– 分類空間の２次元開閉位相的場の理論へ – 1

導来ストリングトポロジー

– 分類空間の２次元開閉位相的場の理論へ – ¹

栗林 勝彦

(

) ^∗

1.

多様体の自由ループ空間のホモロジー

(

)

Chas–Sullivan [CS]

20

20

[CJ, BCT, Go, Kup]

Floer

Hochschild

[Ab, CJ]

化

[BGNX]

[CG, Tam, BCT]

トリングトポロジーに現れている．さらに，曲面や高次元球面を定義域に持つ写像空間のホモ ロジー上に現れる代数構造の研究

(

) [GTZ, Wa2]

この講演では，多様体や

Lie

Gorenstein

DG

[Ke]

F´ elix–Thomas

[FT]

2

[Gu]

[K20a]

(

2

)

Luc Menichi

ストリングトポロジーには現れるが，本講演では触れられない重要かつ興味を引く付加構造 は数多くある。些か散漫となってしまうが，それらを本講演内容と合わせて下記表でまとめる

²

表

1:

*

\ ^...

Lie

Gorenstein

\

⁽

⁾

ループ

(

)

[CS] (’99) [CM] (’08) [BGNX] [FT] [KMN](’15)

[CG] (’04)

[K20a] (’12)

開閉理論  

[Tam](’10) [BCT] [Gu] (’11) [LUX](’08) ??

BV

[M09b]*[H]( Lie

)*

[KM] [A]* (’18)

HCFT

[Go] (’08) [HL] (’15)

??

de Rham, [Ir](’18)

[FT] [Na]*(’15)

有理ホモトピー論

[FT] (’09) [KM](’19)

?? [Wa1]*(’16)

[CJY] (’04) [KM] [CN](’16) [KMN]

導来圏での考察

[BCT] (’09) [K16]* [KMN]

Hochschild

[M09a] [K11]* ??

2.

位相空間

X

S ¹

X

LM := map(S ¹ , X )

X

K

C ^∗ ( − ) := C ^∗ ( − ; K )

K

キーワード：自由ループ空間，分類空間，導来ストリングトポロジー，開閉位相的場の理論

∗〒

390-8621

3-1-1

e-mail: [email protected]

1この原稿は

2020

2論文集

[LO, Part I A panorama of topology, geometry and algebra]

導来ストリングトポロジーの基本定理

(

2.4

)

F´ elix–Halperin–Thomas

Gorenstein

定義

2.1 ([FHT])

M

d

K-Gorenstein

: dim Ext ^k _C

_{(M )} ( K , C ^∗ (M )) =

{

0 if k ̸ = d 1 if k = d.

向きづけられた多様体，より一般に連結

Poincar´ e

³

Lie

G

Gorenstein

G-

M

d

Poincar´ e

Borel

EG × G M

(d − dim G)

Gorenstein

[FHT, Mu]

(

BG = EG × G pt

)

補題

2.2 M

d

Poincar´ e

f : N → M

Ext ^∗ _C

(M) (C ^∗ (N ), C ^∗ (M)) ∼ = H ^{d −∗} (N )

C ^∗ (N )

f

C ^∗ (M )-

実際，

C ^∗ (M)-

Mod-C ^∗ (M )

(

)

F → ^≃ C ^∗ (N )

Ext ⁿ _C

(M) (C ^∗ (N ), C ^∗ (M ))

= H ⁿ (Hom _C

(M ) ( F , C ^∗ (M))) ∼ = H ⁿ (Hom _C

(M) ( F , C _∗ (M ) ^∨ ))

∼ = H ⁿ (Hom _K ( F ⊗ C

(M) C _∗ (M), K )) ∼ = H ⁿ (Hom _K ( F ⊗ C

(M ) s ^d C ^∗ (M), K ))

= Tor ⁻ _C ⁿ

_(M) (C ^∗ (N ), s ^d C ^∗ (M )) ^∨ = Tor ⁻ _C ^n+d

_(M) (C ^∗ (N ), C ^∗ (M)) ^∨ ∼ = H ^{d − n} (N ) ^∨ .

ここで，

(-) ^∨

(-)

s ^d C ^∗ (M )

(s ^d C ^∗ (M )) ^k := C ^d+k (M)

また

3

M

Poincar´ e

N

Poincar´ e

Gorenstein

M

d

M

d

Gorenstein

定理

2.3 ([FT, Theorem 12]) X

d

K -Gorenstein

K

Ext ^∗ _C

(X

) (C ^∗ (X), C ^∗ (X ⁿ )) ∼ = H ^{∗− (n − 1)d} (X)

C ^∗ (X)

∆ : X → X ⁿ

C ^∗ (X ⁿ )-

この定理の証明においては

Ext

C ^∗ (X ⁿ )

TV-

⁴ [HalL, NT]

定理

2.4 X

Gorenstein

D (Mod-C ^∗ (X ⁿ ))

Ext ⁽ⁿ _C

⁻ _(X ^1)d

) (C ^∗ (X), C ^∗ (X ⁿ )) ∼ = H ⁰ (X) ∼ = K

∆ ^! : C ^∗ (X) → C ^{∗ +(n − 1)d} (X ⁿ )

p

E ^{′ g //}

p

E

p

X ∆ // X ⁿ ,

に対して，

Ext ⁽ⁿ _C

⁻ _(E) ^1)d (C ^∗ (E ^′ ), C ^∗ (E))

D(Mod-C ^∗ (X ⁿ ))

g ^!

: C ^∗ (E ^′ ) ^g

!

// C ^∗ (E)

C ^∗ (X )

∆

//

(p

)

OO

C ^∗ (X ⁿ ).

p

OO

3例えば，旗多様体の部分空間

Hessenberg variety

Q-Poincar´ e

[AHHM]

ら及び，

Borel

ローチも期待出来る．また，オービフォールドも

Q-Poincar´ e

[ALR, §1.3]

4有理ホモトピー論における

Sullivan

mod p

この定理に現れる射

g ^!

Gysin

(shriek

)

定理

2.3

M

t = 0

ev ₀ : LM → M

2.4

D(Mod-C ^∗ (M ² ))

:

C ^∗ (LM ) ^Comp

^// C ^∗ (LM × M LM ) ^q

!

// C ^∗ (LM × LM )

C ^∗ (M )

ev

OO

C ^∗ (M )

ρ

OO

∆

// C ^∗ (M × M ).

(ev

× ev

)

OO (1)

上段の写像の合成として次数

d

Dlp : C ^∗ (LM ) → C ^{∗ +d} (LM × LM )

M

Chas–Sullivan, Cohen–Jones [CJ]

lp

Thom

Thom

∆ ^!

D(Mod-C ^∗ (M ² ))

[FT, page 419]

2.4

るループ積は

Cohen–Jones

M

lp

⁵

lp = H(Dlp ^∨ ) : H _∗ (LM × LM ) → H _∗− dim M (LM ) (2)

F´ elix–Thomas [FT]

Gorenstein

M

C ^∗ (M × M )

C ^∗ (M × M )-

Gorenstein

⁶

2.4

D (Mod-C ^∗ (M ² ))

Gorenstein

2.1. Chataur–Menichi

Chataur–Menichi [CM]

Lie

G

BG

(Homological Conformal Field Theory, HCFT)

BG

2

(Topological Quantum Field Theory, TQFT)

⁷

TQFT

パンツ・コボルディズム

Σ _0,2+1 (

Σ _0,1+2 )

(

)

HCFT

⁸

まず，

P

(PROP, products and permutations)

(

[Ko, 3.2.4])

Z +

p ⊗ q = p + q

2

:

− ⊗ − : P (p, q) ⊗ P(p ^′ , q ^′ ) → P (p + p ^′ , q + q ^′ ), − ◦ − : P (q, r) ⊗ P(p, q) → P (p, r).

例えば，ベクトル空間

V

E nd _V (p, q) := Hom(V ^{⊗ p} , V ^{⊗ q} )

− ⊗ −

− ◦ −

5ここでの議論は

[

]

6次章では分類空間に対して定義する．

7

3

S

⨿

S

8多様体のループホモロジー上の

HCFT

[Cha], [Go], [Kup]

定義

2.5 V

P

(

)

F : P → E nd V

V

P

F

P

τ _m,n : m ⊗ n → n ⊗ m

F (τ _m,n ) = τ _V

,V

.

τ _V

,V

非負整数

g, p, q

g

p

(q

)

(

)

Σ g,p+q

D g,p+q := Diff ⁺ (Σ g,p+q , ∂)

Σ g,p+q

BD(p, q) := ⨿

Σ

,g ≥ 0

BDiff ⁺ (Σ _g,p+q , ∂)

とおく．ここで，直和は位相和

⨿

p S ¹

⨿

q S ¹

H _∗ (BD)(p, q) := H _∗ (BD(p, q))

H _∗ (BD)

定義

2.6

V

H _∗ (BD)

V

(HCFT)

プロップ構造はその随伴を経由して写像

H _∗ (BD)(p, q) ⊗ V ^⊗p → V ^⊗q

また

H 0 (BD)(p, q)

V

TQFT

さて，

G

Lie

BG

LBG ^{× p} oo ^map(in,BG) map(Σ g,p+q , BG) map(out,BG) // LBG ^{× q}

Borel

2

ρ in : M g,p+q (BG) := ED g,p+q × D

map(Σ g,p+q , BG) → BD g,p+q × LBG ^{× p} , ρ _out : ED _g,p+q × D

map(Σ _g,p+q , BG) → BD _g,p+q × LBG ^{× q pr} −−→

LBG ^{× q}

を得る．ここで，

ED g,p+q → BD g,p+q

D g,p+q -

pr 2

2

ρ in

map _∗ (Σ _g,p+q /∂ _in , BG)

‘

’ ω ∈ H _{− dχ}

(map _∗ (Σ _g,p+q /∂ _in , BG))

χ _Σ

Σ _g,p+q

Euler

2k − 2g − p − q (k

)

d = dim G

− dχ _Σ

ρ _in! : H _∗ (BD _g,p+q × LBG ^{× p} ) → H _{∗− dχ}

( M g,p+q (BG))

H(ρ out )

ν(Σ _g,p+q ) : H _∗ (BD _g,p+q ) ⊗ H _∗ (LBG) ^{⊗ p} → H _{∗− dχ}

(LBG) ^{⊗ q} (3)

Σ g,p+q

1

ν(Σ g,p+q )

⁹

定理

2.7 ([CM]) G

Lie

ν(Σ g,p+q )

ロジー

H _∗ (LBG)

HCFT

プロップの構造

(

2.5

)

2

– ⊗ –

– ◦ –

9さらに定理

( 2.11

H

(map

(Σ

/∂

, BG)) ∼ = detH

(Σ, ∂

; Z) )

により，左辺の

determinant

H

(BD)

ν

特に，作用素

ν(Σ g,p+q )

H 0 (BD g,p+q )

H _∗ (LBG)

TQFT

コンパクト連結

Lie

G

Σ _0,1+2

(

) ν (Σ _0,1+2 )(1 ⊗ –) : H _∗ (LBG) → H _{∗ +d} (LBG) ^{⊗ 2}

r : Σ 0,1+2

↠ ≈ S ¹ ∨ S ¹

:

LBG ^{map(in,BG) oo} map(Σ 0,1+2 , BG) ^{map(out,X) //} LBG ^{× 2}

LBG × LBG LBG

Comp

ii

q

44

map(r,BG)

≈ OO

ここで

Comp

, q

BG

Gorenstein

Comp

Gysin

(shriek

)

([FT, Theorem 13])

BG

¹⁰

TQFT

Batalin–Vilkovisky (BV)

BV

定義

2.8

∆ : A _∗ → A _∗ +1 (BV

)

A _∗

Batalin–Vilkovisky

(BV

)

(1) ∆ ² = 0, (2)

a, b, c ∈ A _∗

∆(abc) = ∆(ab)c + (−1) ^{| a |} a∆(bc) + (−1) ^{( | a |− 1) | b |} b∆(ac)

− (∆a)bc − ( − 1) ^{| a |} a(∆b)c − ( − 1) ^{| a | + | b |} ab(∆c).

S ¹

LM

φ : S ¹ × LM → LM

φ(s, γ )(t) = γ(t + s)

S ¹

[S ¹ ]

+1

∆

∆ : H _∗ (LM) ^[S

1

] ×−

−−−−→ H _∗ +1 (S ¹ × LM ) −→ ^φ

H _∗ +1 (LM) (4)

M

d

lp : H _∗ (LM ) ⊗ H _∗ (LM ) → H _∗−d (LM )

(

(2)

)

a • b = ( − 1) ^{d(deg a+d)} lp(a ⊗ b)

定理

2.9 ([CJ])

BV

( H ∗ (LM ), • , ∆)

後で見るように，

BV

BV

Leibniz

‘

’

+1

Lie

:

{a, b} := (−1) ^{| a |} ∆(a • b) − (−1) ^{| a |} ∆(a) • b − a • ∆(b).

こうして

BV

Gerstenhaber

{ , }

Lie

Lie

Poisson

{ a, bc } = { a, b } c + ( − 1) ^{( | a | +1) | b |} b { a, c }

(

[G]

)

注意

2.10 BV

Dehn

Hurewicz

H 1 (BD 0,1+1 )

(

(3)

)

Dehn

適用して，

BV

(4)

∆ : H ^∗ (LBG) → H ^{∗− 1} (LBG)

BV

(

2.8)

([Kup])

また一般にループコホモロジー

H ^∗ (LX)

0

ev ₀ : LX → X

BV

[KK]

10

q

(1)

Gysin

q

3.3

‘

’

の加群微分子である．したがって，その論文中で行った自由ループ空間のコホモロジーの計算 から従う定理

[KM, Theorems 3.1, 5.1, 5.7]

Dlcop

Leibniz

BV

H ^∗ (BG)

BV

([KM, Theorems 4.3, 5.13, 5.14 ])

注意

2.10

HCFT

BV

Σ _g,p+q

g, p, q

Σ

Σ _p+q

detH 1 (Σ, ∂ out ; Z)

H 1 (Σ, ∂ out ; Z)

([CM, 11.4])

定理

2.11 ([KM])

⊕

Σ

( detH 1 (Σ, ∂ out ; Z ) ) _{⊗ d}

⊗ _Z H _∗ (BDiff ⁺ (Σ, ∂))

H ^∗

ν ^∗ : (detH 1 (Σ p+q , ∂ out ; Z ) ) _{⊗ d}

⊗ Z H _∗ (B Diff ⁺ (Σ p+q , ∂)) ⊗ (H ^∗ ) ^{⊗ p} → (H ^∗ ) ^{⊗ q}

ν ^∗ (s ⊗ a)v

ν ^{∗ s ⊗ a} (Σ _p+q )v

s ∈ (

detH ₁ (Σ _0,2+1 , ∂ _out ; Z ) ) _⊗ d

および生成 元

η ∈ H ₀ (BDiff ⁺ (Σ _0,2+1 , ∂))

H ^∗

⊙ : H ^∗ ⊗ H ^∗ → H ^∗

a ⊙ b = ( − 1) ^{d(i − d)} Dlcop := ν ^{∗ s ⊗ η} (Σ 0,2+1 )(a ⊗ b)

で定義する．ここで，

a ⊗ b ∈ H ⁱ ⊗ H ^j

H ^∗ := H ^{∗ +d}

( H ^∗ , ⊙ )

α

Σ 0,1+1

Dehn

H 1 (BDiff ⁺ (Σ, ∂))

H ^∗

∆ : H ^∗ → H ^{∗− 1}

∆ = ν ^{∗ id}

^{⊗ α} (Σ _0,1+1 )

( H ^∗ , ⊙ , ∆)

BV

Hochschild

連結

Lie

G

p-

BV

H ^{∗ +dimG} (LBG; Z/p)

Hochschild

HH ^∗ (H _∗ (G; Z/p); H _∗ (G; Z/p))

([KM, Theorem 6.2])

Gerstenhaber

Hochschild

BV

Connes

[M09a]

G

p-

BV

G = G ₂

SO(3)

([KM, Theorem 6.3])

Gerstenhaber

(

)

るため，この現象を完全に特徴付ける

Lie

G

BG

3. Guldberg

まず，一般的なラベル付き

2

TQFT

S

oc-Cobor( S )

S ¹

S

I = [0, 1]

Y ₀

Y ₁

2

(2

)

2

∂Σ

(

(5)

):

∂Σ = Y ₀ ∪ Y ₁ ∪ ∂ _free Σ

以降，コボルディズム

Σ

Y ₀

Y ₁

∂ _in

∂ _out

また，自由境界と呼ばれる境界部分

∂ _free Σ

∂Y ₀

∂Y ₁

1

∂Y 0

∂Y 1

S

¹¹

字数付きベクトル空間のなす圏を

K -Vect

µ : (oc-Cobor( S ), ⨿

) −→ ( K -Vect, ⊗ )

を

S

2

⨿

はコボルディズム の直和を表し，ラベル付けられた開閉コボルディズムの圏のモノイダル構造を定義している．

以下２次元のコボルディズム

Σ

µ

µ _Σ

(Σ, {Σ ^H } H ∈S )

{Σ ^H } H ∈S

H

Σ ^H = ∅

I _K ^H

∂ _free

∂ free

I _K ^H

I _L ^H

I _K ^L

∂ out = S ¹ ⨿

I _K ^H ∂ in = I _L ^H ⨿

I _K ^L I _L ^L

(5)

Guldberg [Gu]

2

¹²

Lie

G

B

Σ := (Σ, {Σ ^H } H ∈B )

M(Σ)

M (Σ) ^//

// map(Σ, BG)

i

∏

H map(Σ ^H , BH)

Bι

// ∏

H map(Σ ^H , BG),

(6)

で定義する．ただし，

ι : H → G

i : ∂ _free Σ = ⨿

H Σ ^H → Σ

∂ _in = (∂ _in , { Σ ^H ∩ ∂ _in } H ∈B )

M (∂ _in )

in : ∂ _in → Σ

in ^∗ : M (Σ) → M (∂ _in )

命題

3.1 ([Gu, Proposition 2.3.9]) (i)

in

M (Σ) c → M (Σ) ⁱⁿ →

M (∂ in )

M (Σ) c

ΩBH ≃ H, G/H ^′

ΩBH ^′′ → E → G/H ^′′

E

H, H ^′ , H ^′′ ∈ B ^′

Σ

(ii) (i)

バーのホモロジーへの作用は自明である．

こうして，ファイブレーション

h := in ^∗ : M (Σ) → M (∂Σ)

h _! : H _∗ ( M (∂Σ)) → H _∗ +i (Σ)

i

H _∗ ( M (Σ) c )

[Gu]

定理

3.2 [Gu, Theorem 1.2.3])

Lie

G

B

B

Σ

µ Σ : H _∗ ( M (∂ in )) −→ ^h

H _∗ ( M (Σ)) ^(out −→

⁾

H _∗ ( M (∂ out ))

11対象には順序が付いていて，コボルディズムの合成においては，その順序を保つように接着する．さらなる詳細 は

[MS, LP]

12多様体上の部分空間にラベルを持つ

TQFT, HQFT

[Go]

で定義されるコボルディズム作用素

µ Σ

2

µ Σ

◦ Σ

= µ Σ

◦ µ Σ

ここで，そしてこれ以降は

TQFT

(determinants)

コボルディズム作用素の計算においては，

non-zero

多様体

M

µ _Σ

g > 0

TQFT

1

: µ _Σ

= · · · ◦ µ _Σ

◦ µ _Σ

◦ · · · .

( [Tam, Theorem A] )

µ _Σ

H ₀ (LM )

µ _Σ

− d

µ Σ

= 0

定理

3.3 ([Tam, Theorem B]) g > 0

H _∗ (LM )

素

µ _Σ

この結果

¹³

TQFT

(

)

ラベル付けられたホイッスル・コボルディズム

W = (W, {W ^H })

∂ in

I = [a, b]

H

W ^H = a ∩ b

a

b

∂ out

S ¹

W

W ^H

∂ _in

口笛コボルディズム

W W ^H ∂ _out

[K20a]

定理

3.4 ([K20a, Theorem 1.1]) G

Lie

H

G

H

p-

p

K

W = (W, { W ^H } )

(W ^op , { (W ^op ) ^H } )

µ _W

µ _W

(deg(Bι) ^∗ (x _i ), p) = 1 (i = 1, ..., l)

µ W ◦ µ W

= µ W ◦ W

Bι : BH → BG

ι : H → G

x 1 , ..., x l

H ^∗ (BG; K )

証明は，まずコホモロジー上で考えて，

(6)

Eilenberg–Moores

Leray–Serre

定理

3.4

[K20a, Remark 3.3 (ii)]

µ W

◦ W

注意

3.5

µ _{(W ◦ W}

)

,

W

W 1

µ _(W

_{◦ W}

₎ ≡ 0

µ (２つの穴を持つシリンダー)

W W ^op W ₁ W ₁ ^op

=

13また

[KM, Theorems 7.1, 7.3]

Lie

G

H(BG, K)

BG

K

定理

3.6 (

TQFT

[K20a, Theorem 1.2]) Υ

I _L ^H

I _K ^L

I _K ^H

(

)

3.4

µ _Υ

µ _Υ

µ Υ

∂ _out = I _K ^H

I _L ^H

I _K ^L

∂ _in = I _L ^H ⨿ I _K ^L I _L ^L

さらに具体的な計算を原理的には行うことができる．

定理

3.7 (

[K20a, Assertion 4.1]) B

G

このとき，

Guldberg

TQFT

µ : (oc-Cobor( B ), ⨿ ) → ( Q -Vect, ⊗ )

(

)

non-zero

コボルディズムの合成が引き起こす開閉

TQFT

(

Cardy

[LP, Section 3]

)

[CM, Gu]

HCFT

(

2.1

)

¹⁴

4.

自由ループ空間のコホモロジー環の計算や有理，

p-adic

Sulli- van/

Postnikov

(

)

E _∞ -

Steenrod

自由ループ空間の代数構造を決めるイデアルの生成元を与える

([KK, Remark 3.4])

4.1.

しかしながら，写像空間の取り扱いは一般には容易ではない．そこで，多様体の圏が埋め込ま れ，さらにカルテシアン閉圏となるディフェオロジカル空間の圏

¹⁵

(

)

Lie

(Lie

)

Behrend, Ginot, Noohi, Xu [BGNX]

Lie

[Ir]

de Rham

Diff

定義

4.1

X

D

n ∈ N

n

R ⁿ

U

U → X

1. (Covering)

n

U ⊂ R ⁿ

U → X

D

2. (Compatibility) D

U → X

V ⊂ R ^m

C ^∞ -

V → U

V → U → X

D

14講演者が知る限り，

H

(BD)

BV

15ディフェオロジーに関する適書として

[IZ]

de Rham