2018.10.16.

(1)

2018.10.16.

微分積分学・同演習

B

^（

^S1-1

クラス，理学部物理学科向け）

担当：原隆（数理学研究院）：伊都キャンパス

W1

号館

C-601

号室，

phone: 092-802-4441,

e-mail: [email protected] Oﬃce hours:

講義終了後に質問を受け付けます（そのうちに，正式な

oﬃce hours

の時間を決めます）．メイルでの質問も歓迎．

概要：この講義は後期の「微分積分学

A

」とあわせて完成し，一年を通して『本格的な大学の微積分』を学ぶことを目的とする．前期では「極限とは何か（その厳密な定義）」「１変数函数の微分とその応用」「1変数函数の積分」などを扱った．それを受けて，後期では「多変数函数の微分（偏微分）」「多変数函数の積分（重積分）」および

（時間があれば）「級数論」「微分方程式」を扱う予定．

前期でキーとなる概念：（偏微分），極限，（ϵ-δ論法とコーシー列），微分，テイラー展開，積分後期でキーとなる概念：偏微分，重積分，（級数），（微分方程式）

特に講義を通して身につけて欲しいこと：この講義で学んでほしい「能力」は以下の２つである．

•

（最低限）微分や積分のいろいろな概念を習得し，実際に応用して使えるようになること

•

（可能ならば）単にやり方を覚えるのではなく，自分の議論に自信が持てるようになること．

高校までの数学では主に最初の面に力点が置かれていた．ところが，昨今の中学，高校でのカリキュラムの制約上，

その最初の面ですら，練習不足と思われる人が増えている．また，「この問題はこのように解けば良い」ことは知っているけども，「その方法がなぜ正しいのか」が説明できない人（「本当にその方法で良いのか，自信ある？」と問いかけると固まってしまう人）も多いようだ．一方，物理学科では（特に理論系）将来，少し高度な数学を要する面があり，その場合には，自分で自信を持って議論を組み立てる能力が不可欠となる．そこで，この講義ではこれまでの練習不足を補いつつ，自信を持って議論を組み立てられる人を養成することを目指す．

内容予定：（以下は大体の目安で，「回数」はいい加減です．皆さんの理解度により，かなりの変更や増減あり．

太字は特に高校よりも新しく重要な概念です ― 必ずしも試験での比重が高いわけではないが．）

IV.

偏微分

1.

２変数の関数とは何か？

2.

偏微分の定義とその意味

3.

連鎖律

4.

高階の偏微分

5.

偏微分の応用：２変数関数の極値問題

V.

「微分方程式」「級数」など（厳密性は全く要求しない）学期の最後に持っていく可能性もある

1.

微分方程式とは何か？解の存在と一意性

2.

簡単な微分方程式の解法

3.

級数（時間があれば）

この辺りで中間試験か？

IV.

「多変数函数の積分（重積分）」（厳密性は全く要求しない）

1.

重積分の定義（教科書

5.1

節前半）

2.

重積分の計算方法（反復積分による）（教科書

5.1

節後半）

3.

重積分の変数変換（教科書

5.2

節）

4.

広義積分（教科書

5.3

節）

5.

（3重以上の）多重積分（教科書

5.4

節）

この辺りで期末試験？

教科書：斎藤正彦「微分積分学」（東京図書）．一年生には難しく感じられる部分も多いかもしれませんが，将来，

特に理論物理に進んだ人には頼りになる教科書です．

(2)

参考書：上の教科書が合わないという人には，以下の本をお薦めします．また，この講義専用の講義ノートを別途つくって，僕の

web page

に上げます．

•

野村隆昭「微分積分学講義」（共立出版）．九大の数学科の先生が書いた本．進んだ面白い話題も入っているが，語り口は柔らかく，読みやすい．

•

高木貞治「解析概論」（岩波）．今の学生さんには難しすぎる，との意見もあるが，不朽の名著だ．超お奨め．

•

小平邦彦「解析入門

I, II」（岩波）．上の解析概論を少しとっつきやすくした感じ．激しくお奨め．

•

杉浦光夫「解析入門

1, 2

」（東大出版会）．かなり分厚いけど，その分，記述は丁寧．お奨め．

•

僕の友達の田崎晴明さんの書きかけの本「数学：物理を学び楽しむために」．激しく超お奨め！！彼の

web page (http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/mathbook/)

からダウンロードできる．

評価方法：中間試験（＋レポート）と期末試験の成績を総合して評価する．そのルールは以下の通り：

•

最終成績は一旦，１００点満点に換算してから，この大学の様式に従ってつける．

•

その１００点満点（最終素点）は，以下のように計算する．

–

まず，「中間試験（＋レポート）の点」「期末試験の点」をそれぞれ

100

点満点で出す．

–

次にこの２つを以下の式で「平均」し，一応の総合点を出す：

（総合点

A

）

= 0.50 ×

（中間（＋レポート）の点）

+ 0.50 ×

^{（期末の点）}

（総合点

B

）

= 0.10 ×

（中間（＋レポート）の点）

+ 0.90 ×

^{（期末の点）}

–

ただし，上の重みを若干変更する可能性はある（総合点

A

で，中間と期末の比を

4 : 6

にするなど）．

–

最終素点は

（最終素点）

= max{

^（総合点

A

）

,

（総合点

B

）

}

とする．つまり，（総合点

A

）と（総合点

B

）を比べて，良い方をとるのだ．

•

上の「最終素点」に，必要ならば全体に少し修正を加えたものをつくり，最終成績を出す．（例外：以下の但し書きを参照）

•

レポートの点は原則として，総合点

A, B

には加えない．ただし，上の計算では合格基準に少し足りない人（百点満点で

10

点不足が限度）を助けるかどうかに使用する．また，レポートがずば抜けて良い場合，この事実は最終成績に反映される事もある．

•

なお，上の評価方法から推察できるように，期末試験の試験範囲は，今学期にやったところすべてである．特に，中間試験までに扱った題材も，期末試験で普通に出題される．

（

A

をとるための重要な但し書き）期末試験ではあまり冒険をする訳にはいかず，（

A

^と

B

の区別をつけるような）極端に難しい問題は出題しにくい．そのため，中間試験にも

A, B

の峻別を行う機能をある程度持たせて，中間・期末ともに成績優秀な人にのみ，

A

をあたえるようにする可能性がある

——

特に，期末を簡単にしすぎた場合はこうなる．この意味で，上の（最終素点）の式は完全には正しくなく，

A

をとるためには期末だけでの一発逆転は無理かも知れない．

A

を狙って頑張る人はこの点を考慮して，中間・期末とも確実に受験してほしい．

「学習到達度再調査」について：

この大学には「学習到達度再調査」とかいう，変な制度がある．この科目は必修科目でもあり，これに変に期待する人がいるかもしれないので，ここではっきり，宣言しておこう．

「再調査」は行わない可能性もある．再調査を行うか，誰を対象とするかは，こちらの一存で（もちろん公平に，しかし厳しく）決めさせていただく．

本音を言うと，再調査をする方が，こちらとしては厳しく点を付けやすい（厳しくつけておいて，誰を助けるかは再調査できちんと確かめれば良いから）．その分，皆さんには過酷なものになるでしょう．

だから，再調査には頼らず，期末試験まででちゃんと合格できるよう，しっかり学習して下さい．期末試験まで なら皆さんの学習を助ける努力は惜しまないつもりで，質問などにも忍耐強く相手することを保証する．

合格（最低）基準：

合格のための条件（A, Bがとれる条件ではない！）は，講義中に出題する例題，レポート問題と同レベルの問題 が解けることである．（ただし「時間がなくてレポートは出せないけど試験には出すぞ」などの指示を講義中に与えることもあり得る．）具体的には大体，以下のようになる（進度の都合で内容に若干の変更があるので，完全なリストを現時点で呈示する事はできないが，講義を追っておれば明らかになるはず）．

(3)

•

多変数函数の微分とその応用について，厳密性を少し犠牲にしても良いから，計算ができること（具体的には，偏微分の計算，連鎖律，極値問題，テイラー展開など）．

•

多変数函数の積分とその応用についても，厳密性を少し犠牲にしても良いから，計算ができること．（具体的には，多重積分の計算，変数変換，広義積分など）．

•

（講義でカバーすれば）級数や微分方程式とその応用について，厳密性を少し犠牲にしても良いから，計算ができること．

レポート，宿題について：

ほぼ毎回，簡単なレポートや「お奨めの宿題問題」を出す予定である．このレポートはレポートボックスに提出してもらい，採点ののち，次の講義時に返却の予定（詳細は来週）．これらの出題意図は「この程度できれば講義についていけるし，合格も可能だ」という目安を与えることと家庭学習の引き金にすること，である．成績評価に占めるレポートの比重は低いが，この講義をこなす上では重要な意味があるので，是非やること．

重要：レポートは友達と相談した結果を書いても良い．ただし，誰と相談したかは明記すること．（「俺は人に教えてやっただけで人からは全く教わってない」と思う人は書かなくても良いが．）相談した人の名前を書かせるのは，

「お世話になった文献，人にはきちんと感謝する」という，学問上の最低ルールを守ってもらうためである．なお，

お世話になった人の名前を書いてもレポートの成績が不利になることはない．

プリントの使いかた：

例年，僕は講義でプリントを配っていた．これらのプリントは板書にアップアップしないでも講義が聴けるように，また，教科書の足りないところを補うためだった．

ところが，毎回プリントを印刷するのはなかなか大変だし，講義の前にプリントがほしい，と言う声もあった．

このような理由のため，数年前から講義の補助プリントはこの講義の

web page

に上げておいて，皆さんに自 由にダウンロードしてもらう方法に変更し，講義では最低限のプリント（日々のレポート問題など）のみを配るこ ととする．この講義のアドレスは

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/18/biseki01a-web.html

だが，

「九大原隆」で検索して僕の

web page

を見つけた後，下の方の「講義」をクリックすれば，講義の一覧が出る．

なお，プリントにはタイプミスなどがかなりあると思うので，気づいたらできるだけ指摘してくれるとありがたい．

特に注意を要する題材：

1.

偏微分については，最初は簡単に見えるはずです．ただし，「偏微分を行う際に，何を独立変数とみなすのか？」

は，案外，落とし穴で，ぼんやりしていると，わからなくなってしまいます．これが原因で，連鎖律と座標変換については，例年かなりの人が大変に苦戦します．

2.

「重積分」については，累次積分や変数変換の計算法（積分領域をイメージして正しく図を描く）のが案外，

難しいようです．

3.

この講義の大きな目的は「使える微積分を学ぶ」ことで，実際に手を動かす（計算する）ことが大事です．

4．なお，高校までの悪い癖で，

「ともかく問題演習を繰り返して覚えよう」とする人が一定数いますが，（熱意は

ともかく）あまり良い方法ではありません．数学に限らず大抵の学問は，基礎の概念がしっかりわかれば，後は自動的にできるものです．しかし一方で，重要な基礎概念ほど，その深い意味がわからないことがあります．（例：連鎖律は形式的には簡単ですが，座標変換の問題になった途端にできない人が続出しました．これは連鎖律ではなく，

偏微分の意味（何を独立変数と見ているのか）があやふやなことが主な原因です．）なので，問題練習によって基礎 概念の理解不足に気づくこと，および解法を熟読して，なぜそのように解くのかを納得すること，を目指してくだ さい．

この科目に関するルール：

世相の移り変わりは激しく，僕が学生だったときには想像すらできなかったことが大学で行われるようになりました．そのうちのいくつかは良いことですが，悪いこともあります．皆さんの反発は覚悟の上で，互いの利益のために，以下のルールを定めます．

•

まず初めに，学生生活の最大の目的は勉強することであると確認する．

(4)

•

講義中の私語，ケータイの使用はつつしむ．途中入室もできるだけ避ける（どうしても必要な場合は周囲の邪魔にならないように）．これらはいずれも講義に参加している他の学生さんへの最低限のエチケットです．

•

僕の方では時間通りに講義をはじめ、時間通りに終わるよう心がける．

•

重要な連絡・資料の配付は原則として講義を通して行う（補助として僕の

web page

も使う

——

アドレスは

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/lectures-j.html）．

「講義に欠席したから知らなかった」などの苦情は一切，受け付けない．

•

レポートを課した場合，その期限は厳密に取り扱う．

• E-mail

による質問はいつでも受け付ける（

[email protected]

）．ただ，回答までには数日の余裕を見込んで下さい．なお，学生さんのメイルが往々にして

spam mail

に分類されてしまう事があります．見分け易いように，題名には「物理学科の○○です」などと書いて下さい．また僕にメイルしたのに，２，３日しても返事がない場合は返事を催促して下さい．たとえどんなに理不尽（例：人格攻撃）なメイルであっても，

僕は返事はすることにしています．返事がないのはメイルが届いていない可能性が高いです．

演習書の奨め：

教科書の例題や節末問題，章末問題はできるだけやること．それでもわかった気がしなかったら，演習書（いわゆる問題集）をやることを勧めます．問題をやることによって，自分が曖昧にしかわかっていなかった部分がはっきりしてくることが多い．ただし，その際，解答を鵜呑みにはせず，自分で納得するまで考えること．考えてもわ からなかったら，友達や教官（僕を含む）に訊けばよい．同じ理由で問題の解答を頭から覚える愚だけは避ける事．

演習書はどれでも良いが，一応，目についたものを列挙すると：

•

三村征雄編「大学演習微分積分学」（裳華房）—僕はこれを使った．ちょっとムズイかもね．

•

蟹江，桑垣，笠原「演習詳説微分積分学」（培風館）—なかなか良いが，はじめは難しく感じるかも．

•

杉浦ほか「解析演習」（東大出版会）

—

これもまあ，大変ではありますが，良い本．

•

鶴丸ほか「微分積分

—

解説と演習」（内田老鶴圃）

—

一番「普通」かも．

•

飯高茂監修「微積分と集合そのまま使える答えの書き方」（講談社サイエンティフィック）

—

題名は変だけど，馬鹿にはできない，なかなかの本．流石は飯高さん監修だけあるな．案外，おすすめ．

これ以外にもいくらでも出版されてるから，図書館や本屋さんで自分にあった（読みやすい，やる気になる）ものを選べば良い．ただしその際，解答や解説の詳しいものがよい．また，無理をして難しすぎるものを選ぶ必要はない．自分が簡単だと思うことでも，（人間はアホやから）わかってないことが一杯あり，むしろ簡単なところが盲点になって先に進めないのだ．簡単な演習書でもやれば，大きな効果があるはず．

本論に入る前に記号のお約束．

a < b

を２つの実数，nを非負（負でない）整数とする．

•

整数の全体は

Z

，自然数（

1

以上の整数）の全体を

N

，有理数の全体を

Q

，実数の全体は

R

と書く．

•

集合

A

の要素を大学では「元（げん）」ともいう．（例）

2

は

Z

の元である．

√

2

は

Q

の元ではない．

•

高校までと異なり，「a < bまたは

a = b」を a ≤ b

と書く．同様に，「a > bまたは

a = b」を a ≥ b

と書く．

• a < x < b

なるすべての実数の集合を

(a, b)

と書き，開区間という．教科書ではこの開区間に変な記号（括弧のうえに○がついてる）を使ってるが，打ち込むのが大変だし，標準的ではないので使わない．

• a ≤ x ≤ b

なるすべての実数の集合を

[a, b]

と書き，閉区間という．

•

高校と同じく，n! =

n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1

はnの階乗である．ただし，0! = 1と約束する．

（用語の注）あるものがたった一通りに決まる（存在する）とき，業界用語では○○が一意に決まる（存在する）という．この表現『一意』は頻出するから覚えよう（英語の

unique, uniquely

の訳）．

(5)

10

月

16

日：前回は原の出張のため，石井先生に代講をお願いしました．今日はその続きで，全微分可能性，連鎖律などです．

第

1

回レポート問題：

問

1

：（典型的な病的函数についての理解を深める問題；一部の答えは講義ノートに載ってますが，それでも自分で確かめてください．）函数

f (x, y) =

 



 

√ x y

x

²

+ y

²

(x, y) ̸ = (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)

を考える．

(1)

この函数が原点

(0, 0)

で連続であるか否かを判定せよ．

(2)

この函数の偏微分係数

∂f

∂x

と

∂f

∂y

を計算せよ．（原点においては，偏微分の定義に戻ることが必要だろう．極限の値を求めるには，「高校のノリ」で十分．）

(3)

この函数の，原点

(0, 0)

における，

v = (cos θ, sin θ)

方向の方向微分を求めよ（もちろん，

θ

は実数の定数である）．

(4)

この函数は，原点

(0, 0)

において，「全微分可能」か？

(5)

この函数は，原点

(0, 0)

において，「C¹

-級」か？

問

2

：以下の偏微分を計算せよ．（単なる計算練習．問

[1]

と異なり，定義に戻らずに，「もう一方の変数を定数と思って」微分して良い）．試験ではもうちょっと複雑なのを計算してもらう予定．

g(x, y) := x

²

+ 3xy + 4xy

² の時に

∂g

∂x

と

∂g

∂y

番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．

レポート提出について：レポートには学生番号と氏名を明記のうえ，

10

月

22

日（月）の

13:00

までに，基幹教育事務室のレポートボックス４番に

入れて下さい．整理の都合上，用紙は

A4

（この用紙と同じ大きさ）を使ってください（

B5

だとなくなっても知らんぞ）．また，２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．

(6)

10

月

23

日：今日は主に連鎖律です．（先週は連鎖律まで行かなかったので）

第

2

回レポート問題：^{連鎖律の問題です．}

問

3：

f (x, y) := sin(x

²

+ xy), x(u, v) = u

³

+ v

²

, y(u, v) = uv

と定義して，合成関数

g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v))

を考える．このときに偏微分

∂g

∂u

と

∂g

∂v

を計算せよ．闇雲にやってもできますが，できれば連鎖律の練習問題としてやってほしい．（その方が間違いも少ないはず．）

問

4

：

2

次元極座標を考える．つまり，普通の

x, y

座標を，動径の長さ

r

と角度

θ

を用いて

x = r cos θ, y = r sin θ ( − π < θ ≤ π)

と書くのである．今，

x, y

の

2

変数の函数

f (x, y)

が与えられた時，

x, y

を上のように極座標で表して新しい函数

g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)

を定義する．このとき，以下の偏微分を，「r, θに関する

g

の適当な偏微分，および

r, θ」を用いて表せ．

∂f

∂x , ∂f

∂y

この問題では，

f

の具体的な形が与えられていないが，一般に成り立つ変数変換の式を求めてもらうのが目的である．

10

月

27

日（月）の

13:00

A4（この用紙と同じ大きさ）を使ってください（B5

—————————————————先週のレポートの略解 —————————————

問

1

：ともかくやります．

(1)

原点で連続か否かは，

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0

か否かで判断する．極座標で

(x, y)

を表すと楽：

x = r cos θ, y = r sin θ

とすると，

g(r, θ) := f (r cos θ, r sin θ) = r cos θ sin θ

この時，

(x, y)

と原点の距離は

r

だから，

lim

(x,y)→(0,0)

とは

lim

r→0

に他ならない．しかし，上の

g(r, θ)

の絶対値は

r

以下だから，lim

r→0

とすれば

0

に行く．つまり，f は原点で連続である．

(2)

原点以外では高校のノリで計算できて，

∂f

∂x = y

³

(x

²

+ y

²

)

^3/2

, ∂f

∂y = x

³

(x

²

+ y

²

)

^3/2 である．原点では定義に戻ってやるしかないが，大した計算ではない：

∂f

∂x (0, 0) = lim

x→0

f (x, 0) − f (0, 0) x − 0 = lim

x→0

0 x − 0 = 0.

(7)

同様に，

y

での偏微分もゼロ．

(3)

定義通り方向微分を計算すると

D

v

f (0, 0) = lim

r→0

f (r cos θ, r sin θ) − f (0, 0)

r = lim

r→0

r

²

cos θ sin θ

| r | r = lim

r→0

r

| r | cos θ sin θ = (

r

lim

→0

r

| r |

) × cos θ sin θ

となる．困ったことに，方向微分の定義によれば，

r

は正負両方の値を取るので，上の極限は，一般に存在しない．

つまり，方向微分は，θ

=

^π₂

m（m

は整数）の場合以外は存在しない．（θ

=

^π₂

m（m

は整数）の場合は，方向微分が存在し，その値はゼロである．

ここのところ，ほとんどの人が

r → +0

の極限を取って，「方向微分は

cos θ sin θ」としていました．気持ちは十

分にわかるし，僕自身もこの

r → +0

の方が良い定義だとおもいます．（なぜなら，上のように「存在しない」では 情報がないですが，

r → +0

にすれば，この方向から近づいたらどうか，がよくわかるからです．）ただ，数学とし ての定義はこうなので，一応，上のように解答しました．（一応，

cos θ sin θ

の人は

5

点減点してますが，あまり気にしなくても良いです．）

(4)

全微分の定義，および授業でやった定理によると，全微分可能なら，

f (x, y) − f (0, 0) = ∂f

∂x x + ∂f

∂y y + o (√

x

²

+ y

²

)

（？？？）

と書けるはずである（偏微分は原点での値）．上で求めた偏微分の値（ゼロ）を入れるとこの式は

f (x, y) = o (√

x

²

+ y

²

)

（？？？）

となるが，これは成りなってない（極座標で書けばすぐにわかる）．よって，全微分可能ではない．

(5)

さて，(2)での結果は，偏導函数が原点でも連続なように，一見，見える．でも

C

¹

-級なら全微分可能のはず

で，(4)と矛盾する．どこがおかしいのだろう？

おかしいとしたら，「偏導函数が原点で連続ではない」こと以外考えられない．そこでもう一回，

(2)

の答えをみて，それを極座標で書いてみると，原点以外での偏導函数は（x

= r cos θ, y = r sin θ）

∂f

∂x (r cos θ, r sin θ) = (sin θ)

³

, ∂f

∂y (r cos θ, r sin θ) = (cos θ)

³

となってることがわかる．さて，rが右辺に現れてないので，r

→ 0

とした右辺は右辺の値そのもので，θによって値が変わる！特に，

r → 0

の

(θ

によらない

)

共通の極限が存在しない．つまり偏導函数は原点で連続ではないのだ．

よって，この函数は原点では

C

¹

-級ではない．

（従って，全微分可能ではないことと矛盾もしない．メデタシメデタシ．）

問

2

：高校のノリで良いので答えだけ：

∂g

∂x = 2x + 3y + 4y

²

, ∂g

∂y = 3x + 8xy

(8)

10

月

30

日：今日は高階の導函数を経て，多変数のテイラー展開です

第

3

^{回レポート問題：}連鎖律およびテイラー展開の問題です．

問

5

：この問題は前回の続きである．2次元極座標を考える．つまり，普通の

x, y

座標を，動径の長さ

r

と角度

θ

を用いて

x = r cos θ, y = r sin θ ( − π < θ ≤ π)

と書くのである．今，

x, y

の

2

変数の函数

f (x, y)

が与えられた時，

x, y

を上のように極座標で表して新しい函数

g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)

を定義する．このとき，以下の

2

階偏微分を，「r, θに関する

g

の適当な偏微分，および

r, θ」を用いて表せ（「適当

な偏微分」には，2階以上の偏微分も含む可能性がある）：

∂

²

f

∂x

²

このような書き換えは，皆さんが「量子力学」や「電磁気学」を学ぶ際に必ず出会うであろう．

注意：2階も偏微分するところが大変，かつ非常に間違いやすいので注意．

問

6

：函数

f (x, y) = (1 + 2x + y)

^1/3 の，

x = y = 0

の周りの

2

次までのテイラー展開を，以下の二通りの方法で求めよ．（「2次までの展開」とは，x, yの合計次数が

2

次以下の項を全て求める，という事である．つまり，

0, x, y, x

²

, xy, y

² までの項を求める．ただし，「和の形」で書けば良い．）

(1)

「2変数函数のテイラー展開」の公式を用いて求めてみる．

(2)

適当な変数に置き直して，1変数函数のテイラー展開として求める．

もちろん，

(2)

の方が簡単なのだが，ここは

2

変数函数の練習問題として，

(1)

もやって欲しい．

11

月

5

日（月）の

13:00

A4（この用紙と同じ大きさ）を使ってください（B5

—————————————————先週のレポートの略解 —————————————

問

3

：

まずは

f

の形によらない一般論を作ろう．モロに連鎖律の公式から

∂g

∂u = ∂f

∂x

∂u + ∂f

∂y

∂u = 3u

²

∂f

∂x + v ∂f

∂y

∂g

∂v = ∂f

∂x

∂v + ∂f

∂y

∂v = 2v ∂f

∂x + u ∂f

∂y

が得られる．

ここに，f

= sin(x

²

+ xy)

を入れて偏微分を計算すると

(9)

∂g

∂u = 3u

²

∂f

∂x + v ∂f

∂y = 3u

²

cos(x

²

+ xy) (2x + y) + v cos(x

²

+ xy) x = { 3u

²

(2x + y) + vx } cos(x

²

+ xy)

このままでもよい（ただし，x

= u

³

+ v

²

, y = uv

は明記する）が，すべて

u, v

で表すと，

= (6u

⁵

+ 4u

³

v + 6u

²

v

²

+ v

³

) cos {

(u

³

+ v

²

)(u

³

+ uv + v

²

) }

∂g

∂v = 2v ∂f

∂x + u ∂f

∂y = 2v cos(x

²

+ xy) (2x + y) + u cos(x

²

+ xy) x = { 2v(2x + y) + ux } cos(x

²

+ xy)

このままでもよい（ただし，x

= u

³

+ v

²

, y = uv

は明記する）が，すべて

u, v

で表すと，

= (u

⁴

+ 4u

³

v + 3uv

²

+ 4v

³

) cos {

(u

³

+ v

²

)(u

³

+ uv + v

²

) }

となる．

問

4

：

（方法

1）連鎖律を用いると

∂f

∂x = ∂g

∂r

∂x + ∂g

∂θ

∂x , ∂f

∂y = ∂g

∂r

∂y + ∂g

∂θ

∂y

となっているので，rや

θ

の，xや

y

に関する偏微分を計算すれば終わりだ．

ところが，今は

x, y

を

r, θ

で表す式が与えられているので，

(

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂θ

)

= (

cos θ − r sin θ sin θ r cos θ

)

は簡単に計算できるが，上の偏微分は計算しにくい．仕方ないので，逆行列の関係を用いて

(

∂r

∂x

∂r

∂y

∂θ

∂x

∂θ

∂y

)

= (

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂θ

)

₋1

= (

cos θ − r sin θ sin θ r cos θ

)

₋1

= 1 r

(

r cos θ r sin θ

− sin θ cos θ )

= (

cos θ sin θ

−

¹_r

sin θ

¹_r

cos θ )

を用いて求める．これにより，

∂f

∂x = ∂g

∂r

∂x + ∂g

∂θ

∂x = ∂g

∂r cos θ − ∂g

∂θ sin θ

r

∂f

∂y = ∂g

∂r

∂y + ∂g

∂θ

∂y = ∂g

∂r sin θ + ∂g

∂θ cos θ

r

となる．

（方法

2

）使いやすい方向の連鎖律の式は

∂g

∂r = ∂f

∂x

∂r + ∂f

∂y

∂r = cos θ ∂f

∂x + sin θ ∂f

∂y ,

∂g

∂θ = ∂f

∂x

∂θ + ∂f

∂y

∂θ = − r sin θ ∂f

∂x

∂θ + r cos θ ∂f

∂y

となっている．これを未知数 ^∂f

∂x

,

^∂f_∂y に関する連立方程式だと思って解けば良い．連立方程式は行列の形で書いた方が解きやすいだろう：

(

_∂g

∂r

∂g

∂θ

)

= (

cos θ sin θ

− r sin θ r cos θ ) (

_∂f

∂x

∂f

∂y

)

, = ⇒

(

_∂f

∂x

∂f

∂y

)

= (

cos θ sin θ

− r sin θ r cos θ

)

₋1

(

_∂g

∂r

∂g

∂θ

)

結果はもちろん，（方法

1）と同じになる．

(10)

11

月

6

日：今日は多変数函数の極値問題です

第

4

回レポート問題：

問

7

：以下の関数

f (x, y), g(x, y )

の極大点・極小点と，そこでの

f, g

の値をそれぞれ求めよ．

f(x, y) := x

³

− 3xy + y

³

, g(x, y) := xy(x

²

+ y

²

− 1)

もちろん典型的な解法は，

(1)

一階の偏微分から「極値をとる点の候補」を求め，

(2)

その候補の点で本当に極値になっているかどうかをヘシアンによって判定する，ということになる．これを実際にやってもらいましょう，という問題．

11

月

12

日（月）の

13:00

A4

（この用紙と同じ大きさ）を使ってください（

B5

—————————————————

先週のレポートの略解

—————————————

問

5

：まあ，間違いやすいし，計算が大変です．ただ，これは将来，「量子力学」で出てくるはずですから，そのときのために，一生に一回くらいは計算してもらいたいと思って出しました．

（方法

1

）正攻法：ともかく，一回微分すると

∂f

∂x = ∂g

∂r

∂x + ∂g

∂θ

∂x

∂f

∂y = ∂g

∂r

∂y + ∂g

∂θ

∂y ( ∗ )

である．もう一回微分しないといけないけど，上に出ているいろんな偏微分を先に計算しよう．x, yと

r, θ

の関係から，我々は

∂x

∂r = cos θ, ∂y

∂r = sin θ, ∂x

∂θ = − r sin θ, ∂y

∂θ = r cos θ

はすぐに計算できる．しかし我々が欲しいのは _∂x^∂r であり，先週の講義中に注意したように，^∂r_∂x は ^∂x_∂r の逆数ではないので注意が必要だ．上から出すなら，逆行列の関係を用いて



 



∂r

∂x

∂r

∂y

∂θ

∂x

∂θ

∂y



 

 =



 

 

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂θ



 

 

−1

=



 

cos θ − r sin θ sin θ r cos θ



 

−1

= 1 r



 

r cos θ r sin θ

− sin θ cos θ



  =



 



cos θ sin θ

− sin θ r

cos θ r



 



を得る（別の出し方は後述）．

これを用いて上の

(*)

を見ると

∂f

∂x = cos θ ∂g

∂r − sin θ r

∂g

∂θ , ∂f

∂y = sin θ ∂g

∂r + cos θ r

∂g

∂θ , ( ∗∗ )

を得る．ここまでは先週の問題解説で説明済み．

(11)

これをまた

x, y

で微分したい．直接微分しても良いし，または形式的に

(*)

を

x

で微分して（ここで，^∂r

∂xなどすべてが

x, y

に依存しうるので連鎖律を使うべきであること，および「積の微分」になってることに注意；（偏微分はその直後の項だけにかかる；これを少しでも表現するために，

×

を入れた）

∂

²

f

∂x

²

= [ ∂

∂r ( ∂g

∂r ) × ∂r

∂x + ∂

∂θ ( ∂g

∂r ) × ∂θ

∂x ] ∂r

∂x + ∂g

∂r [ ∂

∂r ( ∂r

∂x ) × ∂r

∂x + ∂

∂θ ( ∂r

∂x ) × ∂θ

∂x ]

+ [ ∂

∂r ( ∂g

∂θ ) × ∂r

∂x + ∂

∂θ ( ∂g

∂θ ) × ∂θ

∂x ] ∂θ

∂x + ∂g

∂θ [ ∂

∂r ( ∂θ

∂x ) × ∂r

∂x + ∂

∂θ ( ∂θ

∂x ) × ∂θ

∂x ]

( ∗ ∗ ∗ )

を用いてもよい（また，yで

2

階偏微分したものは，上で

x

を

y

に変えれば良い）．正直，この

(***)

を使うのはそれほど効率が良くないけども，「これだけたくさんの微分をする必要がある」ことを示すには適しており，また全ての可能な項を取りこぼさず書いているので，間違いが少なくなる利点がある．

計算が大変で死にそうだが，ともかく頑張って

(**)

や

(***)

に具体的な偏微分を放り込んでいくと，（偏微分はその直後の項だけにかかる）

∂

²

f

∂x

²

= [ ∂

²

g

∂r

²

cos θ + ∂

²

g

∂r∂θ

( − sin θ r

)]

cos θ + ∂g

∂r

[ ∂ cos θ

∂r cos θ + ∂ cos θ

∂θ

( − sin θ r

)]

+ [ ∂

²

g

∂r∂θ cos θ + ∂

²

g

∂θ

²

( − sin θ r

)] ( − sin θ r

) + ∂g

∂θ [ ∂

∂r

( − sin θ r

) × cos θ + ∂

∂θ

( − sin θ r

) × (

− sin θ r

)]

= cos

²

θ ∂

²

g

∂r

²

− sin 2θ r

∂

²

g

∂r∂θ + sin

²

θ r

²

∂

²

g

∂θ

²

+ sin

²

θ r

∂g

∂r + sin 2θ r

²

∂g

∂θ

を得る．

（注意）上での

∂

∂θ ( ∂r

∂x

)

などと，「偏微分の順序」について

(***)

では，

∂

∂θ ( ∂r

∂x

)

や，

∂

∂r ( ∂θ

∂x

)

という項があるが，この扱いには注意が必要である．具体的には以下のようになっている：

∂

∂r ( ∂r

∂x )

= ∂

∂r cos θ = 0, ∂

∂r ( ∂θ

∂x )

= ∂

∂r

( − sin θ r

)

= + sin θ r

²

∂

∂θ ( ∂r

∂x )

= ∂

∂θ cos θ = − sin θ, ∂

∂θ ( ∂θ

∂x )

= ∂

∂θ

( − sin θ r

)

= − cos θ r

以上は一階の偏微分の結果を素直に用いたもので，正しいし，上の正解はこのようにして計算した．

ところが一方で，「偏微分の順序は気にしなくて良い」を安易に用いると，例えば，

（間違い！）

∂

∂θ ( ∂r

∂x )

= ∂

²

r

∂θ ∂x = ∂

²

r

∂x ∂θ = ∂

∂x ( ∂r

∂θ )

= ∂

∂x 0 = 0

（間違い！正しくは

− sin θ

のはず）

などとなってしまって，正しい結果と相容れない．何がおかしいかというと，上の

2

番目の等式（偏微分の順序入れ替え）である．「高階偏微分の結果は偏微分の順序によらない」のは，あくまで独立な変数同士で偏微分する場合 にのみ成り立つことであって，上の例のように，

r, x

が互いに依存し合っている場合には一般には成り立たない．であるから，「偏微分のパートナー（独立変数）は何か？」を意識しておくことが必要なのだ．この点，授業ではあ まり注意しなかったので，補足して注意しておく．

（以上で方法

1

はおしまいだが，補足：問題では訊いていないが，同様に（似たようで似てない計算なのでいよいよ嫌になってくるのだが）yで微分したものを同様にやると，

∂

²

f

∂y

²

= sin

²

θ ∂

²

g

∂r

²

+ sin 2θ r

∂

²

g

∂r∂θ + cos

²

θ r

²

∂

²

g

∂θ

²

+ cos

²

θ r

∂g

∂r − sin 2θ r

²

∂g

∂θ

となる．

この二つを足すと，いくつかの項は奇跡的に消えて，最終結果（2次元のラプラシアン）が

∂

²

f

∂x

²

+ ∂

²

f

∂y

²

= ∂

²

g

∂r

²

+ 1 r

²

∂

²

g

∂θ

²

+ 1 r

∂g

∂r

と求められる．この答えはすでに電磁気学などで見たことがあるかもしれない．