名古屋大学大学院多元数理科学研究科 ２００１年度前期課程入学試験問題

名古屋大学大学院多元数理科学研究科 ２００１年度前期課程入学試験問題

数学専門問題

問題は全部で１４問である

.

.

.

１ F 2

0, 1

SL ₂ ( F 2 ) = { A ∈ M ₂ ( F 2 ) | det A = 1 }

を,

F 2

1

SL ₂ ( F 2 )

3

S ₃

２

R

1

R [X]

X ² (X − 1) ²

(X ² (X − 1) ² )

A = R [X]/(X ² (X − 1) ² )

とする. 次にあげる環がこの

A

(a) R [X]/(X(X − 1)).

(b) R [X]/(X ² ) × R [X]/((X − 1) ² ).

(c) R [X]/(X(X − 1)) × R [X]/(X(X − 1)).

３ n

3

G = σ, τ | σ ⁿ = τ ² = e, τ στ ^{− 1} = σ ^{− 1} (e

G

2n

A =



 

 



cos 2π

n − sin 2π n sin 2π

n cos 2π n



 

 

 , B =

− 1 0 0 1

とおく.

(1) ρ(σ) = A, ρ(τ ) = B

G

R ²

ρ : G −→ GL ₂ ( R )

(2) π(σ) = A, π(τ ) = B

G

C ²

π : G −→ GL ₂ ( C )

４ ζ = e ^2πi/7 (i = √

− 1)

1

7

Q (ζ)

Q

ζ

C

(1) Q (ζ)

Q

(2)

Q (ζ)/ Q

Gal( Q (ζ)/ Q )

(3)

Q (ζ)/ Q

５

1

SO(3)

SO(3) = { A ∈ M ₃ ( R ) | ^t AA = I, det A = 1 } .

（ただし

I

(1) SO(3)

A

1

(2) A ∈ SO(3)

A

R ³

R ³

６ (1)

R ²

C ^∞

p(s) = (x(s), y(s)) (s ≥ 0)

κ(s)

s

p (s) = dp

ds (s)

p (s)

1

(2)

p(s) =

s 0

sin t ² 2 dt,

s 0

cos t ² 2 dt

, s ≥ 0

p(s)

κ(s)

κ(s) = − s

(3) p ₁ (s), p ₂ (s) (s ≥ 0)

R ²

C ^∞

s

p ₁ (s) = p ₂ (s) = 1

p ₁ (s), p ₂ (s)

κ ₁ (s), κ ₂ (s)

 



p 1 (0) = p 2 (0) = 0,

すべての

s ≥ 0

κ 1 (s) = κ 2 (s)

が成り立つならば, 原点

0

p ₁ (s)

p ₂ (s)

７ D = { (x, y) ∈ R ² | | x | < 1, | y | < 1 }

(1) f(x, y), g(x, y)

D

C ¹

D

φ(x, y)

∂φ

∂x (x, y) = f(x, y), ∂φ

∂y (x, y) = g(x, y)

∂f

∂y (x, y) = ∂g

∂x (x, y)

(2) D

C ¹

1

(1-形式) ω

dω = 0

dφ = ω

φ

８

(a)

D ² = { (x, y) ∈ R ² | x ² + y ² < 1 } . (b)

S ² = { (x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² + z ² = 1 } .

(c)

S ¹ × S ¹

S ¹ = { (x, y) ∈ R ² | x ² + y ² = 1 }

(d)

X.

このとき, 次の問に答えよ.

(1) (a), (b), (c), (d)

.

(2) (a), (b), (c), (d)

R ²

９

C

f (z)

z ∈ C

| f (z) | ≤ C ( | z | + 1) ⁿ

を満たしているとする. ただし, 正数

C

n

z

(1) n = 0

f (z)

(2) n ≥ 1

f (z)

n

１０

d dt

x y

=

1 − 1

1 1

x y

の解

(x(t), y(t)) (t ∈ R )

0)

(1) f(t) = (x(t)) ² + (y(t)) ²

(2) (x(t), y(t))

xy

１１

(0, 1)

{ f _n } ^∞ _n=1

n lim →∞

1

0 | f _n (x) | dx = 0

をみたしているとする. 以下の命題が成立するかどうか答えよ. もし成立するならばその 証明を与え, 成立しないならばその反例を与えよ.

(a) (0, 1)

x

lim

n →∞ f _n (x) = 0.

(b) (0, 1)

x

lim

n →∞ f _n (x) = 0.

(c) ε

E n = { x ∈ (0, 1) | | f n (x) | ≥ ε }

E n

µ(E _n )

lim

n→∞ µ(E _n ) = 0.

(d) { f _n } ^∞ n=1

{ f _n

} ^∞ k=1

1)

x

lim

k →∞ f _n

(x) = 0.

１２

[0, 1]

C([0, 1])

C([0, 1])

d

d(f, g) = max

x ∈ [0,1] | f(x) − g(x) | (f, g ∈ C([0, 1]))

(1) f(x) = x, g(x) = 1 − x

d(f, g)

(2) C([0, 1])

{ f _n } ^∞ n=1

1]

f

[0, 1]

f ∈ C([0, 1])

(3) C([0, 1])

d

１３ (1)

d ² x

dt ² + 2 dx

dt + x = 0

の特性方程式

r ² + 2r + 1 = 0 (x(t) = e ^rt

r

r = − 1

x(t) = e ^{− t}

(2)

x n+2 + 2x n+1 + x n = 0 (n = 0, 1, · · · )

の特性方程式

r ² + 2r + 1 = 0 (x _n = r ⁿ

r

r = − 1

x _n = ( − 1) ⁿ

(x ₀ , x ₁ ) = (1, 2)

１４

V (x, y) = x ⁴ − 4x ³ + 4x ² + y ²

dx

dt = − ∂V

∂x , dy

dt = − ∂V

∂y

(x, y )

(1)

t

(x(t), y(t))

V (x(t), y(t))

t

(2)

t = 0

(x ₀ , y ₀ )

(x _∞ , y _∞ ) = lim

t→∞ (x(t), y(t))

(3)

(2)

(x _∞ , y _∞ )