ある準線型放物型方程式の 解の最大点の振舞に関する一考察 ＊
穴 田 浩 一
†早稲田大学高等学院‡
本論文では, 準線型放物型偏微分方程式 の初期値境界値問 題の解が最大となる点の領域内での振舞について考察する. 具体的には, 領 域の境界付近における解の評価を行うことにより, 解の最大点が領域内で 境界付近に近づくことがないことを証明する.
１ Introduction
を 級の境界をもつ有界領域， を における の第１固有値 とし，次の準線型放物型偏微分方程式に対する初期値境界値問題を考える.
（1）
ただし， は 上で正値かつ滑らか， 上で連続な関 数とする．この初期値境界値問題（1）は，プラズマ内の磁場における電気抵抗 の拡散に対するモデル（e.g.［12］，［15］，［16］，［18］）や，曲線短縮問題（e.g．
［10］，［11］，［13］）について解析する際に現れる問題として知られている.
また，初期値境界値問題（1）の解 は，ある有限時刻 で爆発（
のとき， の最大値が発散）することが知られている．この爆発解の振舞 について多くの研究が行われており，解の漸近挙動や爆発レートなど,これま でに様々な成果が発表されている．（e.g．［1］，［2］，［3］，［4］，［5］，［6］，［7］,
＊本論文は,平成30年度早稲田大学特定課題研究助成（課題番号:2018K-420）によ る研究成果の一部である.
†e-mail: [email protected]
‡東京都練馬区上石神井3-31-1
［8］，［9］，［14］，［17］，［19］，［20］，［21］，［22］），しかしながら，解の最大 点の 内における振舞いについて考察している研究は多くない.
本論文では，解の最大点が の境界付近に近づくことがあるかどうか，と いう問題について考察を行う．具体的には，（1）の解 の境界付近における振 舞を考察することにより次の定理を証明したい.
Theorem １ とおく．また,
を次のようにとる.
そのとき，
をみたす と が存在する.
2 Theorem 1 の証明
を任意に固定し，次をみたす定数 と をとる.
このとき，次の定理を証明することができる.
Theorem 2任意の に対して，次をみたす が存在する.
ここで， は と に依存しない正定数.
Theorem 2 を証明するために，まず， が 級であることに注意して 次をみたす をとる:
（＊）
この は に独立にとれることに注意すると，次のLemmaを得る ことができる.
Lemma 3 とする．このとき，次をみ
たす， に依存しない定数 が存在する.
Figure1: と のグラフ.
Proof．まず，任意の に対して
（2）
をみたす をとることができることに注意する（Figure1）.
このとき, を
となるようにとれば， のとき,
をみたす．以上より，Lemma3が証明された．
Remark方程式（2）で の場合，すなわち
の場合，パラメータ を固定して考えると， は ， ， のみにしか依存し ない．このことから， のとき，Lemma 3 の は ， ， のみにしか 依存しないことがわかる．
Proof of Theorem 2．
かつ
（3）
とする．ここで， は（＊）で， はLemma 3 でそれぞれ得られた 定数．この場合，方程式（2）の解 および は ， ， ， ， のみにしか依存
しないようにとれることに注意すると， は ， ， には依存しないことがわ かる.
このとき， または とすると .
さらに， に注意すれば，最大値原理より
を 得 る こ と が で き る． よ っ て， 任 意 の と に 対 し て，
ならば
これにより，Theorem2が証明された．
Remark初期関数 が境界付近でリプシッツ連続の場合，すなわち
（4）
をみたす場合,
をみたすように をとることにより，Theorem 2 の証明内で と 考えることができるため，任意の に対して
をみたす が存在することを示すことができる．加えて，Lemma 3 の 証明後のRemarkで述べた点に注意すると，（3）内の は ， ， のみに 依存する正定数で，さらに,
となることがわかる．
Theorem2を用いてTheorem1を示すことができる.
Proof of Theorem 1．Theorem 2 の中で， と を となる
ようにとって固定すれば，次をみたす に依存しない をとること ができることがわかる.
このことから， となる をとることにより, を得ることができる．
Remark 初期関数 が境界付近でリプシッツ連続の場合，すなわち（4）をみ たす がとれる場合，Theorem 1 で与えられる と は， ， ， ，
のみにしか依存しない正定数となる．
参考文献
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