2018 年度微分積分学 II ・線形代数の問題

(1)

2018 ^{年度微分積分学} II ^{・線形代数の問題}

佐々木格

2019

年

1

月

22

日

1

連立方程式と行列

ベクトルの方程式

( 3 5 2 7

) ( x y )

= ( 9

6 )

に対応する連立方程式を解け。

2

^{行列の基本演算}

1

行列

A, B

^を

A = ( 3 5

2 7 )

, B =

( 3 4 4 3

)

で定める。このとき，次を計算せよ。

(i) A + B (ii) 7A (iii) AB (iv) BA

3

行列の基本演算

2

行列

C, D

^を

C =



 1 1 0 1 1 9 2 2 9



 , D =



 1 3 0 3 1 4 0 4 1





で定める。このとき，積

CD

^{を計算せよ。}

4

^行列式

上の問題で定義された行列

A, B, C, D

^の行列式

(determinant)

をそれぞれ計算せよ。これらの行列のうち，逆行列を持たないものはどれか答えよ。

5

逆行列

行列

A, B

の逆行列があれば，それを求めよ。

6

^{行列式と面積}

(1)

^ベクトル

v

1

= (

³₂

) , v

2

= (

⁵₇

)

の張る平行四辺形の面積^*1を求めよ。

(2)

^ベクトル

v

3

= (

³₄

) , v

4

= (

⁴₃

)

の張る平行四辺形の面積を求めよ。

ただし，

“

^面積

”

は通常の正の面積を意味するものとする。

7

行列式と体積

ベクトル

u

1

= (

₁

3 0

)

, u

2

= (

₃

1 4

)

, u

3

= (

₀

4 1

)

の張る平行六面体

(

^図

2)

の（正の）体積を求めよ。

*1図1の緑色領域の面積。

1

(2)

1 2 3 4 5 6 7 8 2

4 6 8

図1 平行四辺形

図2 平行六面体

8

^{ヤコビ行列，行列式}

G

^を

uv

平面のある領域とする。

g(u, v), h(u, v)

^は

(u, v) ∈ G

について連続微分可能であるとする。

(i)

^変数変換

x = g(u, v), y = h(u, v) (1)

のヤコビ行列及びヤコビ行列式の定義を書け。

(ii)

^方程式

(1)

^を満たす

u, v

^を

u = w(x, y), v = z(x, y) (2)

と解くことができたとする。さらに

w, z

は連続微分可能であるとする。このとき変換

(2)

に対するヤコビ行列の定義を書け。

(3)

^問題

(i), (ii)

のヤコビ行列をそれぞれ

A, B

^{とするとき，}

AB = E

2

(

^単位行列

)

^{となることを示せ。}

9

ヤコビ行列，行列式の例

2

(3)

変換

x = r cos θ, y = r sin θ, (r > 0, − π ≤ θ < π)

を考える。

(1)

^{ヤコビ行列式}

∂(x, y)/∂(r, θ)

の定義を書き，それを求めよ。

(2) r, θ

^を

x, y

^{を用いて表わせ。}

(3)

^{ヤコビ行列式}

∂(r, θ)/∂(x, y)

の定義を書き，それを計算せよ。そして

∂(x, y)

∂(r, θ) · ∂(r, θ)

∂(x, y) = 1

となることを確認せよ。

10

固有値と対角化

(1)

^行列

A = (

^{3 4}_{1 0}

)

^{の固有値を求めよ。}

(2)

^行列

A

^{の固有値を小さい順に}

λ

1

, λ

2とするとき，

λ

1

, λ

2に属する固有ベクトル

v

1

, v

2をそれぞれ求めよ。

(3)

T

⁻¹

AT =

( λ

1

0 0 λ

2

)

となるような行列

T

^を

v

1

, v

2から作れ。

(4) T

⁻¹^{を求めよ。}

(5) n

^{を自然数とする。}

A

ⁿ^{を計算せよ。}

11

対角化と漸化式

漸化式

a

n+1

= 3a

n+1

+ 4a

n

, a

1

= 1, a

0

= 0

^{を考える。}

(1) v

n

:= (

^aⁿ⁺¹an

)

^{とするとき，}

v

n+1を行列

A

^と

v

nを用いて表わせ。

(2) v

nを

A

^と

v

0を用いて表わせ。

(3)

^一般項

a

nを求めよ。

12

行列の指数関数と微分方程式

微分方程式

x

^′′

(t) = 3x

^′

(t) + 4x(t) (3)

を考える。初期条件を

x(0) = x

0

, x

^′

(0) = v

0とする。

(1) v(t) = x

^′

(t)

^{と置き，微分方程式}

(3)

^を

d dt

( v(t) x(t)

)

= A ( v(t)

x(t) )

と表すとき行列

A

^{を求めよ。}

(2) exp(tA)

^の

ij

^成分を

α

ij

(t)

^{と書くき，微分方程式}

(3)

^の一般解

x(t)

^を

α

ij

(t)

^と

x

0

, v

0を用いて表わせ。

(3)

^{行列の指数関数}

exp(tA)

^{を求めよ。}

(4)

^{初期条件を}

x

0

= 1, v

0

= 0

^{とする。このとき，}

(3)

^の解

x(t)

^{を求めよ。}

(5) x

0

= 1

^とする。

x(t) → 0(t → −∞ )

^{となるためには，}

v

0はどのような値でなければならないか？

3