フーリエ変換
講義内容
１次元フーリエ変換
ベクトル・関数の直交性 フーリエ級数
１次元フーリエ変換
代表的なフーリエ変換対 フーリエ変換の諸性質
コンボリューション（たたみこみ積分）
サンプリング定理
１次元離散フーリエ変換
２次元フーリエ変換 空間周波数の概念 ２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対 ２次元離散フーリエ変換
フーリエ変換
講義内容
１次元フーリエ変換
ベクトル・関数の直交性 フーリエ級数
１次元フーリエ変換
代表的なフーリエ変換対 フーリエ変換の諸性質
コンボリューション（たたみこみ積分）
サンプリング定理
１次元離散フーリエ変換
２次元フーリエ変換 空間周波数の概念 ２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対 ２次元離散フーリエ変換
ベクトルの直交性
[ ] [ ]
[ ]
と書ける．
の内積は と
は転置を意味する．
とする．ここで まず，２次元の場合．
2 2 1
1 2
1 2 1
2 1
2 1
) , ( ) (
,
b a b b a
a b a
b b a
a
t t
t t
+
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
=
⋅
=
=
b a b
a
b a b
a
( )
と同値である．
が直交であるとは，
と
0 ,b = atb = a1b1 + a2b2 = a
b a
[ ] [ ]
と同値である．
が直交であるとは
， に対して
して，
３次元の場合も同様に
0 )
, (
,
3 3 2
2 1
1
3 2
1 3
2 1
= +
+
=
=
=
=
b a b
a b a
b b
b a
a a
t
t t
b a b
a
b a
b a
のことである．
が直交とは ル
一般に，ｎ次元ベクト
0 ), (
1
=
=
=
∑
= n
i
i i
tb a b
a b
a
b a,
a b
○
関数の直交性
と書ける．
直交なら
は積分となり，
していけば上式の総和
無限に細かく サンプリング間隔を
である．
しているなら，
２つのベクトルが直交
に表す．
ベクトルで以下のよう
グして，
十分細かくサンプリン
を，
と いま，連続関数
∫
==
=
=
0 )
( ) ( 0
) (
) (
) ( )
(
2 1
2 1
dx x g x f
g g
g
f f
f
x g x
f
t
t n
t n
g f g f
L
L x
) (x f
x )
(x g
対応する値どうしを掛けて足す
○
正規直交基底
大きさが１で， 互いに直交するベクトルの集合を正規直交基底とよぶ．
正規性(nomality) 直交性(orthogonality)
( )
⎩⎨
⎧
≠
= =
=
= i j
j i
ij j
t i j
i L
L 0
,u u u δ 1
u
x1
x2
e1
e2
u1
u2
x1
x2
u1
u2
任意に回転した直交ベクトルは すべて正規直交基底．
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
22 21 2
12 11
1 ,
u u u
u u
u
２つの基底ベクトルを
としたとき，
タ．
はクロネッカーのデル
δij○
正規直交基底
x1
x2
u1
u2
．
f和で表すことができる に沿ったベクトルとの
に沿ったベクトルと は
ル 右図のとおり，ベクト
開 の正規直交基底での展
2
1
:
u
u f f
2 2 1
1u u
f =α +α
1 1u
α α1 α2
2 2u α
との内積をとると，
実際，上式の両辺と
の内積で与えられる．
と
， を表すスカラーであり ベクトルの長さと方向
に射影したときの を
は ここで，
1 1
1 1
u
u f
u α f
の正規直交性より）
u u u u
u
u u u
u f u
f
Q (
) (
) , (
1
1 2 2 1
1 1
1 2 2 1
1 1
1
α
α α
α α
=
+
=
+
=
=
t t
t t
立つ．
空間に拡張しても成り 以上のことは，ｎ次元
である．
となる．同様に
(f,u2) =α2○
フーリエ級数
周期的な波形は，複数の周波数の 正弦波と余弦波の組み合わせで
表現することができる．この表現を フーリエ級数展開といい，
次式で表される．
この展開における各係数（フーリエ係数と 呼ばれる）はどのように決まるだろうか．
これを調べる前に，まず三角関数の直交性を 調べてみる．
L L + +
+
+ +
+
=
x b
x b
x a
x a
a x
f
ω ω
ω ω
2 sin sin
2 cos 2 cos
) 1 (
2 1
2 1
0
x )
(x X f
x
x
x
＋
＋
＋
．．．
2
0 / a
a1
a2
X ω = 2π
ただし
○
三角関数の直交性
) 5 ( 0 sin
cos
, integer arbitrary
for
) 4 ( 0 sin
sin
for
) 3 ( sin 2
sin
for
) 2 ( 0 cos
cos
for
) 1 ( cos 2
cos
for
0 0
0 0 0
L L
L L
L
∫
∫
∫
∫
∫
=
⋅
=
⋅
≠
=
⋅
=
=
⋅
≠
=
⋅
=
X X
X X X
xdx m
x n n
m
xdx m
x n n
m
xdx X m
x n n
m
xdx m
x n n
m
xdx X m
x n n
m
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
○
フーリエ係数
L L+ + + +
+ +
= a a x a x b x b x
x
f cosω cos2ω sinω sin2ω
2 ) 1
( 0 1 2 1 2
この展開における各係数はどのように決まるだろうか．
n X
n
X X
X X
X
X a
xdx n
x n a
xdx n
x b
xdx n
x b
xdx n
x a
xdx n
a xdx
n x
f
2
cos cos
cos 2
sin cos
sin
cos cos
2 cos cos 1
) (
0
0 2
0 1
0 1
0 0
0
=
⋅
=
+
⋅ +
⋅ +
+
⋅ +
⋅
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
L L
たって積分してみる．
をかけて，１周期にわ 試みに，両辺に
cosnωx∫
= X
n f x n xdx
a X
0 ( )cos
2 ω
これより，
を得る．余弦波の項についても同様に計算して以下を得る．
∫
= X
n f x n xdx
b X
0 ( )sin
2 ω
この項のみ残る
○
ベクトルの展開とフーリエ級数展開の類推
L L
+
⋅ +
⋅ + +
⋅ +
⋅ +
⋅
=
x b
x b
x a
x a
a x
f
ω ω
ω ω
2 sin sin
2 cos cos 2 1
) 1 (
2 1 2 1
0 x
x
x 1
1
1
3 3 2
2 1
1 u u u
f =α ⋅ +α ⋅ +α ⋅
u1
u2
u3
f
1 1u α
2 2u α
3 3u α
展開係数は，対応する基底ベクトル（基底関数）と信号ｆとの 内積を計算することで得られる．
．．．
○
フーリエ級数・フーリエ変換
L L
+
⋅ +
⋅ + +
⋅ +
⋅ +
⋅
=
x b
x b
x a
x a
a x
f
ω ω
ω ω
2 sin sin
2 cos cos 2 1
) 1 (
2 1 2 1
0 x
x
x 1
1
1 u1
u2
u3
．．．
フーリエ級数のおさらい
L L + +
+
+ +
+
=
x b
x b
x a
x a
a x
f
ω ω
ω ω
2 sin sin
2 cos 2 cos
) 1 (
2 1
2 1
0
x )
(x X f
X ω = 2π
ただし
○
フーリエ級数の複素数表示
∑
∑
∞−∞
=
∞
−∞
=
=
=
n
n n
n j nx c j nx X
c x
f ( ) exp( ω ) exp( 2π / )
0 *
0 , 2
, 2
2 n
n n
n n
n
n a jb c
jb c c a
c = a = − − = + =
三角関数を用いたフーリエ級数展開を，複素数の指数関数を使って表すこ ともできる．
L L+ + + +
+ +
= a a x a x b x b x
x
f cosω cos2ω sinω sin 2ω
2 ) 1
( 0 1 2 1 2
をオイラーの式を使って以下のように書き直す．
L L
L L
− +
− + +
+ + +
=
− +
− + +
+ + + +
+
=
−
−
−
−
−
x j x
j x
j
x j x
j x
j x
j x
j x
j x
j x
j
jb e e a
jb a a
jb e a
j e b e
j e b e
e a e
e a e
a x
f
ω ω
ω
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
2 2 2
1 1
0 1
1
2 2
2 1
2 2
2 1
0
2 2
2 1 2
2 2
2 2
2 ) 1 (
あらためて
とおけば，以下のように指数関数による展開の形で表すことができる．
○
複素フーリエ級数の基底関数
∞
−
−∞
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ 2 , ,..., 1,0,1,...,
2 sin 2 cos
exp n
X j nx
X nx X
j πnx π π
x
x 1
1
x
x 1
1
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
X j x
X
x 2 0
0 sin
cos 2π π
+ j
x 1
x 1
+ j
+ j
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
X j x
X
x 2 1
1 sin
cos 2π π
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
X j x
X
x 2 2
2 sin
cos 2π π
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
X j x
X
x 2 1
1 sin
cos 2π π
x 1
x 1
+ j
・・・
・・・
△
複素フーリエ級数展開と係数
m n
X n X
X
X n
n X
X
c
dx X mx j
X nx X j
c
dx X mx j
X nx j
X c dx
X mx j
x X f
=
−
=
−
=
−
∑ ∫
∫ ∑
∫
∞
−∞
= −
−
∞
−∞
− =
2 /
2 / 2
/ 2 / 2
/ 2 /
) / 2
exp(
) / 2
1 exp(
) / 2
exp(
) / 2
1 exp(
) / 2
exp(
) 1 (
π π
π π
π
∞
−
−∞
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ 2 , ,..., 1,0,1,...,
exp n
X j πnx
の正規直交性を利用した．
∑
∞−∞
=
=
n
n j nx X
c x
f ( ) exp( 2π / )
dx X nx j
x X f
c X
n 1 X/2 ( )exp( 2 / )
2
/ π
∫
− −=
級数展開：
展開係数：
展開係数の導出：
△
周期関数から非周期関数への拡張
) 1 ( )
/ 2
exp(
)
(
∑
∞ L−∞
=
=
n
n j nx X
c x
f π
) 2 ( )
/ 2
exp(
) 1 /2 (
2
/ f x j nx X dxL
c X X
n =
∫
−X − π級数展開：
展開係数：
周期関数の非周期関数への拡張 2 x
/
− X X / 2
非周期関数を，無限に大きな
周期をもつ周期関数と解釈する．
∞
→ X
これまで扱ってきた周期関数
2 x /
− X X / 2
∞
→ X
X
△
フーリエ級数からフーリエ変換へ（１）
) 2 ( )
/ 2
exp(
) 1 /2 (
2
/ f x j nx X dxL
c X X
n =
∫
−X − πより，
を定義すると，式
における係数として 波数
関数である．いま，周
における 周波数
に関する関数であり，
は
(1) )
( n n
n
n n
c X u
F
u
u u n
c
⋅
=
フーリエ展開係数に関する修正：
=
) 4 ( )
2 exp(
) (
) / 2
exp(
) ( )
(
2 /
2 /
2 /
2 /
L dx x u j
x f
dx X x n j
x f u
F
n X
X X n X
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
∫
∫
−
−
π π ) 3 L( X u n
n
un = ⋅Δ =
2 x /
− X X / 2 X
u u1 u2 un
u = X1 Δ
cn
c1
c2
． クトルのパワーをもつ 整数倍の周波数にスペ
の 波数
の周期関数は，基本周 周期
する．
と書き，周波数と定義 の逆数を
いま，
X u
X
u x
/
=1 Δ
と書ける．
△
フーリエ級数からフーリエ変換へ（２）
) 2 ( )
/ 2
exp(
) 1 /2 (
2
/ f x j nx X dxL
c X X
n =
∫
−X − πフーリエ展開係数に関する修正：
u u1
u2
un
u = X1 Δ
cn
c1
c2
2 x /
−X X /2
∞
→ X
と修正される．
は，
リエ係数の式 もつことになり，フー
でも値を 数
このとき，どんな周波
) 5 ( )
2 exp(
) ( )
(
) 4 ( )
2 exp(
) ( )
( /2
2 /
L L dx
x u j
x f u
F
dx x u j
x f u
F
u
n X
n X
⋅
⋅
−
=
⋅
−
=
∫
∫
∞
∞
−
−
π π )
0 (
) (
→ Δ
∞
→ u X
X
なっていく．
りなく小さく スペクトルの間隔は限
いくと を限りなく大きくして
周期
Xを広げていけば スペクトルの間隔は 密になっていく．
離散的
連続的
△
フーリエ級数からフーリエ変換へ（３）
フーリエ級数展開に関する修正：
u un
u = X1 Δ
正される．
右のように積分形に修
数展開は，
このとき，フーリエ級 すなわち，
にもっていく．
ここで，周期を無限大
→ 0 Δ
∞
→ u
X
) 1 ( ) / 2
exp(
)
(
∑
∞ L−∞
=
=
n
n j nx X
c x
f π
) 6 ( ) 2
exp(
) (
) 2
exp(
) 1 (
) / 2
exp(
) (
∑
L∑
∑
∞
−∞
=
∞
−∞
=
∞
−∞
=
⋅
⋅ Δ
=
⋅
=
⋅
=
n
n n
n
n n
n
n
x u j
u F u
x u j
u T F
X nx j
c x
f
π π π
) 7 ( )
2 exp(
) (
) 2
exp(
) ( lim
)
( 0
∫
L∑
∞
∞
−
∞
−∞
→ = Δ
⋅
=
⋅
⋅ Δ
=
du ux j
u F
x u j
u F u x
f
n
n u n
π
π
フーリエ級数展開に式を以下のように 書き直す．
) 2
exp(
)
(u j u x
F n π n
注意：
縦軸の値は複素数なので 本来はこのような表示は 不適当．
↑フーリエ変換の式
△
Fourier変換の整理と意味合い
∫
−∞∞ −= ℑ
= f x f x j ux dx
u
F( ) { ( )} ( )exp( 2π )
[ ]
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
−
=
−
=
dx ux x
f j
x d ux x
f
dx ux j
ux x
f u
F
) 2 sin(
) (
) 2 cos(
) (
) 2 sin(
) 2 cos(
) ( )
(
π π
π π
) (x f
周波数uの余弦波
周波数uの正弦波
) (u F
x x x フーリエ変換（フーリエ積分）
フーリエ変換（フーリエ積分）
u )
(u 原信号
F
0 u フーリエ変換の意味合い（模式図）：
フーリエ逆変換 フーリエ逆変換
∫
−∞∞− =
ℑ
= F u F u j ux du
x
f ( ) 1{ ( )} ( )exp( 2π )
：フーリエ変換の演算を意味 する記号とする
} {⋅ ℑ
◎
フーリエ変換
講義内容
１次元フーリエ変換
ベクトル・関数の直交性 フーリエ級数
１次元フーリエ変換
代表的なフーリエ変換対 フーリエ変換の諸性質
コンボリューション（たたみこみ積分）
サンプリング定理
１次元離散フーリエ変換
２次元フーリエ変換 空間周波数の概念 ２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対 ２次元離散フーリエ変換
デルタ関数
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛−
= → 2
2
0 exp 2
2 lim 1 )
( πσ σ
δ σ
x x
全積分は１で，原点で無限大の大きさをもつ関数．
ディラックのデルタ関数
（Dirac delta function）
例１）ガウス関数の極限
例２）矩形関数(rect関数）の極限
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅ ⎛
= → a
rect x x a
a
lim1 )
( 0
δ
σ x σ x x
a x x x
a / 1
a a / 1
デルタ関数は超関数と呼ばれ，厳密な意味での関数ではない．
しかし，システムのインパルスを表すのに便利であり，頻繁に用いられる．
○
デルタ関数（つづき）
∫
−∞∞ f (x)δ (x)dx = f (0)x 0 x
0 ) 0 ( f
) (x δ
する効果がある．
ンプリング）
での関数値を抽出（サ
は を掛けて積分すること デルタ関数
0
) (
= x
δ x
∫
−∞∞ f (x)δ(x − a)dx = f (a)x 0 x
0
) (x a f −
) (x− a δ
a
× ×
原点からaだけずれた点でサ ンプリングする場合の表現 デルタ関数の性質
応用
○
代表的なフーリエ変換対
)}
( )
( 2{ ) 1
2 cos(
) exp(
) exp(
) ) sin(
( sinc )
( rect
1 )
(
0 0
0
2 2
u u u
u x
u
u x
u u u
x x
+ +
−
⇔
−
⇔
−
=
⇔
⇔
δ δ
π
π
π π
δ π
∑
∞−∞
=
−
=
⇔
n
nd x
d x
du d
x
) (
) / ( comb
) ( comb )
/ ( comb
δ
ただし
○
代表的なフーリエ変換対I
1 ) ( )
( )
(x = x ⇔ F u =
f δ
x u
) ( )
(x x
f = δ F(u) =1
1 ) 0 2 exp(
) 2
exp(
) ( )}
( {
=
−
=
−
= ℑ
∫
−∞∞u j
dx ux j
x x
π
π δ
δ
x u
) (
)
(x x a
f = δ − exp( 2 )
) 2
exp(
) (
) (
au j
dx ux j
a x u
F
π
π δ
−
=
−
−
=
∫
−∞∞au u
F( ) 2π
arg = −
a
○
代表的なフーリエ変換対II
x u
) exp(
)
(x x2
f = −π f (u) = exp(−πu2)
ガウス関数のフーリエ変換はやはりガウス関数
u u u
u F x
x
f π
π ) ) sin(
( sinc )
( )
( rect )
( = ⇔ = =
x u
) ( rect )
(x x
f = u
u u
F π
π ) ) sin(
( sinc
(u) = =
○
代表的なフーリエ変換対III
x
) 2
cos(
)
(x u0x
f
u
π
=
)}
( )
( 2{ ) 1 ( )
2 cos(
)
(x u0x F u u u0 u u0
f = π ⇔ = δ − +δ +
)}
( )
( 2{ ) 1 ( )
2 sin(
)
(x u0x F u u u0 u u0
f = π ⇔ = δ − −δ +
u0
u0
− 0
x u
) 2
sin(
)
(x u0x
f = π
u0
u0
− 0
○
代表的なフーリエ変換対IV
) ( comb )
( )
/ ( comb )
(x x d F u du
f = ⇔ =
∑
∞−∞
=
−
=
n
nd x
d
x/ ) ( )
( comb
where δ
x
∑
∞−∞
=
−
=
=
n
nd x
d x x
f ( ) comb( / ) δ( )
u
∑
∞−∞
=
−
=
=
n
d n u du
u
F( ) comb( ) δ( / )
d 1/d
… … … …
∑
∞−∞
=
−
=
+
− +
− +
+ +
n
nd x
d x
d x x
d x
) (
) 2 (
) (
) ( )
( δ
δ δ
δ
δ L
L
○
フーリエ変換
講義内容
１次元フーリエ変換
ベクトル・関数の直交性 フーリエ級数
１次元フーリエ変換
代表的なフーリエ変換対 フーリエ変換の諸性質
コンボリューション（たたみこみ積分）
サンプリング定理
１次元離散フーリエ変換
２次元フーリエ変換 空間周波数の概念 ２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対 ２次元離散フーリエ変換
フーリエ変換の諸性質
線形性(linearity theorem)
線形性＝重ね合わせの理が成り立つこと．
)}
( { )}
( {
)}
( )
( {
2 2
1 1
2 2 1
1
x f a
x f a
x f a x
f a
ℑ +
ℑ
=
+ ℑ
) ( ) 2
exp(
)}
(
{f x −a = − j πau F u ℑ
相似則(similarity theorem)
) ( )}
/ (
{f x a = a F au ℑ
対称性
． はエルミート性をもつ
が実関数なら，
関数
) () ( u F
x f
) (
* )
( u F u
F − =
微分のフーリエ変換
) ( ) 2 ( )
(x j u F u
dx f
F d n n
n = π
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
コンボリューション定理
) (
* ) (
) ( ) (
) (
x f x h
d f
x h x
g
=
−
= ∞
∫
∞
−
τ τ τ
) ( ) ( )
(u F u H u
G =
実空間でのコンボ リューション
フーリエ空間での積 シフト則(shifting theorem)
) ( ) 2 ( )
(x j u F u
dx f
F d = π
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
) ( 4
) ( ) 2 ( )
( 2 2 2
2 2
u F u u
F u j x
dx f
F d = π = − π
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
| ) (
|
| ) (
| F −u = F u
○
相似則
相似則(similarity theorem)：
) ( )}
/ (
{ f x a = a F au ℑ
x )
(x f
u
) (u F
0
x )
/ (x a f
u
) (au aF
0
ℑ
ℑ
ゆったりした変化）
拡大
() 1 (a >
）
（低周波成分への集中 縮小
a
倍
x0ax0
a
倍
/ 1 a倍
△
相似則の具体例
x u
) 2
cos(
)
(x u0x
f = π { ( ) ( )}
2 ) 1
(u u u0 u u0
F = δ − +δ +
u0
u0
− 0
x u
) / ( rect )
(x x a
f =
au F au
π
π ) (u) = sin(
x u
) 2 2 cos(
)
(x u0x
f = π { ( 2 ) ( 2 )}
2 ) 1
(u u u0 u u0
F = δ − +δ +
2u0
u0
− 0
2u0
− u0
x ) 2 / ( rec
u t
)
(x x a
f =
au F au
π
π2 ) (u) = sin(
a
a 2
ℑ
ℑ
ℑ
ℑ 余弦波余弦波
矩形波矩形波
a / 1
a 2 / 1
△
シフト則
波形の平行移動：
) ( ) 2
exp(
)}
(
{f x − a = − j πau F u ℑ
) ( ) 2 exp(
)) (
2 exp(
) (
) 2 exp(
)) (
2 exp(
) (
) 2 exp(
) (
)}
( {
u F ua j
dx a x u j a
x f ua
j
dx a a x u j a
x f
dx ux j
a x f a
x f F
π
π π
π
π
−
=
−
−
−
−
=
+
−
−
−
=
−
−
=
−
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
証明： −
x )
(x f
x ) (x a f −
a
ℑ
ℑ
u
| ) (
| F u
0
u
| ) (
| F u
u 0 ) ( ) 2
exp(− j πau F u
0
同一！
u
) (u F
同一でない
絶対値
絶対値 フーリエ変換
) ( )
( ) 2
exp(
) ( ) 2
exp(− j πau F u = − j πau F u = F u 線形位相
△
線形時不変システムで見るコンボリューション
Linear, time- invariant system
In Out
ディラックのデルタ関数
：インパルス関数 デルタ関数入力に対する応答：
インパルス応答
t f t( )
入力信号
t 出力信号
g t( )
τ t t
t
δ( )t
0 t
h t( )
0
出力信号は入力信号と インパルス応答との コンボリューションで 表される．
) (
* ) (
) ( ) (
) (
t f t h
d f
t h t
g
=
−
=
∫
τ τ τ○
コンボリューションの幾何学的な説明
τ τ
τ f d x
h x
f x
h x
g ( ) ( ) * ( ) ∫∞ ( ) ( )
∞
−
−
=
≡
τ ) (τ f
τ )
(τ h
τ )
(−τ h
を反転
①
h(τ)) τ (x−τ h
) (x g
0 x ) (−τ h
だけシフト
②
x④ 積分する
xτ( ) )
(x τ f τ h −
x
の積 と
③
f (τ) h(x−τ)連続系での定義
○
コンボリューション定理
コンボリューション定理：
) (
* ) (
) ( ) (
) (
x f x h
d f
x h x
g
=
−
= ∞
∫
∞
−
τ τ τ
) ( ) ( )
(u F u H u
G =
フーリエ空間では，それぞれ のフーリエ変換の積であらわ される．
証明：
∫ ∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
実空間で，コンボリューション の関係にあるとき，すなわち，
∞
∞
−
⎥⎦ −
⎢⎣ ⎤
⎡ −
=
−
=
dx ux j
d f
x h
dx ux j
x g u
G
) 2 exp(
) ( ) (
) 2 exp(
) ( )
(
π τ
τ τ
π
' x
x−τ = とおけば
) ( ) (
) 2
exp(
) ( '
) ' 2 exp(
) ' (
) 2
exp(
) ( ' ) ' 2 exp(
) ' (
)) ' ( 2 exp(
) ( ) ' ( )
(
u F u H
d u j f
dx ux j
x h
d u j f
dx ux j
x h
dx x
u j d
f x h u
G
=
−
×
−
=
−
−
=
+
⎥⎦ −
⎢⎣ ⎤
= ⎡
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
∞
∞
−
τ τ π τ
π
τ τ π τ
π
τ π
τ τ '
dx dx →
) ( ) ( )
( )
(x f x H u F u h
⇔ℑ
∗ h(x) f (x) H(u)*F(u)
⇔ℑ
コンボリューション⇔積 積⇔コンボリューション ここで
積分範囲は－∞から∞で変わらず．
重要なまとめ
○
サンプリング定理を理解する１
) ( comb du
u d
/ 1
… …
0 x
) (x f
0 x
) / ( comb )
( )
(x f x x d
fs = ⋅
オリジナルの連続関数
標本化の操作
離散関数
) ( comb )
( )
(u F u du
Fs = ∗
u
× ＊
u
… …
x d
…
) / ( comb x d
…
) (u F
△
サンプリング定理を理解する２
＊ ×
0 x
) / ( comb )
( )
(x f x x d
fs = ⋅
離散関数
) ( comb )
( )
(u F u du
Fs = ∗
u
… …
) ( rect du
u d
/ 1
フィルタをかける
x d
) / ( sinc x d
0 x
) (x f
オリジナルの連続関数を復元
u
△
エリアジング
x u
) 2 /(
1 d 1/d
Nyquist freq.
) (u F
0 )
(x f
0 u
) / ( comb )
( )
(x f x x d
fs = ⋅
x
x
) 2 / (
comb x d
d
d 2 掛け算
u
) 2 ( comb )
( )
(u F u du
Fs = ∗
0
) 2 ( comb du
u
) 2 ( rect ) ( )
(u F u du
Ff = s
0
元の連続信号
切り出し 不可！
フーリエ変換対
サンプリン グの関数
離散信号
エリアジングの発生
△
フーリエ変換
講義内容
１次元フーリエ変換
ベクトル・関数の直交性 フーリエ級数
１次元フーリエ変換
代表的なフーリエ変換対 フーリエ変換の諸性質
コンボリューション（たたみこみ積分）
サンプリング定理
１次元離散フーリエ変換
２次元フーリエ変換 空間周波数の概念 ２次元フーリエ変換
代表的な２次元フーリエ変換対 ２次元離散フーリエ変換
△
離散フーリエ変換の概念
x u
) 2 /(
1 d 1/d )
(u F
0 )
(x f
0 u
) / ( comb )
( )
(x f x x d
fs = ⋅
x
x
) / ( comb x d
d d
掛け算
u
) ( comb )
( )
(u F u du
Fs = ∗
0
) ( comb du
元の連続信号 フーリエ変換対
サンプリン グの関数
離散信号
D D
1
周期Dの正弦波
（余弦波）の成分
Ｄの範囲に対して，基底関数を掛けてフーリエ成分を計算しているということは，
暗黙のうちに上記のような実空間信号の周期性を仮定していることになる．
∑
−=
−
= 1
0
) / 2
exp(
) 1 (
) (
N
x
N ux j
x N f
u
F π
△
