「２０１４年度前期幾何学３・幾何学概論３」レポート問題（訂正版） 1
２０１４年度前期前期幾何学３・幾何学概論３レポート問題
★ 解答方法
Problem 1, 2, 3 の３問および, Problem 4 から Problem 8 から１問を選択し, 合 計４問を解答しなさい.
また, この講義に関する意見・感想・文句・批判・その他を電子メールに記入し て送付しなさい. （この部分は, レポート採点および成績には一切関係しない）.
★ 提出方法と締切
２０１４年８月１日（金）１７時までに到着するように [email protected]
宛に電子メールで提出すること. 電子メールでの注意事項は以下の通り.
1. レポートの解答は PDFファイルとして添付すること. （他のファイル形式 では受理しない.）
2. PDF ファイルの様式は,用紙サイズはＡ４, 閲覧および印刷可能であること.
（普通に PDF ファイルを作成すればよい）
3. PDF ファイルは問題ごとに別のファイルとし, 各PDF ファイルの先頭ペー
ジには, 学年・学生番号・氏名・問題番号を明記すること.
4. レポートを提出する電子メールには,レポート提出であることが容易にわか
る Subject をつけること
★ 採点と評価の方法
Problem 1, 2, 3 を 5 点満点, 選択問題は 10 点満点で採点する（25 点満点）. 合
計 15点以上を可, 合計17.5点以上を良,合計 20点以上を優とする.
1. Problem 1, 2, 4 は, 一般次元で解答するのが難しければ,n = 2 の場合だけ
でも構わない. ただし, 満点は 3/4 倍とする.
2. 選択問題が難しければ, Problem 9 を解答しても構わない. ただし, 満点は, 問題に応じて 1点以上 10点以下とする.
[email protected] 2014/07/22
「２０１４年度前期幾何学３・幾何学概論３」レポート問題（訂正版） 2
★ 問題
以下では Sn は Rn+1 の単位球面, Hn は n 次元双曲空間とする. また, 必要に応 じて, 他の問題の結果を証明なしに利用してよい.
Problem 1. Sn の測地線を求めなさい.
Problem 2. Hn の上半空間モデルで,クリストッフェルシンボル・断面曲率・Ricci テンソル・スカラー曲率を求めなさい. また, Hn の上半空間モデルの測地線を求 めなさい.
Problem 3. u∈C0∞([0, π]) に対する汎関数
E(u) = Rπ
0 |u′(x)|2dx Rπ
0 |u(x)|2dx, u6≡0, u∈C0∞([0, π])
の Euler-Lagrange方程式を求め,その解を求めなさい.
Problem 4. Hn, および, そのポアンカレディスクモデル, 上半平面モデルは, 互 いに等長であることを示しなさい. さらに,ポアンカレディスクモデルでの測地線 を求めなさい.
Problem 5. リーマン多様体 (M, g) 上のLevi-Civita 接続が一意的に存在するこ とを示しなさい.
Problem 6. Sn, Hn の直径を求めなさい.
Problem 7. リーマン多様体の計量を定数倍したとき,断面曲率,リッチ曲率,スカ ラー曲率,ラプラシアンの固有関数および固有値は,もとの多様体のそれらとどのよ うな関係にあるかを示しなさい. なお,リーマン多様体(M, g)の計量をk倍した計 量hとは,M 上の計量であって,任意のX ∈ X(M)に対して,h(X, X) =kg(X, X) をみたす計量のことである.
Problem 8. Rn+1 上の座標関数xi (i= 1, . . . , n+ 1) を Sn に制限した関数を φi
とおく. このとき, φi は Sn の固有関数であることを示しなさい. また, それらの 固有値を求め, hφi, φjig = 0 (i6=j) が成り立つことを示しなさい.
Problem 9. 講義内容に関連した問題を,各自で設定して, それに解答しなさい.
（以上）
[email protected] 2014/07/22
