．fx π sin1sinx π sin1 sin x sin1sin x
fx、fx 2π fx π fxより周期は2πである．π
2 F x F
π
2 のとき、a sin xとするとfx sin1sin x sin1a xである．π
2 F x F 3π 2 では fx f x π² π 2FxπFπ2 x π π xである．従 って y sin1sin x ¢¨¨¨¦¨¨ ¨¤ x π2 F x Fπ2 π x π2 F x F 3π2 及び fx 2π fxを満たす．y 軸との交点は 0, f0
0, sin1sin 0 0, sin10 0, 0で原点を通り、x軸との交点はnπ, 0 (nは整数)である．
x y O 1 3 2 2 1 -1 (1) x y O 3 2 1 2 3 (2) x y O 2 º 2 (3) x y O 1 2 (4) x y O 8 (5)
x y -4 -2 2 4 6 8 1 O (6) x y 1 2 4 6 8 -2 -4 O (7) x y 1 -1 1 -1 O (8) x y π 2 π 2 π π2 π 2 π 3π 2 2π O (9) [2] (1) y 3x2 6x 3xx 2, y 6x 6 6x 1より x 0 1 2 y 0 0 y 0 y ¼ 3 ¿ 1 Ç 1 Ä x 0のとき 極大値3, x 2のとき極小値1,変曲点1, 1． (2) y 3 2x 2 6 3 2x 2 4 3 2x 2x 2, y 3xより x 2 0 2 y 0 0 y 0 y Ç 16 Ä 8 ¼ 0 ¿ x 2のとき極小値16, x 2のとき極大値0． 変曲点0, 8 (3) y e12x x 1 2 e 1 2x 1 1 2x e 1 2x, y 0Ô x 2、 y 1 2e 1 2x 1 1 2x 1 2 e 1 2x 1 4x 1 e 1 2x, y 0Ô x 4より x 2 4 y 0 y 0 y ¼ 2e ¿ e42 Ç x 2のとき極大値2 eをとり,変曲点は4, 4 e2である． (4) y xe12x 2 , y 0Ô x 0、y e12x 2 xxe1 2x 2 x21e1 2x 2 x1x1e1 2x 2 , y 0Ô x 1 x 1 0 1 y 0 y 0 0 y Ä º1e ¼ 1 ¿ º1 e Ç x 0のとき極大値1をとり,変曲点は1,º1 eである． [3] fx ex32~4とすると次式を得る． fx ex32~4 x 3 2 4 x 3 2 e x32~4 fx x 3 2 ex32~4x 3 2 e x32~4 ex32~41 2 x 32 4 上に凸なのはfx F 0のときである．x 3 2 2 4 F 0より3 º 2 F x F 3 º2である．単調減少するのは fx F 0のときなので x 3 2 F 0からxG 3である．f x F 0且つfx F 0から3F x F 3 º2である． [4] [α (0) β2
3 γ (1) a(12) b(1) c(12) d(2) e(1) f(1) g(2) h(2) i(2) j(2) k(1) l(0) m(2) n 16 27 o(1) p(1) q(3) r(3) s(2) t(0) u 2
fx 3x4 4x3とするとfx 12x3 12x2 12x21 x 0となるのはx 0 α, x 1 γのときであ る．fx 36x2 24x 12x 3x 2 0となるのはx 0 α, 2 3 βであり増減凹凸表は次で得られる． x α 0 β 23 γ 1 y 1 0 1 0 2 y 2 0 1 0 2 y ¼ 1 0 Ä 2 1627 ¼ 1 1 ¿ 3 x α 0では極値を取らず(3)、x γ 1で極大値をとる(2)．上に凸且つ単調増加しているのは(1)に相当する のでxF 0又は2 3 F x F 1である． [5] (a) fx x3 xとするとf0 0より原点を通る．x軸との交点はfx x3 x xx 1x 1 0 を解いてx 1, 0, 1の3つある．fx 3x2 1より º1 3 F x F 1 º 3 で単調増加して、それ以外で単調減少する． 従ってグラフは(3)である． (b) これは(a)のy x3 xをxに関して対称移動したものである．fx x3 xとするとf0 0より原点を 通る．x軸との交点はfx x3 x xx 1x 1 0を解いてx 1, 0, 1の3つある．fx 3x2 1より 1 º 3 F x F 1 º 3 で単調増加して、それ以外で単調減少する．このような特徴のグラフは存在しない． (c) lim x ª x2 1 x2 xlimª1 1 x2 ° 0 1 1の時点でこのような漸近的な振る舞いをするグラフは存在しない． (d) [4]より、グラフは(9) (e) fx x3 2x2 xとすると、fx xx 12 0 を満たすのはx 0, 1 のときであり、x軸との交点は 0, 0, 1, 0である．原点はy軸との交点でもある．fx 3x2 4x 1 3x 1x 1より1 3 F x F 1で単調減 少して、それ以外で単調増加する．従ってグラフは(7)である． (f) fx x2ex~2とすると、fx 0を満たすのはx 0のときのみなので、原点0, 0が唯一のx, y軸との交点 である．fx x2ex~2 x2ex~2 2xex~2 x21 2 e x~2 4x x2 2 e x~2より0F x G 4で単調増加、それ以 外で単調減少する．xA 0でexA 1 x x 2 2! x3 3! A x3 6 A 0なので逆数をとって0@ x 2 ex~2@ x2 6 x~23 48 x が成 立する． lim x ª0 xlimª 48 x 0なので挟み撃ちの原理よりxlimªx 2ex~2 0である．従ってグラフは(2)である．
2.8
不定積分・原始関数
[1] (a)S ex ex2dx S e2x 2 e2x dx e
2x e2x 2 2x C (b)S sin2xdx倍角S 1 cos 2x 2 dx x 2 sin 2x 4 C (c) S º2x 3dx S º2 ¾ x3 2dx 1 3 2 º 2 ± 23~2 x 3 2 3~2 C 1 32x 3 3~2 C (d)部分積分してS x ® 微分 e2x ° 積分 dx x 2e 2x S xe2x2 dx x 2e 2x1 4e 2x C 2x 1 4 e 2x Cである． (e) 部分積分してS x ® 微分 sin 2x ² 積分 dx x cos 2x 2 S x cos 2x 2 dx x cos 2x 2 sin 2x 4 C [2] (a)S e2xdx 1 2e 2x C 2 (b) S ex2dxは初等関数の範囲で積分出来ないので該当選択肢無し (c) S e 2x 2x dx e 2x 2x C 4 (d) t x 2と置換積分してdt dt dxdx 2xdxなので次式を得る． S x3ex2dx S 12 t ® 微分 et ® 積分 dt 1 2te t1 2 S e tdt t 1 2 e t C x 2 1 2 e x2 C 0
[3] (a) t x21と置換積分してdt dt dxdx 2xdxなのでS 2x x2 1dx S 1 tdt logStSC tA0 logx21C 1 (b) x e t et 2 と置換積分をすると、 dx dt et et 2 よりdx et et 2 dtである． º1 x2 ¿ Á Á À1 et et 2 2 ¾ 4 e2t 2 e2t 4 º e2t 2 e2t 2 Set etS 2 et et 2 T etとおくとT A 0であり、T 1 T 2xを得る．両辺にT を掛けてT 2 2xT 1 0よりT xº1 x2 º 1 x2x, º1 x2xを得る．º1 x2x Aºx2x SxSx ¢¨¨ ¦¨¨ ¤ x x 0又は2x G 0 x G 0 x x 0又は 2x G 0 x F 0 よりT et xº1 x2のみ条件T A 0に適し、t logx º1 x2である． 以上によりS ºdx 1 x2 S 2 et et et et 2 dt ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ dx S 1dt t C logx º1 x2 C(該当選択肢無し) (別解) 置換積分 x tan θ を行う．θ の範囲をπ 2 @ θ @ π 2 に限定して θ tan 1x としても一般性を失わない．このとき cos θA 0 に留意する． 以下の置換積分、及び [3](f) と同様の計算を用いる．dx dx dθdθ 1tan 2θdθ 1 cos2θdθ、 º 1 x2 »1 tan2θ ¾ 1 cos2θ cos θA0 1 cos θ、 sin θ tan θ cos θ º x
1 x2．t sin θ とすると、dt dt dθdθ cos θdθ I S º 1 1 x2dx x tan θ S cos θ cos12θdθ S cos θ 1 sin2θdθ t sin θ S t21 1dt [3](f)1 2logRRRRRRRRRRR t 1 t 1RRRRRRRRRRR C 1 2log 1 sin θ 1 sin θ ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ A0 C log ¾ 1 sin θ 1 sin θ C sin θ »x 1x2log ¿ Á Á Àº1 x2 x º 1 x2 x C log ¿ Á Á Á À º 1 x2 x2 º1 x2 xº1 x2 x C log S º 1 x2 x ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ A0 S C logº1 x2 x C (c) t x2 1と置換積分してdt dt dxdx 2xdxなのでS 2x º x2 1dx S 1 º tdt 2 º t C 2ºx2 1 C 該当選択肢無し (d)S º 1 1 x2dx sin 1x C 8 (e) x sin tと置換積分する．tの範囲はπ 2 F t F π 2 でcos tG 0である．t sin 1x、dx dt cos t、 º 1 x2 »
1 sin2t ºcos2t S cos tScos tG0cos tが成立する．従って積分は次式で計算出来、(2)である．
S º1 x2dx S cos t cos tdt´¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¶ dx S 1 cos 2t2 dt 2t sin 2t 4 C t sin t cos t 2 C sin1x xº1 x2 2 C (f) fx 2 x2 1 を部分分数分解する．分母がx 2 1 x 1x 1と因数分解出来るので、 fx A x 1 B x 1 とおく．通分してfx Ax 1 Bx 1 x 1x 1 xA B A B x 1x 1 2 x 1x 1 を 得る．係数比較して連立方程式A B 0、A B 2を得る．これを解いてA, B 1, 1なのでfx 1 x 1 1 x 1 である．従ってS 2 x2 1dx S 1 x 1 1 x 1 dx log Sx 1S log Sx 1S C 6 [4] Fx S log x x dxである．t log xと置換積分して dt dx 1 xなのでFx S log x x dx S tdt t2 2 C log x2 2 Cである．Fe 2 log e 22 2 C 22 2 C 2C 0よりC 2なのでFe 4 log e 42 2 2 42 2 2 6 [5] xt S xtdt S adt at C1、xt S xtdt S at C1dt at2 2 C1t C2である．x0 0よ りC2 0、x0 C1 15、x4 8a 15 4 36よりa 3である．xT 3T 15 0よりT 5である． このときxT 5 3 5 2 2 75 75 2
