保型形式入門

(1)

保型形式入門 ¹

今野拓也 ²

2004

年

1

月

28

日

1九州大学数理科学研究院での

2002

年度「数論大意」、

2003

年度「数論基礎・演習」での講義ノート。訂正のご指摘、コメントなどありましたら下記までお知らせ下さい。

2九州大学大学院数理学研究院

E-mail : [email protected]

URL : http://knmac.math.kyushu-u.ac.jp/

^∼

tkonno/index-j.html

(2)

(3)

i

第 1 _{章楕円保型形式}

1.1 Poincar´ e 上半平面

群作用まずは群の作用について基本的なことを思い出そう。群

G

の集合

X

への作用

(action)

とは、写像

µ : G × X 3 (g, x) 7→ g.x ∈ X

であって、

(i) g.(h.x) = (gh).x, ∀ g, h ∈ G, x ∈ X;

(ii) 1.x = x, ∀ x ∈ X

を満たすものであった。（本当は位相群で説明しておいた方がよいが、ここでは簡単のために抽象群で考える。）

例

1.1.1. (1)

対称群

S

_nは

X = { 1, 2, . . . , n }

に

µ : S

_n

× X 3 (σ, i) 7−→ σ(i) ∈ X

で作用している。

(2)

群

G

は自分自身

X = G

に

µ : G × G 3 (g, x) 7−→ Ad(g)x := gxg

⁻¹

∈ G

で作用している。これを随伴作用

(adjoint action)

と呼ぶ。

(3) G

⁰

= SL(2, C )

は

X = C

²に

µ : G

⁰

× X 3 (g, v) 7−→ g.v ∈ X

で作用している。

各

x ∈ X

に対して、G.x

= µ(G, x) := { g.x ∈ X | g ∈ G } ⊂ X

をその

G

軌道

(G-orbit)

という。x,

y ∈ X

が同一の

G

軌道に属することを

x ∼

^G

y

と書けば、これは同値関係である。特に

X

は

G

軌道たちの直和に分解する。

X = a

i∈I

G.x

_i

(G

軌道分解

)

X

がただ一つの

G

軌道からなるとき、Gの作用

µ

は推移的

(transitive)

であるという。

またこのとき、Xは

G

等質空間

(G-homogeneous space)

であるという。x

∈ X

の固定化群

(fixator, stabilizer, isotropy subgroup)

を

G

_x

= Stab(x, G) := { g ∈ G | g.x = x }

(6)

と定めれば、これは

G

の部分群で全単射

u

_x

: G/G

_x

3 gG

_x

7−→

^∼

g.x ∈ X

がある。逆に

H ⊂ G

を部分群とするとき、X

= G/H

は

G

作用

µ : G × G/H 3 (g, xH ) 7−→ gxH ∈ G/H

に関して

G

等質空間になる。また「基点」x

∈ X

を

x

⁰

= h.x, (h ∈ G)

で置き換えると、

G

_x0

= { g ∈ G | gh.x = h.x } = Ad(h)G

_x であるから、

G/G

_x

−−−→

^u^x

X

Ad(h)

 

y ° ° ° G/G

_x0

u_x0

−−−→ X

は可換である。

最後に各

x ∈ X

に対して

G

_x

= { 1 }

のとき、Gの

X

への作用は単純

(simple)

または忠実

(faithful)

であるという。G等質空間

X

への

G

作用がさらに忠実なときには

G →

^∼

X(全

単射)だが、このとき

X

は

G

主等質空間

(principal G-homogeneous space, G-torsor)

であるという。

例

1.1.2.

例

1.1.1

の３つの作用を考える。

(1) S

nの

{ 1, 2, . . . , n }

への作用は明らかに推移的。各

i

の固定化群は

{ 1, . . . , n } \ { i }

の置換たちの群だから、Sn−1に同型である。

(2)

随伴作用についての

G

内の

G

軌道は共役類に他ならない。単位元はそれ一つだけで軌道をなすから、随伴作用が推移的になるのは

G

が単位群のときだけである。一方で定義から、G内の勝手な共役類

C

は

G

等質空間である。x

∈ C

に対して

G

_x は中心化群

(centralizer)G

_x

= Cent(x, G) := { g ∈ G | gx = xg }

に等しい。

(3) C

²内の

G

⁰

= SL(2, C )

軌道は

{ 0 }

と

Y := C

²

\ { 0 }

の二つ。

{ 0 }

への作用はもちろん自明だから、Y の方を考えよう。例えば、v_∞

:= (

¹₀

) ∈ Y

とすれば、

U = G

⁰_v_∞

=

(Ã 1 x 0 1

! ¯¯ ¯ ¯ ¯ x ∈ C )

だから、Y

' G

⁰

/U

である。具体的には

G

⁰

/U 3

Ã a b c d

!

U 7−→

Ã a c

!

∈ Y

である。さらに

T

⁰

=

(Ã a 0 0 a

⁻¹

! ¯¯ ¯ ¯ ¯ a ∈ C

^×

)

(7)

1.1. Poincar´ e

上半平面

3

は

v

_∞に定数倍で作用するから、B⁰

= T

⁰

U

を

G

⁰の上三角な元からなる部分群として、

G

⁰

/B

⁰

3 Ã a b c d

!

U 7−→

Ã a c

!

mod C

^×

∈ Y / C

^×

= P

¹

( C )

がわかる。複素射影直線

P

¹

( C )

を

Riemann

球面

S = C ∪ {∞}

と

P

¹

( C ) 3 Ã

x y

!

7−→ x y ∈ S

と同一視すれば、v_∞の像は

∞

である。

上半平面上の例

(3)

をさらに考えよう。v_∞の代わりに

v

_i

=

Ã i 1

!

= hv

_∞

∈ Y, h :=

Ã i − 1/2 1 − i/2

!

を基点に取ると、

V

⁻

:= G

⁰_v_i

= Ad(h)U =

(Ã 1 + x − xi

− xi 1 − x

! ¯¯ ¯ ¯ ¯ x ∈ C )

.

また、

L := Ad(h)T

⁰

=

(Ã

a+a⁻¹ 2

a−a⁻¹ 2

i

−a+a⁻¹

2

i

^a+a₂⁻¹

! ¯¯ ¯ ¯ ¯ a ∈ C

^×

)

として

Q := LV

⁻と書けば、

G

⁰

/Q 3

Ã a b c d

!

Q 7−→

^∼

Ã ai + b ci + d

!

∈ P

¹

( C ) (1.1)

が得られる。これらの部分群と

G

⁰

( R ) := SL(2, R )

との交わりを取れば、V⁻

∩ SL(2, R ) = { 1 }

および

L( R ) :=L ∩ SL(2, R ) = K

⁰_∞

:=

(

k(θ) =

Ã cos θ − sin θ sin θ cos θ

! ¯¯ ¯ ¯ ¯ 0 ≤ θ < 2π )

(= SO(2, R ))

がわかる。さらに

g = (

^{a b}_{c d}

) ∈ G

⁰

( R )

のとき、

g Ã

i 1

!

= ( − ci + d)

⁻¹

Ã

(ac + bd) + (ad − bc = 1)i c

²

+ d

²

!

である。かくして上半平面

{ z = x + yi ∈ C | y > 0 } ⊂ S

を

H

と書くとき、(実は解析同相の埋め込みの)図式

G

⁰

/Q −−−→

^∼

P

¹

( C ) = S

∪

x 



x 



^∪

G

⁰

( R )/K

⁰_∞

−−−→

^∼

H

(1.2)

が得られる

(上半平面の Borel

埋め込み

)。

(8)

コンパクト化複素解析で学んだように、

C = 1

√ 2

Ã 1 − i

− i 1

!

（による一次分数変換）は上半平面から開円盤

D = { z ∈ C | z z < ¯ 1 }

への解析同相を与える。Borel埋め込みの像の閉包

H ¯

はこれにより、

D ¯ = { z ∈ C | z z ¯ ≤ 1 }

に移されるからコンパクトである。

H ¯ = H ∪ ( R ∪ ∞ )

に注意せよ。

1.2 Riemann 面

保型形式は

H ¯

を

SL(2, R )

の離散部分群で割って得られる空間上の正則ないしは有理型の微分形式である。正則関数の概念を定義するためにその空間を

Riemann

面と見ることが必要である。

Riemann

面連結な

Hausdorff

位相空間

X

の

(

複素

)

座標近傍系

U = (U

_i

, z

_i

)

_i_∈_Iとは

•

開被覆

X = S

i∈I

U

_i

•

各

U

_iから

C

の開部分集合への同相写像

z

_i

: U

_i

→ C

であって、整合条件：「任意の

i, j ∈ I

に対して

z

_j

(U

_i

∩ U

_j

)

^z

−1

−→

j

U

_i

∩ U

_j

−→

^zⁱ

z

_i

(U

_i

∩ U

_j

)

が正則かつ至る所で微分が消えていない。」を満たしているものをいう。二つの座標近傍系

U , U

⁰が同値とは、それらの合併が再び座標近傍系であること、すなわち上の整合条件を満たすこととする。Xの座標近傍系の同値類を

X

上の複素構造

(complex structure)

と呼ぶ。Riemann面とは連結

Hausdorff

位相空間

X

とその上の複素構造の対のことであった。整合条件はどこでも同値な正則函数の概念が定義されることを保証している。もちろん局所的に

C

の開部分集合とその上の正則函数の層であるような環付き空間

(X, O

X

)

だと思ってもよい。いずれにせよ、空間だけでなくその上の函数のデータも備えている点が重要である。

問

1.1.

上で定義した複素座標近傍系の同値は同値関係であることを示せ。（推移律が問題だが、それは正則函数の合成が再び正則であることから従う。）

Riemann

面

X

上の函数

f : X → C

が正則とは、Xの座標近傍系

U = (U

_i

, z

_i

)

_i_∈_Iに対して、

z

_i

(U

_i

)

^z

−1

−→

i

U

_i

−→

^f

C , ∀ i ∈ I

が正則なこととする。同様に

Riemann

面の間の正則写像も定義できる。特に、Riemann 面の間の同相写像

f : X → Y

が双正則であるとき、これを

X

と

Y

の間の解析同型という。

(9)

1.2. Riemann

面

5

例

1.2.1. (1)

複素解析で学んだように、複素射影直線

P

¹

( C )

は

Riemann

面である。実はこれは２次元球面

S

のただ一つの複素構造の解析同型類である。

(2) ω ∈ C \ R

の時、X

= C /Λ(ω), Λ(ω) = Z + Z ω

は

Riemann

面である。後でみるように、

R

²

/ Z

²上の複素構造の解析同型類は

SL(2, Z ) \ H

と一対一に対応する。これは、任意の２次元位相多様体上の可微分構造が一意であること

[Mun60]

と好対照である。

U ⊂ C

を開部分集合とするとき、その上の任意の１次微分形式

ω

はある有理型函数

f : U → C

を使って

ω = f(z)dz

と書けていた。特に有理型函数

f

に対しては微分形式

df =

^df_dz

(z)dz

が定まる。X 上の微分形式

(differential form)

とは、ある座標近傍系

U = (U

_i

, z

_i

)

_i_∈_Iに対する

z

_i

(U

_i

)

上の微分形式

f

_i

(z)dz

たちの族であって、整合条件：

f

j

(z)dz = f

i

(z

i

◦ z

_j⁻¹

(z)) · d(z

i

◦ z

_j⁻¹

)(z), ∀ z ∈ z

j

(U

i

∩ U

j

)

が任意の

i, j ∈ I

に対して成り立つものである。

複素解析の復習コンパクト

Riemann

面上の複素解析は明快であった。その要点を思い出しておこう。Xをコンパクト

Riemann

面とする。

(i) X

上至る所で正則な函数は定数函数のみ。定数函数でない正則函数は開写像だからこれは明らかである。

(ii) X

上の微分形式

ω

の全ての極での留数の和は

0

である。実際、解析同相写像は等角写像だから座標近傍系を用いて

X

は向き付け可能なことがわかる。

X

の、辺が

ω

の極を通らず、各面がたかだか一つの

ω

の極を含むような有限三角形分割に、留数定理を適用すればよい。

(iii)

特に

df /f

を考えて、

X

上の有理型函数

f

の極の位数の和は零点の位数の和に等しい。

(iv)

上から、定数でない有理型函数

f : X → P

¹

( C )

に対して、n

∈ N

があって、任意の

z ∈ P

¹

( C )

に対して

f

⁻¹

(z)

は重複度込みで数えて

n

点からなる。nを

f

の被覆次数

(valence)

という。重複を無視して数えて

| f

⁻¹

(z) | < n

となる

f

⁻¹

(z) ⊂ X

の各点

x

を

f

の分岐点

(ramification point)

と呼び、xの

f

⁻¹

(z)

での重複度

e

_xをその分岐指数

(ramification index)

という。

Riemann

面の有理型函数体明らかに

Riemann

面

X

上の有理型函数とは

X

から

P

¹

( C )

への正則写像のことである。それらの全体のなす

C

ベクトル空間

K(X)

は体をなすことに注意する。上の

(i)

から

(v) P

¹

( C )

上の有理型函数は有理函数のみである。すなわち

K(P

¹

( C )) = C (z)

である。

ここで次の事実を引用する。証明についてはたとえば

[Gun62,

定理

12]

を見よ。

事実

1.2.2 (基本存在定理).

コンパクト

Riemann

面

X

の２点

x, y ∈ X

に対して、f

(x) 6 =

f(y)

となる

X

上の有理型函数

f

が存在する。

(10)

定理

1.2.3.

コンパクト

Riemann

面

X

上の有理型函数の全体

K(X)

は

C

上の１変数代数函数体（超越次数１の有限生成拡大体）である。

証明

.

定数でない

f ∈ K (X)

を取り、その被覆次数を

n

としよう。fの分岐点でない

x ∈ P

¹

( C )

の近傍

U

上では有理型な局所切断

ϕ

₁

, . . . , ϕ

_n

: U → X

で

f (ϕ

i

(z)) = z, ϕ

i

(z) 6 = ϕ

j

(z), 1 ≤ ∀ i 6 = j ≤ n, ∀ z ∈ U

をみたすものがある。また基本対称式

S

_k

(x

₁

, . . . , x

_n

) ∈ Z [x

₁

, . . . , x

_n

], (1 ≤ k ≤ n)

とは

Y

n

i=1

(T − x

_i

) = X

n

i=1

( − 1)

ⁱ

S

_i

(x

₁

, . . . , x

_n

)T

ⁿ⁻ⁱ で定まる多項式のことだった。

さて、勝手な

g ∈ K(X)

を取る。g(ϕi

(z))

たちはその限りではないが、それらと基本対称式との合成

s

_k

(z) := S

_k

(g ◦ ϕ

₁

(z)), . . . , g ◦ ϕ

_n

(z))

たちは

P

¹

( C )

上の定義可能な有理型函数、よって

(v)

から、有理函数

s

_k

(z) ∈ C (z)

を定める。ところが構成から、fの分岐点でない

x ∈ X

では

X

n i=1

( − 1)

ⁱ

s

_i

(f (x))g(x)

ⁿ⁻ⁱ

= Y

n

i=1

(g(x) − g(ϕ

_i

◦ f (x))) = 0

が成り立っている。これは

K(X)

内の等式であるから、

C (f, g)

は

C (f)

上高々n次の代数拡大である。[

C (f, g) : C (f )]

が最大となる

g

を取れば、K

(X) = C (f, g)

は容易に従う。

注意

1.2.4.

実は上の証明の最後で

g (ϕ

_i

(z)), (1 ≤ i ≤ n)

たちが全て異なっていることを使えば、n

= [K (X) : C (f )]

もわかる。

Riemann-Roch

の定理保型形式の定義には必要ないが、Riemann-Rochの定理を用意しておこう。これは与えられた極と零点を持つ有理型函数の次元に関する定理で、我々は後にこれを使って保型形式の次元を計算する。

コンパクト

Riemann

面

X

上の

(Weil)

因子

(Weil divisor) D

とは、Xの点たちの形式的な有限

Z

係数線型結合

D = X

r

i=1

n

_i

x

_i

, n

_i

∈ Z , x

_i

∈ X

のことだった。これらのなす自由アーベル群を

Div(X)

と書く。ni

≥ 0, (1 ≤ i ≤ r)

のとき、因子

D

は効果的

(effective)

であるという。f

∈ K (X)

^×の

z ∈ X

での（零点の）位数を

ord

_z

(f)

とするとき、

div : K(X)

^×

3 f 7−→ X

z∈X

ord

z

(f )z ∈ Div(X)

(11)

1.2. Riemann

面

7

は定義可能である。

div(K(X)

^×

)

の元を主因子

(principal divisor)

と呼び、

D, D

⁰

∈ Div(X)

が

D − D

⁰

∈ div(K (X)

^×

)

のときそれらは線型同値

(linearly equivalent)

であるという。因子の線型同値類たちの群

Cl(X) := Div(X)/div(K(X)

^×

)

を

X

の因子類群

(divisor class

group)

という。次数を取る写像

deg : Div(X) 3 X

r

i=1

n

_i

x

_i

7−→

X

r i=1

n

_i

∈ Z

は前段の

(ii)

から準同型

deg : Cl(X) → Z

を定める。

注意

1.2.5 (Cartier

因子). コンパクト

Riemann

面

X

上の正則函数の層を

O

X、有理型函数の層を

K

Xで表す。X上の因子の層を商層

D

X

:= K

_X^×

/O

_X^×と定義する。この

D

X の大域切断を

Cartier

因子と呼ぶ。コンパクト

Riemann

面ではこの概念は

Weil

因子に同値である。

Cartier

因子の群を

Γ(X, D

X

)

と書く。前段の

(i)

から

O

_X^×の大域切断の群は

C

^×であり、K_X^×のそれは

K(X)

^×に他ならない。よって

0 −→ O

_X^×

−→ K

_X^×

−→ D

X

−→ 0

は長完全列

0 −→ C

^×

−→ K(X)

^×

−→

^div

Γ(X, D

X

)

−→ H

¹

(X, O

_X^×

) −→ H

¹

(X, K

_X^×

) −→ H

¹

(X, D

X

) = 0

を与える。ただし、DXの切断は離散群

Z

に値を持つため、H^q

(X, D

X

) = 0, q ≥ 1

となることを使った。また事実

1.2.2

は

H

¹

(X, K

_X^×

) = 0

に同値だから、結局

Cl(X) ' Γ(X, D

X

)/div(K(X)

^×

) ' H

¹

(X, O

_X^×

)

がわかる。最後の群は

X

上の線束の同型類の群である。

X

上の微分形式

ω

の

x ∈ X

での位数を、その座標近傍

(U, z)

での記述

f (z)dz

を使って、

ord

_x

(ω) := ord

_z(x)

(f )

と定める。これは座標近傍系の整合条件から

(U, z)

の取り方によらない。X上の微分形式の全体は

K(X)

上の１次元ベクトル空間だから、

K = div(ω) := X

x∈X

ord

_x

(ω)x

の線型同値類は

ω

の取り方によらない。これを

X

の標準類

(canonical class)

という。

D ∈ Div(X)

に対して、

L(D) := { f ∈ K(X) | div(f) + D

は効果的

} ∪ { 0 }

とおく。deg

D ≥ 0

でなければこれは

{ 0 }

で、前段の

(i)

から一般に有限次元

C

ベクトル空間である。`(D) := dim_C

L(D)

は明らかに

D

の線型同値類のみによる。

(12)

注意

1.2.6. D ∈ Div(X)

に対して、注意

1.2.5

の同型による

div(D)

の像を

L

D

∈ H

¹

(X, O

_X^×

)

と書けば、L(D)は

Γ(X, L

D

), `(D)

はその次元に他ならない。

定理

1.2.7 (Riemann-Roch

の定理

). X

の種数

(genus)

と呼ばれる

X

のみによる

g ∈ Z

≥0

があって、任意の

D ∈ Div(X)

に対して

`(D) = deg(D) + 1 − g + `(K − D)

が成り立つ。

証明は例えば、[Gun62,

§ 7]

を参照。Xの種数

g

は位相幾何で出てくる種数、すなわち

X

が

g

人乗りの浮き輪であることを表す数である。(幾何学

A

で習った知識で確かめられる。)

H

0

(X, Z ) = Z , H

1

(X, Z ) ' Z

^2g

, H

2

(X, Z ) = Z

ちなみに

genus

の複数形は

genera

である。以下ここではこの定理について基本的な考察

をしておく。

系

1.2.8. deg(K ) = 2g − 2, `(K) = g.

証明. 定理で

D = 0

とすれば、

1 = 0 + 1 − g + `(K )

となって

`(K ) = g

がわかる。次に

D = K

として、

g = deg(K) + 1 − g + 1

から

deg(K) = 2g − 2

を得る。

一般に

`(K − D)

を計算するのは難しいが、L(D)の定義の後のコメントから

deg(D) >

2g − 2

の場合にはこれが

0

となって問題はない。

系

1.2.9. deg(D) > 2g − 2

のとき、

`(D) = deg(D) + 1 − g.

系

1.2.10 (Riemann-Hurwitz

の公式).

f : X → Y

をコンパクト

Riemann

面の

n

次被覆（定数でない整型写像で被覆次数が

n

のもの）とする。Ξ

⊂ X

を

f

の分岐点の集合とするとき、

χ(X) = nχ(Y ) + X

x∈Ξ

(1 − e

x

).

ここで

χ(X) = 2 − 2g(X) = P

2

i=0

( − 1)

ⁱ

dim H

_i

(X, Q )

は

X

の

Euler

標数である。

(13)

1.3. Riemann

面

Γ \ H

^∗

9

証明

. Y

上の微分形式

ω

で

f(Ξ)

で極も零点も持たないものを取り、引き戻し

f

^∗

ω

を考える。x

∈ Ξ

の座標近傍

(U, z)

で

z(x) = 0

なるものを取れば、そこで

f (z

⁻¹

(t)) = t

^e^x

f

₁

(t), f

₁

(0) 6 = 0.

f(U ) ⊂ Y

に含まれる

f (x)

の座標近傍

(V, w)

上で、ω

= g(w)dw

と書ける。このとき、

f

⁻¹

(V ) ∩ U

上で

f

^∗

ω(z

⁻¹

(t)) = g(f(z

⁻¹

(t)))df(z

⁻¹

(t)) = g (f (z

⁻¹

(t)))e

_x

t

^e^x⁻¹

(f

₁

(t) − e

⁻_x¹

tf

₁⁰

(t))

ゆえ、ordx

(f

^∗

ω) = e

_x

− 1

である。従って

deg(f

^∗

ω) = n deg(ω) + X

x∈Ξ

(e

_x

− 1) = n(2g(Y ) − 2) + X

x∈Ξ

(e

_x

− 1)

を得る。これに定理

1.2.7

を適用すれば

g(X) = `(f

^∗

ω) = n(2g (Y ) − 2) + X

x∈Ξ

(e

_x

− 1) + 1 − g(X) + 1

となって主張が従う。

1.3 Riemann 面 Γ \ H ^∗

1.3.1

位相空間としての

Γ \ H

まず離散群の作用について復習しよう。抽象群

Γ

の位相空間

X

への作用が不連続

(discontinuous)

とは、Γ内の相異なる元たちからなる任意の無限列

{ γ

_n

}

ⁿ∈Nと

x ∈ X

に対して

{ γ

_n

.x }

n∈Nが集積しないことだった。さらにそのような作用が完全不連続

(properly discontinuous)

とは、任意の

x, y ∈ X

の近傍

U , V

で

] { γ ∈ Γ | γ.U ∩ V 6 = ∅}

が有限であるものが存在することであった。

§ 1.1

の状況

H →

^∼

G

⁰

( R )/K

⁰_∞を思い出そう。G⁰

( R )

は

M

²

( R ) ' R

⁴の部分集合としての位相を持ち、それについて局所コンパクト

(Hausdorff)

位相群になる。部分群

Γ ⊂ G

⁰

( R )

でこの位相に関して離散位相空間になるものを

G

⁰

( R )

の離散部分群

(discrete subgroup)

という。Γ

⊂ G

⁰

( R )

を離散部分群とし、p

: H ³ Γ \ H

を自然な射影とする。U

⊂ Γ \ H

で

p

⁻¹

(U ) ⊂ H

が開部分集合であるものを

Γ \ H

の開部分集合とすることにより、Γ

\ H

に位相を定める。

補題

1.3.1. Γ ∈ G

⁰

( R )

について次の条件は同値。

(i) Γ

は離散部分群。

(ii) Γ

は

H

に完全不連続に作用する。

(iii) H

の任意のコンパクト部分集合

C, C

⁰に対して、

{ γ ∈ Γ | γ.C ∩ C

⁰

6 = ∅}

は有限集合。

(14)

証明.

(i) ⇒ (iii)

連続射影

G

⁰

( R ) ³ G

⁰

( R )/K

⁰_∞

→

^∼

H

を

π

と書けば、π⁻¹

(C), π

⁻¹

(C

⁰

) ⊂ G

⁰

( R )

はコンパクトである。γ

∈ Γ

が

γ.C ∩ C

⁰

6 = ∅

を満たせば、γπ⁻¹

(C) ∩ π

⁻¹

(C

⁰

) 6 = ∅

だから

γ ∈ π

⁻¹

(C

⁰

)π

⁻¹

(C)

⁻¹

∩ Γ

である。この最後の部分集合はコンパクトかつ離散的だから有限集合。

(iii) ⇒ (ii)

は自明。

(ii) ⇒ (iii)

コンパクト部分集合

C, C

⁰

⊂ H

を

z ∈ C, w ∈ C

⁰に対する

(ii)

の近傍たちで

被覆せよ

(下の問)。

(iii) ⇒ (i) V ⊂ G

⁰

( R )

を

1

の相対コンパクト近傍とする。

z ∈ H

に対して、

{ z } , ¯ V .z ⊂ H

はともにコンパクトだから、(iii)から

Γ ∩ V ⊂ { γ ∈ Γ | γ.z ∈ V .z ¯ }

は有限集合である。つまり、1は

Γ

内で孤立しているから

Γ

は離散的。

問

1.2.

上の

(ii) ⇒ (iii)

を証明せよ。

系

1.3.2. Γ ⊂ G

⁰

( R )

が離散部分群だとする。

(i) z ∈ H

の近傍

U

で次を満たすものがある。「γ.U

∩ U 6 = ∅

ならば、γ

∈ Γ

_z。」

(ii) Γ \ H

は

Hausdorff

位相空間。

証明

. (i) z ∈ H

の相対コンパクト近傍

V

を取れば、補題

1.3.1 (iii)

から

γ.V ∩ V 6 = ∅

となる

γ ∈ Γ

の集合

Ξ

は有限である。明らかに

Ξ · Γ

_z

= Ξ

だから、有限剰余類分解

Ξ = a

r i=0

γ

_i

Γ

_z

, γ

₀

= 1

を得る。1

≤ i ≤ r

に対しては

z 6 = γ

_i

.z

だから

(H

が

Hausdorff

なことから)近傍

U

_i

3 z, V

_i

3 γ

_i

.z

で

U

_i

∩ V

_i

= ∅

なるものがある。そこで

U := V ∩

\

r i=1

U

_i

∩ γ

_i⁻¹

.V

_i とおけば、これは

z

の近傍で系の主張を満たす。

(ii)

同一の

Γ

軌道に属さない

z, z

⁰

∈ H

を取る。C,

C

⁰をおのおの

z, z

⁰の相対コンパクト近傍とすれば、補題

1.3.1 (iii)

から有限部分集合

{ γ

_i

}

¹≤i≤r

⊂ Γ

で

γ. C ¯ ∩ C ¯

⁰

= ∅ , ∀ γ ∈ Γ \ { γ

i

}

¹≤i≤r

となるものがある。γiたちに対しても

γ

_i

.z 6 = z

⁰だから、γi

.z

と

z

⁰おのおのの近傍

U

_i

, V

_i で、Ui

∩ V

i

6 = ∅

となるものが取れる。そこで

U := C ∩

\

r i=1

γ

_i⁻¹

.U

i

, V := C

⁰

∩

\

r i=1

V

i

とおけば、これらはそれぞれ

z, z

⁰の近傍で

γ.U ∩ γ

⁰

.V = ∅ , ∀ γ, γ

⁰

∈ Γ

を満たす。よって

p(z) 6 = p(z

⁰

) ∈ Γ \ H

の近傍

p(U ), p(V )

で、p(U

) ∩ p(V ) = ∅

を満たすものが得られた。

(15)

1.3. Riemann

面

Γ \ H

^∗

11 1.3.2 Γ \ H

上の複素構造

Γ \ H

に

Riemann

面の構造、すなわち複素構造を入れよう。我々の出発点は次の補題で

ある。G⁰

( R )

の中心

Z

G⁰

( R ) = {± 1 1 1

2

}

は

H

に自明に作用している。そこで

G

⁰

( R )

の代わりに

G

⁰

( R )

_ad

:= G

⁰

( R )/Z

_G0

( R )

の

H

への作用を考えることができる。特に離散部分群

Γ

を必要なら

Z

_G0

( R )Γ

で置き換えて、ZG⁰

( R ) ⊂ Γ

であるとしてよい。部分集合

S ⊂ G

⁰

( R )

の射影

G

⁰

( R ) 3 g 7→ gZ

G⁰

( R ) ∈ G

⁰

( R )

adによる像を

S

adと書く。

補題

1.3.3. Γ ⊂ G

⁰

( R )

を離散部分群とする。Γadの

H

への作用が忠実ならば、Γ

\ H

はただ一つの複素構造を持つ。

証明

. x ∈ Γ \ H

を取る。系

1.3.2 (i)

から

z ∈ p

⁻¹

(x)

の近傍

U

で、

γ.U ∩ U = ∅ , ( ∀ γ 6 = ± 1 1 1

₂

,

∈ Γ)

なるものがある。p

|

^U

: U → p(U )

は同相であることに注意して、xの座標近傍を

(U

x

, ϕ

x

) := (p(U ), p

⁻¹

: p(U ) →

^∼

U ⊂ C )

と定める。(Ux

, ϕ

_x

)

_x_∈_Γ_\_Hが定義可能な座標近傍系を定めることは明らかである。

複素構造は局所的なものであるから、この構成は

Γ

_adが

H

に忠実に作用していない場合でも、

Γ

_z

= {± 1 1 1

₂

}

となる

x = p(z)

の近傍には適用可能である。それ以外の

x ∈ Γ \ H

を扱うために、z

∈ H

の固定化群

Γ

zを考察しよう。

G

⁰

( R )

内の共役類と１次分数変換の分類高校で学んだように

G

⁰

( R )

内の共役類には次の３タイプがあった。

楕円共役類

g ∈ G

⁰

( R )

の特性多項式が実根を持たないとき、gの共役類は楕円的

(elliptic)

であるという。楕円共役類たちの代表系は

k(θ) =

Ã cos θ − sin θ sin θ cos θ

!

, 0 < θ < π

または

π < θ < 2π

で与えられる。k(θ)は

± i

を固定する。同様に楕円的な

g

の１次分数変換は上半平面

H

と下半平面

H

⁻に一つずつ固定点を持つ。

双曲共役類

g ∈ G

⁰

( R )

の特性多項式が異なる２実根を持つとき、その共役類は双曲的

(hyperbolic)

であるという。双曲共役類たちの代表系は

Ã a 0 0 a

⁻¹

!

, a ∈ R

^×

, | a | > 1

で与えられる。(^a₀_a−⁰1

)

は

0, ∞

を固定する。同様に双曲的な

g

の１次分数変換は

R ∪ {∞}

に２つの固定点を持つ。

(16)

放物型共役類

g ∈ G

⁰

( R )

の特性多項式が重根を持つとき、その共役類は放物型

(parabolic)

であるという。放物型共役類の代表系は

± 1 1 1

₂

, ±

Ã 1 ± 1

0 1

!

で与えられる。

± (

¹_{0 1}^±¹

)

は

∞

のみを固定する。同様に

Z

G⁰

( R )

に属さない放物型の元

g

は

R ∪ {∞}

にただ１つの固定点を持つ。

固定点での複素構造

Γ

_z

= {± 1 1 1

₂

}

である

z ∈ H

を（用語を転用して）Γの固定点と呼ぶ。

Γ

の固定点

z ∈ H

に対して、z

= g.i

となる

g ∈ G

⁰

( R )

を取れば

G

⁰

( R )

_z

= Ad(g)G

⁰

( R )

_i

= Ad(g)K

⁰_∞

であるから、Γz

= Γ ∩ Ad(g)K

⁰_∞は楕円的な元からなる偶数次巡回群。その位数を

2`

と書こう。

Ad(g

⁻¹

)Γ

_z

= { k(mπ/`) | 0 ≤ m ≤ 2` − 1 } .

δ := Ad(g)k(π/`) ∈ Γ

_zを取れば、δの固定点は

z

と

z ¯

で、定数倍を除いて

δ

^m

Ã − z z ¯

− 1 1

!

=gk(mπ/`)g

⁻¹

· g

Ã i i

− 1 1

!

=g

Ã i i

− 1 1

! Ã ζ

_2`^m

0 0 ζ

_2`⁻^m

!

=

Ã − z z ¯

− 1 1

! Ã ζ

_2`^m

0 0 ζ

_2`⁻^m

!

である。ただし、ζ2`

:= e

^πi/`と書いている。よって定数倍を除いて

Ã 1 − z

1 − z ¯

! δ

^m

=

Ã ζ

_2`^m

0 0 ζ

_2`⁻^m

! Ã 1 − z 1 − z ¯

!

だから、これを

w ∈ H

に作用させて

δ

^m

.w − z

δ

^m

.w − z ¯ = e

^2mπi/`

w − z

w − z ¯ , m ∈ Z , w ∈ H (1.3)

を得る。そこで、系

1.3.2 (i)

により

γ.U

_z

∩ U

_z

= ∅ , ( ∀ γ ∈ Γ \ Γ

_z

)

となる

U

_zを取って、

x = p(z)

の座標近傍を

¡ U

_x

:= p(U

_z

), ϕ

_x

: U

_x

3 p(w) 7→

µ w − z w − z ¯

¶

`

∈ C ¢

と定める。

(17)

1.3. Riemann

面

Γ \ H

^∗

13 1.3.3 Γ \ H

^∗上の複素構造

岩澤分解と不変測度

1.1

節で得た全単射

G

⁰

( R )/K

⁰_∞

3 gK

⁰_∞

7−→

^∼

g.i ∈ H (1.4)

を思い出す。これは

B

⁰

( R )

₊

:=

(Ã a b 0 a

⁻¹

! ¯¯ ¯ ¯ ¯

a ∈ R

^×+

b ∈ R )

= U ( R )T

⁰

( R )

₊

⊂ B

⁰

( R ) T

⁰

( R )

₊

:=

(Ã a 0 0 a

⁻¹

! ¯¯ ¯ ¯ ¯ a ∈ R

^×+

)

からの全単射

B

⁰

( R )

₊

3 Ã y

^1/2

xy

⁻^1/2

0 y

⁻^1/2

!

7−→ x + yi ∈ H

で与えられることに注意すれば、岩澤分解

G

⁰

( R ) = B

⁰

( R )

₊

K

⁰_∞

= U ( R )T

⁰

( R )

₊

K

⁰_∞

(1.5)

および、(1.4)が実は解析同相であることがわかる。

G

⁰

( R )

は局所コンパクト位相群だから

R

^×+倍を除いてただ一つの左不変測度を持つ。岩澤分解を使って

g = Ã 1 b

0 1

! Ã a 0 0 a

⁻¹

!

k(θ), b ∈ R , a ∈ R

^×

, 0 ≤ θ < 2π

と書けば、

dµ

_G0(R)

(g) = 2a

⁻²

db da

^×

dθ 2π

がその不変測度である。ただし、

db

は

R

上の

Lebesgue

測度、da^×

= da/a

は

R

^×上の不変測度、dθ/2πは

K

⁰_∞の測度が

1

となる

K

⁰_∞上の測度である。これと

K

⁰_∞上の測度

dθ/2π

から商空間

H = G

⁰

( R )/K

⁰_∞上の

G

⁰

( R )

不変測度

dµ

_H

(x + yi) = 2y

⁻¹

dx d(y

^1/2

)

^×

= dx dy

y

²

(1.6)

が得られる。

歴史的に

G

⁰

( R ) = SL(2, R )

の離散部分群を

Fuchs

群という。Fuchs群

Γ ⊂ G

⁰

( R )

には各点の測度を

1

とする測度を入れるものとする。商空間

Γ \ G

⁰

( R )

にも

Z

G⁰(R)

f(g) dµ

_G0

(g) = Z

Γ\G⁰(R)

X

γ∈Γ

f(γx) dµ

_Γ_\_G0(R)

(x), ∀ f ∈ C

_c

(G

⁰

( R ))

なる右

G

⁰

( R )

不変測度

µ

_Γ_\_G0(R)が定まる。これに関する全測度

µ

_Γ_\_G0(R)

(Γ \ G

⁰

( R ))

が有限のとき、Γは第

1

種

Fuchs

群

(Fuchsian group of the first kind)

と呼ばれる。

保型形式入門