F の代数閉包 F￣ を決定し、F 上のガロア群を Gal( ￣F /F) = lim←−E Gal(E/F) として定義します (E/F は F ￣ に含まれる有限次数のガロア展開です) 「実行」と書くと、 Π(F×)∋ω←→ω◦recF ∈Homcont(WF,C×) (LLC) (Weil-Langlands による類体理論の拡張) が得られます。連続準同型のグループ。
Hecke-Jacquet-Langlands 理論
この定理のスペクトル分解で現れる G(A) の既約ユニタリー表現、つまり Rω の既約部分商を G(A) の保型表現と呼びます。通常の表現理論とは異なり、保型表現は、F が非アルキメデスの場合、L (s, π×χ) の同型写像としてではなく、L2(G(F)\G(A)) ω の部分係数として実現を参照することに注意してください。定数項 1 を持つ多項式 q−s の逆数。ここで、ψE :=ψ ◦TrE/F、および λ(E/F, ψ) は λ ラングランズ因子です。 Tame でない場合は省略されますが、L 因子は一目瞭然で、ε 因子はガウス和の積として記述できます。
大域理論 F が大域体である状況に戻ると、A/F の自明でないインデックス ψ は、π の v における Hecke 行列と呼ばれます。さらに、χv が非分岐インデックスである場合、 |
遠い。 πv、χv、ψv がすべて非分岐である非アルキメデス素点 v の場合、ε(s, πv×χv, ψv) = 1 となるため、後者は有限積ですが、前者は実オイラー積になります。この場合、以下が適用されます。
Langlands 函手性としてのベースチェンジ
F がアルキメデスでない場合、LF を WF 自体とします。上記のように、F がアルキメデスの場合、LF をそれ自体とします。既約許容表現 G(F) の同型クラスと、π ↔ϕπ π で因数 L,ε を保存する 2 次元 ΦF 半単純表現 LF の同型クラスとの間には、対応関係が 1 つだけあり、それを以下の表に示します。ただし、ω∈Π(F×)です。基本変化 E/F が有限次数局所展開の場合、WE ⊂WF となります。したがって、WF の表現を WE に制限する定理 3.1 に対応する演算を考えることができます。
これは、GL(2) のローカル ベース シフト リフトです。 E/F がガロア展開の場合、定理 3.1 と L,ε 因子の定義から (引き継がれます)。これは関数方程式を単純化しますが、後で見るように、拡大体がヴェイユ群に制限されている場合、E/F を代数体の拡大とし、アデル環を で表すと動作が複雑になります。 AEのE。
ご覧のとおり、基本的な変更の定義はローカルです。言い換えれば、それは必ずしも保型表現である必要はなく、任意の既約表現 π です。
Langlands の結果
E/F が 2 次拡張でない場合、明らかに拡張可能ではありません。一方で、Artin の予想を含む 3 次以降の展開の基礎が変更されれば、多くの応用が生まれることは明らかでした。したがって、ラングランズは、G(F)\G(A) のトレース公式と G(E)\G(AE) のねじれたトレース公式を比較することによって、斉藤 [Sai75] と新谷 [Shi79] のアイデアを拡張しました。問題 3.5 は、E/F が素数次数巡回展開 [Lan80] の場合に完全に解決されます。結果は以下の通りです。定理 3.1 を使用して定義されたローカル基底変更が再構成されるのはなぜですか?実際、1980 年には、例 3.2 の表にない、非アルキメデスの局所体 F の G(F) の「特別な」表現との局所的なラングランズ対応は、タイプと呼ばれていました。
それが、L 関数またはヒルベルトモジュラー多様体を使用して得られたグローバル ラングランズ対応と一致するという保証はありませんでした13。定理 3.1 のような純粋な組み合わせ対応が L 関数と一致していることを保証するには、1980 年代後半の Carayol の研究を待つ必要がありました [Car86] 2) (Clozel、[AC89]) 基本的な変更は、次の L によって特徴付けられます。 -関数方程式 13π∈Π(G(F)) と ρ:WF →GL(2,C) が対応すると、 ε(s, π×χ, ψ) =ε(s, ρ⊗χ. , ψ) となります。しかし、Artin 予想が未解決だった当時 (そして現在でも)、この ε 因子がグローバル L 関数の関数方程式に現れるという保証はありませんでした。この問題はしばしば誤解されますが、これはおそらくヴェイユが ε 因子についてあまり言及していないためです (例: [Wei95]、[Wei71])。
1) 定理 3.8 を繰り返し使用すると、あらゆる循環拡張、さらにはゼロ幅拡張 E/F に対してもベース変更リフトの存在を証明できます。
証明について
トレース公式への導入として、まず G=GL(2) の代わりに F 上の 4 進イタリック D の乗法群 G=Dx を考えてみましょう。この場合、D×A×\D×A はコンパクトであるため、Rξ(f) は、トレースが K(x, y) の対角サブセットにわたる積分であるトレース ファミリ演算子です。は Gγ (A) これは上記の測定 dt には依存しないことに注意してください。 )m(π) は、L2(G(F)\G(A))ξ における π の多重度を表します。トレース公式の保型形式の数論への応用について。次に、G=GL(2)の場合を考えてみましょう。今回は G(F)ZE\G(A) がコンパクトではないため、Rξ(f) はトレース ファミリではなく、G(F)ZE\G(A) に対する K(x, x) の積分は、収束する。トレース式の構築は非常に難しいですが、Jacquet-Langlands [JL70]、Duflo-Labesse [DL71]。
要件 (ii) は、両側から追跡式 (ポアソン和式) の寄与を差し引くことで満たされます。この状況で上記の追跡式の構造を使用すると、ねじれた追跡式が得られます。 S[z1, z2] は対称リング (z1, z2) です。さらに、E/F が非分岐拡張であると仮定すると、Hecke 演算子間の基底変化の準同型性を表現できます。
基底変更の証明 E/F が代数体の ℓ 次の巡回拡張である場合に戻ると、G(A) の不変追跡公式 (Iell(f)) – (ITsp(f)) を使用できます。 G(AE) の曲がりくねった式 トレース公式 (Iσ,ell(f))-(IT,σsp (f) を考えてみましょう。 この時点で、最初に ϕ のいくつかの局所成分に強い制約を課しましょう。トレース式の右側では、Idisc(f)、Idisc,σ(ϕ) の最初の項を除くすべてが消えます。分割積を、特定の非アルキメデスの生の点 v0 における成分の方程式として見てみましょう。
