生産的思考を養うための練習問題に関する研究

ISSN 1881−6134

http://www.rs.tottori-u.ac.jp/mathedu

vol.15, no.4

Feb. 2013

鳥取大学数学教育研究

Tottori Journal for Research in Mathematics Education

生産的思考を養うための練習問題に関する研究 岡田郁美 Ikumi Okada

1 目 次 第 1 章 研 究 の 目 的 と 方 法 1 . 1 研 究 の 動 機 1 . 2 研 究 の 目 的 と 方 法 第 2 章 生 産 的 思 考 に 関 す る 先 行 研 究 の 検 討 ～ 平 行 四 辺 形 の 面 積 の 学 習 を 例 に ～ 2. 1 期 待 さ れ る 問 題 解 決 の 様 子 2. 2 図 形 の 役 割 2. 3 筆 者 の 考 察 第 3 章 生 産 的 練 習 に つ い て の 考 察 3. 1 生 産 的 練 習 と は 3. 2 生 産 的 練 習 の 具 体 的 な 問 題 の 検 討 （ 計 算 問 題 ） 3 . 2 . 1 「 た け の こ す う 」 3 . 2 . 2 「 美 し い 包 み 」 3 . 2 . 3 「 ふ ぁ す と 計 算 」， 「 － 1 8 の 計 算 」 3. 3 生 産 的 練 習 の 具 体 的 な 問 題 の 検 討 （ 図 形 問 題 ） 3 . 3 . 1 か た ち を つ く ろ う （ パ タ ー ン ブ ロ ッ ク ） 3 . 3 . 2 作 図 時 計 2 3 . 3 . 3 円 と ボ ー ル 投 げ 3. 4 筆 者 の 考 察 3 4 4 8 9 1 6 1 8 2 0 2 1 2 3 2 3 2 6 2 9 2 9 3 0 3 0 3 1 3 1

2 第 4 章 生 産 的 思 考 と 生 産 的 練 習 の 関 連 4. 1 類 似 点 4. 2 相 違 点 4. 3 求 め ら れ る 練 習 問 題 第 5 章 生 産 的 思 考 を 養 う た め の 練 習 問 題 の 検 討 5. 1 練 習 問 題 の 作 成 に 向 け て 5. 2 練 習 問 題 の 提 案 5 . 2 . 1 問 題 設 定 の 理 由 5 . 2 . 2 提 案 す る 問 題 5 . 2 . 3 問 題 に つ い て 5. 3 練 習 問 題 の 分 析 5. 4 残 っ た 課 題 第 6 章 研 究 の 結 果 と 課 題 6. 1 研 究 か ら 得 ら れ た 結 論 6. 2 残 さ れ た 課 題 引 用 及 び 参 考 文 献 3 4 3 5 3 5 3 6 3 9 4 0 4 0 4 1 4 1 4 7 4 7 5 0 5 3 5 4 5 6 5 8

3 第 １ 章 研 究 の 目 的 と 方 法 1 . 1 研 究 の 動 機 1 . 2 研 究 の 目 的 と 方 法 本 章 で は ， 研 究 の 目 的 と 方 法 を 述 べ る ． 1 . 1 で は ， 本 研 究 の 動 機 を 述 べ る ． 1 . 2 で は 本 研 究 の 目 的 と 方 法 を 述 べ る ．

4 第 1 章 研 究 の 目 的 と 方 法 1 . 1 研 究 の 動 機 岩 合 氏 は 「 算 数 教 育 講 座 ＝ 1 9 8 6 年 － 今 日 的 課 題 と 発 展 の た め の 考 察 」 に お い て ， 思 考 に は 量 的 側 面 と 質 的 側 面 が あ る と 述 べ て い る ． 学 習 に お け る 思 考 で も ， 量 的 側 面 と 質 的 側 面 の ど ち ら も が 認 め ら れ る が ， ど ち ら か に 偏 っ た 形 で は な く ， 場 面 に 応 じ て 使 い 分 け る こ と が 必 要 で あ る ． し か し ， 学 習 ボ ラ ン テ ィ ア の 体 験 や 教 育 実 習 で は ， 児 童 が 何 か 新 し い こ と を 学 習 す る 際 に は ， 教 師 が そ の 解 き 方 を 示 し ， 児 童 は そ の 解 き 方 を そ の ま ま 使 っ て 問 題 の 解 決 に あ た る と い う 学 習 場 面 が 多 い の で は な い か と い う こ と を 感 じ た ． こ の よ う な 学 習 方 法 で は 児 童 が 本 当 に 問 題 の 意 味 を 理 解 し ， そ の 解 き 方 の 意 味 を 理 解 す る こ と が で き て い る の か ， ま た ， 学 習 内 容 を 本 質 的 に 習 得 し 同 様 の 場 面 ま た は よ り 高 度 な 学 習 の 際 に ， 自 力 で 解 決 す る 力 と な っ て い く の か 疑 問 に 感 じ た ． そ こ で ， 児 童 が 学 習 内 容 を 本 質 的 に 理 解 し ， そ の 後 に 活 用 し て い く こ と が で き る よ う に す る た め に は ， ど の よ う な 学 習 が 児 童 に 必 要 で あ る の か ， 検 討 す る 必 要 が あ る ． 児 童 が 新 た な 内 容 を 学 習 す る 際 に は ， 学 習 場 面 に お い て そ の 内 容 を 知 り ， 練 習 場 面 に お い て 練 習 し 活 用 す る こ と で 習 得 に つ な が っ て い る と 考 え る ． そ の た め ， こ の 練 習 場 面 が 新 た な 学 習 内 容 の 習 得 に と っ て 重 要 な 役 割 を 担 っ て い る と 考 え る ． そ こ で 本 研 究 で は ， 練 習 問 題 に 着 目 し ， 児 童 に と っ て 意 味 の あ る 学 習 方 法 に つ い て 検 討 し て い き た い と 考 え た ． 1 . 2 研 究 の 目 的 と 方 法 こ れ ま で の 練 習 問 題 の 役 割 と し て は ， 単 元 の 定

5 着 や 問 題 を 速 く 解 く こ と が で き る よ う に な る こ と な ど に 重 点 が 置 か れ て い る 場 合 が 多 い ． し か し そ れ だ け で は な く ， よ り 高 度 な 内 容 に つ な げ て い く た め の 練 習 な ど ， 別 の 意 味 も 持 っ て い る の で は な い か と 考 え た ． こ の こ と と 関 連 し て ， 問 題 を 解 く と き に 一 つ ひ と つ の 操 作 を 理 解 し な が ら 解 く 考 え 方 と し て ， 生 産 的 思 考 と い う 思 考 の 形 態 が あ る ． こ の 生 産 的 思 考 は 子 ど も た ち の 学 習 に と っ て 価 値 の あ る 考 え 方 で あ り ， 子 ど も た ち に 身 に つ け て ほ し い 考 え 方 で あ る と 考 え る ． そ の た め ， 子 ど も た ち の 学 習 に 意 味 の あ る 練 習 問 題 と ， こ の 生 産 的 思 考 の 考 え 方 を 関 連 さ せ な が ら ， 子 ど も た ち の 学 習 に と っ て 価 値 あ る 学 習 方 法 を 考 え て い く こ と は で き な い か と 考 え た ． こ の こ と か ら ， 本 研 究 の 目 的 は ， 子 ど も た ち が よ り よ い 思 考 を す る こ と が で き る と す る ， 生 産 的 思 考 を 養 う た め の 練 習 問 題 に つ い て 提 案 す る こ と と す る ． 算 数 の 学 習 に お い て は ， 問 題 の 意 味 や 操 作 の 意 図 な ど の 理 解 を 伴 わ な い ま ま ， 公 式 や 記 憶 に 頼 っ て 学 習 が 進 む こ と が 少 な く な い ． こ の よ う な 理 解 の 程 度 で は ， 次 の 学 習 に つ な げ て い く こ と が 難 し い の で は な い か と 考 え る ． そ こ で ， そ れ ぞ れ の 問 題 の 意 味 と そ れ に 対 す る 手 段 の 意 味 を き ち ん と 把 握 し ， 学 習 内 容 を 習 得 し て い く こ と の で き る 練 習 問 題 に つ い て 検 討 す る ． 本 研 究 に お い て は ， ま ず 生 産 的 思 考 と は 何 で あ る の か ， ど の よ う な 特 性 が あ る の か を 検 討 す る こ と で で ， 子 ど も た ち が 問 題 を 解 く と き に ど の よ う な 思 考 を す る こ と が 望 ま し い の か に つ い て 考 え て い く （ 第 2 章 ）． 次 に ， 練 習 問 題 の 中 で も ， 子 ど も た ち が 様 々 な 考 え 方 を し な が ら 問 題 を 解 く こ と の で き る 練 習 問 題 と し て 「 生 産 的 練 習 」 と い う も の が あ る ． 生 産 的 練 習 は 生 産 的 思 考 と 類 似 す る 部 分 が あ る の で は な い か と 考 え る ． そ こ で ， 生 産 的 練 習 の 特 徴 や 具 体 的 な 問 題 例 に つ い て 検 討 す る こ と

6 で ， 子 ど も た ち が ， ど う い っ た 問 題 に 取 り 組 む こ と で 良 い 思 考 の 様 子 を 見 せ る の か に つ い て 考 え る （ 第 3 章 ）． そ し て ， 生 産 的 思 考 と 生 産 的 練 習 の 関 連 に つ い て ， 類 似 点 ， 相 違 点 を 分 析 す る こ と で ， 子 ど も た ち が 生 産 的 思 考 を 養 う た め に は ど の よ う な 練 習 問 題 を 考 え て い く 必 要 で あ る の か に つ い て 検 討 す る （ 第 4 章 ）． こ れ を 用 い て 実 際 に 練 習 問 題 を 考 え な が ら ， 子 ど も た ち に と っ て 効 果 的 な 練 習 問 題 を 検 討 し て い く （ 第 5 章 ）． こ の よ う に し て ， 子 ど も た ち に と っ て 価 値 の あ る 思 考 の 様 子 ， そ し て そ の た め に 必 要 な 練 習 問 題 に つ い て 分 析 し て い く ．

7 ＜ 本 論 文 の 章 構 成 ＞ 第 1 章 研 究 の 目 的 と 方 法 研 究 の 目 的 と 方 法 を 述 べ る ． 第 2 章 生 産 的 思 考 に 関 す る 先 行 研 究 の 検 討 生 産 的 思 考 の 特 性 を 考 察 す る ． 第 3 章 生 産 的 練 習 に つ い て の 考 察 生 産 的 練 習 の 特 性 と 具 体 的 な 問 題 を 分 析 す る ． 第 4 章 生 産 的 思 考 と 生 産 的 練 習 の 関 連 生 産 的 思 考 と 生 産 的 練 習 の 関 連 に つ い て 考 察 し ，求 め ら れ る 練 習 問 題 に つ い て 考 察 す る ． 第 5 章 生 産 的 思 考 を 養 う た め の 練 習 問 題 の 検 討 子 ど も た ち に と っ て 価 値 あ る 練 習 問 題 を 提 案 し ， そ れ に つ い て 検 討 す る ． 第 6 章 研 究 の 結 論 と 残 さ れ た 課 題 本 研 究 の 結 論 と 今 後 の 課 題 を 述 べ る ．

8 第 2 章 生 産 的 思 考 に 関 す る 先 行 研 究 の 検 討 ～ 平 行 四 辺 形 の 面 積 の 学 習 を 例 に ～ 2 . 1 期 待 す る 問 題 解 決 の 様 子 2 . 2 図 形 の 役 割 2 . 3 筆 者 の 考 察 本 章 で は ，「 生 産 的 思 考 」（ M . ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ ） を も と に 生 産 的 思 考 の 特 性 に つ い て 考 察 す る ． 子 ど も た ち の 学 習 に と っ て ， ど の よ う な 方 法 で 学 習 を す る こ と が 意 味 の あ る 学 習 に つ な が る の か ， ど の よ う に 考 え る こ と が 必 要 で あ る の か に つ い て 検 討 し て い く ．

9 第 2 章 生 産 的 思 考 に 関 す る 先 行 研 究 の 考 察 ～ 平 行 四 辺 形 の 面 積 の 学 習 を 例 に ～ 2 . 1 期 待 す る 問 題 解 決 の 様 子 M . ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ は「 生 産 的 思 考 」に お い て ， 平 行 四 辺 形 の 面 積 を 求 め る 学 習 を も と に ， 次 の よ う に 述 べ て い る ． 「 教 師 は 平 行 四 辺 形 の 左 上 隅 か ら １ 本 の 垂 線 を お ろ し ，右 上 隅 か ら も う １ 本 の 垂 線 を お ろ し ，底 辺 を 右 に 延 長 し ，新 し い 交 点 を e 及 び f と 名 づ け る ． こ の 図 形 の 助 け を か り て ，先 生 は 次 に ，或 る 線 分 と 角 と が そ れ ぞ れ 相 等 し い こ と ，及 び 二 つ の 三 角 形 の 合 同 を 確 か め ，平 行 四 辺 形 の 面 積 は 底 辺 と 高 さ の 積 に 等 し い と い う 定 理 の 普 通 の 証 明 に 進 む ．そ れ ぞ れ の 場 合 に つ い て 先 生 は 前 に 学 ん だ 定 理 や 公 準 や 公 理 を あ げ ，そ れ に 基 づ い て 相 等 や 合 同 を 証 明 し て ゆ く ．最 後 に 先 生 は ，平 行 四 辺 形 の 面 積 は 底 辺 掛 け る 高 さ に 等 し い こ と が 証 明 さ れ た と 結 論 す る ． “ 私 が 皆 さ ん に 示 し た 事 柄 は 教 科 書 の 6 4 貢 に 書 い て あ り ま す ．家 へ 帰 っ て 復 習 し て お い て く だ さ い ．よ く 呑 込 め る ま で 何 度 も 注 意 し て 読 ん で お い て く だ さ い ．” 先 生 は そ こ で 澤 山 の 問 題 を 出 す ． ( … 中 略 ) d c a e b f 図 2 -1

10 “ こ れ は よ く で き る ク ラ ス だ ．授 業 の 目 的 は 達 成 さ れ て い る ” と 大 て い の 人 は い う だ ろ う ． だ が ， こ の ク ラ ス を 観 察 し な が ら ， 私 は な に か し ら 腑 に 落 ち な い 感 じ が し て ，も じ も じ し て い る ．“ 彼 ら は い っ た い 何 を 学 ん だ の だ ろ う ” と 私 は 自 問 す る ． “ い っ た い 彼 ら は 考 え る と い う こ と を し た の だ ろ う か ． 勘 ど こ ろ を 把 握 し た の だ ろ う か ． お そ ら く 彼 ら が や っ た こ と は す べ て ， 盲 目 的 反 復 を ほ と ん ど 出 な い の で は な か ろ う か ． た し か に ， 先 生 が 與 え た 課 題 を 彼 ら は て き ぱ き と 解 い た ． そ の 限 り 彼 ら は て き ぱ き と 解 い た ． そ の 限 り 彼 ら は ， い く ら か の 抽 象 を 含 む よ う な 或 る 一 般 的 性 格 を も つ と こ ろ の な に か を 学 習 し た の で あ る ． 先 生 が い っ た こ と を 鸚 鵡 返 し に く り か え す こ と が で き た ば か り か ， や さ し い 移 入 も や れ た ． し か し － い っ た い 彼 ら は 勘 ど こ ろ を 把 え て い た の で あ ろ う か ． ど う し た ら 私 は そ の こ と を 明 ら か に す る こ と が で き る だ ろ う か ．私 に ど ん な こ と が や れ る だ ろ う か ．”」（ p . 1 9 - 2 0 ， 筆 者 に よ り 一 部 改 編 ） こ の よ う に ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ は 児 童 の 理 解 の 程 度 に つ い て 言 及 し て い る ． こ の よ う な 学 習 の 場 合 ， 子 ど も た ち は 同 じ よ う な 平 行 四 辺 形 の 面 積 を 求 め る 問 題 を 解 く 際 に は ， こ の と き と 同 じ よ う に ， 左 上 隅 か ら １ 本 の 垂 線 を ひ き ， 右 上 隅 か ら も う １ 本 ひ き ，底 辺 の 線 を 右 に 延 長 し て 考 え る ．こ の 場 合 ， 子 ど も た ち は 先 生 の 言 っ た こ と を 繰 り 返 し て い る だ け で あ っ て ， 手 段 ひ と つ ひ と つ の 意 味 に つ い て 考 え た り 理 解 し た り し な が ら 学 習 す る こ と が で き て い な い ． そ の た め 形 が 変 わ っ た り 発 展 的 な 問 題 が 出 て き た り す る と ， 学 ん だ 手 段 を そ の ま ま 使 う こ と が で き な い た め ， 問 題 を 解 く こ と が で き な く な る ． ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ は そ の よ う な 学 習 と し て 次 の 例 を 挙 げ て い る ．

11 「 こ こ に 思 想 な き 反 応 の 極 端 な 事 例 が あ る ．子 供 は 次 の 図 形 を た だ 与 え ら れ て ，先 生 の い っ た こ と を 盲 の 奴 隷 の よ う に 鸚 鵡 返 し に も ぐ も ぐ と 反 復 し て ，“ 左 上 隅 か ら 1 本 の 垂 線 を ” と い い な が ら そ れ を ひ き ， そ う し て “ 右 上 隅 か ら も う 1 本 ” と い っ て ，そ れ を ひ く ．“ 底 辺 の 線 を 右 に 延 長 し ” と い っ て 結 局 こ ん な 図 形 が 得 ら れ る ．」( p . 2 3 )（ 図 2 -2） 図 2 -2 ま た ， ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ は ， 公 式 の 学 習 の 仕 方 に つ い て も 述 べ て い る ． 公 式 を た だ そ の ま ま 暗 記 し て 使 っ て い る だ け だ と ， 忘 れ た と き に す ぐ に 自 力 で 思 い 出 す こ と が で き な い ． し か し ， ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ は 「 生 徒 が 本 当 に 問 題 に 取 り 組 ん で い た な ら ば ， 忘 れ て い た 公 式 で も 自 由 に 再 構 成 で き た で あ ろ う ．」（ p . 4 0 ）と し て い る ．そ の と き 生 徒 は ， 公 式 を ， 公 式 の 意 味 か ら 理 解 す る こ と が で き て い る か ら で あ る ． 公 式 を 公 式 の 意 味 か ら 理 解 す る と い う こ と は ， 公 式 が そ う な る 理 由 を 理 解 す る こ と と 言 い 換 え る こ と が で き る ． こ の こ と に つ い て ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ は 次 の よ う な 例 を 挙 げ て い る ． 「 １ 人 の 少 年 に む か っ て 小 さ い 正 方 形 の 単 位 に 分 割 さ れ た 矩 形 が 示 さ れ る ．そ の 全 体 の 量 ，即 ち 面 積 は a・ b に 等 し い こ と が 話 さ れ る ． こ ん ど は ，様 々 な 矩 形 が た く さ ん 彼 に 与 え ら れ る と ，彼 は そ れ ら の 辺 を 掛 け あ わ せ て 面 積 を 正 確 に 計 算

12 す る ．“ こ れ で た し か に 正 し い と 思 い ま す か ” と 私 は 彼 に た ず ね る ． そ れ で 彼 は ，“ た し か に ． あ な た が 僕 に 教 え て 下 さ っ た の で す か ら ．だ が ，も し お 望 み で し た ら ，僕 は そ れ を 教 え て あ げ て も い い の で す ．” と 答 え て ， 5 個 の 正 方 形 の 組 を 底 辺 か ら 次 の よ う に 数 え は じ め る ． 終 り に 達 し た と き に ， 彼 は 私 の 方 を む い て “ ど う で す ， 正 し か っ た で し ょ う ” と い っ た ． 図 2 -3 こ こ に な に か 本 質 的 な こ と が 欠 け て い る こ と が わ か る ．こ の 少 年 は ，面 積 が 1 列 の 長 さ と そ れ に 平 行 の 列 の 反 復 数 を か け あ わ せ て 組 み 立 て ら れ て い る こ と を 把 握 し て い な か っ た の で あ る ．彼 は ，ど の 列 も 同 数 の 正 方 形 を も っ て い る と い う 基 本 的 な 構 造 的 特 質 を 用 い て い な か っ た の で あ る ． そ れ で ，彼 は 面 積 を 有 意 味 な 仕 方 で 構 造 的 に 理 解 す る た め の 基 盤 を う る こ と が で き な か っ た の で あ る ． こ の こ と を ち が っ た ふ う に い う と ， も し こ の 少 年 が 行 っ た よ う な 数 え 方 で 面 積 が 見 出 さ れ る も の で あ れ ば ， 図 形 は 矩 形 で あ る 必 要 は す こ し も な い ． 連 続 的 な 小 正 方 形 で で き て い る 他 の い か な る 図 形 で も 同 じ よ う に で き る は ず で あ る ． 彼 の 手 段 は ， 掛 算 と 内 的 関 係 に あ る 図 形 の 構 造 に 対 し て 盲 目 的 で あ る ． （ … 中 略 ） 正 方 形 の 場 合 に も 問 題 が ほ ん と う に 理 解 さ れ ３ ４ ５ １ ２ ３ ４ ５ ５ １ ２ ３ ４ ５ １ ２ ２ ３ ４ ５ １ ２ ３ ４ ４ ５ １ ２ ３ ４ ５ １ １ ２ ３ ４ ５ １ ２ ３

13 て い た ら ，面 積 は 底 列 の 小 さ い 正 方 形 の 数 掛 け る 列 の 数 と し て 見 ら れ る か ら ，矩 形 へ の 移 行 に は さ ほ ど 困 難 は な い は ず で あ る ．正 方 形 の 2 辺 が 等 し い と い う 事 実 は ，構 造 的 に は 末 梢 的 で あ り ，問 題 点 と は 合 理 的 な 連 結 を も っ て い な い か ら ，別 に 妨 げ と は な ら な い ．」 ( p . 4 5 - 4 6 ) こ の よ う に ， 正 方 形 の 面 積 の 求 め 方 を a × a と 教 わ る と き に ， そ の よ う に な る 理 由 を 理 解 し て い る こ と が 重 要 な の で あ る ． 即 ち ， a× a と な る 理 由 と し て ，一 列 に 含 ま れ る 小 さ い 正 方 形 の 数 × 列 の 数 で あ る と い う こ と が 理 解 で き て い る か と い う こ と で あ る ．（ 図 2 -4） こ の こ と が 理 解 で き て い れ ば ， 正 方 形 が 長 方 形 に な っ て も 同 じ よ う に 考 え て 答 え を 求 め る こ と が で き る ． 公 式 の 意 味 を 理 解 し な い ま ま a× a と い う 公 式 だ け に 頼 っ て 計 算 し て い る と き に は ， 掛 け 算 と 図 形 の 構 造 と の 間 に あ る 内 的 関 係 性 に つ い て は 無 視 し て い る の で ， 新 し い 状 況 に は 対 応 す る こ と が で き な い の で あ る ． 図 2 -4 こ の よ う に ， 全 体 図 形 と 全 体 状 況 を 考 慮 し て ， 諸 段 階 が え ら ば れ ， そ れ ら を 考 慮 し た う え で 諸 操 作 が な さ れ る こ と が 重 要 で あ る ． そ の と き の 操 作 は ， 公 式 を そ の ま ま 用 い た り 試 し に 計 算 し て み た り す る の と は 大 き く 異 な り ， 図 形 や 状 況 の 部 分 機 能 に よ っ て 生 じ て い る ． 問 題 と 手 段 と の 間 の 内 的 関 係 性 に 気 付 く こ と が で き た う え で 問 題 を 解 く と

14 き に は ， そ の と き の 過 程 は い く つ か の 段 階 や 操 作 の 寄 せ 集 め で は な く ， 問 題 の 状 況 内 に あ る ギ ャ ッ プ の な か か ら ，ま た 構 造 上 の 難 点 と ，そ れ を 改 め ， 悪 い と こ ろ を 正 し ， よ き 内 的 関 係 に 到 達 し よ う と の 願 望 か ら 成 長 し て き た 思 考 の 一 系 列 ほ か な ら な い ． そ れ は 構 造 的 難 点 の 性 質 か ら 具 体 的 諸 段 階 へ と 動 く 過 程 で あ る ． 問 題 の 状 況 を 把 握 で き た う え で 問 題 を 解 く と き に は ， 面 積 の 求 め 方 や 公 式 を 知 ら な く て も ， 有 意 味 な 方 法 で 解 答 を 得 る こ と が で き る ． ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ は そ の と き の 例 を 次 の よ う に 挙 げ て い る ． 「 ま ず は じ め に ，5 歳 半 の 子 供 に お い て 起 っ た こ と を 報 告 し よ う ．平 行 四 辺 形 に つ い て 私 は 彼 女 に 少 し の 助 け を も 与 え な か っ た ．矩 形 の 面 積 の 求 め 方 を 簡 略 に 示 さ れ た 後 に ，平 行 四 辺 形 の 問 題 を 与 え ら れ て ，彼 女 は“ そ れ を ど う し て や っ た ら い い の か ど う し て も わ か り ま せ ん ”と い っ た ．そ れ か ら ち ょ っ と だ ま っ て か ら ，左 端 の 部 分 を 指 さ し な が ら “ こ こ ん と こ ろ が う ま く い か な い ”， 右 端 の 部 分 を 指 さ し て“ こ こ も う ま く い か な い わ ”と い っ た ．“ こ こ ん と こ が 面 倒 な の ．”彼 女 は た め ら い な が ら い っ た ．“ こ こ の と こ ろ を 真 直 ぐ に で き れ ば … … で も … … ”突 然 彼 女 は 大 声 で い っ た ．“ 鋏 を つ か っ て も い い か し ら ．そ っ ち の い け な い と こ ろ が ，ち ょ う ど こ ち ら に い る の よ ．ほ ら ぴ っ た り 合 う わ ．”彼 女 は 鋏 を と っ て ，垂 直 に 切 り ， 左 端 を 右 端 に お い た ．（ 図 2 -5）

15 図 _{2 -5} も う 1 人 の 子 供 は 同 じ よ う な 仕 方 で 三 角 形 を 切 り と っ た ．（ 図 2 -6） 図 2 -6 紙 を 切 り 抜 い た 細 長 い 平 行 四 辺 形 （ 前 の 諸 例 に も ， 細 長 い 平 行 四 辺 形 の 方 が よ い よ う に 思 わ れ た ） を 与 え ら れ た 子 供 は は じ め に “ 真 中 の 部 分 は み な い い ん だ け ど ， 端 の と こ ろ が ― ” と い っ た ． 彼 女 は 明 ら か に そ の 端 の と こ ろ に 関 心 を も っ て ， そ の 形 を 見 続 け て い た が ， 突 然 そ の 紙 の 図 形 を と っ て ， 微 笑 み な が ら 両 端 を 一 緒 に し て 環 を つ く っ た ． こ れ が ど ん な 意 味 を も っ て い る か と き か れ て ， 彼 女 は 小 さ い 指 で 両 端 を 合 わ せ な が ら ，“ え え ， こ れ を 切 れ ば い い の よ ， こ ん な ふ う に ” と 答 え ， そ し て 真 中 の 任 意 の と こ ろ に 垂 線 を 示 し て ，“ こ れ で い い ん だ わ ．”」（ p . 6 3 - 6 5 ） （ 図 _{2 -7）}

16 図 _{2 -7} 公 式 を 使 っ て 求 め る 場 合 に は ， た だ 公 式 を あ て は め た り ， な ん と な く 掛 け 算 を 用 い た り し て 考 え ら れ て い る こ と が 多 い が ， こ の よ う な 求 め 方 が さ れ て い る 場 合 は ， 図 形 全 体 と そ の 状 況 が 考 慮 さ れ ， 諸 段 階 が 選 ば れ ， そ れ ら を 考 慮 し つ つ 諸 操 作 が な さ れ て い る ． そ の 点 に お い て 大 き く 異 な っ て い る ． 2 . 2 図 形 の 役 割 2 . 1 で 考 え た よ う に 問 題 を 考 え る 場 合 ，図 形 の 役 割 に つ い て ウ ェ ル ト ハ イ マ ァ は 次 の よ う に 述 べ て い る ． 「 図 が 示 す も の は 過 程 に お け る ヴ ェ ク ト ル の 線 で あ る ．力 学 的 に は か か る 思 考 過 程 に お け る 本 質 は 簡 単 に い え ば 次 の よ う で あ ろ う ．課 題 に 直 面 す る と ， ヴ ェ ク ト ル は 構 造 的 特 徴 ， ギ ャ ッ プ ， 状 況 の 非 完 結 性 と 結 合 し ，ま た こ れ ら に 規 定 さ れ て 起 る ．そ の ヴ ェ ク ト ル は 思 考 を 乱 す 領 域 の 具 体 化 及 び そ れ を 変 化 さ せ る 操 作 へ と 向 う ．ヴ ェ ク ト ル の 位 置 及 び 方 向 に お い て 偶 然 的 な も の は 存 在 し な い ．こ こ で 用 い ら れ る も の は ，現 在 の 状 況 か ら に し ろ ，再 生 か ら に し ろ ，そ れ ぞ れ の 機 能 を 通 じ て ，構 造 的 に 要 求 さ れ る ま ま に ，過 程 中 に 入 っ て き て ，ギ ャ ッ プ と 不 明 瞭 さ と を 伴 っ た 出 発 状 況 を 明 瞭 な 完 全 な 終 末 状 況 へ と 変 化 さ せ る ．つ ま り 悪 し き ゲ シ タ ル ト が よ き ゲ シ タ ル ト へ と よ き 転 移

17 を 行 う の で あ る ．」 ( p . 6 9 ) つ ま り ， 平 行 四 辺 形 の 面 積 を 求 め る 場 合 で い え ば ，3 本 の 補 助 線 は 単 な る“ 左 上 か ら 垂 直 に 下 ろ さ れ た 線 ， 右 上 隅 か ら の 線 ， 底 辺 か ら 右 に 延 長 さ れ る 線 ” と し て 描 か れ ， 描 か れ た 後 に 何 か 価 値 や 意 味 を 得 る の で は な く ， 図 形 の 機 能 的 要 求 か ら ， 部 分 と し て の 役 割 を も っ て 生 ま れ 出 て く る の で あ る ． そ し て 問 題 を 解 く 過 程 の 進 行 中 に 図 形 の 諸 部 分 は そ の 機 能 的 意 味 を 変 え る の で あ る ． こ の と き の 補 助 線 の 意 味 は 次 の よ う に な る ．（ 図 2 -8） ① 左 上 隅 か ら 垂 直 に 下 ろ さ れ た 線 ・ 長 方 形 の 左 の 端 ・1 本 の 垂 線 で あ る だ け で は な く 三 角 形 の 部 分 ・ 右 側 に う つ さ れ 長 方 形 の 右 側 の 端 と な る ． ② _{右 上 隅 か ら の 線} 長 方 形 の 端 ． ③ 底 辺 か ら 右 に 延 長 さ れ る 線 単 に 線 の 延 長 で は な く ，三 角 形 の 部 分 で あ り 長 方 形 の 底 辺 と な る ． ② ③ 図 _{2 -8} 左 側 の 三 角 形 を 移 動 さ せ る と ，2 本 の 邪 魔 だ っ た 斜 辺 は 同 一 物 に 変 化 し ， 2 本 で は な く 1 本 に な る ． そ し て こ の 2 本 は も は や 構 造 的 に は 重 要 な も の で は な く な る ． こ の よ う な 場 合 に は ， 邪 魔 物 の 消 失 ①

18 と と も に ， 構 造 的 変 化 ， よ り よ き 構 造 へ と 変 化 し て い る ． 不 完 全 ， 不 適 当 な 構 造 か ら ， 完 全 な ， 一 貫 す る 構 造 へ と な る よ う に 補 助 線 が 使 わ れ て い る の で あ る ． 2 . 3 筆 者 の 考 察 問 題 を 解 く と き に は ， 公 式 を 用 い る ， 用 い な い に か か わ ら ず ， 問 題 を 解 く と き の 手 段 を 理 解 し て 解 く こ と が 重 要 で あ る こ と を 捉 え る こ と が で き た ． も ち ろ ん ， 公 式 を 用 い て 正 し い 答 え を 得 る こ と は 大 切 な こ と で あ る ． し か し 機 械 的 に 公 式 を 用 い て 問 題 を 解 く の で は ， 子 ど も た ち が 十 分 に 思 考 を 巡 ら せ ， 考 え ら れ て い る と は い え な い ． 問 題 を 解 く と き に ， ど の よ う に 考 え る こ と が 子 ど も た ち に と っ て 大 切 な こ と で あ り ， 意 味 あ る 活 動 と な る の か 考 え る こ と が で き た ． ま た ， 子 ど も た ち が 意 味 あ る 活 動 を し た と き の 図 形 の 役 割 に つ い て 考 え ， そ の と き の 図 形 に は 思 考 の 軌 跡 が 残 る よ う に 感 じ た ． こ の よ う に ， 子 ど も た ち が 様 々 に 考 え ， 様 々 な 思 考 の 軌 跡 が 残 る よ う な 問 題 が 必 要 で あ る と い う こ と が 分 か っ た ． こ こ で 考 察 し た 子 ど も た ち に 意 味 あ る 活 動 に つ い て も 踏 ま え な が ら ， 具 体 的 に ど の よ う な 問 題 が 必 要 で あ る か 第 4 章 で 考 え て い く ．

19 第 2 章 の 要 約 本 研 究 は ， 算 数 学 習 の 問 題 解 決 の 場 面 に あ た り ， 子 ど も た ち が 真 に 理 解 し な が ら 問 題 を 解 き ， よ り 高 度 な 学 習 の 際 に も 対 応 し て い け る よ う な 練 習 問 題 の 必 要 性 を 感 じ ， 子 ど も た ち に 価 値 あ る 思 考 の 様 子 に つ い て 検 討 す る こ と で ， 子 ど も た ち に と っ て 有 意 味 な 練 習 問 題 を 提 案 す る こ と を 目 的 と し て い る ． 子 ど も た ち に と っ て 価 値 あ る 思 考 の 様 子 を 考 え る 際 に は ，「 生 産 的 思 考 」 に つ い て 考 察 し ， 生 産 的 思 考 に は ど の よ う な 特 徴 が あ る か を 考 え て い く こ と に よ っ て ， 子 ど も た ち に 必 要 と な る 練 習 問 題 に つ な げ る 考 察 を し た ． 先 行 研 究 を 考 察 す る こ と で ， 生 産 的 思 考 の 特 性 に つ い て 考 察 し た 結 果 ， 子 ど も た ち の 思 考 に と っ て 重 要 な 点 と し て ， 以 下 の 示 唆 を 得 る こ と が で き た ． ○ 問 題 解 決 で は ，問 題 を 構 造 的 に 理 解 し ，問 題 と 手 段 と の 間 の 内 的 関 係 性 を 理 解 す る こ と ． つ ま り ， 問 題 に 対 す る 手 段 の 意 味 を 理 解 し て 問 題 解 決 に あ た る こ と が 重 要 だ と い う こ と で あ る ． 問 題 の 状 況 を 把 握 で き た う え で 問 題 を 解 く と き に は ， 面 積 の 求 め 方 や 公 式 を 知 ら な く て も ， 問 題 の 状 況 か ら 判 断 し 有 意 味 な 方 法 で 解 答 を 得 る こ と が で き る の で あ る ． こ の よ う に 問 題 と 手 段 の 間 の 内 的 関 係 性 を 理 解 す る こ と が で き て い れ ば ， よ り 高 度 な 問 題 に な っ た と き で も ， そ の 場 合 に 合 わ せ て 手 段 を 活 用 す る こ と が で き る ． そ の た め ， 問 題 の 要 求 を し っ か り 把 握 し た う え で 問 題 解 決 に あ た っ て い く こ と が 必 要 で あ る ． こ の よ う な 視 点 を も ち な が ら ， 子 ど も た ち が 価 値 あ る 思 考 が で き る よ う な 練 習 問 題 を 具 体 的 に 考 え て い く ．

20 第 3 章 生 産 的 練 習 に つ い て の 先 行 研 究 の 検 討 3 . 1 生 産 的 練 習 と は 3 . 2 生 産 的 練 習 の 具 体 的 な 問 題 の 検 討 （ 計 算 問 題 ） 3 . 3 生 産 的 練 習 の 具 体 的 な 問 題 の 検 討 （ 図 形 問 題 ） 3 . 4 筆 者 の 考 察 本 章 で は ， 生 産 的 練 習 に つ い て そ の 特 徴 と 具 体 的 な 問 題 に つ い て 検 討 し て い く ． 3 . 1 で 生 産 的 練 習 の 特 徴 を 考 え ，3 . 2 ，3 . 3 で 生 産 的 練 習 の 具 体 的 な 問 題 例 に つ い て 検 討 し ，3 . 4 に お い て 考 察 す る ．

21 第 3 章 生 産 的 練 習 に つ い て の 検 討 3 . 1 生 産 的 練 習 と は ハ イ ソ リ ッ ヒ・ロ ー ト は ，生 産 的 練 習 に つ い て ， 練 習 の 原 理 と し て 次 の よ う に 述 べ て い る ． 「 練 習 の 原 理 ： 常 に 新 し い 観 点 の も と で ，常 に 他 の 教 材 と 結 び つ き ，常 に 新 し い 関 連 ，他 の 応 用 の も と で ，常 に よ り 大 き な 問 題 の も と で の 練 習 － こ こ に 練 習 の 秘 密 が あ る ．」 「 練 習 は ， 導 入 の た め の 練 習 か ら ， 構 造 化 さ れ た 練 習 を 経 て ， 習 熟 の た め の 練 習 に 至 る ． 生 産 的 練 習 は 構 造 化 さ れ た 練 習 に 相 当 す る も の で ， こ の 練 習 で は ， 対 象 （ 図 形 ， 数 ， 式 ， 図 式 な ど ） を 組 織 的 に 変 形 さ せ て （ 操 作 的 原 理 ）， そ の 中 か ら ， 新 し い 規 則 性 を 認 識 し た り ， 新 し い 知 識 を 獲 得 し た り す る ． も ち ろ ん ， 生 産 的 練 習 は 計 算 技 能 の 習 熟 の 達 成 も 目 指 し て 作 ら れ て い る ．」 （ 國 本 ・ 山 本 ，2 0 0 4 ） ま た ，「 わ っ く わ く シ ー ト 20 1 0 ～ 生 産 的 練 習 ～ 」 の 中 で は 次 の よ う に 述 べ ら れ て い る ． 「「 生 産 的 練 習 」 と は ， ド イ ツ の 小 学 校 用 算 数 教 科 書 『 数 の 本 （D a s Z a h l e n b u c h ）』に お い て 用 い ら れ る 計 算 練 習 形 式 で あ り ， 特 徴 と し て は 主 に 次 の 3 つ が 挙 げ ら れ る ． ① パ タ ー ン が 組 み 込 ま れ た 練 習 形 式 で あ る こ と ． ② 内 容 的 学 習 目 標 （ 知 識 や 技 能 の 習 得 や 習 熟 ） と 一 般 的 学 習 目 標 （ 数 学 化 す る ， 発 見 す る ， 推 論 す る ， 表 現 す る な ど の 能 力 の 育 成 ） を 統 合 的 に 達 成 で き る こ と ． ③ 推 論 す る 活 動 や 表 現 す る 活 動 を ，計 算 過 程 に 設 定 す る こ と が 可 能 で あ る こ と ．」（ 熊 本 大 学 教 育 学 部 数 学 教 育 学 研 究 室 ， 2 0 1 0 ） こ れ ら の こ と か ら ， 生 産 的 練 習 の 問 題 の 特 性 を

22 ま と め る と 次 の よ う に な る ． ・ パ タ ー ン が 組 み 込 ま れ た 練 習 形 式 で あ る こ と ． ・ 問 題 の 解 決 に あ た っ て ，知 識 や 技 能 の 習 得 だ け で は な く ，新 し い 解 決 の 方 法 や 規 則 性 を み つ け る こ と が で き る こ と ． こ の よ う に 生 産 的 練 習 で は ， 練 習 問 題 に 取 り 組 む に あ た っ て ， 計 算 を 練 習 し 計 算 技 能 を 習 得 す る こ と だ け を 目 標 と す る の で は な く ， 問 題 を 解 く 過 程 で ， 問 題 の 中 に 規 則 性 を 見 つ け た り ， 新 し い 考 え 方 に 気 付 け た り す る こ と が で き る こ と が 重 要 で あ る ． 生 産 的 練 習 は ，“ 計 算 を す る ” と い う 面 だ け か ら 考 え れ ば ， 子 ど も た ち が 普 段 や っ て い る 問 題 と 大 き な 違 い は な い よ う に 感 じ ら れ る が ， た だ ひ た す ら 計 算 を 繰 り 返 し 練 習 す る だ け で は な く ， い ろ い ろ な 解 き 方 を 考 え た り 試 し た り し な が ら た く さ ん の 計 算 を す る こ と が で き る と い う 点 で ， 子 ど も た ち が 普 段 行 っ て い る 練 習 問 題 と は 異 な っ て い る の で は な い か と 考 え る ． も ち ろ ん ド リ ル な ど を 使 っ た 練 習 で も 計 算 の 練 習 を す る こ と は で き る が ， そ の 場 合 ， そ の と き の 計 算 の 内 容 ま で 考 え ら れ て い る こ と は 少 な く ， 計 算 の 量 だ け に 重 点 が 置 か れ て い る こ と が 多 い ． 一 方 ， 生 産 的 練 習 で は 計 算 の 練 習 は も ち ろ ん ， 練 習 問 題 の 中 に パ タ ー ン を 見 つ け た り ， 見 つ け た パ タ ー ン を 活 用 し て 問 題 を 解 い た り す る よ う な こ と も で き る の で ， 子 ど も た ち は 一 つ の 問 題 か ら よ り 多 く の こ と を 学 習 す る こ と が で き る 練 習 問 題 と な っ て い る の で は な い か と 考 え る ． し か し 例 え ば ， 計 算 の ス ピ ー ド を 速 め る 練 習 が 必 要 な 場 合 に は ， ド リ ル 練 習 の よ う な 計 算 の 量 を 重 視 し た 練 習 問 題 が ， 計 算 方 法 の 上 達 を 目 的 と す る よ う な 場 合 に は ， 生 産 的 練 習 で 使 わ れ る よ う な 問 題 が そ れ ぞ れ 必 要 と さ れ る ． そ の た め ， 必 ず し も 生 産 的 練 習 の 練 習 問 題 だ け が 子 ど も た ち の 学 習 に と っ て 効 果 的 な 練 習 問 題 と い う わ け で は な く ，

23 状 況 に よ っ て 使 い 分 け て い く こ と が 必 要 で あ る ． 3 . 2 生 産 的 練 習 の 具 体 的 な 問 題 の 検 討 （ 計 算 問 題 ） 熊 本 大 学 教 育 学 部 数 学 教 育 学 研 究 室 に よ っ て 考 え ら れ た ， 生 産 的 練 習 の 計 算 練 習 帳 で あ る 「 わ っ く わ く シ ー ト 20 1 0 ～ 生 産 的 練 習 ～ 」の ，具 体 的 な 練 習 問 題 を 検 討 し て い く ． 3 . 2 . 1 「 た け の こ す う 」 「 た け の こ す う 」 の ね ら い は ，「1 位 数 同 士 の 加 法 ・ 減 法 ，2 位 数 と 1 位 数 の 加 法 ・ 減 法 ， 2 位 数 同 士 の 加 法 ・ 減 法 の 計 算 を 習 熟 す る こ と ， ま た ，「 た け の こ す う 」 の 規 則 性 （ パ タ ー ン ） を 見 つ け ， そ の 理 由 を 説 明 す る こ と 」 と さ れ て い る ． 1 ． ○ の 中 に か ず を い れ て ， た け の こ す う を つ く り ま し ょ う ．

② ②

④ ⑥

② ③

⑤ ⑧

② ④

⑥ ⑩

② ⑤

⑦ ⑫

②

⑥ ⑧

⑭

気 付 い た こ と は あ り ま す か ？ ・ 左 か ら 1 番 目 の 行 が 全 部 2 ． ・ 左 か ら 2 番 目 と 3 番 目 の 行 が 1 ず つ 増 え て い る ． ・ 左 か ら 4 番 目 の 行 が 2 ず つ 増 え て い る ．

24 3 ． ○ の 中 に か ず を い れ て ， た け の こ す う を つ く り ま し ょ う ．

④ ④

⑧ ⑫

⑥ ⑥

⑫ ⑱

⑧

⑧ ⑯

○

2 4

⑩

⑩ ⑳

○

3 0

⑫

⑫

○

2 4

○

3 6

気 付 い た こ と は あ り ま す か ？ ・ 左 か ら 1 番 目 と 2 番 目 の 行 が 同 じ 数 で ， 2 ず つ 増 え て い る ． ・ 左 か ら 3 番 目 の 行 は 4 ず つ 増 え て い る ． ・ 左 か ら 4 番 目 の 行 は 6 ず つ 増 え て い る ． ・ 3 ・ 4 番 目 の 行 を 足 し て い く と ， 上 か ら 2 0 ， 3 0 ， 4 0 … と な っ て い る ． ・ 3 ・ 4 番 目 の 行 は ど の 列 も 1 ・ 2 番 目 の 2 倍 ・ 3 倍 と な っ て い る ． 2 ． ○ の 中 に か ず を い れ て ， た け の こ す う を つ く り ま し ょ う ．

⑤ ⑤

⑩ ⑮

⑩ ⑤

⑮ ⑳

⑮

⑤ ⑳

○

2 5

⑳

⑤

○

2 5

○

3 0

○

2 5

⑤

○

3 0

○

3 5

気 付 い た こ と は あ り ま す か ？ ・ 左 か ら 2 番 目 の 行 が 全 部 5 ． ・ 左 か ら 1 番 目 ，3 番 目 ，4 番 目 の 行 が 5 ず つ 増 え て い る ．

25 4 ． ○ の 中 に か ず を い れ て ， た け の こ す う を つ く り ま し ょ う ．

①

⑨

⑩ ⑲

②

⑧ ⑪

⑲

③

⑧

⑫

⑳

⑦

⑥

⑬

⑲

⑨

⑤ ⑭

⑲

気 付 い た こ と は あ り ま す か ？ ・ 上 か ら ３ 段 目 は ， パ タ ー ン 崩 し .（ 訂 正 ： 5 ， 7 ， 1 2 ， 1 9 ） ・ 一 番 左 の 行 は ２ ず つ 増 え て い る ． ・ 左 か ら ２ 番 目 の 行 は 1 ず つ 減 っ て い る ． ・ 左 か ら 3 番 目 の 行 は 1 ず つ 増 え て い る ． ・ 左 か ら 4 番 目 の 行 は 全 部 1 9 ． 5 ． さ い ご が 1 6 に な る よ う に た け の こ す う を つ く り ま し ょ う ．

② ⑦ ⑨

⑯

④ ⑥ ⑩

⑯

⑥ ⑤ ⑪

⑯

⑧ ④ ⑫

⑯

⑩ ③ ⑬

⑯

ま だ あ り ま す か ？ ・ 他 の 解 答 例 0 ， 8 ， 8 ， 1 6 1 2 ， 2 ， 1 4 ， 1 6 1 4 ， 1 ， 1 5 ， 1 6 1 6 ， 0 ， 1 6 ， 1 6

26 「 た け の こ す う 」 の 特 徴 と し て は ， 以 下 の よ う な 点 が 挙 げ ら れ る ． ・ 加 法 ・ 減 法 の 練 習 と な る ． ・ 無 意 識 的 に た く さ ん 計 算 す る こ と が で き る ． ・ 数 字 の い れ 方 に よ っ て い ろ い ろ な 問 題 を 作 る こ と が で き る ． ・ パ タ ー ン を み つ け さ せ る こ と が で き ， ど う す れ ば 美 し い パ タ ー ン に な る か を 考 え る こ と に よ っ て ，数 に つ い て の 感 覚 を 豊 か に す る こ と が で き る ． ・ パ タ ー ン が あ る た め ， 自 分 の 間 違 い に も 気 づ き や す い ． ・ た だ 問 題 を 解 く だ け で は な く ， 問 題 を 解 い て 気 付 い た こ と な ど を 考 え る こ と が で き る ． ・ ○ の 数 を 増 や す ， 加 法 ・ 減 法 を 乗 法 に す る な ど し て ，学 年 に 応 じ た 問 題 に す る す る こ と が で き る ． 3 . 2 . 2 「 美 し い 包 み 」 「 美 し い 包 み 」 の ね ら い は ，「 計 算 問 題 群 の 中 で パ タ ー ン を 見 つ け た り ， 交 換 法 則 を 見 つ け た り す る こ と に よ っ て ， 楽 し く 問 題 を 解 き ， よ り 簡 単 な 方 法 で 計 算 す る こ と 」 と さ れ て い る ．

27 １ う つ く し い つ つ み つ づ き は ど う な る で し ょ う ？ ( 1 ) 3 5 ＋ 3 5 ＝ 7 0 ( 2 ) 3 8 ＋ 3 5 ＝ 7 3 4 0 ＋ 3 0 ＝ 7 0 3 6 ＋ 3 7 ＝ 7 3 4 5 ＋ 2 5 ＝ 7 0 3 4 ＋ 3 9 ＝7 3 5 0 ＋ 2 0 ＝ 7 0 3 2 ＋ 4 1 ＝7 3 ( 3 ) 3 ＋ 1 7 ＝2 0 ( 4 ) 4 6 ＋ 4 6 ＝ 9 2 1 4 ＋ 1 6 ＝ 3 0 5 5 ＋ 3 6 ＝9 1 2 5 ＋ 1 5 ＝ 4 0 6 4 ＋ 2 6 ＝9 0 3 6 ＋ 1 4 ＝5 0 7 3 ＋ 1 6 ＝ 8 9 ( 5 ) 4 2 ＋ 2 4 ＝6 6 4 7 ＋ 1 9 ＝ 6 6 5 2 ＋ 1 4 ＝ 6 6 5 7 ＋ 9 ＝ 6 6 気 づ い た こ と は あ り ま す か ？ ２ う つ く し い つ つ み ？ ( 1 ) 4 1 ＋ 4 0 ＝8 1 ( 2 ) 2 8 ＋ 1 5 ＝ 4 3 4 3 ＋ 3 8 ＝ 8 1 3 8 ＋ 1 6 ＝ 5 4 4 5 ＋ 3 6 ＝ 8 1 4 8 ＋ 1 7 ＝6 5 4 6 ＋ 3 4 ＝ 8 1 5 8 ＋ 1 8 ＝7 6 4 9 ＋ 3 2 ＝ 8 1 7 8 ＋ 1 9 ＝9 7 ( 3 ) 2 4 ＋ 5 6 ＝8 0 ( 4 ) 8 ＋ 3 ＝1 1 3 6 ＋ 4 6 ＝ 8 2 1 9 ＋ 1 4 ＝3 3 4 7 ＋ 3 6 ＝ 8 3 2 0 ＋ 2 5 ＝ 4 5 5 8 ＋ 2 6 ＝ 8 4 4 1 ＋ 3 6 ＝ 7 7 6 9 ＋ 1 6 ＝ 8 5 5 2 ＋ 4 7 ＝ 9 9 ( 5 ) 1 2 ＋ 3 4 ＝4 6 2 1 ＋ 3 4 ＝ 5 5 3 2 ＋ 1 5 ＝ 4 7 2 1 ＋ 4 3 ＝ 6 4 1 2 ＋ 4 3 ＝ 5 5 な お し た い と こ ろ は あ り ま す か ？

28 「 美 し い 包 み 」 の 特 徴 と し て は ， 以 下 の よ う な 点 が 挙 げ ら れ る ． ・ 答 え が 同 じ に な る 計 算 問 題 ． ・ 答 え に パ タ ー ン が あ る 計 算 問 題 ． ・ パ タ ー ン か ら は ず れ る 問 題 は ， パ タ ー ン を も た せ る に は ど う す れ ば よ い か を 考 え さ せ る こ と が で き る ． ・ た ま に パ タ ー ン か ら は ず れ る 問 題 を い れ る こ と で ， き ち ん と 計 算 を さ せ る こ と が で き る ． ・ 両 端 か ら 計 算 す る と 楽 に 計 算 す る こ と が で き る こ と に 気 付 く ． ・ 3 ( 2 ) で は 最 初 の 答 え に 4 ず つ 足 し て い く と 楽 に 計 算 で き る ． ・ 計 算 が 得 意 な 子 ど も に 対 し て は ， パ タ ー ン に つ い て 考 え さ せ る ． ・ 計 算 が 苦 手 な 子 ど も に 対 し て は ， パ タ ー ン が 計 算 の 補 助 に な る ． ３ ど う す れ ば じ ょ う ず に 計 算 す る こ と が で き ま す か ？ ( 1 ) 9 ＋ 1 3 ＋ 2 1 ＝ 4 3 ( 2 ) 1 3 ＋ 1 4 ＋ 1 5 ＋ 1 6 ＝5 8 7 ＋ 9 ＋ 2 3 ＝ 3 9 1 4 ＋ 1 5 ＋ 1 6 ＋ 1 7 ＝6 2 5 ＋ 7 ＋ 2 5 ＝ 3 7 1 5 ＋ 1 6 ＋ 1 7 ＋ 1 8 ＝6 6 1 3 ＋ 1 5 ＋ 1 7 ＝ 4 5 1 6 ＋ 1 7 ＋ 1 8 ＋ 1 9 ＝7 0 ( 3 ) 2 6 ＋ 2 8 ＋ 3 4 ＝8 8 ( 4 ) 1 2 ＋ 2 5 ＋ 1 8 ＝5 5 2 7 ＋ 2 9 ＋ 3 3 ＝ 8 9 1 3 ＋ 3 6 ＋ 1 7 ＝ 6 6 2 8 ＋ 3 0 ＋ 3 2 ＝ 9 0 1 4 ＋ 4 7 ＋ 1 6 ＝ 7 7 2 9 ＋ 3 1 ＋ 3 1 ＝ 9 1 1 5 ＋ 5 8 ＋ 1 5 ＝ 8 8 気 付 い た こ と は ？

29 3 . 2 . 3 「 ふ ぁ す と 計 算 」，「 － 1 8 の 計 算 」 「 ふ ぁ す と 計 算 」，「 － 1 8 の 計 算 」の 特 徴 と し て は 以 下 の 点 が 挙 げ ら れ る ． ・1 9 8 を 足 す こ と は ，2 0 0 を 足 し て か ら 2 を 引 け ば よ い こ と に 気 付 く ． ・1 8 を 引 く こ と は ，2 0 を 引 い て か ら 2 を 足 せ ば よ い こ と に 気 付 く ． ・ 複 雑 な 計 算 を 簡 単 に 計 算 す る 方 法 に 気 付 く こ と が で き る ． ・ 筆 算 を し て 計 算 す る こ と が ， 必 ず し も 速 く 解 く 方 法 で は な い こ と に 気 付 か せ る ． 3 . 3 生 産 的 練 習 の 具 体 的 な 問 題 の 検 討 （ 図 形 問 題 ） 生 産 的 練 習 の 問 題 と 類 似 し た 練 習 問 題 集 で あ る 「 美 し い 計 算 練 習 帳 」 の 具 体 的 な 問 題 を 検 討 し て い く ． 「 美 し い 計 算 練 習 帳 國 本 景 亀 」 こ の 練 習 帳 で は ， 一 般 的 な ド リ ル と は 違 い ， 問 題 に 数 字 や 図 形 の き ま り が 隠 さ れ て お り ， 算 数 の 楽 し さ を 味 わ う こ と が で き る よ う に 作 ら れ て い る ． そ の た め ， 子 ど も た ち も 夢 中 に な っ て 問 題 に 取 り ・ 計 算 し ま し ょ う ． ( 1 ) 1 0 5 ＋ 2 0 0 ＝3 0 5 ( 2 ) 1 2 3 ＋ 2 0 0 ＝ 3 2 3 3 0 5 － 2 ＝3 0 3 3 2 3 － 2 ＝3 2 1 1 0 5 ＋ 1 9 8 ＝3 0 3 1 2 3 ＋ 1 9 8 ＝3 2 1 ・ 計 算 し ま し ょ う ． ( 1 ) 3 0 － 2 0 ＝ 1 0 ( 2 ) 5 5 － 2 0 ＝3 5 1 0 ＋ 2 ＝1 2 3 5 ＋ 2 ＝ 3 7 3 0 － 1 8 ＝1 2 5 5 － 1 8 ＝ 3 7

30 組 め ， 子 ど も た ち の 創 造 力 を 伸 ば す 助 け と な る ． き ま り が 隠 さ れ て い る と い う 点 に お い て ， 生 産 的 練 習 と 重 な る 部 分 が あ る の で は な い か と 考 え た ． そ の 中 で も ， 図 形 の 問 題 に つ い て 考 え て い く ． 3 . 3 . 1 か た ち を つ く ろ う（ パ タ ー ン ブ ロ ッ ク ）3 美 し い 計 算 練 習 帳 ＜ 低 学 年 ＞ _{4 9 p . 4 9（ 図 3 -1）} ・ 図 の 形 が い ろ い ろ な 図 形 を 合 成 し て で き る こ と に 気 付 か せ る ． ・ 黄 色 1 個 ＝ 赤 2 個 ＝ 青 3 個 ＝ 緑 6 個 ＝ （ 青 2 個 ＋ 緑 2 個 ）の 関 係 に 気 づ く よ う に す る ．（ 図 3-2） 3 . 3 . 2 作 図 時 計 2 美 し い 算 数 練 習 帳 ＜ 中 学 年 ＞ 8 8 p . 8 8（ 図 3 -3） ・ 時 計 の メ モ リ を 使 っ て ， 正 三 角 形 ， 正 方 形 ， 正 五 角 形 ， 正 六 角 形 ， 正 八 角 形 を 描 い て み る ． ・ こ の 学 習 を 通 し て ，6 0 を 割 る わ り 算 も 練 習 で き 図 3 -1 （ 図 3 -2） み ど り き い ろ 赤 青

31 る ． 3 . 3 . 3 円 と ボ ー ル 投 げ 美 し い 算 数 練 習 帳 ＜ 高 学 年 ＞ 5 1 p . 5 1（ 図 3 -4） ・1 人 目 ご と と 6 人 目 ご と ， 2 人 目 ご と と 5 人 目 ご と ，3 人 目 ご と と 4 人 目 ご と が 同 じ 図 形 に な る こ と に 気 付 か せ る ． 3 . 4 筆 者 の 考 察 生 産 的 練 習 の 問 題 で は ， パ タ ー ン を 含 む 問 題 が 多 く 用 い ら れ て い る ． パ タ ー ン が あ る こ と に よ っ て ， 児 童 の 活 動 は 大 き く 広 が る ． パ タ ー ン が あ る こ と に よ っ て ， 児 童 は た だ 問 題 を 計 算 す る だ け で は な く ， そ こ に 含 ま れ る パ タ ー ン を 発 見 す る こ と や ， パ タ ー ン を も と に 次 の 答 え や 計 算 方 法 の 予 測 図 3 -3 図 3 -4

32 を し た り ， 推 論 し た り す る こ と ， ま た そ れ が ど の よ う な パ タ ー ン で あ る か を 表 現 し た り す る 活 動 が 可 能 に な る ． ま た 問 題 に よ っ て は そ の パ タ ー ン を 用 い て ，1 つ だ け で は な く ，複 数 の 回 答 を 考 え る こ と も で き る ． 確 か に ， 計 算 練 習 を た く さ ん す る こ と に よ っ て ， 計 算 の 技 能 を 獲 得 し た り ， 速 く 計 算 す る こ と が で き る よ う に な っ た り す る ． し か し そ れ だ け で は 子 ど も た ち に 十 分 な 能 力 が つ い た と は い え な い の で は な い か と 考 え る ． し か し こ こ で 取 り 上 げ た よ う な 生 産 的 練 習 の 練 習 問 題 で は ， 問 題 を 考 え な が ら よ り 有 意 味 な 解 き 方 に 気 付 く こ と が で き る な ど ， 計 算 だ け で は な い 活 動 が 期 待 で き る よ う に 作 ら れ て い る ． こ の こ と か ら 生 産 的 練 習 は ， 児 童 が こ れ ら の 問 題 を 通 し て ， 知 識 ・ 技 能 の 習 得 と 思 考 力 ・ 判 断 力 ・ 表 現 力 な ど の 育 成 を バ ラ ン ス よ く 達 成 す る こ と が で き る 計 算 練 習 方 式 で あ る と 考 え る こ と が で き る ．

33 第 3 章 の 要 約 第 3 章 で は ， 生 産 的 練 習 に つ い て 考 え ， 生 産 的 練 習 の 具 体 的 な 問 題 に つ い て 検 討 し た ． 生 産 的 練 習 の 特 徴 と し て は 以 下 の 点 が 挙 げ ら れ る ． ・ パ タ ー ン が 組 み 込 ま れ た 練 習 形 式 で あ る こ と ． ・ 問 題 の 解 決 に あ た っ て ，知 識 や 技 能 の 習 得 だ け で は な く ，新 し い 解 決 の 方 法 や 規 則 性 を み つ け る こ と が で き る こ と ． こ の よ う に ， 生 産 的 練 習 で は 子 ど も た ち が 問 題 の パ タ ー ン を 用 い な が ら ， 問 題 を 解 く な か で い ろ い ろ な こ と を 考 え ら れ る こ と が 重 要 で あ る ． 生 産 的 練 習 で は ， パ タ ー ン が あ る こ と に よ っ て 子 ど も た ち の 思 考 の 幅 が 広 が り ， 子 ど も た ち に と っ て 価 値 あ る 思 考 が 可 能 と な っ て い る と 考 え る ． 実 際 に 生 産 的 練 習 の 問 題 で は ， そ れ ぞ れ に パ タ ー ン が 組 み 込 ま れ た 問 題 が 多 く ， そ の パ タ ー ン を 考 え た り ， パ タ ー ン を 用 い な が ら 問 題 を 解 い た り す る な ど ， た だ 計 算 す る だ け で は な く い ろ い ろ な 考 え を す る こ と が で き る よ う に 考 え ら れ て い た ． こ の よ う な 練 習 問 題 に 取 り 組 む こ と に よ っ て ， 子 ど も た ち は 問 題 解 決 の と き に よ り 深 い 思 考 を 巡 ら す こ と が で き ， 子 ど も た ち に と っ て 価 値 あ る 思 考 を す る こ と が で き る こ と が 明 ら か と な っ た ．

34 第 4 章 生 産 的 思 考 と 生 産 的 練 習 の 関 連 4 . 1 類 似 点 4 . 2 相 違 点 4 . 3 求 め ら れ る 練 習 問 題 本 章 で は ， 生 産 的 思 考 と 生 産 的 練 習 の 関 連 に つ い て 考 察 し ど の よ う な 練 習 問 題 が 必 要 で あ る の か 考 え て い く ． ふ た つ の 類 似 点 と 相 違 点 を み て い く こ と に よ っ て ， 子 ど も た ち に と っ て 価 値 あ る 学 習 に つ な が る 問 題 の 提 案 に つ な げ て い く ．

35 第 4 章 生 産 的 思 考 と 生 産 的 練 習 の 関 連 4 . 1 類 似 点 生 産 的 思 考 に お い て 重 要 な 点 は ， 主 に 以 下 の 2 点 で あ っ た ．（2 . 1 ） ・ 問 題 を 構 造 的 に 理 解 す る こ と ． ・ 問 題 と 手 段 と の 間 の 内 的 関 係 性 を 理 解 し な が ら 問 題 を 考 え る こ と ． 一 方 ， 生 産 的 練 習 に お い て 重 要 な 点 は 以 下 の よ う に 挙 げ ら れ る ． ・ パ タ ー ン が 組 み 込 ま れ た 練 習 形 式 で あ る こ と ． ・ 問 題 の 解 決 に あ た っ て ， 知 識 や 技 能 の 習 得 だ け で は な く ，新 し い 解 決 の 方 法 や 規 則 性 を み つ け る こ と が で き る こ と ． 生 産 的 思 考 に お い て 重 要 と さ れ る ， 一 つ ひ と つ の 手 段 を 理 解 し て 問 題 を 解 く こ と は ， 生 産 的 練 習 に お い て ， パ タ ー ン を 見 つ け な が ら 問 題 を 解 い た り ， 問 題 を 解 き な が ら よ り 良 い 解 き 方 を 考 え た り す る 点 に お い て 共 通 す る 部 分 で あ る と い え る の で は な い か と 考 え る ． 生 産 的 思 考 ， 生 産 的 練 習 ど ち ら に お い て も ， た だ 問 題 を 解 い た り 計 算 を し た り す る だ け で は な く ， 計 算 を し な が ら い ろ い ろ な こ と を 考 え る こ と が 重 要 で あ る ． こ れ ら の こ と か ら ， 生 産 的 思 考 ， 生 産 的 練 習 の 類 似 点 を ， 以 下 の よ う に ま と め る こ と が で き る ． ・ 問 題 に 対 す る 解 き 方 の 意 味 を 理 解 し な が ら ， 問 題 を 解 く こ と ． ・ た だ 単 純 に 計 算 を す る な ど し て 問 題 を 解 く だ け で は な く ，問 題 を 解 き な が ら い ろ い ろ な こ と を 考 え る こ と ． 4 . 2 相 違 点 生 産 的 練 習 で は ， そ の 条 件 と し て パ タ ー ン が 組

36 み 込 ま れ て い る こ と が 必 要 と な っ て い た ． し か し ， 生 産 的 思 考 に お い て は 必 ず し も パ タ ー ン が 必 要 と さ れ る わ け で は な い ．確 か に ，「 ふ ぁ す と 計 算 」，「 － 1 8 の 計 算 」 の よ う に ， パ タ ー ン が あ る こ と に よ っ て ， パ タ ー ン を 考 え た り ， パ タ ー ン を 活 用 し て 問 題 を 解 い た り ， パ タ ー ン に 従 っ て 問 題 を 解 く な か で よ り 効 果 的 な 解 き 方 に 気 付 く こ と が で き た り す る な ど ， 類 似 点 で 挙 げ た 2 点 目 の よ う に い ろ い ろ な 考 え を す る こ と が で き る が ， 第 2 章 で 述 べ た ， い ろ い ろ な 方 法 で 平 行 四 辺 形 の 面 積 の 求 め 方 を 考 え る こ と が で き た こ と か ら も い え る よ う に ， パ タ ー ン が な く て も 様 々 な 考 え 方 を す る こ と は 可 能 で あ る ． 同 じ よ う に ， 普 通 ， 公 式 を 学 習 し た 後 に 行 う 問 題 で あ っ て も ， 必 ず し も 公 式 を 学 習 し て お く 必 要 は な い ． 公 式 を 知 ら な く て も 問 題 を 考 慮 し な が ら 解 答 を 得 る こ と は 可 能 で あ り ， こ の と き の 問 題 を 考 慮 し な が ら 考 え る と い う こ と が 重 要 な こ と で あ る か ら だ ． 逆 に い え ば ， 公 式 を 学 習 し て い な い 状 態 で 考 え る 方 が ， よ り 幅 広 い 考 え を す る こ と が で き る 場 合 も あ り ， 深 い 思 考 が 可 能 に な る の で は な い か と 考 え る ． 4 . 3 求 め ら れ る 練 習 問 題 生 産 的 思 考 と 生 産 的 練 習 の 類 似 点 に お い て み た よ う に ， ど ち ら に お い て も ， 子 ど も た ち が 問 題 に 対 す る 解 き 方 の 意 味 を 理 解 し な が ら 問 題 を 解 く こ と ， 問 題 を 解 き な が ら い ろ い ろ な こ と を 考 え た り ， 気 づ い た り で き る こ と が 大 切 と な っ て い た ． こ れ ら の こ と か ら ， 子 ど も た ち が 取 り 組 む 練 習 問 題 は ， 先 程 挙 げ た 点 を ， 子 ど も た ち が 問 題 解 決 の な か で 実 現 す る こ と の で き る 問 題 で あ る 必 要 が あ る ． 子 ど も た ち が そ の よ う な 練 習 問 題 に 取 り 組 み な が ら 学 習 す る こ と に よ っ て ， 子 ど も た ち に 期 待 す る 問

37 題 解 決 の 態 度 を 養 っ て い く こ と が で き る の で は な い か と 考 え る ． ま た ， そ の よ う な 問 題 は 相 違 点 で み て き た よ う に ， 必 ず し も パ タ ー ン が 必 要 と さ れ る の で は な い ． パ タ ー ン が 組 み 込 ま れ て い な く て も ， 子 ど も た ち に 期 待 す る 思 考 の 様 子 を 実 現 さ せ る こ と の で き る 問 題 も あ る か ら で あ る ． し か し 問 題 に よ っ て は パ タ ー ン を 含 む 場 合 も あ る だ ろ う ． 重 要 な 点 は ， 子 ど も た ち が ， 子 ど も た ち に 期 待 す る 思 考 を 展 開 し そ の よ う な 力 を 養 っ て い く こ と が で き る よ う に ， そ れ に 効 果 的 な 問 題 に 取 り 組 む こ と で あ る ． そ の た め ， ど の よ う な 問 題 が 子 ど も た ち に と っ て 効 果 的 で あ り 必 要 で あ る の か を 考 え て い か な け れ ば な ら な い ． こ れ ま で み て き た よ う に ， そ の よ う な 問 題 に 含 み た い 重 要 な 点 は 以 下 の 点 で あ る ． ・問 題 に 取 り 組 む な か で 解 き 方 の 意 味 を 理 解 し な が ら 問 題 を 解 く こ と が で き る こ と ． ・問 題 解 決 の な か で い ろ い ろ な こ と を 考 え る こ と が で き る こ と ． そ こ で ， こ れ ら の 点 を 考 慮 し た 問 題 を 考 え て い く ．

38 第 4 章 の 要 約 子 ど も た ち に 期 待 す る 思 考 と し て 生 産 的 思 考 ， 子 ど も た ち の 学 習 に と っ て 有 意 味 な 練 習 問 題 と し て 生 産 的 練 習 が あ っ た ． 第 4 章 で は ， こ の 2 つ の 類 似 点 ， 相 違 点 を 考 え ， 子 ど も た ち が 生 産 的 思 考 を 養 う た め の 練 習 問 題 に は 何 が 必 要 で あ る の か を 考 察 し た ． 生 産 的 思 考 ， 生 産 的 練 習 の そ れ ぞ れ の 先 行 研 究 を 検 討 す る こ と で ， 以 下 の よ う な 類 似 点 ， 相 違 点 が あ る こ と が わ か っ た ． ○ 類 似 点 ・ 問 題 に 対 す る 解 き 方 の 意 味 を 理 解 し な が ら ， 問 題 を 解 く こ と ． ・ た だ 単 純 に 計 算 を す る な ど し て 問 題 を 解 く だ け で は な く ，問 題 を 解 き な が ら い ろ い ろ な こ と を 考 え る こ と ． ○ 相 違 点 ・ 必 ず し も パ タ ー ン が 含 ま れ て い な く て も よ い ． ・ 必 ず し も 公 式 を 学 習 し て い な く て も 問 題 を 解 く こ と が で き る ． 重 要 な こ と は ， 子 ど も た ち が 問 題 を 解 き な が ら ， さ ま ざ ま な 考 え を し て み た り ， 問 題 に 対 す る 手 段 の 意 味 を 理 解 し た り す る よ う な 問 題 に 取 り 組 み ， そ の よ う な 力 を 養 っ て い く こ と で あ る ． そ の た め に 以 下 の 点 を 含 む よ う な 問 題 を 考 え て い く 必 要 が あ る ． ・問 題 に 取 り 組 む な か で 解 き 方 の 意 味 を 理 解 し な が ら 問 題 を 解 く こ と が で き る こ と ． ・問 題 解 決 の な か で い ろ い ろ な こ と を 考 え る こ と が で き る こ と ． こ れ ら の こ と を 踏 ま え て ， 実 際 に 練 習 問 題 を 考 え て い く ．

39 第 5 章 生 産 的 思 考 を 養 う た め の 練 習 問 題 の 検 討 5 . 1 練 習 の 作 成 に 向 け て 5 . 2 練 習 問 題 の 提 案 5 . 3 練 習 問 題 の 分 析 5 . 4 残 っ た 課 題 本 章 で は ， 生 産 的 思 考 ， 生 産 的 練 習 の 特 徴 を 踏 ま え な が ら ， 子 ど も た ち の 学 習 に と っ て 価 値 あ る 練 習 問 題 を 検 討 し て い く ． 5 . 1 で は ，実 際 に ど の よ う な 問 題 が 必 要 で あ る か 考 察 し ，5 . 2 で 具 体 的 な 問 題 の 提 案 ， 5 . 3 で そ の 問 題 を 分 析 し ，5 . 4 に お い て そ の 課 題 点 を 明 ら か に し て い く ．

40 第 5 章 生 産 的 思 考 を 養 う た め の 練 習 問 題 の 検 討 5 . 1 練 習 問 題 の 作 成 に 向 け て こ れ ま で み て き た よ う に ， 子 ど も た ち が 問 題 解 決 に あ た っ て 価 値 あ る 思 考 を す る こ と が で き る 練 習 問 題 を 考 え て い く ． そ の 練 習 問 題 は ， た だ 単 に 公 式 を 用 い て 計 算 す る よ う な 問 題 で は な く ， ひ と つ の 問 題 の 解 決 に あ た っ て 様 々 に 考 え な が ら 解 決 で き る 問 題 で あ る 必 要 が あ る ． そ の と き に は ， 子 ど も た ち 自 身 が な ぜ そ の 手 段 を 使 っ た の か 自 分 で 理 解 し な が ら 解 決 に あ た る こ と が 重 要 で あ る ． こ れ ら の こ と を 踏 ま え て ， 第 3 章 で み て き た 生 産 的 練 習 の 問 題 も 考 慮 し な が ら ， 子 ど も た ち に と っ て 価 値 あ る 練 習 問 題 を 考 え て い く ． 5 . 2 練 習 問 題 の 提 案 5 . 2 . 1 問 題 設 定 の 理 由 図 形 の 問 題 を 提 案 す る ． そ の 理 由 と し て は ， 本 論 文 に お い て ， こ れ ま で に 考 察 し て き た 内 容 を 満 た す 問 題 を 提 案 す る に あ た り ， 公 式 や 計 算 に 頼 ら な い 問 題 を 提 案 し た い と 考 え た か ら で あ る ． そ う す る こ と に よ っ て ， 子 ど も た ち が た だ 計 算 を し て 問 題 解 決 に あ た る こ と な ど が 少 な く な る な ど ， 子 ど も た ち の 思 考 が 広 が る の で は な い か と 考 え た ． ま た ， 既 存 の 生 産 的 練 習 の 問 題 と し て 考 え ら れ て い る 問 題 は ， 数 量 関 係 を 扱 う 問 題 の 方 が 多 く ， 幾 何 学 の 分 野 の 問 題 が 少 な い こ と も ひ と つ の 理 由 で あ る ． 5 . 2 . 2 提 案 す る 問 題

41 【 問 題 】 次 の ① ～ ⑩ の 図 形 は ， そ れ ぞ れ ど の よ う に で き て い る だ ろ う ． ※ （ ） 内 の 数 は 総 ブ ロ ッ ク 数 ． ( 1 ) Ｌ 字 型 が い く つ と ，立 方 体 が い く つ 使 わ れ て い る だ ろ う ． ( 2 ) ト 字 型 が い く つ と ，立 方 体 が い く つ 使 わ れ て い る だ ろ う ． ① ( 5 ) ② ( 1 0 ) ③ ( 1 8 ) ④ ( 1 8 ) ⑤ ( 9 ) ⑥ ( 1 4 )

42 ⑦ ( 1 1 ) ⑧ ( 7 ) ⑨ ( 1 5 ) ⑩ ( 1 6 ) ( 3 ) 次 の ① ～ ⑫ の 図 形 は ， Ｔ 型 ・ ト 型 ・ Ｌ 型 ・ コ 型 を ど の よ う に 組 み 合 わ せ て で き て い る だ ろ う ． ② ， ⑫ は 2 通 り の 答 え が あ り ま す ． ※ （ ） 内 の 数 は 総 ブ ロ ッ ク 数 ．

43

① ( 1 8 ) ② ( 2 0 ) ③ ( 1 6 )

④ ( 1 6 ) ⑤ ( 2 0 ) ⑥ ( 1 5 )

⑦ ( 1 7 ) ⑧ ( 1 6 ) ⑨ ( 1 6 )

44 《 解 答 》 ( 1 ) ①( Ｌ ) 1 個 ， ( 立 ) 1 個 ②( Ｌ ) 2 個 ， ( 立 ) 2 個 ③( Ｌ ) 3 個 ， ( 立 ) 6 個 ④( Ｌ ) 4 個 ， ( 立 ) 2 個 ⑤( Ｌ ) 1 個 ， ( 立 ) 5 個 ⑥( Ｌ ) 3 個 ， ( 立 ) 2 個 ⑦( Ｌ ) 1 個 ， ( 立 ) 7 個 ⑧( Ｌ ) 0 個 ， ( 立 ) 7 個 ⑨( Ｌ ) 3 個 ， ( 立 ) 3 個 ⑩( Ｌ ) 3 個 ， ( 立 ) 4 個 ( 2 ) ①( ト ) 1 個 ， ( 立 ) 1 個 ②( ト ) 1 個 ， ( 立 ) 6 個 ③( ト ) 3 個 ， ( 立 ) 6 個 ④( ト ) 3 個 ， ( 立 ) 6 個 ⑤( ト ) 1 個 ， ( 立 ) 5 個 ⑥( ト ) 0 個 ， ( 立 ) 1 4 個 ⑦( ト ) 2 個 ， ( 立 ) 3 個 ⑧( ト ) 1 個 ， ( 立 ) 3 個 ⑨( ト ) 3 個 ， ( 立 ) 3 個 ⑩( ト ) 2 個 ， ( 立 ) 8 個 ( 3 ) ①Ｔ 2 個 ， ト 2 個 ② コ 1 個 ， Ｔ 1 個 ， ト 2 個 / Ｌ 2 個 ， ト 2 個 ③Ｌ 4 個 ④ ト 4 個 ⑤コ 1 個 ， Ｔ 1 個 ， Ｌ 1 個 ， ト 1 個 ⑥ Ｔ 3 個 ⑦Ｔ 1 個 ， Ｌ 1 個 ， ト 2 個 ⑧ コ 1 個 ， ト 1 個 ， Ｔ 1 個 ⑨ト 1 個 ， Ｌ 3 個 ⑩Ｌ 1 個 ， ト 4 個 ⑪ Ｔ 1 個 ， ト 1 個 ， Ｌ 2 個 ⑫ コ 1 個 ， Ｔ 1 個 ， Ｌ 1 個 / Ｌ 4 個

45

① ②

③ ④ ⑤

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⑨ ⑩ ⑪

47 5 . 2 . 3 問 題 に つ い て 問 題 ( 1 ) ， ( 2 )は あ る 形 を 基 準 に し て ， ① ～ ⑩ の 図 形 そ れ ぞ れ の 構 造 を 考 え る 問 題 で あ る ． ( 1 ) で は Ｌ 字 型 ， ( 2 ) で は ト 字 型 を 基 準 に 考 え て い く ． 問 題 の 図 形 に よ っ て は ， 基 準 と す る Ｌ 字 型 や ト 字 型 が 複 数 組 み 込 ま れ て お り ， そ の 組 み 込 ま れ 方 も 向 き や 方 向 が 様 々 で あ る の で ， よ く 考 え る こ と が 必 要 で あ る ． 問 題 ( 3 ) で は ， Ｔ 字 型 ， ト 字 型 ， Ｌ 字 型 ， コ 字 型 の 4 つ の 形 を 組 み 合 わ せ て で き た 図 形 ① ～ ⑫ に つ い て ， そ れ ぞ れ ど の 形 を 組 み 合 わ せ て で き た 構 造 と な っ て い る か を 考 え て い く ． 問 題 ( 1 ) ， ( 2 ) で は ， 基 準 と す る 形 が 1 種 類 ず つ （ L 字 型 / ト 字 型 ） で あ り ，残 る 部 分 は 立 方 体 が い く つ 分 か を 考 え た が ，( 3 ) で は ， 立 方 体 は 含 ま ず 必 ず 4 つ の 形 の い ず れ か の 組 み 合 わ せ で で き た 図 形 で あ る の で ， 問 題 ( 1 ) ， ( 2 ) と 比 べ よ り 深 く 考 え る こ と が 必 要 と な る の で は な い か と 考 え る ． ま た こ れ ら の 問 題 で 扱 う 図 形 は ， 図 形 の 奥 （ 後 ろ 側 ） の 部 分 が 見 え ず ， 図 形 を 目 で 見 て 図 形 全 体 の 構 造 を 把 握 す る こ と が 難 し い ． そ の た め ， そ れ ぞ れ の 図 形 に 使 わ れ て い る 立 方 体 の ブ ロ ッ ク の 総 数 を 示 し て お く こ と で ， 見 え な い 部 分 の 構 造 も 推 測 し な が ら 問 題 を 解 く こ と が で き る よ う に 意 図 し て い る ． 5 . 3 練 習 問 題 の 分 析 問 題 ( 1 ) ～ ( 3 ) の ど の 問 題 で も 頭 の 中 で 図 形 を 思 い 描 い た り ， 回 転 さ せ た り し な が ら ， 図 形 を い ろ い ろ な 面 か ら み て 考 え る こ と が 必 要 と な る ． 基 準 と す る 形 の 向 き が 一 定 方 向 で 組 み 込 ま れ て い る の で は な い の で ， 柔 軟 に 考 え て い か な け れ ば な ら な い ． ま た 奥 の 部 分 が 見 え な い 図 形 も あ り ， そ れ ら に 関 し て は 使 わ れ て い る 立 方 体 の ブ ロ ッ ク の 総 数