高校数学における平均と中心極限定理について

(1)

高校数学における平均と中心極限定理について

中央大学名誉教授、統計科学研究所

杉山高一

大阪府立大学生命環境科学域数理科学課程

兵頭昌

(2)

１．平均の説明と平均は何故重要か２．正規分布と標本平均の分布

３．正規分布の易しい導入４．平均の信頼幅

５．母集団分布が二項分布の場合

要約：母比率 pの近似信頼区間の導出を概説することに重点を置いている. 高校教育における区間推定において、

中心極限定理がその導出法にどのように応用されているかを具体的に示す.

(3)

1.

平均の説明と平均はなぜ重要か

(4)

推測統計の考え

(5)

統計量と標本分布について

(6)

標本平均について

(7)

標本平均について

(8)

2. 正規分布と標本平均の分布

(9)

標本平均の分布

(10)

標本平均による母平均の推定

(11)

標本平均の分布

(12)

標本平均のヒストグラム

(13)

標本平均のヒストグラム

(14)

標本平均のヒストグラム

(15)

標本平均の分布

(16)

標本の大きさと標本平均の分布

(17)

標本平均の分布

(18)

一様分布

(19)

放物線の形状をした分布

(20)

清水先生の導出した分布

(21)

歪んだ分布

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３ . 正規分布のやさしい導入

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正規分布

(24)

正規分布

(25)

標準偏差・分散

(26)

分散

(27)

正規分布の性質

(28)

正規分布の曲線下の面積

(29)

正規分布の曲線下の面積

(30)

正規分布曲線下の面積

(31)

離散型・連続型確率変数

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標準正規分布

(33)

標準正規分布への変換

(34)

例

(35)

標準正規分布の確率

(36)

例

(37)

標準正規分布の確率

(38)

標準正規分布の確率

(39)

正規分布の確率

The use of confidence or fiducial limits

illustrated in the case of the binomial.

The use of confidence or fiducial limits

illustrated in the case of the binomial.

(40)

例：正規分布の確率

(41)

４．平均の信頼幅

(42)

推定

(43)

平均の区間推定

(44)

平均の区間推定

(45)

例

(46)

標本の大きさと区間幅

(47)

区間推定

(48)

区間推定に関するシミュレーション

(49)

分散が未知の場合

(50)

分散が未知の場合の区間推定

(51)

t

分布

(52)

t

分布の自由度

(53)

例

(54)

例

(55)

例

(56)

５ . 母集団分布がベルヌーイ分布の場合

(57)

ベルヌーイ分布

(58)

標本平均の分布

(59)

標本平均の分布

(60)

60

例（n が大きいとき、なぜ近似が必要か？）

(61)

実は、n が大きい場合、二項分布と正規分布は関係がある

(62)

ZとN(0,1)の関係について考えよう

(63)

数値例（赤と青は似ているか？？）

(64)

(65)

(66)

(67)

n が大きい場合、二項分布≒正規分布

(68)

中心極限定理（母集団分布が

2

項分布）

(69)

分散の推定量

(70)

分散の推定量の一致性

(71)

スラツキーの定理

(72)

連続写像定理

(73)

実用化された標本平均の漸近分布

(74)

実用化された標本平均の漸近分布

(75)

比率の近似信頼区間

(76)

比率の近似信頼区間

(77)

中心極限定理の一般化について

・

母集団分布の同一性の仮定を緩めた結果

リャプノフ型中心極限定理

リンドバーグ＝レヴィの中心極限定理

・

確率変数列は独立で, それらの母集団分布は同一で平均と分散が存在を仮定

・

確率変数列の独立性を緩めた結果

マルチンゲール中心極限定理

(78)

中心極限定理【リャプノフ型】

以下の定理は, 中心極限定理の一般化である. 母集団分布の同一性の仮定を緩めている.

(79)

第

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高校数学における平均と 中心極限定理について