3 次元シェルピンスキー・ガスケット上のルー プ・イレーズド・ランダムウォーク

3 次元シェルピンスキー・ガスケット上のルー プ・イレーズド・ランダムウォーク

学修番号

15878301

芦沢 宏治

目 次

1

^{イントロダクション}

2

2 3

次元プレ・シェルピンスキー・ガスケットとループ・イレーズド・

ランダムウォークの構成

3

2.1 3

次元プレ・シェルピンスキー・ガスケット

. . . . 3 2.2

パス空間とループ消去

. . . . 5

3

確率測度と生成関数

12

4

ループ・イレーズド・ランダムウォークの連続極限の存在

16 4.1 3

次元シェルピンスキー・ガスケット上のパス空間

. . . . 16 4.2

連続極限

. . . . 18

5 Appendix A 27

6 Appendix B 29

1 ^{イントロダクション}

この論文では，

3

次元シェルピンスキー・ガスケットというフラクタル 上のループ・イレーズド・ランダムウォークの連続極限の存在について 扱っている．シェルピンスキー・ガスケットおよびループ・イレーズド・

ランダムウォークについては後で説明する．

2

次元のシェルピンスキー・

ガスケットにおけるループ・イレーズド・ランダムウォークについては，

連続極限の存在や様々な性質が得られている

([2])

^．さらに

2

^{次元のシェ} ルピンスキー・ガスケット上のループ・イレーズド・ランダムウォークで は，ループを大きい順に消して構成するときと，ループができた順に消 したときの分布が一致することが証明されている

([6])

．一方，

3

次元に拡 張したシェルピンスキー・ガスケット上のループ・イレーズド・ランダム ウォークについては何も調べられていない．本論文では，

2

^{次元のシェル} ピンスキー・ガスケットに対して用いられたループを大きい順に消して 構成する方法を，

3

次元のシェルピンスキー・ガスケットに適用してルー プ・イレーズド・ランダムウォークを構成できることを示す．

3

^次元では

2

次元では存在しなかった困難が生じるが，連続極限の存在を証明した．

また，パスのループ和の計算は，

3

次元になるとかなり計算量が多くなる ため

Mathematica

を用いて計算した

(Appendix B)

．第

2

章では，

3

次元 プレ・シェルピンスキー・ガスケットとループ消去の手順など，第

3

^章で 扱うループ・イレーズド・ランダムウォークの確率測度を定義するために 用いる記号や定義をまとめた．第

3

章では，ループ・イレーズド・ランダ ムウォークの確率測度と生成関数に関する定義と命題を述べる．第

4

章で は，連続極限の存在を証明するための準備と，連続極限の存在の証明をま

とめた．

Appendix A

では，本論文で用いた分枝過程の基本的な事項をま

とめた．

Appendix B

では，パスのループ和の計算についてまとめた．

謝辞

この研究に取り組むにあたり，

2

年間お世話になり論文作成に最後まで指 導していただいた服部久美子教授に，心から感謝しています．また，ゼミ で共に議論してくださった同研究室の先輩や後輩たちにも，心から感謝し ています．

2 3 次元プレ・シェルピンスキー・ガスケットとループ・

イレーズド・ランダムウォークの構成

2.1 3

次元プレ・シェルピンスキー・ガスケット

まず，

3

次元プレ・シェルピンスキー・ガスケットとよばれる無限グラ フを定義する．これは

3

次元シェルピンスキー・ガスケットというフラク タルの離散近似に相当する．次に，このグラフ上のパス

(

^{辺に沿って動く} 軌跡

)

を定義し，粗視化およびループ消去の操作を導入する．

定義

2.1 (3

次元プレ・シェルピンスキー・ガスケット

). O = (0, 0, 0), a

₀

= (

¹₂

,

^√₆³

,

^√₃⁶

), b

₀

= (

¹₂

,

^√₂³

, 0), c

₀

= (1, 0, 0)

とする．また，

G

^′₀

= { O, a

₀

, b

₀

, c

₀

} , E

₀^′

= {{ O, a

₀

} , { O, b

₀

} , { O, c

₀

} , { a

₀

, b

₀

} , { a

₀

, c

₀

} , { b

₀

, c

₀

}} , F

₀^′

= G(G

^′₀

, E

₀^′

)

とおく

(

図

1)

．ここで，

G(G

^′₀

, E

₀^′

)

は

G

^′₀を頂点の集合，

E

₀^′ を辺の集合とするグラフである．以下では，

Z

+

= { 0, 1, 2, · · ·}

^とする．

また，帰納的にグラフの列

{F

_N^′

}

^∞_N=0^を

F

_N+1^′

= F

_N^′

∪ (F

_N^′

+ 2

^N

a

₀

) ∪ (F

_N^′

+ 2

^N

b

₀

) ∪ (F

_N^′

+ 2

^N

c

₀

)

のように定義する

(N ∈ Z

+

)

^{．ここで，}

F

_N^′

+ a

^は，

F

_N^′

+ a = {x + a : x ∈ F

_N^′

}

^とする．

F

_N^′ と，

F

_N^′ を

yz

平面に関して折り返したものの和集合を

F

_N^′′とおき，

F

₀

=

∪

_∞

N=0

F

_N^′′とする．このようにして得られた

F

0を

(

^無限

)3

^{次元プレ・シェル} ピンスキー・ガスケットという．

さらに，

G

0と

E

0をそれぞれ

F

0の点の集合と辺の集合とする．各

N ∈ Z

+

に対して，

F

_N

= 2

^N

F

₀とおき，

G

_N

= { 2

^N

x : x ∈ G

₀

} , E

_N

= { 2

^N

{ x, y } : { x, y } ∈ E

₀

}

とする．つまり，

F

_N^は

1

^{辺の長さが}

2

^Nの粗い

3

次元プレ・シェルピンス キー・ガスケットである．

O a

0

b

₀

c

0

1

図

1 F

₀^′

次に

F

₀上のパスと，それに関連する用語を定義する．

定義

2.2 (F

₀上のパス

). F

₀上の有限長さのパスの集合

W

を次のように定 義する．

W = { w = (w(0), w(1), · · · , w(n)) : w(0) ∈ G

₀

, { w(i − 1), w(i) } ∈ E

0

, i = 1, 2, · · · , n, n ∈ N}

^．

O

^{出発のパスの集合を}

W

^{∗とする．つまり，}

W

^∗

= { w = (w(0), w(1), · · · , w(n)) ∈ W : w(0) = O }

^．

また，

l(w)

を

w

の長さとする．すなわち，

w = (w(0), w(1), · · · , w(n))

に 対して，

l(w) = n

とする．

定義

2.3 (

自己回避パス

). w ∈ W

^∗で，一度通った点を通らない

(

自己回 避

)

^{パス全体を}

Γ

^{とする．つまり，}

Γ = {w = (w(0), w(1), · · · , w(n)) ∈ W

^∗

: w(i) ̸= w(j), 0 ≤ i < j ≤ n, n ∈ N} .

定義

2.4 (

^到達時刻

). w ∈ W, A ⊂ G

0に対して

T

A

(w) = inf { j ≥ 0 : w(j) ∈ A }

と定義する．ここで，

inf ϕ = ∞

^とする．

w ∈ W, M ∈ Z

+に対して

G

Mの到達時刻の列

{ T

_i^M

(w) }

^mi=0を次のよう に定める．

T

_i^M

(w) =

 



T

_GM

, (i = 0)

^，

inf { j > T

_i^M₋₁

(w) : w(j) ∈ G

M

\ { w(T

_i^M₋₁

(w)) }} , (i ≥ 1)

^．

(1)

ただし，

m = inf { j ≥ 0 : T

_j+1^M

(w) = ∞}

^とする．

T

_i^Mは，

F

0上のパス

w

^が

i

^回 目に

G

Mの点を訪れる時刻を表す

(

ただし，同じ点を連続して複数回訪れ たときは

1

回とみなす

)

．

2.2

パス空間とループ消去

定義

2.5 (

^{パスの種類}

1).

^各

N ∈ Z

+に対し，

O

^から

a

_N^{へのパスで，}

F

_N^′ を折り返してできた三角錐の頂点

a

^′_N

, b

^′_N

, c

^′_N^{を通らないものを}

3

^種類に分 ける．

(1) W

_N¹

(O

から

a

_Nにいく途中，

b

_N

, c

_Nを通らない

)

W

_N¹

= { w = (w(0), w(1), · · · , w(n)) ∈ W

^∗

: w(n) = a

_N

, T

₁^N

(w) = n } , (2) W

_N²

(O

^から

a

Nにいく途中

b

Nを通るが，

c

Nを通らない

)

W

_N²

= { w = (w(0), w(1), · · · , w(n)) ∈ W

^∗

: w(n) = a

N

, w(T

₁^N

(w)) = b

_N

, T

₂^N

(w) = n } ,

(3) W

_N³

(O

から

b

_N

, c

_Nの順で通り

a

_Nにいく

)

W

_N³

= { w = (w(0), w(1), · · · , w(n)) ∈ W

^∗

: w(n) = a

_N

, w(T

₁^N

(w)) = b

N

, w(T

₂^N

(w)) = c

N

, T

₃^N

(w) = n } .

また，補助的に次のような

2

本のパスの組を導入する．

定義

2.6 (

パスの種類

2). W

_N⁴

(O

から

a

_N，

b

_Nから

c

_Nの互いに交差しな い

2

本のパスの組

)

W

_N⁴

= { (w

₁

, w

₂

) ∈ W

^∗

× W : w

₁

(0) = O, w

₁

(T

₁^N

(w

₁

)) = a

_N

, w

₂

(0) = b

N

, w

2

(T

₁^N

(w

2

)) = c

N

} .

また，自己回避なパスの空間の種類を次のように表す．

W

_N^k

∩ Γ = ˆ W

_N^k

, k = 1, 2, 3, 4. (2)

O a

0

b

0

c

0

O a

0

b

0

c

0

O a

₀

b

₀

c

0

O a

₀

b

₀

c

0

図

2 W

₀¹

, W

₀²

, W

₀³

, W

₀⁴のパスの例

定義

2.7 (

^粗視化

). w ∈ W, M ∈ Z

+に対して，

Q

M を

(Q

_M

(w))(i) = w(T

_i^M

(w)), i = 0, 1, 2, · · · , m

(m

は

T

_m+1^M

(w) = ∞

^{となる最小の整数}

)

と定義する．ここで，

{ T

_i^M

(w) }

^m_i=0 は式

(1)

^{で定義した}

G

_Mの到達時刻の列である．

Q

M

w = [w(T

₀^M

(w)), w(T

₁^M

(w)), · · · , w(T

_m^M

(w))]

は

F

M 上のパスである．

ループについて定義する．

定義

2.8 (

^ループ

).

^パス

w ∈ W

が同じ点を通るとき，ループをもつと 定義する．より正確には，点

c = w(i) ∈ G

₀に対して，

w(i) = w(j)

とな る

i, j ∈ Z

+

(i < j )

が存在するとき，

w

の時刻

i

から時刻

j

までの部分を

c

におけるループとよぶ．各ループは他の点における，より大きいループの 一部をなすこともある．また，ループ

{ w(i), w(i + 1), · · · , w(j) }

^の直径

d

を，

d = max

i≤i1<i2≤j

|w(i

1

) − w(i

2

)|

^{で定義する．}

定義

2.9 (

^{脱出時刻とスケルトン}

). T

M を，各頂点が

G

M の要素で各辺 が

E

M の要素となる閉三角錐で上向きなものの全体の集合とする

(M ∈ Z

+

)

．

{ T

_i^M

(w) }

^m_i=0^を式

(1)

で定義した到達時刻の列とする．

w ∈ W

に対 して

w

が通り抜ける

2

^M

−

^{三角錐の列}

(∆

₁

, · · · , ∆

_k

)

と，それらからの脱 出時刻の列

{ T

_i^ex,M

(w) }

^k_i=0^{を次のように定める．}

i = 0

^のとき，

T

₀^ex,M

(w) = T

₀^M

(w), ∆

1を

∆ ∈ T

Mで

w(T

₀^M

)

^と

w(T

₁^M

)

^を 含むものとする．

(

ゆえに，

w ∈ W

^∗なら

T

₀^ex,M

(w) = 0)

次に

i ≥ 0

に対しては

J (i) = inf { j ≥ 0; j < m, T

_j^M

(w) > T

_i^ex,M₋₁

(w), w(T

_j+1^M

(w)) ∈ / ∆

_i

}

とする．ただし，

inf ∅ = ∞ , k = min { i ≥ 1 : J(i) = ∞}

^とおく．

i = 1, 2, · · · , k − 1

^{に対して，}

T

_i^ex,M

(w) = T

_J(i)^M

(w)

^とし，

∆

i+1を

∆ ∈ T

M

で，

w(T

_i^ex,M

), w(T

_J(i)+1^M

)

^{を含むものとする．}

i = k

のとき，

T

_k^ex,M

(w) = T

_m^M

(w)

と定義する．

このようにして定めた

σ

_M

(w) = (∆

₁

, · · · , ∆

_k

)

をパス

w

の

2

^M

−

^スケル トンとよび，

T

_i^ex,M

(w)

をスケルトンの

i

番目の要素

(

三角錐

)

からの脱出 時刻という．また

w = (w

1

, w

2

) ∈ W

_N^{4のときは，}

w

1

, w

2それぞれに対して スケルトンおよび脱出時刻を決める

(N ≥ M)

^．

定義

2.10 (

スケルトンによるパスの分割

). w ∈ ∪

₄

k=1

W

_N^k

, N ≥ M, σ

_M

(w) = (∆

1

, · · · , ∆

_k

)

^{とする．このとき，各}

∆

i

∈ σ

M

(w)(i = 1, 2, · · · , k)

^に対して その分割を次のように定める．

w |

∆i

= [w(n), T

_i^ex,M₋₁

(w) ≤ n ≤ T

_i^ex,M

(w)]

必要なら，平行移動，回転，

2

^N−Mスケール変換により，

Q

_M

w(T

_i^ex,M₋₁

)

を

O, Q

_M

w(T

_i^ex,M

)

を

a

_N−Mと対応させて

w |

∆iを

∪

₄

k=1

W

_N^k_−Mの要素と同一視す る．このような分割は一意に定まる．簡単のため，同一視された

∪

₄

k=1

W

_N^k_−M のパスに対しても同じ記号で表す．

O

b ₂

c ₂ a ₂

∆

₁

, ∆

₂

, ∆

₃

w |

∆1

, w |

∆2

, w |

∆3

図

3

^{スケルトン}

σ

1

(w)

^{と分割されたパス}

(

^{相似変換後}

)

^の例 次に，ループを消去する操作を定義する．ループの消し方は，ループが できた順に消す方法と，大きいループから順番に消す方法が考えられる．

2

次元シェルピンスキー・ガスケットでは，どちらの方法でループを消去 しても分布が等しいことが証明されている

([2]

^参照

)

^{が，一般には分布は} 等しくならない．この論文では，

2

次元で用いられた大きい順に消す方法 をもとに，

3

次元シェルピンスキー・ガスケットに適用できるループ消し の方法を考案する．

2

次元と

3

次元のシェルピンスキー・ガスケットの構 造の違いから必ずしも大きい順に消されるわけではないが，生成関数を用 いて，解析可能になる．

定義

2.11 (

ループ消去

1.1(k = 1, 2, 3

のとき

)). w ∈ ∪

₃

k=1

W

₁^kのループ消 去を定義する．まず，

{ s

_i

}

ⁿ_i=0を次のように定義する．

s

0

= 0,

s

_i

= sup { j : w(j) = w(s

_i−1

+ 1) } , i ≥ 1,

次にループ消去を定義する．

w

からループ

{ w(s

_j−1

+1), w(s

_j−1

+2), · · · , w(s

_j

− 1) }

^{を消去したものを}

Lw

^′とおく

(s

_j

> s

_j−1

+ 1, j = 1, 2, · · · , n

^のときに ループが存在する

)

^{．つまり，}

Lw

^′

= [w(s

0

), · · · , w(s

n

)].

ここで，

w(s

n

) = a

1

.

定義

2.12 (

ループ消去

1.2(k = 4

のとき

)).

補助的に導入した

W

₁⁴に属す るパスの組

w = (w

1

, w

2

)

に対しても，ループ消去を定義する．

F

0と三角 錐

Oa

1

b

1

c

1の共通部分上の，それぞれ

O

^から

a

1まで，

b

1から

c

1までの，

ループをもたず，かつ互いに交わらないパスの組で置き換える．条件を満 たすパスの組の集合を

W

₁^∗4とする．

W

₁^∗4

= { v = (v

₁

, v

₂

) ∈ W

₁⁴

: v

₁

, v

₂はループをもたず，互いに交わらない

} .

W

₁^∗4は

285

個の要素をもつ．この段階では置き換えうるパスの組は一意 に定めず，第

3

章でランダムウォークを導入したあとで，置き換えるパス

の組に適切な分布を導入する．この章では

w = (w

₁

, w

₂

) ∈ W

₁⁴に対して

Lw

は可能な置き換えの一つとする．

以上の操作で，

w ∈ ∪

₄

k=1

W

₁⁴に対してはループ消去が定義された．

w ∈

∪

₄

k=1

W

_N⁴ に関しても，帰納的に定義する．

定義

2.13 (

ループ消去

2). w ∈ ∪

₄

k=1

W

_N⁴ とする．

w

^′

= Q

N−1

w = [w(T

₀^N−1

(w)), w(T

₁^N−1

(w)), · · · , w(T

_k^N−1

(w))]

^，

w(T

_k^N−1

) = a

_N

と定義する

(

^{このとき，}

2

^−(N−1)

w

^′

∈ ∪

₄

k=1

W

₁^4となる

)

^． また，

{ s

i

}

ⁿi=0を次のように定義する．

s

0

= sup {j : w(T

_j^N−1

) = 0},

s

i

= sup { j : w(T

_j^N−1

) = w(T

_s^N_i−⁻₁¹₊₁

) } , i ≥ 1,

次に，ループ消去

L

^と

L

N−1を定義する．

Lw

^′

= [w(T

_s^N₀⁻¹

), · · · , w(T

_s^N−1_n

)]

とする．

(2

^−(N−1)

Lw

^′

∈ ∪

³_k=1

W ˆ

₁^kとな る

)

ここで，

w(T

_s^N_n⁻¹

) = a

_N．

L

_N−1

w = [w

₀

, w

₁

, · · · , w

_n−1

, a

_N

]

とする．

(

ここで，

w

_iは，

w

_i

= [w(T

_s^N_i⁻¹

), w(T

_s^N_i⁻¹

+ 1), · · · , w(T

_s^N_i+1⁻¹

− 1)]), i = 0, · · · , n − 1.)

以上の操作をまとめると，まず粗視化したパス

Q

N−1

w

^{からループを消} す．この部分は

∪

₄

k=1

W

₁^kのパスからループを消す方法と同じである．そ の結果残ったパスの部分に細かい構造を戻す．これで，直径が

2

^N−1以上 の

G

_N−1に属する点におけるループはすべて消されたことになる．

G

_N−1 以外の点での

2

^N−1以上のループは消されていないかもしれない．これが

3

^{次元の困難点である．}

定義

2.14 (

^{ループ消去}

3). N ≥ M

^とする．

(L1)

^まず，

Q

_M−1

w

^′

|

∆i

= [w

^′

(T

_k^M−1

), w

^′

(T

_k+1^M−1

), · · · , w

^′

(T

_k+k^M−1

0

)]

とする．ここで，

w

^′

(T

_k^M−1

)

は上向き三角錐

∆

の最初の点で，

w

^′

(T

_k+k^M−1

0

)

は 上向き三角錐の脱出点である．

(L2)

^また、

{s

i

}

ⁿ_i=0を次のように定義する．

s

0

= sup { j; w

^′

(T

_j^M−1

) = w

^′

(T

_k^M−1

) } ,

s

_i

= sup { j; w

^′

(T

_j^M−1

) = w

^′

(T

_s^M_i−1⁻₊₁¹

) } , i ≥ 1.

このとき

L(Q

_M−1

w

^′

|

∆

) = [w

^′

(T

_s^M₀⁻¹

), w

^′

(T

_s^M₁⁻¹

), · · · , w

^′

(T

_s^M_n⁻¹

)].

(

^ここで，

w

^′

(T

_s^M₀⁻¹

) = w

^′

(T

_k^M−1

)), w

^′

(T

_s^M_n⁻¹

) = w

^′

(T

_k+k^M−1

0

))

^{ここで定義}

2.10

で述べたように

w

_∆を

∪

₄

k=1

W

₀^kのパスと同一視していることに注意．

(L3)

次に

L

_M−1

(w |

∆

) = [w

₀^′

, w

₁^′

, · · · , w

_n^′₋₁

, w

^′

(T

_s^M_n⁻¹

)]

とする．ここで，

w

_i^′

= [w

^′

(T

_s^M_i ⁻¹

), w

^′

(T

_s^M_i+1⁻¹

), · · · , w

^′

(T

_s^M_i+1⁻¹

− 1)], i = 0, 1, · · · , n − 1.

(L4)

^すべての

∆ ∈ σ

M

(w

^′

)

^{に対して，}

L

M−1

(w |

∆

)

^を連結し

w

^′′

= L

M−1

w

^を つくる．

次に，すべての

∆ ∈ σ

_M

(w

^′

)

に対して，

(L2)

で得た

L(Q

_M−1

w

^′

|

∆

)

を 連結して，

Q ˆ

_M−1

w

をつくる．このとき，

Q ˆ

_M−1

w

は，

Q

_M−1

( ˆ Q

_M−1

w) = Q ˆ

_M−1

w

^{が成り立つ．}

O

^から

a

_N^へいく

F

_M−1^{上のパスである．}

Q ˆ

M−1

w = Q

M−1

w

^{′′をみる．}

すべてのループが消去され，

Lw = L

0

w = ˆ Q

0

w

^{が成り立つまでこの操} 作を続ける．必ずしも大きい順とは限らないが，最後まで繰り返し操作を 行うとループはすべて消える．ループ消去を行う間，任意の

w ∈ W

_N^′ に 対して

σ

_K

( ˆ Q

_M

w) = σ

_K

( ˆ Q

_K

w)

がすべての

M ≤ K ≤ N

で成り立ち，特に，

σ

_K

(Lw) = σ

_K

( ˆ Q

_K

w), K ≤ N

が成り立つ．

定義

2.15 (

スケルトンの要素のタイプ

). w ∈ ∪

₄

k=1

W ˆ

_N^k

, N ≥ M, σ

_M

(w) = (∆

₁

, · · · , ∆

_k

)

とすると

i = 1, 2, · · · , k

で，ある

n(i)

が存在して

T

_i^ex,M₋₁

(w) = T

_n(i)^M

(w)

が成り立つ．このとき，

∆

iが次の条件を満たすとき，

∆

iのタイ プを定義する．

T

_i^ex,M

(w) = T

_n(i)+1^M

= sup {j : T

_j^M

∈ ∆

i

}

^{なら，タイプ}

1 T

_i^ex,M

(w) = T

_n(i)+2^{M なら，タイプ}

2

T

_i^ex,M

(w) = T

_n(i)+3^M なら，タイプ

3

T

_i^ex,M

(w) = T

_n(i)+1^M

̸= sup {j : T

_j^M

∈ ∆

i

}

^{なら，タイプ}

4

タイプ

4

^のときに

2

^{回目に通る}

∆

iをタイプ

5

^とする

.

タイプ

5

^を

ϕ

^として，

σ

_M^′

(w) = σ

M

(w) \ ϕ

^{と，タイプ}

1

^{からタイプ}

4

^ま での要素をもつ

σ

^′_M

(w)

を定義し，

σ

_M^′

(w)

をパス

w

の

4

タイプ

2

^M

−

^スケ ルトンと呼ぶ．

(

タイプ

5

を

ϕ

とせず，タイプ

1

からタイプ

5

までの要素を もつ

σ

_M

(w)

^は，

5

タイプスケルトンと呼ぶことにする

)

3 ^{確率測度と生成関数}

この章では，ループ・イレーズド・ランダムウォークの確率測度を定義 する．次に，ループ・イレーズド・ランダムウォークの歩数の生成関数を 定義し，生成関数の再帰式の命題を証明する．

定義

3.1 (

ランダムウォークの種類と確率測度

). O

を出発点とし，

a

_Nを初 めて訪れたときに止まる

3

種類のランダムウォークを考える．

(1) W

_N^{1上の測度}

P

N,1を，

w ∈ W

_N^{1に対して}

P

_N,1

[w] = ( 1

6 )

l(w)−1

,

と定義する．これは

O

を出発して

b

_N

, c

_N

, a

^′_N

, b

^′_N

, c

^′_Nを通らずに

a

_N を訪 れてそこで止まるランダムウォークにあたる．

(2) W

_N^{2上の測度}

P

N,2を，

w ∈ W

_N^{2に対して}

P

_N,2

[w] = ( 1

6 )

l(w)−2

,

と定義する．これは

O

^{を出発して}

c

N

, a

^′_N

, b

^′_N

, c

^′_N ^{を通らずに}

b

N

, a

N の順 に訪れて

a

_N で止まるランダムウォークにあたる．

(3) W

_N³上の測度

P

_N,3を，

w ∈ W

_N³に対して

P

N,3

[w] = ( 1

6 )

l(w)−3

,

と定義する．これは

O

^{を出発して}

a

^′_N

, b

^′_N

, c

^′_N ^{を通らずに}

b

N

, c

N

, a

N の順 に訪れて

a

N で止まるランダムウォークにあたる．

また，

2

本の独立なランダムウォークの組を用いて次を定義する．

(4) W

_N⁴上の測度

P

_N,4を，

w = (w

₁

, w

₂

) ∈ W

_N⁴

⊂ W

^∗

× W

に対して

P

N,4

[w] = P

N,1

[w

1

] × P

_N,1^′

[w

2

] = ( 1

6 )

l(w1)−1

× ( 1 6 )

l(w2)−1

，

と定義する．ここで，

P

_N,1^{′ は}

b

Nを出発して

O, a

N

, c

N

, a

^′_N

, b

^′_N

, c

^′_N^を通ら ずに

c

N を訪れてそこで止まるランダムウォーク

w

2の確率 を表す．

ここでは，ランダムウォークは

O

出発で，有限長なパスは

W

^∗の要素と 考える．よって，

T

_i^Nや

Q

_Nも定義される．

定義

3.2 (

ループ・イレーズド・ランダムウォーク

).

単純ランダムウォー クから，ループを消して得られるランダムウォークを，ループ・イレーズ ド・ランダムウォークとよぶ．ループを消去した後は，自己回避になって いる．

まず，

N = 1

のときのループ・イレーズド・ランダムウォークを定義 する．

定義

3.3 (

ループ消去後の確率

1). k = 1, 2, 3

に対して，ループ・イレー ズド・ランダムウォークを次のように定義する．

w ∈ W ˆ

_1,k^に対して

P ˆ

_1,k

[w] = P

_1,k

◦ L

⁻¹

[w].

ここで，

W ˆ

_N^k

(= W

_N^k

∩ Γ)

は自己回避なパスの空間を表す．

(

式

(2))

定義

3.4 (

ループ消去後の確率

2). k = 4

に対してはループ・イレーズド・

ランダムウォークを次のように定義する．

v = (v

₁

, v

₂

) ∈ W

₁^{∗4に対して，}

P ˆ

_1,4

[v]

を定義する．まず，「

v

₁と交わらない」という条件をつけた

b

_Nを出 発点として

c

_N を初めて訪れたときに止まるランダムウォークを

Z

_v1 と表 す．

Z

v1から，

P

1,1のランダムウォーク と同様にしてループを消去したラ ンダムウォークを

LZ

v1 と表す．

P ˆ

1,4

[v] = ˆ P

1,1

[v

1

] × P

_1,1^′

[LZ

v1

= v

2

],

と定義する．

定義

3.5 (

^{ループ消去後の確率}

3). { P ˆ

_N,k

}

を以下のように帰納的に定め る．

k = 1

^のとき，

P ˆ

M,1

, M = 1, 2, · · · , N

が定義されたとする．このと き

v ∈ W ˆ

_N+1^{1 に対して，}

v

^の

2

^N

−

スケルトンによる分解を

σ

_N^′

(v) = (∆

₁

, · · · , ∆

_j

) (∆

_i

∈ T

N

), w

_i

= w |

∆iとする

(w

_iは定義

2.10

と同じもの

)

． このとき，

P ˆ

_N+1,1

[v]

を以下のように定める．

P ˆ

N+1,1

[v] = ∑

u

P ˆ

N,1

[u]( ∏

j i=1

P ˆ

1,∗

[w

i

]) (3)

ここで，

∑

uは

σ

^′_N

(u) = σ

^′_N

(v)

を満たす

u ∈ W ˆ

_N¹ についてとった和であ り，

P ˆ

1,∗は

∆

i

∈ σ

^′_N

(u)

^がタイプ

m

^のとき

P ˆ

1,∗

[w

i

] = ˆ P

1,m

[w

i

]

^と定義す る．

k = 2, 3, 4

のときも同様に定義する．

次に，ループ・イレーズド・ランダムウォークの歩数の生成関数を定義 する．

定義

3.6 (

^生成関数

). w ∈ ∪

₄

k=1

W ˆ

_N^{kに対し，タイプ}

1

^{からタイプ}

4

^の

σ

^′₀

(w)

の要素の個数を，それぞれ

s

1

(w), s

2

(w), s

3

(w), s

4

(w)

^{とする．この} とき，

l(w) = s

₁

(w) + 2s

₂

(w) + 3s

₃

(w) + 2s

₄

(w). (4)

また，

⃗ x = (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

), x

_k

≥ 0, k = 1, 2, 3, 4

^{，とする．}

生成関数の列

{Φ

N,k

(⃗ x)}

^∞_N=1^{を次のように定める．}

(k = 1, 2, 3, 4.)

Φ

_N,k

(⃗ x) = ∑

w∈Wˆ_N^k

P ˆ

_N,k

[w]x

^s₁^1(w)

x

^s₂^2(w)

x

^s₃^3(w)

x

^s₄^4(w)

, x

_k

≥ 0, k = 1, 2, 3, 4.

(5)

また，簡単のため

N = 1

^{のときは，}

Φ

_1,k

(⃗ x) = Φ

_k

(⃗ x)

^とおく．

定理

3.7 (

^{生成関数の再帰式}

).

^生成関数

{Φ

N,k

(⃗ x)}

^∞_N=1^{はすべての}

N ∈ N

で次の再帰式を満たす．

Φ

_N+1,k

(⃗ x) = Φ

_N,k

(Φ

1

(⃗ x), Φ

2

(⃗ x), Φ

3

(⃗ x), Φ

4

(⃗ x)), k = 1, 2, 3, 4. (6) Proof. Φ

_N,1

(⃗ x)

についてのみ証明する．

W ˆ

₁^∗をタイプ

m

のパスなら

W ˆ

₁^mと すると，

Φ

N+1,1

(⃗ x) = ∑

w∈Wˆ_N+1¹

P ˆ

N+1,1

[w]x

^s₁^1(w)

x

^s₂^2(w)

x

^s₃^3(w)

x

^s₄^4(w)

= ∑

u∈Wˆ_N¹

∑

w1∈Wˆ₁^∗

· · · ∑

wk∈Wˆ₁^∗

(

∏

k i=1

P ˆ

1,∗

[w

i

]) ˆ P

_N,1

[u]

∏

4 j=1

x

^s_j^{j(w1)+···+sj(wk)}

= ∑

u∈Wˆ_N¹

P ˆ

N,1

[u]

∏

k i=1

( ∑

wi∈Wˆ₁^∗

P ˆ

1,∗

[w

i

]

∏

4 j=1

x

^s_j^j(wi)

) (

^定義

3.5

^より

)

= ∑

u∈Wˆ_N¹

P ˆ

_N,1

[u]

∏

4 j=1

Φ

_j

(⃗ x)

^sj(u)

= Φ

_N,1

(Φ

₁

(⃗ x), Φ

₂

(⃗ x), Φ

₃

(⃗ x), Φ

₄

(⃗ x)).

Φ

N,2

, Φ

N,3

, Φ

N,4に関しても同様に示せる．

2

定義

3.8 (

平均値行列

). Φ

_k

(⃗ x)

の平均値行列

M = (m

_ij

)

_1≤i,j≤4を

(1, 1, 1, 1) ∈ R

^4での

Φ

_k

(⃗ x)

のヤコビ行列として定める．

(k = 1, 2, 3, 4.)

M =



 

 

 

∂

∂x1

Φ

1

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

2

Φ

1

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

3

Φ

1

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

4

Φ

1

(1, 1, 1, 1)

∂

∂x1

Φ

2

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

2

Φ

2

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

3

Φ

2

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

4

Φ

2

(1, 1, 1, 1)

∂

∂x1

Φ

₃

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

2

Φ

₃

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

3

Φ

₃

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

4

Φ

₃

(1, 1, 1, 1)

∂

∂x1

Φ

₄

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

2

Φ

₄

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

3

Φ

₄

(1, 1, 1, 1)

_∂x^∂

4

Φ

₄

(1, 1, 1, 1)



 

 

 

ここで，

(1, 1, 1, 1)

^は写像

⃗ x = (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) → (Φ

1

(⃗ x), Φ

2

(⃗ x), Φ

3

(⃗ x), Φ

4

(⃗ x))

^の

R

⁴₊ での固定点である

.

また，平均値行列

M

は各成分が正なので，フロベニウスの定理より最 大固有値が存在する

. M

^{の最大固有値を}

λ

^とおく

(2 < λ < 4)

^．

4 ループ・イレーズド・ランダムウォークの連続極限 の存在

この章では，まず

3

次元シェルピンスキー・ガスケットを定義し，ルー プ・イレーズド・ランダムウォークの連続極限の存在を示す．証明は，

2

次元シェルピンスキー・ガスケットの場合を参考にした．

([2], [3])

4.1 3

次元シェルピンスキー・ガスケット上のパス空間

まず，フラクタルである

3

次元シェルピンスキー・ガスケットを定義 する．

定義

4.1 (3

次元シェルピンスキー・ガスケット

).

プレ・シェルピンスキー・ガ スケット

F

0に対して，

∆

1

, ∆

2

, ∆

3

, ∆

4

, F

^N

(N ∈ Z)

を 次のように定める．

∆

₁を

T

0の要素の閉三角錐とし，頂点は

O, a

₀

, b

₀

, c

₀とする．

∆

₂を

yz

平面 に関して

∆

₁を折り返した閉三角錐とする

(O

で接する

)

．

∆

₃を

∆

₁と

b

₀で接 する

∆

₁と合同かつ同じ向きな閉三角錐とする．

∆

₄を

∆

₁と

c

₀で接する

∆

₁と 合同かつ同じ向きな閉三角錐とする．

F

^Nを，

F

^N

= 2

^−N

F

0

∩ ( ∪

⁴_k=1

∆

_k

)

^と 定める．また，

3

次元シェルピンスキー・ガスケット

F

^を

F = cl( ∪

_∞

N=0

F

^N

)

で定める

(cl(A)

は

A

の閉包を表す

)

．

F

上の点の集合を

G

^N

= 2

^−N

G

₀

∩ ( ∪

⁴_k=1

∆

_k

)

と定める．

前章までと異なり連続な空間であるため，パスや到達時刻も連続なもの を扱う．

定義

4.2 (3

次元シェルピンスキー・ガスケット上の連続なパス

).

^出発 点

O

^から

a

0に着く，

3

次元シェルピンスキー・ガスケット上の連続なパス の集合を

C

^{とおく．つまり，}

C = { w ∈ C([0, ∞ ) → F ) : w(0) = O, lim

t→∞

w(t) = a

0

}

^．

C

は距離

d(u, v) = sup

_t∈[0,∞)

| u(t) − v(t) | , (u, v ∈ C)

に関して完備可分 距離空間を成す．ただし，

| x − y | , x, y ∈ R

³はユークリッド距離である．

W

^N

= 2

^−N

W

_N¹

= {2

^−N

w : w ∈ W

_N¹

}, W ˆ

^N

= 2

^−N

W ˆ

_N^{1とおく．}

定義

4.3 (

パスの線形内挿

). w ∈ ∪

_∞

N=1

W

_N¹

, N ∈ Z

+に対して，線形内挿 を以下のように定める．

w(t) =

 



a

_N

, (t ≥ l(w))

(i + 1 − t)w(i) + (t − i)w(i + 1), (i ≤ t < i + 1)

これにより，

w

^を

[0, ∞)

^{上の連続関数}

(

^{つまりＣの要素}

)

^{とみなせる．以} 後，すべてのパスは線形内挿されたものであるとする．このようにして，

W

^N

, W ˆ

^Nは

C

の部分集合とみなせる

. w ∈ W

^Nに対して，

˜ l(w) = l(2

^N

w)

と おく．すなわち，

˜ l(w)

^はパス

w

^が

a

0に着くまでの

2

^{−Nサイズの「歩数」で} ある．

到達時刻，粗視化，脱出時刻，スケルトンも

C

上で定義する．

定義

4.4 (

^到達時刻

). w ∈ C

^{に対して，}

G

^{Mへの到達時刻の列}

{ T

_i^M

(w) }

^mi=0

を次のように定める．

T

_i^M

(w) =

 



0, (i = 0)

inf { j > T

_i^M₋₁

(w) : w(j) ∈ G

^M

\ { w(T

_i^M₋₁

(w)) }} , (i ≥ 1) (7)

ただし，

inf = ϕ, m = inf { j ≥ 0; T

_j+1^M

(w) = ∞}

^{とする．簡単のため，}

W

_Nの到達時刻と同じ記号を用いている．

定義

4.5 (

粗視化写像

). N ∈ Z

+に対して，粗視化写像

Q

^N

: C → C

を以 下のように定める．

(Q

^N

w)(i) = w(T

_i^N

(w)), i = 0, 1, 2, · · · , m,

(Q

^N

w)(t) =

 



(i + 1 − t)(Q

^N

w)(i) + (t − i)(Q

^N

w)(i + 1), (i ≤ t < i + 1),

a

₀

, (t ≥ m).

(i = 0, 1, · · · , m − 1.)