逆変換法 (1)

(1)

.

... 逆変換法(1)

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習II L10(2013-06-19 Wed)

今日の目標 .

1.. 指定されたp2(q) ^に従うQ=g(Y) ^を[0,1)^一様分布の Y から作れる.

(2)

連続型確率変数の変数変換復習

ここまで来たよ

1... 連続型確率変数の変数変換復習

2... 逆変換法

getrandomとの関係逆変換法

連絡

(3)

.確率密度関数の変数変換の憶え方 ..

...

p(r) dr^は不変

q =g(r)のような関係があるとき,

p2(q) dq =p1(r) dr

(4)

.Quiz(確率密度関数の変換) ..

...

R ^{が確率密度関数} p1(r)^{に従うとき},^確率変数 Q=g(R) = ¹₂mR² ^を考える.

. ..

1 a≤Q < bとなる確率を求めよう. .

..

2 Q^{の従う確率密度関数}p2(q) ^{を求めよう}. ^ここで,m ^は定数. Quiz解答:確率密度関数の変換

. ..

1 確率密度関数の間の関係 p1(r) dr =p2(q)dq ^より,a≤Q < b ^となる確率は,

∫ _b

a

p₂(q) dq =

∫ _g⁻¹_(b)

g⁻¹(a)

p₁(r) dr=

∫ √

2b/m

√2a/m

p₁(r) dr.

(5)

なお,^{下で求める}p2(q) ^を使って∫_b

a p2(q) dq ^{としてももちろん同じ} 結果になる(っていうかそうなるように下で p₂(q) を決めた). 計算はこっちのほうがたいへん.

. ..

2 確率密度関数の間の関係

p1dr =p2 dq.

より,逆関数の微分法も使って, p₂(q) = 1

dg

dr(r)p₁(r).

いま, ^dg_dr(r) =mr. よって,

p2(q) = 1

mrp1(r) = 1 m

√2q m

p1

(√2q m

)

= 1

√2mqp1

(√2q m

)

(6)

...

白玉製造マシン1号は,質量r gの白玉を次の確率密度に従って製造する. (1.^小)p(r) =

{1

2 (6≤r <8)

0 (^他) , (2.^大)p(r) =

{2 (7.5≤r <8) 0 (^他)

(3.中)p(r) =







2/3 (7≤r <7.5) 4/3 (7.5≤r <8) 0 (^他)

.

白玉の密度を b= 1.1g/cm³ ^とする. .

..

1 質量 r g の白玉の半径 q cm を,q=g(r) =Ar^B の形に求めよう. 以下は,A は文字のままで計算する方がいいかも.

. ..

2 半径Q^{の確率密度関数}p2(q) ^{を求めよう}. .

3.. 半径Qの期待値を求めよう. .

..

4 和菓子屋さんの要求,^半径Q^が1.18cm^以上1.20cm^{未満が満たされ} る確率を求めよう.

(7)

(8)

...

R が[0,1)一様な確率密度関数p₁(r) に従うとき,確率変数 Q=g(R) = 2√

R ^を考える. .

1.. 0.6≤Q≤1.0 ^{となる確率を求めよう}. .

..

2 Qの従う確率密度関数p₂(q) を求めよう.

(9)

(10)

逆変換法(1) getrandomとの関係

2... 逆変換法

getrandomとの関係

逆変換法連絡

(11)

種明かし

getrandom ^で[0,1)^一様乱数y ^{から別の乱数}q ^{を生成するのは},^実はこ

れ利用してた.

うまい p₂(q)になるように,q=g(y) 定めてた.

p₁(y) = {

1 (0≤y <1) 0 (他)

q =g(y) =Ay+B.

p₂(q) = {

1/A (B≤q < A+B) 0 (他)

(12)

横軸 y,縦軸 q,グラフq =g(y). g(y) の傾きが小さいとp₂(y)は大きくなる.

1 y

1 2 s

1 y

1 2 s

(13)

.Quiz(逆変換法) ..

...

確率密度関数

p(r) =







3 (0≤r <1/4) 1 (1/2≤r <3/4) 0 (他)

に従う乱数 R を,[0,1)一様乱数 Y から作りたい. getrandomに出てくる g(y) のグラフは次のうちどんな形?

(14)

.Quiz(確率変数の変換) ..

...

[0,1)一様分布に従う連続型確率変数r と,q=g(r) = e^r で定まる連続型確率変数 Q^を考える.

.

1.. Q≤2^{となる確率を求めよう}. .

..

2 Qの確率密度関数 p₂(q) を求めよう.

(15)

逆変換法(1) 逆変換法

2... 逆変換法

連絡

(16)

逆変換法

確率密度関数 p2(q) ^{に従う確率変数}Q^が,[0,1)^一様分布p1(y)^に従う確率変数 Y から,q =g(y) で作れるとする. g(y)はどんな関数?

p2(q) dr =p1(y) dy p2(q) = 1

dg

dy(y)p1(y) p₂(q) =dg⁻¹

dq (q)×1 (0≤y <1)

∫ _r

rmin

p₂(r₁)dr₁ =g⁻¹(q)

ここで,g⁻¹(q) ^はg(y)^の逆関数. r_min^は r_min=g(0)^だけど,

∫ _r

−∞

としても同じ.

(17)

要するに,

確率密度関数

F(q) =

∫ _q

−∞p(q1) dq1 を計算すると,^その逆関数が求める g(y).

F(q) ^の意味

−∞ < Q < q ^{となる確率}

ちょっと記号の変更,q→r,p₂(q)→p(r).

.逆変換法

..

...

p(r) ^{に従う乱数を},r=g(y) ^で[0,1)^一様乱数y^から,^作るには,g(y) ^を次の様に決めればいい.

.

1.. R の累積密度関数 F(r) =

∫ _r

−∞p(r₁) dr₁ を計算する. .

..

2 y=F(r)を解いて,逆関数 r=F⁻¹(y) =g(y) を求める.

(18)

理由の説明1

y 0 ^確率 g⁻¹(q) g⁻¹(q) · · ·

↓g ↑^g⁻¹ q qmin 確率

∫ _q

−∞p2(q) dq q · · ·

(19)

...

確率密度関数

p2(r) = {1

2r (0≤r <2) 0 (^他)

に従う乱数 R を,[0,1)一様乱数 y から r=g(y) で作りたい. g(y) を求めよう.

(20)

(21)

...

確率密度関数

p2(r) = {3√

2 8

√r (0≤r <2)

0 (他)

に従う乱数 R を,[0,1)一様乱数 y から r=g(y) で作りたい. g(y) を求めよう.

(22)

逆変換法(1) 連絡

2... 逆変換法

連絡

(23)

予習復習問題これからは毎週

金11:05^{締切の予習復習問題は} RaMMoodle

http://el.math.ryukoku.ac.jp/moodle→^計算科学II(講義) でやってね.

水13:35^{締切の予習復習問題は} RaMMoodle

http://el.math.ryukoku.ac.jp/moodle→^{計算科学演習}II^でやってね.

RaMMoodle にはスマートフォンからもアクセスできます.

http://hig3.net> Links>RaMMoodle.

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(24)

演習の休講/補講計画

2013-07-26^金2^を予備日(^{休講の有力候補}), 2013-07-05^金3(^{ここは休講}

する総合演習の裏)に補講の予定. 演習の初夏のプチテストやります!

2013-06-21^金3, 90^分, 30^ピーナツ. 先週の演習で配った紙参照

ランダムウォークで確率シミュレーションによる確率の推定 (sim6,sim7)

連続型乱数の生成(cont1)と,q=g(r) に対する確率や期待値の推定(hist3)

連続型乱数の生成と,q=g(r) に対する確率や期待値の推定

(expect4) [紙と鉛筆での母ナントカの計算はなく, Excelを用いた標

本ナントカの計算です]

P の漸化式,初期条件,境界条件が与えられたとき,P(x, t)の計算 (diﬀ1)