連続型確率変数の変数変換

(1)

.

...

連続型確率変数の変数変換

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習

II L09(2013-06-12 Wed)

今日の目標

. ..

1 確率密度関数

p(r)

^{から母平均値}

,

^母分散

,

^母期待値を手で計算できる

. ..

2 確率変数

q = f (r)

の確率を計算できる

.

..

3 確率変数

q = f (r)

^の

p 2 (q)

^{を手で求められる}

.

4

.. p(r)

と標本のヒストグラムを重ねて比較できる

http://hig3.net

(2)

連続型確率変数 Quiz解説

ここまで来たよ

1 ...

連続型確率変数

Quiz

^解説

連続的な確率変数の復習母期待値・母平均値・母分散

2 ...

連続型確率変数の変数変換確率変数の変数変換

樋口さぶろお (数理情報学科) L09連続型確率変数の変数変換計算科学☆演習II(2013) 2 / 24

(3)

Quiz

解答

:

連続的な値をとる確率変数

.

..

1

∫ ₋ ₂

− 4

p(s) ds =

∫ ₋ ₃

− 4

0 ds +

∫ ₋ ₂

− 3 1

5 ds = ¹ ₅ . .

..

2

E(S) =

∫ ₂

− 3

s p(s) ds = − ¹ ₂ .

..

3

V(S) =

∫ ₂

− 3

(s − ( − ¹ ₂ )) ² p(s) ds = ²⁵ ₁₂ .

..

4

E(e ^S ) =

∫ ₂

− 3

e ^S p(s) ds = ¹ ₅ (e ² − e ⁻ ³ )

Quiz

^解答

:

連続的な値をとる疑似乱数

(4)

1

d o u b l e g e t r a n d o m ( d o u b l e y ){

2

d o u b l e r ;

3

i f ( y <1 . 0 / 3 ) {

4

r =3.0/4∗ y + 1 . 0 / 4 ;

5

} e l s e {

6

r = 3 . 0 / 8∗( y −1 ) + 3 . 0 / 4 ;

7

}

8

r e t u r n r ;

9

}

Quiz

^解答

:

連続的な値をとる確率変数

p(r)

^の

a

^から

b

^{までの定積分} は

, a ≤ r < b

となる確率

.

y

は

y = ∫ _y

0 1 dy

っていうか

, y

は

[0, 1)

一様乱数が

y

以下となる確率とも見なせる

.

Quiz

解答

:

連続的な値をとる疑似乱数

g(y) = {

10y (0 ≤ y < ¹ ₅ )

1 4 (y − ¹ ₅ ) + 2 ( ¹ ₅ ≤ y < 1)

(5)

連続型確率変数連続的な確率変数の復習

1 ...

Quiz

^解説

2 ...

(6)

.

確率密度関数の意味

..

...

a ≤ r < b

となる確率

= p(r)

のグラフの下の面積

=

∫ _b

a

p(r) dr.

全確率

= 1 = p(r)

のグラフの下全体の面積

=

∫ ₊ _∞

−∞ p(r) dr.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

0 1 2 3 4 5 6

Probability

Distance from center

(7)

例

(expect4)

1. p(r) = {

4 ( ¹ ₄ ≤ r < ¹ ₂ ) 0 (

^他

)

2. p(r) = {

2 ( ¹ ₈ ≤ r < ⁵ ₈ ) 0 (

他

)

3. p(r) =

 



 

4 ( ² ₈ ≤ r < ³ ₈ )

4 ( ⁴ ₈ ≤ r < ⁵ ₈ )

0 (

他

)

(8)

連続型確率変数母期待値・母平均値・母分散

1 ...

Quiz

^解説

2 ...

(9)

連続的な確率変数の母期待値

.

母期待値

..

...

E(f (R)) =

∫ ₊ _∞

−∞ f(r)p(r)dr

上だけ憶えておけば十分

.

以下は上からでる結果

.

注

:E(1) = 1.

.

連続型確率変数の母平均値

..

...

µ = E(R) =

∫ ₊ _∞

−∞ r × p(r)dr .

連続型確率変数の母分散

..

...

今までと同じ定義と便利な公式

. σ ² = V(R) = E((R − µ) ² ) =

E(R ² ) − (E(R)) ²

(10)

例

(expect4)

でやってみよう

.

積分で母平均値

,

母分散

,

母期待値

..

...

自分の

p

で

,

母平均値

,

母分散

,

母期待値

E( ¹ ₂ mR ² )

を計算してみよう

.

(11)

確率密度関数とヒストグラムの重ねかた 相対度数のヒストグラムを考える

.

^幅を

d = ∆r

^とする

.

r 1

でのヒストグラムの高さ

= r 1 ≤ R < r 1 + d

^{のものの個数} サンプルサイズ

↕ r ₁ ≤ R < r ₁ + d

の確率

=

∫ _r

₁

_+d

r

1

p(r) dr ≃ p(r ₁ ) × d .

ヒストグラムと確率密度関数の比較

..

...

r 1

での相対度数のヒストグラムの高さと

, p(r 1 ) × d

^を比較

⇝

^実演

(12)

Excel

のいじわる

frequency

^{配列関数で}

, r 1

の右にでるのは

r 1 − d < R ≤ r 1

のものの個数

サンプルサイズ

.

階級

r 1

相対度数

frequency

0.1 0.1

以下のカウント

0.2 0.1

^{より大きく}

0.2

^{以下のカウント}

0.3 0.2

^{より大きく}

0.3 0.4 0.3

^{より大きく}

0.4

^{より大きいカウント}

「以下」

正確には

, p(r 1 ) × d

^でなく

, p(r ₁

− ¹ ₂ d

) × d

と比べたほうがいい

.

Excel

と限らずヒストグラムの微妙な点

p(r)

^{に不連続な点があると}

,

階級の境目と位置関係により

,

^{中途半端な高} さの棒ができる

.

(13)

1 ...

Quiz

^解説

2 ...

(14)

変数変換

R:

^確率変数

, p 1 (r):

^{確率密度関数}

.

サイズ

N

のサンプル

R ⁽¹⁾ , · · · , R ^(N) .

変数変換

q = g(r)

当面

,

^{増加関数を考える}

⇝

^単射

.

例

: g(r) = mr, g(r) = ¹ ₂ mr ² .

g(R)

^{の標本期待値}

= 1

N [g(R ⁽¹⁾ ) + · · · + g(R ^(N ⁾ )]

= 1

N [Q ⁽¹⁾ + · · · + Q ^(N) ]

=Q

の標本平均値

だから

Excel

で標本期待値を計算するときも

average

^{で済んでた}

.

(15)

Q

の確率密度

p ₂ (q) .

原理

..

... (g(a) ≤ Q < g(b)

^の確率

) = (a ≤ R < b

^の確率

) .

...

expect4

^で

, 0.3 ≤ ¹ ₂ mR ² < 1

^{となる確率を} 母分布から求めよう

.

(16)

原理

⇝ (g(a) ≤ Q < g(b)

の確率

) =(a ≤ R < b

の確率

)

∫ _g(b)

g(a)

p 2 (q) dq =

∫ _b

a

p 1 (r) dr

左辺で変数変換

q = g(r)

∫ _b

a

p ₂ (g(r)) dg

dr (r)dr =

∫ _b

a

p ₁ (r) dr p ₂ (g(r)) dg

dr (r) =p ₁ (r).

p ₂ (q) = 1

dg

dr (r) p ₁ (r).

ただし

,

左辺で

r = g ⁻¹ (q).

減少関数の場合は絶対値をつけとけ

. .

確率密度関数の変数変換の憶え方

..

... p(r) dr

^は不変

p ₂ (q) dq = p ₁ (r) dr

(17)

.

例題

..

...expect4

^で

, q = g(r) = mr

のとき

p ₂ (r)

は

?

(18)

. Quiz(確率密度関数の変換) ..

...

確率密度関数

p(r)

を持つ確率変数

R

から

, q = g(r)

で新しい確率変数

Q

^を定めた

. Q

^{の確率密度関数を}

p 2 (q)

^とする

.

^{次のうち正しいのは}

?

.

1

.. g(r)

^{が大きいほど}

p ₂ (q)

^は大きい

.

..

2

g(r)

が小さいほど

p ₂ (q)

は大きい

.

..

3

|g ^′ (r)|

^{が大きいほど}

p 2 (q)

^は大きい

.

4

.. | g ^′ (r) |

^{が小さいほど}

p 2 (q)

^は大きい

.

..

5

p ₂ (q)

は

p ₍ r)

だけから決まり

, g(r)

とは関係しない

(19)

種明かし

getrandom

^で

[0, 1)

^一様乱数

y

^{から別の乱数}

r

^{を生成するのは}

,

^実はこ

れ利用してた

.

p ₁ (r) = p(y) = {

1 (0 ≤ y < 1) 0 (

他

)

q = g(y) = Ay + B .

p 2 (q) =

{ 1/A (B ≤ q < A + B)

0 (

^他

)

(20)

. Quiz(確率密度関数の変換) ..

...

R

^{が確率密度関数}

p 1 (r)

^{に従うとき}

, Q = g(R) = ¹ ₂ mR ²

^{の従う確率密度} 関数

p ₂ (q)

を求めよう

.

ここで

, m

は定数

.

さらに自分の

p

^{で具体的に書こう}

.

(21)

横軸

r,

縦軸

q,

グラフ

q = g(r).

1 y

1 2 s

1 y

1 2 s

1 y

1 2 s

1 y

1 2 s

(22)

. Quiz(確率密度関数の変換) ..

...

白玉製造マシン

1

号は

,

質量

r g

の白玉を次の確率密度に従って製造する

. p(r) =

{ 1

2 (6 ≤ r < 8) 0 (

他

)

白玉の密度を

b = 1.1 g/cm ³

とする

. .

..

1 質量

r g

の白玉の半径

q cm

を

, q = g(r) = Ar ^B

の形に求めよう

.

以下は

, A

は文字のままで計算する方がいいかも

.

2

..

半径

Q

の確率密度関数

p ₂ (q)

を求めよう

. .

..

3 半径

Q

の期待値を求めよう

. .

..

4 和菓子屋さんの要求

,

^半径

Q

^が

1.18cm

^以上

1.20cm

^{未満が満たされ} る確率を求めよう

.

(23)

予習復習問題これからは毎週

金

11:05

^{締切の予習復習問題は}

RaMMoodle

http://el.math.ryukoku.ac.jp/moodle →

^計算科学

II(

講義

)

でやってね

.

水

13:35

^{締切の予習復習問題は}

RaMMoodle

http://el.math.ryukoku.ac.jp/moodle →

^{計算科学演習}

II

^でやってね

.

RaMMoodle

にはスマートフォンからもアクセスできます

.

http://hig3.net > Links > RaMMoodle.

自宅で演習の課題をやろう

Visual Studio

には

Express Edition

という

‘

無料版

’

^{があります}

.

^{数理情報学科の学生は}

DreamSpark

^経由で

Visual

Studio

^{製品を自宅で使えます}

.

https://www.a.math.ryukoku.ac.jp/dreamspark/

(24)

演習の休講

/

補講計画

2013-07-26

^金

2

^を予備日

(

^{休講の有力候補}

), 2013-07-05

^金

3(

^{ここは休講}

する総合演習の裏

)

に補講の予定

.

インフルエンザや台風が来て全学休講が発生したら再変更あり

.

演習の初夏のプチテストやります

!

2013-06-21

^金

3, 90

^分

, 30

^ピーナツ

.

先週の演習で配った紙参照

出題計画金曜まで待って

連続型確率変数の変数変換

.

...

II L09(2013-06-12 Wed)

. ..

p(r)

,

,

. ..

q = f (r)

.

..

q = f (r)

p 2 (q)

.

.. p(r)

http://hig3.net

1 ...

Quiz

2 ...

Quiz

:

.

..

∫ − 2

− 4

p(s) ds =

∫ − 3

− 4

0 ds +

∫ − 2

− 3 1

5 ds = 1 5 . .

..

E(S) =

∫ 2

− 3

s p(s) ds = − 1 2 .

..

V(S) =

∫ 2

− 3

(s − ( − 1 2 )) 2 p(s) ds = 25 12 .

..

E(e S ) =

∫ 2

− 3

e S p(s) ds = 1 5 (e 2 − e − 3 )

Quiz

:

d o u b l e g e t r a n d o m ( d o u b l e y ){

d o u b l e r ;

i f ( y <1 . 0 / 3 ) {

r =3.0/4∗ y + 1 . 0 / 4 ;

} e l s e {

r = 3 . 0 / 8∗( y −1 ) + 3 . 0 / 4 ;

}

r e t u r n r ;

}

Quiz

:

p(r)

a

b

, a ≤ r < b

.

y

y = ∫ y

0 1 dy

, y

[0, 1)

y

.

Quiz

:

g(y) = {

10y (0 ≤ y < 1 5 )

1

4 (y − 1 5 ) + 2 ( 1 5 ≤ y < 1)

1 ...

∫ ₋ ₂

∫ ₋ ₃

∫ ₋ ₂

5 ds = ¹ ₅ . .

∫ ₂

s p(s) ds = − ¹ ₂ .

∫ ₂

(s − ( − ¹ ₂ )) ² p(s) ds = ²⁵ ₁₂ .

E(e ^S ) =

∫ ₂

e ^S p(s) ds = ¹ ₅ (e ² − e ⁻ ³ )

y = ∫ _y

10y (0 ≤ y < ¹ ₅ )

4 (y − ¹ ₅ ) + 2 ( ¹ ₅ ≤ y < 1)

∫ _b

∫ ₊ _∞

4 ( ¹ ₄ ≤ r < ¹ ₂ ) 0 (

2 ( ¹ ₈ ≤ r < ⁵ ₈ ) 0 (

4 ( ² ₈ ≤ r < ³ ₈ )

4 ( ⁴ ₈ ≤ r < ⁵ ₈ )

∫ ₊ _∞

∫ ₊ _∞

. σ ² = V(R) = E((R − µ) ² ) =

E(R ² ) − (E(R)) ²

E( ¹ ₂ mR ² )