算 術 の言 語 か ら概 念 記 法 へ(1)

算 術 の言 語 か ら概 念 記 法 へ(1)

フ レー ゲ の初 期 の体 系 をめ ぐって

岡本 賢吾

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フ レー ゲ が 初 め て提 示 した形 で の概 念 記 法(Begriffsschrift),つ ま り, 彼 の最 初 の 主著 で あ る 『概 念 記 法 』(1879年)に 見 られ る 限 りで の概 念 記 法 一 こ こで は便 宜 的 に これ を 「第 一 体系 」と呼 んで お こ う は,も っ と後 にな っ て彼 が 中心 的 に追求 す る こ とにな る企 て(と りあえず 簡 単 に言 うと,「 算 術 の全体 を論 理 に還 元す る」 こ とを 目指す,い わ ゆ る 「論 理 主 義 」の プ ログ ラ ム)の 側 か ら見 れ ば,未 だ理 論 的 に弱 く,い わ ば 萌芽 的 な もの に留 ま るが,そ れ で も色 々 な意 味 で興 味深 い もの で あ る.ま ず,そ の よ うに述 べ る理 由 を,大 ま か に 二つ の観 点 か ら説 明 して み よ う.

(1)第 一 に,こ の 第 一 体 系 は,い ま も触 れ た 彼 の 論 理 主 義 の 企 て に とっ て,そ の 或 る意 味 で の 前 提 とな り,ま た 何 よ り も,そ の 一 貫 した 基 盤 と な っ た も の に 他 な らな い.(誤 解 の な い よ うに 言 い 添 え れ ば,こ の よ うに 言 う こ と で,既 に 第 一 体 系 の 段 階 で 彼 が 論 理 主 義 の 構 想 を 抱 い て い た と い っ た 主 張 を し よ う と して い る わ け で は な い.こ の 点 に つ い て は後 に 触 れ る.)こ の こ との 意 義 を 少 しだ け 敷"11Jして み る と,例 え ば 次 の よ う に な る.

フ レー ゲ の 論 理 主 義 の テ ー ゼ を め ぐっ て は,次 の よ うな 点 が し ば しば 問 題 と され る.す な わ ち,一 般 に 「論 理 」 と見 な して よ い 範 囲 の 理 論 と は ど の よ うな も の か,或 い は そ もそ も 「論 理 」 とは 何 か,そ して,フ レー ゲ 自 身 は こ う した 点 を ど う理 解 して い た の か,と い う こ と で あ る.(こ れ らの

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点 が 不 明瞭 なま ま で あ る と,算 術 を 「論 理 」に還 元す る とい う考 えの ポ イ ン トが どこ に あ るの か見失 われ て しま うか らで あ る.)こ れ らにつ い て こ こで深 く立 ち入 る こ とはで き ない が,い ず れ にせ よは っ き りして い る の は,少 な く とも第 一体 系 は,フ レー ゲの 目か ら見 て,一 貫 して,ま さ しく

「論理 」の最 も基 幹 的 な部 門 に数 え入れ られ るべ き ものだ った とい うこ と で あ る.(文 の カテ ゴ リー の位 置づ け,内 容 線 記 号や 同一性 記 号 の扱 い な ど,第 一 体 系 の い くつ か の特 性 は後 に改訂 され るが,そ れ で もい ま 述べ た 点 には ま った く変 わ りが な いだ ろ う.)し か し,彼 が そ う考 えた の は なぜ だ ろ うか.

実 は,第 一 体系 が い か な る意 味合 い で 「論理 」で あ るの かは,そ れ 自体, 決 して 明 白で は ない.す ぐ後 で述 べ る通 り,第 一体 系 は少 な く とも二階 論 理 を含 むが,例 えば ク ワイ ンの よ うに,二 階 論理 を 「論 理 」とは認 め よ う

と しな い強 硬 な考 え方 も存 在 し うるか らで あ る.し か しだ か ら こそ ま た, フ レー ゲが 上 の よ うに,第 一体 系 をま った く 当然 の ご と く 「論 理 」の基 幹 的部 門 と見 な し続 けた理 由を は っき りさせ,こ の彼 の 見解 が どの程 度 根 拠 を持 っ た もの で あ るか を検討 す る こ とが,前 の段 落 で 述べ た,論 理 主義 の テ ーゼ にお ける 「論 理 」の解釈 をめ ぐる問題 を考 え る上 で,一 つ の 大 きな 鍵 に な るはず だ と思 われ る.そ して その た め に まず必 要 と され るのは,第

一体 系 が,そ れ 自体 と して い か な る特徴 を備 えた,い か な る性 格 の 言 語 で あ り,フ レー ゲ 自身 は これ らの点 を ど う捉 えて い た の か とい うこ とを,予 め十 分 に明 らか に して お く こ とで ある だ ろ う.

(2)第 二 に,第 一体 系 は,そ れ そ の もの と して 見 て もかな り注 目す べ き も ので あ る.実 際,例 えば歴 史的 な観 点 か らす る と,こ の体 系 の 出現 とい う の が,少 々大 げ さに言 って よ けれ ば,そ れ 自身 「驚 く に値 す る出来 事 」で

あ る こ とは 否 定 で きな いだ ろ う.

す な わ ち,ま ず命 題 論 理 と一 階述 語論 理 だ けに話 を限 っ て も,論 理 学 の 歴 史の 中で,こ れ ら につ い て の(術 語 的 な意 味 で)「 完 全 」 な理論 を提 示 したの は,第 一 体 系 が初 めて で あ る と言 って ほ ぼ 間違 い な い.と りわ けそ の場 合,「 完 全 」で あ る云 々 よ りも以前 の 問題 と して,第 一 体 系 に含 ま れ て い る 内容 の うちで,そ れ 以 前 の(或 い は ま た,同 時 代 の)他 の論 理 体 系

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の うちに は っ き りと欠 けて い た もの が何 で あ るの か を考 えてみ る と,両 者 の 間 に どれ ほ どの相 違 が あ るか が 最 も明 白にな る.そ の よ うな(つ ま り, 当時 として 第 一 体 系 だ けに含 まれ て い る)内 容 とは,現 在 の用 語 で言 え ば,「 多重 量 化(multiplequantification)」の 一般 的 な取 り扱 い とい うこ とで あ り,言 い換 えれ ば,多 重 量 化 を含 む文 互 いの 作 用域 が入 れ 子状 に重 な り合 っ た,複 数 の 量化 子 を含 む 文 の論 理 的振 る舞 い の 形 式化 で あ る.現 在 の 常識 か らす る と,一 階述 語 論理 の応 用 上 の有 用性 の 大 半 は,こ の論 理 が多重 量化 の扱 い を可能 に させ る とい う点 にあ る と言 って も過 言 で はな い.(実 際,多 重 量化 の扱 い を欠 いた 理論 とい うのは,ほ とん ど 「使 い もの に な らない 」と言 わ れ る こ とに なる だ ろ う.)つ ま り一 言 で言 え ば, 第 一 体系 は,現 在 の尺度 に照 ら して十分 に使 用 に堪 え る歴 史上 最 初 の体 系 で あ り,そ れ以 前 に は,ま た 当 時 としてそ れ以 外 には,こ の よ うな体 系 は なか った とい うこ とで あ る.(た だ しほぼ 同時 期 に,お そ らく完 成 度 にお いて は劣 る ものの,こ れ に 匹敵す る可能性 の あ る理論 と して,ま った く独 立 にC.S.パ ー ス に よって 展 開 され た もの が存在 す る.こ れ 自身,大 変 興 味深 い 事実 だ と思 われ るが,こ こで は措 く。)

更 に,第 一 体 系 に は,多 重 量化 の扱 い以 外 に,も う一 つ,そ の 大 き な柱 とな る内容 が 見 出 され る.そ れ はす な わ ち,二 階 量化(そ の 中で も強 い形 で あ る,い わ ゆ る 「非 可述 的impredicative」 二 階量化)の 本 格 的 な理論 で あ る.二 階 量化 とは,ふ つ う言 わ れ る通 り,「性 質 」や 「関係 」 に対す る 量化 の こ とで あ る が,む しろ こ こで は,次 の よ うに シ ン タ クテ ィカ ル な観 点 か ら述 べ た 方 が,話 が は っ き りす る だ ろ う.す な わ ち,一 階 量化 が,一 階 の 開放 文(つ ま り一 階 の 要 素 的 ない し複 合 的述 語 の こ とで あ るが,フ

レー ゲ的 に言 え ば,固 有 名 の 出現 を補 填 してや る こ とに よって 完全 な 閉 じた 文 に な る よ うな表 現,と い うこ とに な る)に 対 して 量化 子 を接 合 す る操作 で あ る よ うに,二 階量 化 とは,二 階 の開放 文(一 階 の要 素 的 な

い し複 合 的 な述語 の 出現 を補 填 してや る こ とに よ って完 全 な文 に な る表 現)に 対 して量化 子 を接 合 す る操 作 の こ とで あ る.歴 史 的 に 見れ ば,二 階 量化 とい うの は,第 一体 系以 前 には,単 に取 り扱 われ てい なか った とい う 以 上 に,そ もそ もそ の 存在 自体,ほ とん ど気づ かれ て い な か った と見 て よ い だ ろ う.併 せ て言 え ば,現 在 の尺度 か ら判 定 して も,二 階 量化,特 に非

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可 述 的 二 階 量 化 とい うの は,依 然 と して か な り理 論 的 に 高 度 な も の(先 に ク ワイ ン の 意 見 に触 れ た が,或 る意 味 で は,そ の 強 力 さの ゆ え に,「 論 理 」 とは 呼 べ な い と さえ 言 われ,ま た,ボ ア ン カ レや ワ イ ル 以 来 の い わ ゆ る

「definitionist」に よっ て,厳 しい 批 判 の 対 象 と も され て い る も の)で あ る.

い ず れ にせ よ これ らの 点 か ら して も,第 一 体 系 に 含 ま れ る理 論 的 内容 が, 当 時 の歴 史 的 状 況 の 中 で 突 出 して お り,他 と の 大 き な 断 絶 を感 じ させ る も の で あ る こ とは 否 定 しえ な い と思 われ る.

と こ ろ で そ うな る と,お そ ら く こ こ で,次 の よ うな疑 問 が 生 じ る こ と に な る の で は な い だ ろ うか.す な わ ち そ れ は,一 体 プ レ.̲....ゲは,な ぜ,ど の よ うな 観 点 に 立 ち,ど の よ うな 概 念 的 筋 道 を 辿 る こ と に よ っ て,こ の 体 系 の 構 築 に ま で 到 る こ と が で き た の か,と い う も の で あ る.実 は こ の 疑 問 は,先 に(1)の 終 わ りで 述 べ た 問 題 一 第 一 体 系 は,い か な る 特 徴 を備 え た,い か な る性 格 の 言 語 で あ り,フ レー ゲ 自身 は これ らの 点 を ど う捉 え て い た の か一 一 と も重 要 な 仕 方 で 結 び つ い て お り,も っ と端 的 に 言 っ て,そ れ を考 え る た め の 前 提 な い し基 本 とな る は ず の も の で あ る.と い うの も, 多 重 量 化 及 び 二 階 量 化 とい う主題 そ の もの を 見 出 し,こ れ らの 論 理 的 取 り 扱 い を 展 開 す る こ と を彼 に 可 能 に させ た,そ の 当 の 要 因 や 筋 道 を 明 らか に す る こ と に よ っ て,初 め て,彼 が 第 一 体 系 と して 作 り上 げ た 言 語 とい うの が 結 局 の と こ ろ どの よ うな 性 格 の もの で あ り,ま た,彼 自身 の 目に は そ れ が どの よ うな も の と して捉 え られ て い た の か とい う点 も,十 分 に 明 らか に

な る は ず だ と考 え られ る か らで あ る.

とい うわ けで,少 々前 置 きが長 くなっ たが,第 一 体 系 が どの よ うな興 味 を持 っ か,そ して,本 稿 が どの よ うな視 角 か らこの 体 系 を問題 に しよ うと す るか は,お お よそ理 解 され たの で は ない か と思 われ る.し か しそれ で は,第 一 体 系 の構 築 の筋 道 を明 らか にす る には,具 体 的 に どの よ うな事 柄 を検 討 す るの が よい だ ろ うか.

この場合,『 概 念 記 法』で彼 が構 成 してみ せ て い る証 明(特 に二 階量 化 関係 の)や,或 い は ま た,彼 が そ こで 与 えて い る種 々 の説 明(と りわ け, よ く知 られ た 「関数 とアー ギ ュ メン ト」に関 す る独 特 の考 え方 を述 べ た部 分)を 参 照 す る必 要 が あ るの は もちろ ん だ ろ う.し か し同時 に,こ の とき

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見落 とす わ け にい かな い の は,彼 が実 際 に第 一 体系 を用 い て 当 時の 段 階 と して行 って みせ て い る,算 術 につ い て の分 析 の諸 事例 だ と思 われ る.(こ れ は,1879年 の 「概 念 記 法 の適 用 につ い て」,82/83年 の 「概 念記 法 の 目 的 に っ い て」 とい っ た短 い 論 考 の他,80/81年 の遺 稿 「プー ル の 計算 論 理学 と,概 念 記 法 」 にか な り豊 富 に見 られ る.)

ご く単純 に言 って も,第 一体 系 を構 築す るた めの直接 の手 が か りを彼 に 与 え た の が,当 時 の 算術 の理 論,特 に,そ こで提 示 され る定義 や 証 明 で あっ た こ とは疑 い が ない.(実 際,『 概 念 記 法』段 階以 来,ず っ と後 の 『算 術 の基 本 法則 』 に到 るま で,そ れ らの 定義 や 証 明 の 曖 昧 さ,不 十 分 さは, 終始,彼 の批 判 的 吟 味 の対 象 とな った もの で あ り,そ もそ も彼 が第 一体 系 の構 築 を手 が けた こ と 自体,こ うした 曖昧 さ,不 十 分 さの 一般 的 な解 決 手 段 を求 めて の こ とで あ った の は,周 知 の 通 りで あ る.)い ま述 べ た,彼 の 行 って い る算術 の分析 の諸 例 か らは,そ の よ うな第 一体 系 の構 築 の た め の 手 が か り と して具 体 的 に彼 が何 を得 た のか が,か な り明確 に窺 われ る し, ま た それ 以上 に重 要 だ と思 われ る こ と と して,次 の点 が あ る。す なわ ち, これ らの 諸例 にお い て,第 一体 系 の言 語 が,通 常 の算 術 の言 語(数 式 や 等 式 の類 と,更 に,自 然言 語 に よ って与 え られ る補 足 的 記述 か ら成 る もの) に対 して 関係 づ け られ る際 の仕 方 には,実 は,現 在 常識 的 な 「言 語 の拡 張」

とい う見 方 とは少 々異 な る独 特 の もの が あ り,こ の こ とか らは,彼 自身 が 第 一 体 系 の 言 語 を どの よ うな性 格 の もの と して捉 え,位 置づ け てい た の かiそ して 結 局 は,元 々 どの よ うな仕 方 で この言 語 を発 見 した(或 い は案 出 した)の か につ い て,本 質 的 な示唆 が与 え られ る と考 え られ る,と い う こ とで あ る.

そ こで,い ま述べ た点 を念頭 に置 き なが ら,以 下 で具 体 的な 考察 に入 る こ とに しよ う。

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まず 初 め に,多 重 量化 につ い て若 干 検討 して み よ う.多 重 量化 文(多 重 量化 を含 む 文)と い うの は,形 式 的 な論 理 体 系 の うちに だ け存 在 す る単 な る論 理 学者 の理 論 的仮構 物 な の で はな い.そ うで は な く,わ れ われ の 日常

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的 な言 語 活 動 の うち に もそれ は当 た り前 に登 場す る もの で あ り(よ く引 か れ る例 で言 え ば 「誰 で も誰 か を愛 してい る」な どがそ うで あ る),実 際 に, 比 較 的 単純 な もの で は あ るが,わ れ われ は これ らを用 い て種 々 の推 論(多 重 量化 文 の場合 に固有 で あ る と言 える よ うな種 類 の推 論)を も行 う.要 す

るに,多 重 量化 その もの は,形 式 的 な 論理 的言語 の存 否 に一 切 関 わ りな く,自 然言 語 の シ ン タクス の うちにそれ 自体 で或 る程 度 ま で具現 され てい る と考 えて よい よ うな論理 構 造 で あ り,そ の意 味 で は,自 然言 語 を習得 し てい る人 は誰 で も,何 らか の度 合 いで 多重 量化 につ いて の理解 を持 ってい る と言 って よい.

しか しも ちろん,実 践 的 に多 重量 化文 を多重 量化 文 と して使 用 で きる こ と と,当 の 多重 量化 文 の論 理 的構 造 をそれ そ の もの と して把 握 し,理 論 的 な考察 の対象 にまで もた らす こ と とは ま った く違 う.フ レー ゲ が第 一体 系 におい て行 った こ との 一っ は,ま さに この後 者 に他 な らな かっ たわ けで あ る.

ところで他 方,い ま述べ た よ うなわれ われ の 日常 的 な実 践 の レベ ル を大 き く超 えて,自 然言 語 をほ とん どそ の まま用 い て相 当に複 雑 な多 重 量化 文 を形成 し,非 形 式 的 ・直観 的 な仕 方 にお い て で はあれ ソフ ィス テ ィ ケー ト され た 多 重 量化 推論 を展 開 す る こ とを,い わ ば 自 らの 「仕 事 」としてい る 人 々が い る.そ れ は言 うま で もな く,算 術 の理 論 に従 事 す る数 学者 た ち で あ り(も ち ろん そ こで は,自 然 言 語 だ けで な く,算 術 に固 有 の数 式や 等 式 が併 用 され るわ けで あ るが),具 体 的 には こ うした点 は,よ く知 られ て い る通 り,特 に極 限概念 をそれ そ の もの として 主題化 す る解 析 学 の初 等 的部 分 な どにお い て顕 著 に見 られ る.こ の よ うな解析 学 の理 論 は,未 だ 不安 定 な部分 もあった とはい え,第 一 体系 の構 築 に臨む 際 の フ レー ゲ 自身 の 目の 前 に も既 に与 え られ て いた わ けで あ り,自然 言 語 を用 い た多 重 量化推 論 の 実 践 とい うの は,フ レー ゲ 自身 を含 め,当 時 の数 学 者 た ち が従 事 して い た 活動 そ の もの だ った の に他 な らな い。

現在 では,解 析 学 の教 科 書 な どで,数 式 と 日本 語 の 文 とに よ って与 え ら れ る定義 や 証 明 の 中に,簡 単 な仕 方 で量 化子 を交 えて 用い る とい うこ とが

よ く見 受 け られ る.つ ま りそ こで は,当 の 定義 や 証 明 の ご く部 分的 な形 式 化 が 行 われ る わ けで あ る.だ が そ の よ うな僅 か な形 式化 で あれ,そ れ を行

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うの が 可能 にな っ た のは,ま さに第一 体系 の 出現 以降 の こ とで あ り,こ の 体 系 の構 築 当時 に は,未 だ 一切 そ の よ うな手段 は なか った.そ して そ の こ とは,当 時 の数 学 者 の活動 に種 々 の不都 合 を もた ら し,実 際 に 明 白な誤 り を生 む場 合 さえあ っ た と言 って よいだ ろ う.だ が それ は ともか く と して, いず れ にせ よ当時 のそ うした実 践 の うちに示 され て い るのは,こ の実 践 に 従 事す る数 学 者 が驚 くほ ど自然 言 語 の使 用 に依 存 し,ま た独 特 の仕 方 で そ れ に習 熟 して もい た(と 同 時 に,逆 に 言 え ば,自 然 言 語 とい うの は,そ れ に応 え るだ け の柔 軟性 をい わ ば本 来 的 に備 えて い る)と い う事 実 で あ る.

さて,以 上 を踏 ま え る と,第 一 体系 を構 築す る段 階 で の フ レー ゲが,多 重 量 化 とい う主題 そ の もの に敏感 で あ った こ とに は,何 の 不思 議 もない だ ろ う.し か し同 時 に,繰 り返 しにな るが,そ の こ と 自体 と,多 重量 化 推 論 を,厳 密 に形 式 化 され た シ ンタ クテ ィカル な操 作 と して再構 成 し うる とい う事 実 に気 づ く とい うこ と とは未 だ別 で あ る.そ して 更 に言 えば,結 局 の と ころ,こ の後者 に気 づ くに到 った の は,ひ と りフ レー ゲ のみ で あ った.

通 常 の数 学者 が この 可能 性 に気 づ かず に終 わ って しま う(ま た,先 に述 べ た よ うな不都 合 や 誤 りが生 ず る場 合 もあ る とは い え,と りあ えず そ れ で支 障 は ない)の は,単 な る彼 らの 「不 注意 さ」で あ る とか 「思慮 の足 りな さj な どに よ るの で は決 して な く,そ れ 自体,然 るべ き理 由が あ る はず だ と思 われ る.言 い換 えれ ば彼 らは,彼 らの実 践 の或 る種 の構 造 その もの の ゆ え に,ほ とん ど不 可避 的 に い ま述 べ た よ うな形 式 化 の可 能 性 か ら 目を逸 ら し,或 い は 目が塞 が れ て しま うとい うこ とに他 な らない だ ろ う.従 って ま た,逆 に言 えば,フ レー ゲ の場 合 は,こ うした通 常 の数 学 者 の実 践 か ら何 らか の仕 方 で 身 を引 き離 し,事 態 を捉 え直 す た め の,い わ ば或 る種 の 「見 方 の 転換 」を果 た す こ とが必 要 だ った はず だ と思 われ る.で は,そ れ は 具 体 的 には どの よ うに行 われ た の だ ろ うか.

先 に も触 れ た通 り,フ レーゲ の遺稿 「プー ル の 計 算論 理 学 と,概 念記 法 」 で は,い くつ か の算 術 的 な 定義 や 定 理 につ いて,第 一 体 系(ふ つ うの 言 い 方 で は,そ れ の 言語 に,通 常 の算 術 的記 号 を交 えて拡 張 を施 した もの)を 用 い た定 式化 が与 え られ て い る.こ うした 定式 化 の うちの代 表 例 は,よ く

知 られ て い る通 り,関 数 の連続 性 の 定義 で あ る.こ の例 は 問題 の所 在 を 明 白 に させ る もの だ と思 われ る の で,少 々 これ につ い て 見 て み よ う.(と

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言 って も,以 下 で は実 質 的 な数 学 的 内容 に入 るわ けで は ま った くな く,単 に この 定義 をめ ぐっ て見 出 され る言語 的 ・論理 的な 問題 を考 察 す るだ けの こ とで ある.)

まず 一方 で,通 常,算 術 で与 え られ る この概 念 の 定義 は,数 式 と 自然言 語 の文 との 混合 か ら成 る もの に他 な らず,具 体 的 には例 えば,ほ ぼ次 の よ

うにな る.(次 の[1]は,フ レー ゲ 自身 が ドイ ツ語 で 与 えて い る もの を, 多少 判 りや す く書 き換 えた もので あ る.Vg1.NS.26f)

[1]実 関 数 φ(x)がx‑Aで 連 続 的 で あ る と は,次 の こ とで あ る と 定 義 す る.

n>0で あ る い か な る 実 数nに つ い て も,g>0で あ る 或 る 実 数 gが 存 在 して,‑g≦d≦gで あ る よ うな い か な る 実 数dに つ い て

も,‑n≦ Φ(A+の 一φ(の ≦nと な る.

こ こには ま さに,通 常 の算 術 に現 れ る 自然 言 語 の多 重 量化 文 の事 例 が典 型 的 に 見 られ るわ け だ が,こ の[1]の 定義節 に対 して,フ レー ゲ 自身 が 与 えて い る定 式化 は,次 の よ うな もの で あ る.(た だ し,表 記法 と して は, 第 一 体 系の もの で は な く,現 在 の標 準 的 な もの を用 い る.)

[2]∀n(n>0→ 一 ∀g(g>0→ 一 ∀d(‑g≦d≦g→

‑n≦ φ(オ+d)一 φ(オ)≦n)))(変 項 の 領 域 は 実 数)

これ は フ レー ゲ 自身 に従 って,存 在 量化 子 を用 い て い な いた め,少 々見 づ らい ので,[2]と(古 典 論 理 的 に見て)論 理 的 に 同値 な も う一っ の定 式 化 を掲 げて お こ う.

[3]∀ η(π>0→ ヨg(g>0〈 ∀4(‑g≦4≦g→

‑n≦ φ(A+の 一 Φ(A)≦n)))(変 項 の 領 域 は 実 数)

さ て,こ の 例 の 場 合 と りわ け 明 白で あ る が,実 は[1]の 定 義 節 と,[2]

な い し[3]の よ うな そ の 形 式 的 定 式 化 とい うの は,ほ とん ど逐 語 的 とい っ

zg

て よい く らい密 接 に対 応 し合 っ た もの に他 な らな い.(実 際,[3]を 日本 語 に訳せ とい わ れれ ば,た い てい の 人 が[1]の 定 義節 を述 べ る こ とに な るだ ろ う し,ま た[1]の 定 義節 を[2]な い し[3]に 書 き直す 場 合 も,そ の書 き換 え手続 き 自体,容 易 に機 械 的 に述 べ る こ とが で き るだ ろ う.)も ち ろん だ か ら とい って,そ の こ とは,[2]や[3]の よ うな定 式化 の意 義 を空 しい もの に させ る わ けで は な く,こ れ らの 定式 化 の 眼 目は,何 よ り

も,当 の定 式化 の構 文 論 的構 造 そ の もの に即 した,厳 密 に形 式 化 され た推 論 を 可能 に させ る ところ に あ る.だ が それ はひ とまず 措 い て,い ず れ にせ

よ以 上 か ら予 想 され るの は次 の 点 で あ る.す なわ ち,フ レー ゲ が[2]な い し[3]の よ うな 定式 化 を得 た の は,直 接 に は,ま さに[1]の よ うな 自 然 言 語 に よ る定義節 を分析 す る こ とに よっ てで あ った ろ うとい うこ と,言 い換 え る と,未 だ第 一 体 系 の言 語 が ま った く作 り出 され てい ない(或 い は その 僅 か な萌芽 や 断片 とい っ た もの が作 り出 され つ つ あった にす ぎな い) 段 階 で,お そ ら くフ レー ゲ は,こ の[1]の 定 義節 の よ うな事 例 を 目の 前 に置 き,実 際 にそ の構 文 論 的構 造 に対 す る或 る種 の 分析 を行 うこ とに よっ て,ま さに初 めて[2]や[3]の よ うな形 式 的 定 式化 を作 り出 した に違 い ない,と い うこ とで ある.歴 史 上 の事 実 と して フ レー ゲ が体 験 した事 柄 は これ ほ ど単 純 で は ない か も しれ ない が,し か しいず れ にせ よ,ほ ぼ これ に 類 す る事実 が あっ た とい うの は,非 常 に蓋 然性 が 高い と言 って よい と思 わ れ る.

だ が もち ろん,こ こで の ポイ ン トは,文 字通 りに歴 史 的事 実 の 憶測 をす る こ とに あ るの で は ない.そ うで はな く,ひ とまず 以 上 の よ うに見 て よい もの と した上 で,こ こで 更 に検 討 して みた い の は,次 の よ うな二 つ の 問題 で あ る.す な わ ち,そ の 一番 目の 問題 とは,以 上 の想 定 の下 で,実 際 にフ レー ゲ が[2]や[3]を 得 るに到 るま で の プ ロセ ス を も う少 し詳 しく復 元 して み る と,そ こか らは,彼 が行 っ た作 業や概 念 的思 考 の筋 道 が,ど の よ うな もの と して浮 か び 上が って く る こ とにな るか,と い うこ とで あ る.他 方,二 番 目の 問題 とは,既 に[2]や[3]を 得 て い る われ われ の 目か ら見

れ ば,[1]の 定義 節 か ら[2][3]へ と進 む こ とは ほ とん ど自明 に近 い も の に思 え るに もかか わ らず,な ぜ 通 常 の数 学 者 は[1]だ けで充 足 し うる の か,ま た或 る意 味 で,充 足せ ざ るを えな いの か,言 い換 えれ ば,そ うし

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た 事実 の背 景 に ある彼 らの実践 の構 造 とは どの よ うな もので あ るの か,と い うこ とで あ る.

これ ら二っ の 問題 は微 妙 に絡 ま り合 ってい るた めに,単 純 に二分 して述 べ るの は難 しい と思 わ れ るの だが,と りあ えず,一 番 目の 問題,つ ま りフ レー ゲ の側 に関す る問題 か ら少 し考 えてみ よ う.そ の場 合,ま ず 第 一 に, こ こで の フ レー ゲの状 況 が,次 の よ うな もの とは は っ き り異 な る とい うこ とは,お そ ら く容易 に理解 され るだ ろ う.現 在 で は,既 に第 一 体系 以 来 の 一 階述 語論 理 の形 式 的言語 が実在 す るわ けで あ るか ら

,わ れ われ は これ を 出来 上 が っ た もの と して学 ぶ こ とがで きる.従 って,わ れ われ が或 る程 度 ま でそ れ を 習得 す るに到 れ ば,例 えば練 習 問題 と して[1]の 定義 節 を与 え られ,こ れ を この 論 理 の言 語 に よっ て書 き換 え る よ うに求 め られ た と き,上 で も触 れ た通 り,ご く容 易 にわ れ われ は 自力 で[2]や[3]を 発 見 で き るだ ろ う.し か し,い ま 問題 に して い る フ レー ゲ の状 況 にお い て彼 が 行 わ ね ば な らな い の は,こ うした種類 の 「発 見 」で は ない.彼 に とって の

問題 は,既 に 出来 上 が った 言語 表 現 と して存 在 す る[2]や[3]を,[1]

の論理 形 式 を明示 す る もの と して 特定 す る こ とな の で は な く,当 の[2]や [3]そ の もの を(そ うした表 現 を含 む 形式 的言 語 の シ ン タ クス を)作 り出 す こ とだか らで あ る.

単 に練 習 問題 を解 くだ け の人 の場合,[1]の 定義節 の分 析 を行 う上 で, 既 に 出来上 が っ た形 式 的言 語 のシ ン タクス そ の もの(そ れ につ い て の彼 の 理 解)が,こ の分析 を予 め方 向付 け,道 を示 して くれ る指 針 の働 き をす る.

ところが,い ま も述 べ た 通 りフ レ..̲̲̲ゲの 場 合 は,こ の シ ン タク スそ の もの を創 出せ ね ば な らず,つ ま り彼 には この よ うな指針 は欠 けて い る.従 って 結 局,こ こで の フ レー ゲ は,[1]の 定義 節 そ の もの を ほ とん ど唯 一 の手 が か りと して探 究 を進 め る しか ない こ とにな るだ ろ う。もち ろん そ の場 合, 彼 が利 用 し うるの は,単 な る[1]の 「文字 面 」だ けな の では な く,彼 が 持 っ算 術 の理 論全 般 につ い て の知識 と,自 然 言 語 に 関 わる多様 な知 識 で あ る,だ が いず れ にせ よ,ま ず 第 一 に彼 が行 わね ば な らない の は,言 語 表 現 と して の[1]の 定義 節 そ の もの に 目を 向 け(文 字 通 り,そ れ を或 る種 の 対象 物 と して 「観 察 」 し),そ の構 文論 的構 造 を何 らか の 手段 を用 いて調 べ てみ る こ とで あ る.

30 哲 学 誌41号

とこ ろで しか し,或 る意 味 で 問題 を遡 るこ とにな る が,以 上 を踏 ま え た とき改 めて 浮 かび 上 が って くる一 つ の疑 問 は,そ もそ も彼 が この よ うな仕 方 で,言 語 表 現 と して の[1]の 定 義節 そ の もの に敢 えて 目を向 けた の は なぜ な のか,と い うこ とで ある.ご く単純 に言 って,数 理 論理 学 に通 じた 現 在 の一 部 の数 学 者 で あれ ば と もか く,と りわ け 当時 の通 常 の数 学者 が, フ レー ゲ の よ うな言語 表現 の 「観 察 」 を行 うこ とが ない の は 明 らか で あ る.(こ れ につ い て は次 節 で更 に見 る.)こ の よ うな 「観 察」 とい うの は, 彼 らの規 準 に照 らせ ば,単 に数 学 とは まっ た く無縁 な何 らかの活 動 で ある と判 断 され て 終 わ りだ ろ う.で は,フ レー ゲは なぜ この よ うな 「無縁 な活 動 」に入 り込 ん だ のだ ろ うか.も ち ろん,こ れ に対 す る答 え は或 る意 味 で はは っき りして い る.彼 は ま さ し く,論 理 学者 の伝 統 的 な原則 的格 率,す なわ ち,一 般 に何 らか の 妥 当な論 理 的推 論 の事 例 と思 われ るもの が見 出 さ れ た な らば,そ こ に現 れ た 言語 的諸 表 現 の 「内容 」 「意 味 」に 目を 向 け る ので はな く,む しろ 当該 の言 語 的 諸表 現 の 「形 式 」の側 に 目を転 じよ,と い う格 率 を実行 した の に他 な らない.(こ の意 味 で は,フ レー ゲ の論 理 学 が い か に刷 新 的 な もの で あ っ た とは い え,彼 が,自 らの仕 事 の本 来 の領 分 が 「論 理学 」に 属す るもの で あ る とい う自覚 を持 った の は,ま った く当然 で あ る.)そ して そ の よ うな言 語 表 現 の 「形式 」へ の視 点 の 向 け換 え が行 われ た背 後 に は,算 術 に お け る多 重 量化 推 論 が ま さにそ の 言語 的 な 「形 式 」の ゆ え に妥 当な もの とな って い るはず だ とい う,彼 の 直観 ない し確 信 が隠 され て いた だ ろ う.そ れ はそ れ で よい.し か し,こ こで更 に 問題 に し た い のは 次 の点 で あ る.

い ま も述 べ た通 り,通 常 の数 学 者 に とっ ては,言 語 表 現 の 「観 察 」とい うの は,ま っ た くの 「無 縁 な活 動 」にす ぎない.し か しそ れ に して も,ふ つ う彼 らが その よ うに言 語 表現 そ の もの に対す る無 関心 さ,無 頓 着 さの う

ちに 留 ま って い られ る の は なぜ だ ろ うか.そ して何 よ りも,そ うした無 関 心 さ,無 頓 着 さの結 果(で あ り,お そ ら く原 因 で もあ る もの)と して,彼 らは 自己 自身 の活動 の在 り方 につ いて,ど の よ うな描 像 を持 つ に到 るだ ろ

うか.実 は これ らの点 ま で 考 え併 せ る と,フ レー ゲ の側 が行 っ た言 語表 現 の 「形 式 」へ の視 点 の 向 け換 え とい うこ と も,単 な る論理 技 術 上 の 「巧 妙 な思 いつ き(ingenuity)」 とい っ た もの の次 元 を超 えた,も う少 し射 程 の大

算術の言語から概念記法へ

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きい含 みや 洞察 を伴 った もの として理解 し直 す こ とが 可能 とな って くるよ うに思 われ る.と い うの も,通 常 の数学 者 が持 つ 自己 の活 動 の描像 との対 比 にお い て見 る とき,フ レー ゲ が行 った よ うな視点 の 向け換 えの結 果 と し て露 わ にな って くる数 学の 活動 の在 り方 は,次 節 でそ の一 端 を示唆 す る よ

うに,極 端 と言 って よい く らい は っ き りと した対 照 を示す もので あ り,そ して そ うで あ る限 りにお い て,彼 の行 った 「視 点 の 向 け換 え」は,こ う し た数 学 の活 動 そ の もの に対 す る一 つ の新 しい 「見方 」の 出現 を もた らす も の と して評 価 して よい よ うに思 われ るか らで あ る.

とい うわ けで,話 が度 々 あち こ ち移 る こ とに な るが,今 度 はむ しろ,先 に5っ 前 の段 落 で 上 げ た二番 目の 問題,つ ま り通 常 の数 学 者 の 活動 の側 に 関す る 問題 を少 々考 え てみ る こ とに しよ う.

3

通 常 の数 学者 の場 合 につ いて最 も特 徴 的 だ と思 われ るの は,彼 らに とっ て,言 語 表現 と して の[1]の 定義 節 そ の もの が,実 は或 る意 味 で 「存 在

しない 」 とい うこ とで あ る.

この こ との趣 旨は,ま ず 単純 に は,次 の よ うに説 明 す る こ とが で き る.

一 般 に彼 らは

,確 か に[1]の 定義 節 に様 々 な仕 方 で 出会 う.す な わ ち,そ れ を教科 書 で 目に し,或 い は教 師 か ら言 い 聞 か され て,そ れ が表 現 してい

る はず の 内容(命 題)に つ いて 思 い め ぐ ら した りす る し,更 には,自 分 で この 定義節 を発 話 して他 人 に説 明 を与 えた りもす るだ ろ う.つ ま り彼 らは そ の よ うに して,[1]の 定義 節 が織 り込 まれ た様 々 な言 語 的 実践(言 語 行 為)に 入 り込み,実 際 に,自 ら この 定義 節 を使 用 しもす る わ けで あ る.し か しその よ うな仕 方 で使 用 を行 うこ と と,言 語 表現 と して の この定 義節 そ の もの に 目を向 け る こ と,と りわ けフ レー ゲの行 った よ うな仕 方 で,そ れ を 「観 察」の対 象 とす る こ とは,ま った く別 物 で あ る.別 物 で あ るだ けで な く,ふ っ うこれ ら二種類 の行 為 は,互 い に排 除 し合 うもの で あ り,両 立 しえ ない.も っ と正 確 に言 うと,原 理 的 な 問題 と して,同 じ一 つ の 言語 表 現(タ イ プ と して で は な く,ト ー ク ン と して の)が,一 人 の 主体 に よって,

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同 時 に使 用 され,か っ 「観 察 」の対 象 と され る こ とは不 可能 だ,と い うこ とで あ る.実 際 この 点 はむ しろ,「 観 察 」の場 合 を考 え た方 が は っ き りす るだ ろ う.[1]の 定義 節(の 或 る トー ク ン)が 「観 察 」の対 象 とされ てい る とき,明 らか にそ れ は観 察者 自身 に よって は使 用 され て お らず(た だ し 当の トー ク ンが,別 の 人 が 主 張 な どの た めに発 話 して い る もの で あ る と い った こ とは十分 可能 で あ る),そ もそ も使 用 され よ うが ない.誤 解 の な い よ うに補 足 して お け ば,こ こで の 問題 を考 え る上 で は 「タイ プ」で は な く 「トー ク ン」だ とい う限 定 がぜ ひ必 要 で あ る.な ぜ な ら,[1]の 定義 節 の或 る トー ク ン を 「観 察 」してい る人 が,何 かの 具合 で(タ イ プ と して は) 同一 の 定義 節(の 別 の トー ク ン)を 発 話す る,つ ま り,主 張や 説 明 な どの た め に使 用 す る とい うこ とは,や は り十 分 に可 能 だ か らで あ る.(少 々 く ど くな るが,実 は ここに は も う一 つ複 雑 な 事情 が ある.そ れ はす なわ ち,

「観 察 」の対 象 と してそ の 場 に置 か れ るの は確 か に或 る トー クンだ が,し か し,そ の 「観 察 」のい わ ゆる志 向的対 象 そ の ものは,む しろ タイ プ だ と 考 え るべ き理 由が あ る とい うこ とで あ る.な ぜ な ら,「観 察 」の うちで行 われ る構 文 論 的操 作 そ の もの は タイ プ を対象 と して行 われ るはず だ し,実 際 この操 作 を通 じて認 識 され る事 柄 は,当 該 の言 語表 現 の タイ プ全 体 に当 て は ま るは ず だ か らで あ る.)

しか しな が ら,実 は 以 上 に述 べ た の は ご く皮相 な論 点 で しか ない.実 際,数 学 者 が[1]の 定義 節 を使 用 す る際 に は,こ れ を 「観 察 」 で き ない

な ど とい うの は,何 ら彼 ら 自身 の 責任 では な く,い ま述 べ た通 り,一 般 に 言 語 記 号 そ の もの が持 つ 或 る種 の原 理 的性 格 の ゆ え にす ぎな い.し か る に,彼 らに とって或 る意 味 で[1]の 定 義節 が 「存 在 しない 」 とい うの は, そ うで は な く,彼 らの実践 の固 有 の性 格 そ の もの に根 ざ して生 じて くる こ

とで あ る.そ こで 次 に これ を説 明 しよ う.

問題 の ポイ ン トは,[1]の 定 義節 を使 用 す る彼 らの行 為 が,例 外 的 な ケー ス を除 い て,彼 ら自身 に よ って,決 して 当の言 語 表 現 の使 用 と して は 自覚 され ない,と い う点 に あ る.こ れ はお そ ら く二つ の理 由か ら生 じて く るだ ろ う.す な わち まず 第 一 に,[1]の 定義 節 を用 い て行 われ る彼 らの実 践 が,ま さ に徹 底 したパ フ ォー マ ンス と して展 開 され,当 の実 践 に対 す る 彼 らの間 の 関心 は,ほ とん どもっぱ らこ うしたパ フォー マ ンス と しての効

算術の言語から概念記法へ

₃₃

果,そ の成 功 ・不 成功 とい う点 だ け に絞 り込 まれ るか らで ある.実 際,[1]

の定義 節 は どの よ うな仕方 で使 用 され るだ ろ うか.そ れ は例 え ば,何 か具 体 的 な 実 関数 と或 るzの 値 が特 定 され た とき,当 の 関数 が 当のxの 値 で 本 当に連 続 だ と言 って よい とい うこ とを確 立す るた め に,つ ま り,そ の こ との証 明 を行 うた め に,お そ ら く引 き合 い に 出 され るだ ろ う.す な わ ち彼 らは,一 般 に或 る関数 がxの 或 る値 にお い て連 続 で あ る とは,ま さに こ の 定義 節 が述べ る よ うな事 柄 が成 り立 って い る場合 で あ る,と い うこ とを 互 いの 問で確 認 した上 で,当 の特 定 の 関数 の場 合,当 の 特定 のxの 値 に お いて,ま さに定 義 節 の述 べ る通 りの 事柄 が成 り立 って い る とい うこ と

を,周 囲の 人 間 に 向か って論 証 し,説 得 しよ うとす るだ ろ う.こ こで の 眼 目は明 らか に,こ の論 証 な い し説 得 とい う行 為 自体 の成 功 ・不 成 功 に存 し てお り,こ の行 為 が[1]の 定義 節 の使 用 を含 ん でい る とい う事 実 は,そ の場 に 立 ち会 うどの 人 に よって も,そ れ そ の もの と しては度 外視 され,ふ っ う自覚 され る こ とが ない.ち ょ うど,或 る機 械 の 操 作 マ ニ ュ アル を読 み 終 えた人 が,実 際 に この機 械 を随意 に操 作 で き る よ うにな っ た とき,当 の マ ニ ュアル の文 言 は 一切 記憶 に残 らず,そ もそ もマ ニ ュアル とい う言 語表 現 が そ こに介在 した事 実 自体 を忘 れ て しま う,と い った事 態 に似 た こ とが 起 こる わ けで あ る.

しか しもち ろん,実 は以 上 もまた,格 別数 学 の実 践 に特 徴 的 で あ るわ け で はな く,わ れ われ が 日常 的 に行 うほ とん どの言 語活 動 に 共通 して見 られ る事柄 にす ぎ ない.む しろ ここで更 に留意 す べ きなの は(こ れ が,上 の段 落 で 述べ た 「二 つ の理 由」の 二番 目 とい うこ とに な るが),特 に数 学 の場 合,自 然言 語以 外 に,固 有 の言 語,っ ま り数 式や 等 式 とい った 算術 的記 号 が使 用 され る とい う事 実 で あ る.こ の 固有 の 言語 につ い て は,そ れ が ま さ

に 自然 言語 とは 大 き く異 な る諸 記 号か ら成 るが ゆ えに,彼 らの 間で か な り 顕 著 に記 号 と して 意識 され る.([1]の 定義 節 に含 ま れ る算術 的記 号の 部 分 にっ い て も,お そ ら くこれ は 当て は ま るだ ろ う.)そ れ どころか,こ の よ うな算 術 に固有 の諸 記 号 につ い て は,そ れ らをい か に うま く操 作 す る か,い か に新 し く便 宜 に適 った表 記 法 を案 出す る か とい っ た点 が,彼 らに とって 常 に大 き な関 心事 で あ る.だ が ま さにそ の こ との代 償 と して,彼 ら の用 い る言 語 が,実 は 算術 的記 号 のみ なの で はな い こ と,む しろ,算 術 的

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記 号 で表現 で き る事 柄 は著 しく限 られ てお り,実 際 に は圧 倒 的 に 自然 言語 が使 用 され て い る こ とが,端 的 に没却 され て しま う.要 す る に彼 らは,自 らが 用 い る言語 ない し記 号 と して は,ほ とん ど算 術 的記 号 の こ と しか念頭 に置 か な くな り,自 然 言 語 の 諸 表 現 の介 在 に対 して 目を閉 ざ して しま う (目 が 塞 がれ て しま う)の に他 な らない.

こ こま で記 述 して きた事 柄 は,フ レー ゲ 自身 のテ キス トとは か け離 れ た もの の よ うに思 われ るか も しれ ない が(そ うで あって も直 ち に問題 が あ る わ けで もない だ ろ うが),実 はそ うで は ない.こ こで は詳 細 な引用 は控 え るが,既 に度 々言 及 した 「プー ル の 計算 論 理学 と,概 念 記 法 」にお いて は, 非 常 に鮮 や か と言 って よい よ うな仕 方 で,以 上 の よ うな通 常 の数 学者 の言 語 意 識 の 「逆転 」 が行 われ て い るの が認 め られ る。す な わ ちそ こで の フ

レー ゲ の第 一 の趣 旨は,通 常の 算術 の 実践(と りわ け証 明の 構成)が,実 は 自然 言 語 に決 定 的 に依 存 して い る とい うこ と,そ して ま さにそ の た め に,自 然 言 語 の 曖 昧 さ,不 十 分 さの圧 倒 的 な浸 透 に晒 され てお り,そ こで そ う した 浸 透 を一般 的 に 除去 し,当 の 自然 言 語 の役 割 を 完全 に(し か も い っそ う厳密 な仕 方 で)代 行 し うるよ うな新 しい言 語 として構 想 され たの が,他 な らぬ概 念 記 法 だ とい うこ とで あ る.(Vg1.NS.13‑15,31‑36。)

も ちろん,こ こで フ レー ゲが 意 図 してい る よ うな,完 全 な言 語 と して の 概 念 記 法 に よ る算 術 全 体 の 再構 成,と い っ た理 想 が,そ れ 自体 あま りに も 素 朴 な もの で あ る こ とは確 か で あ る。(後 に彼 を襲 った,彼 自身 の構 想 し た 形 で の論 理 主義 のプ ログ ラム の破 綻 を考 えて も,或 い は ま た,ゲ ー デル の 不完 全性 定理 な どを考 え併 せ て も,一 般 に形 式 的言 語 に よる算術 の 再構 成 とい うこ との意義 は,も っ と慎 重 に捉 え直 され るべ き で あ る.)し か し

同時 に,こ こで のフ レー ゲ に見 られ る,上 で説 明 した よ うな通 常 の数 学者 の言 語 意識 の 「逆転 」とい うの は,既 に前 節 で 示唆 した通 り,依 然 として, それ そ の もの として 重要 な興 味 を含 む と言 って よい と思 われ る.こ れ は次 の よ うな意 味 で あ る.

通 常 の数 学 者 の言語 意 識 とい うの は,彼 ら 自身 の実 践 の在 り方 につ い て,或 る種 の偏 った,哲 学 的 に 見 て疑 問 の余 地 の 大 きい 描 像 を,ほ とん ど 不 可避 的 に生 み 出す と言 え るだ ろ う.実 際,彼 らにお いて は,算 術 的記 号 の介 在 とい うこ とだ け が意 識 され るた め,次 の よ うな二っ の帰結 が生 じて

算術の言語から概念記法へ

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くる と考 え られ る.す な わ ち,ま ず 一 方 で彼 らは,実 は 自 らが,直 観 的 な 仕 方 におい て,自 然 言 語 の諸 表現(多 分 に曖 昧 な もの を含 む とはい え,そ れ の シ ンタ クテ ィカル な構 造)に 依 拠 した推 論 を明 らかに行 って い る に も かか わ らず,こ の事 実 を容 易 に見 落 とす.そ して む しろ,自 らが,当 の推 論 にお い て 問題 にな って い る種 々 の数 学 的 対象 物(実 関数,実 数,等 々) や,そ れ らの 間 に成 り立つ 数 学 的 な 「事 実 」そ の もの を直接 に取 り扱 っ て い る とい う,素 朴 な形 の数 学 的 プ ラ トニ ズ ム に直 結す る印 象 を形 成 す る.

ところ が更 にそれ だ けで は な く,も う一方 で,算 術 的 記 号 に対 す る 自覚 が あ るせ いで(い わば,そ れ が仇 となっ て),い ま述 べ た 印象 はい っ そ う強 固な もの とな る.と い うの は,次 に述 べ る よ うな意 味合 い で,一 般 に算 術 的 記 号 その もの は,実 際上 の便 宜 には適 って い て も,そ の シ ン タク テ ィカ ル な構 造 が,(こ れ もや は りフ レー ゲ が強調 した点 で ある が)著 しく ミス

リーデ ィン グだ か らで ある.

実 際,例 えば[1]の 定義節 につ い て も,実 は,こ れ をそ の ま ま 書 き換 え るた め に導入 され た算 術 的 記 号法 が 存在 す る.す なわ ちそれ は,よ く知

られ て い る通 り,

[4]lims‑・ α φ(x)=φ(Q)

とい っ た もので あ る.(こ こで は[1]に お け る 「A)を 「R」に 書 き換 えた が,そ れ 以 外 は相 違 は ない.)こ れ は もはや,本 来 そ れ が多 重 量化 文 で あ る こ と さえ,そ の構 文 論 的構 造 その ものか らは読 み 取 れ ない し(束 縛 変項 と して 「X」しか現 れ て い な い),し か も,見 か け上 は 等 式 と して の形 を持 っ て しま って い る.し か しそ れ に もか かわ らず,通 常,数 学 者 は これ で何 ら 不 自由 しな い.そ れ は もち ろん,彼 らが これ を或 る意 味 で 「正確 に」(っ

ま り元 々の[1]が 述 べ る よ うな趣 旨の もの と して)解 釈 す る術 を十 分 に 心得 て い るか らで あ るが,し か し同 時 に,そ れ 以上 の 問題 として,彼 らが 決 して この[4]そ の もの を用 い て(そ の構 文 論 的構 造 に従 って)推 論 を 行 うこ とが ない か らで あ る.む しろ彼 らは[4]を,必 要 な情 報(問 題 と な って い る実 関 数 は何 で あ るか,問 題 とな ってい るxの 値 は何 で あるか, 等 々)を 引 き 出す た めの 単 な る 「心 覚 え」 「目やす 」 とい った もの と して

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しか扱 わ ない.そ して そ の こ とか ら帰結 す るの は,次 の よ うな彼 らの 自己 了解,す な わ ち,自 分 た ちは,結 局 の ところま った く偶 然 的 ・付 随 的 な仕 方 で言 語 表 現 を用 い る にす ぎず,基 本 的 には もっ ぱ ら,そ こで 問題 とな っ て い る当該 の関数 その もの,実 数 そ の もの を取 り扱 って い るのだ,と い う 強 い確 信 で あ る.

こ う して,通 常 の数 学 者 の言 語 意識 は,以 上 の よ うな二 重 の仕 方 で,ほ とん ど不 可避 的 に,自 らが数 学 的 な対 象物,数 学 的 な構 造,数 学 的 な 「事 実 」を取 り扱 っ てい る,或 い は もっ と端 的 に言 って,文 字 通 り 「マ ニ ピュ レー トして い る(手 で操 作 して い る)」 か の よ うな 自己了解 を もた らす に 到 るだ ろ う.筆 者 の理解 す る と ころで は,フ レー グの行 っ た算 術 の 多重 量 化推 論 の形式 的分析一 つ ま りこの推 論 が,厳 密 な シ ン タクテ ィカル な操 作 と して,言 い換 え る と,或 る種 の機 械 的 な言 語 的 ・記 号 的 操作 と して, 再構 成 し直せ る もの で あ る とい う事実 の解 明 の,一 つ の顕 著 な哲 学 的 意 義 は,こ れ に よっ て,以 上 の よ うな通 常 の数 学者 の 素 朴 な プ ラ トニ ズ ム を大 き く揺 るが した こ と,或 い は少 な くと も,そ うした 素 朴 な プ ラ トニ ズ ム とはま った く異 な っ た数 学 的 活動 につ い て の 一 つ の描 像 を提供 した こ と,つ ま りは,ま さに この 意 味 で の 「見 方 の転 換 」 を もた ら した こ とに あ った と評 す るべ きで あ る よ うに思 われ る.

もち ろん この よ うに述 べ る と,当 然 なが ら,次 の よ うな 指摘 を受 け る こ とに な るだ ろ う.確 か に,こ う した 「見方 の転 換 」は,通 常 の数 学 者 が 自 然 に抱 くよ うな種 類 の素 朴 なプ ラ トニ ズム に対 しては,本 質的 な異議 申 し 立 て と しての意 義 を持 ち,一 定 のオル ター ナ テ ィブ を示 唆 してい る とは言 え るか も しれ ない.し か しなが ら,結 局 の とこ ろ,そ の結 果 と して新 た に 得 られ る描 像 とい うの は,良 い か悪 い かは別 と して も,実 は彼 らの抱 くプ ラ トニ ズム と大差 が ない の で は ない か.な ぜ な らば,他 な らぬ フ レー ゲそ の 人 こそ,以 上 の よ うな素 朴 な もの とは異 な る とは い え,数 学 的対象,数 学 的 関数,数 学 的 「事 実」 に 関す るプ ラ トニ ズ ム の最 も強 固 な代 表 者 で あ った のだ か ら.

これ は実 際,も っ ともな指 摘 で あ り,い ま述 べ た よ うな 「見方 の転 換」

の 結 果 が,結 局 の と ころ,数 学 につ い て の どの よ うな描 像 に行 き着 く こ と に な るのか を更 に検 討 す る こ とが必 要 で あ るの は 間違 い ない.実 は,そ の

算術 の言語 か ら概 念記法 へ

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場 合 に 必 要 と され る の は,[2]や[3]の うち に 依 然 と して残 存 して い る 算 術 的 記 号 そ の もの を 更 に ど う分 析 す るか,フ レー ゲ 自身 は,第 一 体 系 の 段 階 に 始 ま っ て,そ の 後,こ の 問題 につ い て ど の よ う に考 察 を進 め て い っ た の か,と い う点 を 明 らか に す る こ とで あ る.こ れ らの 点 が 十 分 に 明確 に な っ た と き,初 め て,フ レー ゲ 的 な プ ラ トニ ズ ム の 固 有 の 特 性 が ど こ に あ る の か,ま た この 立 場 が どれ ほ ど支 持 で き る も の で あ るか の 検 討 も緒 に就

く こ と に な るだ ろ う.そ して そ の た め に は,度 々 繰 り返 す こ と に な る が, ま ず 予 め,本 稿 で 手 が け て い る よ うな,第 一 体 系 の 構 築 に 至 る ま で の 彼 の 思 考 の 筋 道 に つ い て の 解 明 が 行 わ れ る必 要 が あ る と思 わ れ る.

い ず れ に せ よ,こ こで 次 の 点 を 強 調 して お く こ とは 許 され る だ ろ う.そ れ は す な わ ち,僅 か に 以 上 の よ うな 範 囲 の 考 察 だ け で も,次 の 点 が 十 分 明

瞭 に 見 て 取 れ る は ず で あ り,ま た ぜ ひ と も 見 て 取 られ る べ き だ,と い う こ とで あ る.そ れ は す な わ ち,フ レー ゲ が 行 っ た 第 一 体 系 の構 築 は,そ して 更 に 言 え ば,そ の 後,本 格 的 な仕 方 で 彼 が 追 求 す る こ と に な っ て い っ た (論 理 主 義 的 観 点 か らの)算 術 の 形 式 化 の 企 て は,ふ つ う信 じ られ る よ う に,ほ とん ど も っ ぱ ら 「算 術 の 理 論 を 正 当 化 す る こ と」 とい う(そ れ 自体 と して 見 れ ば 相 当 に 素 朴 で 疑 問 の 余 地 が 少 な く な い と思 わ れ る)側 面 に の み そ の 哲 学 的 な意 義 や 興 味 が 見 られ る の で は な く,或 る意 味 で は そ れ よ り い っ そ う射 程 の 大 き い 意 義 な い し興 味 と して,以 上 で 強 調 して き た よ う な,数 学 的 活 動 そ の も の の 在 り方 に対 す る 「見 方 の 転 換 」とい う側 面 を持 っ,と い う こ と に他 な らな い.

とい う と こ ろ で,本 稿 そ の もの は 閉 じる こ と に な る が,こ れ に 続 け て, 第2節 で 宙 吊 りに な っ た ま ま で あ る 問 題,す な わ ち,形 式 的 言 語 の シ ン タ

ク ス そ の も の が 欠 け て い る 状 況 の 下 で,[1]の 定 義 節 の よ うな 自然 言 語 の 表 現 だ け を 手 が か り と しな が ら,い か に して フ レー ゲ は[2][3]の よ う な形 式 的 定 式 化 の 発 見 な い し案 出 へ,そ して 結 局 は,第 一 体 系 の シ ン タ ク ス そ の も の の創 出へ と到 る こ とが で き た の か,と い う問 題 につ い て,具 体 的 な 考 察 を 行 うこ と を 目標 と した い.

著 作 の 略 号

[NS]:G,Frege,NachgelasseneSchriftenandWissenschaftlicherBriefwechsel, 1erBand,hrsg.vonH.Hennesetal.,2teAufl.,F.Meiner,1983.