物理学
A
（仲光）
!2008 by Kuniaki Nakamitsuc1
微分積分の復習
1.1
微分
・以下では t2，sin t, cos t のように．関数の変数に文字 t を用いる．記 号 f(t) は t を変数とするある関数を表す． ・ 時刻 t における物体の速度 v(t) を知るには，まず時刻 t における物 体の位置 x(t) を測定し，次に時刻 t + ∆t における物体の位置 x(t + ∆t) を測定し，位置の変化 x(t + ∆t) − x(t) を経過時間 ∆t で割ればよい．こ うして得られる物体の速度 v(t) = x(t + ∆t)− x(t) ∆t は，経過時間 ∆t を短くすればより正確な値となる（時間が ∆t 経過する 間に物体の速度が変化してしまうことがあるから）．従って，正確な速度 v(t) というものを式で表現すれば v(t) = lim ∆t→0 x(t + ∆t)− x(t) ∆t となる．ここで記号 lim ∆t→0 は ∆t を 0 に近付けることを表す．次に述べる 導関数の記号を用いれば，上式は v(t) = dx(t) dt と表せる． ・関数 f(t) の 導関数 df (t) dt を df (t) dt = lim∆t→0 f (t + ∆t)− f(t) ∆t (1.1) で定める． 問．関数 t2 の導関数 d t2 dt を (1.1) を使ってを求めよ．解．(1.1) で f(t) が t2 の場合である．f(t) = t2 なら f(t+∆t) = (t+∆t)2 である．従って (1.1) より d t2 dt = ∆tlim→0 (t + ∆t)2− t2 ∆t = lim ∆t→0 (t2+ 2t∆t + (∆t)2)− t2 ∆t ((t + ∆t) 2を展開した) = lim ∆t→0 2t∆t + (∆t)2 ∆t (分子を整理した) = lim ∆t→0(2t + ∆t) (約分した) = 2t. (∆t を 0 に近付けた) ・関数の導関数を求めることを，関数の 微分 を求める，関数を 微分する などと言う．df (t) dt を簡単に f "(t) と書くこともある．（df (t) dt は df dt(t) と 書く方が好ましいが，ここではこのようなことにはこだわらないことに する，） ・後で利用する微分公式は， d c dt = 0 (c が定数のとき), (1.2) d tn dt = nt n−1, (1.3) d sin at dt = a cos at, (1.4) d cos at
dt =−a sin at, (1.5)
d eat dt = ae at, (1.6) および d (f (t) + g(t)) dt = df (t) dt + dg(t) dt , (1.7) d (cf (t)) dt = c df (t) dt (c は定数), (1.8) d (f (t)g(t)) dt = d f (t) dt g(t) + f (t) d g(t) dt . (1.9)
注．(1.2) より定数の微分は 0 であるが，この逆も言える．つまり，微分 して 0 となる関数は定数である： df (t) dt = 0 ⇒ f(t) = 定数. (1.10) 問．x = 3 cos 2t − 4t2+ 5t + 6 のとき，微分 dx dt を求めよ． 解． dx dt = d dt(3 cos 2t− 4t 2+ 5t + 6) = 3d cos 2t dt − 4 d t2 dt + 5 d t dt + d 6 dt ((1.7), (1.8) より) = 3· (−2 sin 2t) − 4 · 2t + 5 · 1 + 0 ((1.5), (1.3), (1.2) より) = −6 sin 2t − 8t + 5. 問．x = t2sin t のとき，微分 dx dt を求めよ． 解． dx dt = d t2sin t dt = d t 2 dt sin t + t 2d sin t dt ((1.9) より) = 2t sin t + t2cos t. ((1.3), (1.4) より) x という変数を持つ関数 f (x) を変数 t で微分するとき，次の式が成り 立つ： df (x) dt = df (x) dx dx dt (1.11) 注．(1.11) は分数計算における規則 b a = b c· c a と同じ形である．
問．x = t2+ 1 のとき dx4 dt を求めよ． 解． dx4 dt = dx4 dx dx dt ((1.11) より) = dx 4 dx d(t2+ 1) dt (x = t 2+ 1 より) = 4x3· 2t ((1.3), (1.2) より) = 4(t2+ 1)3· 2t (x = t2+ 1 より) = 8t(t2+ 1)3. 問．d sin(t2+ 1) dt を求めよ． 解．sin(t2+ 1) を sin x, x = t2 + 1 と２段階に分けて考えると d sin(t2+ 1) dt = d sin x dt (t 2+ 1 = x より) = d sin x dx dx dt ((1.11) より) = d sin x dx d(t2+ 1) dt (x = t 2+ 1 より) = cos x· 2t ((1.4), (1.3) より) = 2t cos(t2+ 1) (x = t2+ 1 より). ・記号 d 2f (t) dt2 は f(t) を２回微分したものを表す．つまり d2f (t) dt2 = d dt ! df (t) dt " (1.12) 注．(1.12) の両辺を見比べるとわかるように，d 2 dt2 は d dt d dt の略． 問． x = C1cos at + C2sin at (1.13) （C1，C2 は定数）と置くと，x は式 d2x dt2 =−a 2x (1.14)
を満たすことを示せ． 解．まず dx dt =−C1a sin at + C2a cos at ((1.5) と (1.4) より) (1.15) となる．これを更に微分すると d2x dt2 = d dt ! dx dt " ((1.12) より) = d
dt(−C1a sin at + C2a cos at) ((1.15) より) = −C1a2cos at− C2a2sin at ((1.4) と (1.5) より)
= −a2(C
1cos at + C2sin at)
= −a2x ((1.13) より) となり (1.14) が成り立つことがわかる． 注．(1.14) を満たす x は (1.13) の形のもの以外には無い．つまり d2x dt2 =−a 2x ⇒ x = C 1cos at + C2sin at (C1, C2は定数) (1.16)
1.2
積分
・t3 を微分すると 3t2 になるが，微分すると 3t2 になる関数は t3 だけ ではない．定数の微分は 0 であるから，t3+ C（C は定数）も微分すれば 3t2 となる．このように，微分すると 3t2 となる関数の 一般形 は t3+ C （C は任意の定数）である． ・関数 f(t) の 不定積分 # f (t)dt とは，微分すると関数 f (t) となるよう な関数の一般形のことである． 例．関数 3t2 の不定積分 # 3t2dt とは，微分すると関数 3t2 となるよう な関数の一般形のことであるから，t3+ C （C は任意の定数）のことで ある．つまり# 3t2dt = t3+ C（C は任意の定数）．問．不定積分# sin 2tdt を求めよ． 解．微分すると sin 2t となる関数の一般形を求めればよい．これには (1.5) が利用できる． (1.5) で a = 2 ととると d cos 2t dt =−2 sin 2t 両辺に −1 2 を掛けて， d dt $ −1 2cos 2t % = sin 2t. (1.17) つまり，微分すると sin 2t となる関数のひとつは −1 2cos 2t である．この ことと定数の微分が 0 であることより，微分すると sin 2t となる関数の 一般形は −1 2cos 2t + C（C は任意の定数）．つまり # sin 2tdt =−1 2cos 2t + C (C は任意の定数). ・上の例や問の解答ように，不定積分を計算すると必ず # f (t)dt =· · · + C (C は任意の定数) (1.18) という形になる．（不定積分の「不定」とは，このように不定の定数 C が 付くことを言っている．）この任意定数 C は 積分定数 と呼ばれる． ・後に利用する不定積分の公式は， # cdt = ct + C (c が定数のとき), (1.19) # tndt = t n+1 n + 1+ C, (1.20) # sin atdt =−1 acos at + C, (1.21) # cos atdt = 1 asin at + C, (1.22) # eatdt = 1 ae at+ C, (1.23)
および # (f (t) + g(t))dt = # f (t)dt + # g(t)dt, (1.24) # cf (t)dt = c # f (t)dt (c が定数のとき). (1.25) 注．(1.19) で特に c = 0 ととると # 0dt = C. (1.26) 問．# (4 sin 2t− 3t2+ 2)dt を求めよ． 解．計算結果は (1.18) のように任意定数 C がひとつ付く形になることは 始めからわかっている．従って，計算中に上の不定積分の公式を何度か 使う場合，定数 C はいちいち書かずに略しておき，最後に C をひとつ 付ければよい．つまり次のように計算： # (4 sin 2t− 3t2+ 2)dt = 4 # sin 2tdt− 3 # t2dt + # 2dt ((1.24), (1.25) より） = 4(−1 2cos 2t)− 3( 1 3t 3) + 2t + C ! (1.21), (1.20), (1.19) を C を略し て使い，最後にひとつ C を付けた " = −2 cos 2t − t3+ 2t + C． 問．(1.2)-(1.6) を利用して，(1.19)-(1.23) の右辺の関数の微分が左辺の積 分の中に書かれた関数となることを確かめよ． ・記号 # b a f (t)dt は，不定積分 # f (t)dt（の任意定数 C を略したもの） の t = b における値から t = a における値を引いたものを表す． 例．# 2 1 t 2dt は，不定積分 # t2dt = 1 3t 3+ C の C を略したもの（つまり 1 3t 3）の t = 2 における値から t = 1 における値を引いたものを表す．つ まり # 2 1 t 2dt = &1 3t 3'2 1 = 1 32 3− 1 31 3 = 7 3.
ここで記号 [· · ·]b a は括弧内の量 · · · の t = b における値から t = a におけ る値を引くという操作を表す． ・# b a f (t)dt を，区間 [a, b] 上での f (t) の 定積分 と呼ぶ．上の記号 [ ] b a を用いると # b a f (t)dt = [F (t)] b a (1.27) と表せる．ここで F (t) は f(t) の不定積分の任意定数 C を略したものを 表す． ・df (t) dt の不定積分とは，微分すると df (t) dt になる関数のことだから f(t)+ C．従って，(1.27) より # b a df (t) dt dt = [f (t)] b a= f (b)− f(a). この # b a df (t) dt dt = f (b)− f(a) (1.28) という結果は，微分積分学の基本定理 と呼ばれる． 注．定積分 # b a f (t)dt の値は，関数 f (t) のグラフと t 軸（横軸）の間に 挟まれた領域の t = a から t = b までの部分の面積を表している（グラ フが t 軸より下にあるときは面積にはマイナス符号が付く）．
2
力学の基本単位
・力学における基本的な単位は，長さの単位，質量の単位，時間の単 位． ・これらの単位によく用いられるのは m（メートル），kg（キログラム），s（セコンド = 秒）， あるいはcm（センチメートル)，g（グラム），s （セコンド）． ・力学で使用される他の単位は，長さ，質量，時間の単位を組み合わせ て表せる． 注．kg や g は重さの単位ではなく質量の単位である．重さは力の単位 （後述）を用いて表される． ・単位のついた量の加減乗除を行うとき，単位を付けたまま計算をすれ ば，計算の結果得られた量の単位がわかる． 問．100 m を 10 s（s = 秒）で走る人の平均速度 V（= 移動にかか っ た時間移動した距離 ） を求めよ． 解． V = 100 m 10 s = 100 10 m s = 10 m s . ・関数の変数 t や値 f(t) が単位を持つ量であるとき，次の事が成り立つ： df (t) dt の単位 = f (t) の単位 t の単位 . (2.1) 例．時刻 t (s) における物体の位置を f(t) (m) で表すとき， df (t) dt の単位 = f (t) の単位 t の単位 = m s . 注．(2.1) は導関数の定義式 (1.1) から導かれる．実際， (1.1) の左辺df (t) dt の単位 = (1.1) の右辺の分数 f (t + ∆t)− f(t) ∆t の単位 = f (t) と同種の量 t と同種の量 の単位 = f (t) の単位 t の単位 .
3
直線上を運動する物体
3.1
位置
→
速度
→
加速度
・ここでは物体が直線上を運動している場合を扱う．この直線を x 軸 と見なす．時間や時刻は t で表す．(t は time の頭文字．）直線上を運動 する物体の例として，真下に落下して行く物体や，ばねの力を受けて左 右に振動する物体などがある． ・物体の位置をその座標 x で表す．一般に物体の位置 x は時間 t と共に 変化する．つまり物体の位置 x は時間 t の関数である．例えば x = t2 は 時刻 t における物体の座標 x が t2 という値であることを意味する． ! ! x x 軸 物体 ・物体の 速度 v とは，物体の位置 x を時間 t で微分したもの．つまり v = dx dt (3.1) （v は velocity（速度）の頭文字．） ・物体の 加速度 a とは，物体の速度 v を時間 t で微分したもの．つまり a = dv dt (3.2) （a は acceleration（加速度）の頭文字．） 問．物体の位置 x が時間 t を用いて x = t3 と表されるとき，物体の速度 v と加速度 a を求めよ． 解． v = dx dt ((3.1) より)= d t 3 dt (x = t 3より) = 3t2, a = dv dt ((3.2) より) = d 3t 2 dt (上で求めた v = 3t 2より) = 6t. ・物体の位置 x の微分は速度，速度の微分は加速度だから，加速度は位 置 x を２回微分したものである． つまり加速度 a は a = d 2x dt2 (3.3) とも表せる． 問．物体の位置 x が時間 t を用いて x = cos t と表されるとき，物体の 加速度 a を求めよ． 解． a = d 2x dt2 ((3.3) より) = d dt ! dx dt " ((1.12) より) = d dt ! d cos t dt " (x = cos t より) = d dt(− sin t) = − cos t.
3.2
速度と加速度の単位
・物体の位置は，例えば「座標原点からマイナス 3 cm の位置」などと いうように，長さの単位を用いて表せる．つまり 位置の単位 = 長さの単位 (3.4) ・速度 v や加速度 a の単位を知るには，(2.1) を使えばよい．いま v の単位 = dx dt の単位 ((3.1) より v = dx dt だから) = x の単位 t の単位 ((2.1) より) ここで位置 x は長さの単位，t は時間の単位を持つから，上の結果は次 のように表現できる： 速度の単位 = 長さの単位時間の単位 (3.5) 加速度 a についても同様に a の単位 = dv dt の単位 ((3.2) より a = dv dt だから) = v の単位 t の単位 ((2.1) より). つまり 加速度の単位 = 速度の単位 時間の単位. この右辺の分子を (3.5) を使って書き直すと 加速度の単位 = 長さの単位 (時間の単位)2 (3.6) 注．簡単に言えば，位置 → 速度 → 加速度の各ステップごとに単位が 1 時間の単位 倍される（つまり時間 t で微分をするごとに単位が 1 時間の単位倍される）． 問．物体の時刻 t (s)（s = 秒) における位置が x = sin 2t (cm) で表され るとき，物体の速度 v と加速度 a を求めよ． 解．速度 v と加速度 a を計算すると v = dx dt ((3.1) より) = d sin 2t dt = 2 cos 2t, a = dv dt ((3.2) より) = d 2 cos 2t dt (上で求めた v = 2 cos 2t より) = −4 sin 2t. また，この問では時刻 の単位に s，長さの単位には cm を使っているから 速度 v の単位 = 長さの単位時間の単位 ((3.5) より) = cm s , 加速度 a の単位 = 長さの単位 (時間の単位)2 ((3.6) より) = cm s2 . 従って求める速度は v = 2 cos 2t (cm/s)，加速度は a = −4 sin 2t (cm/s2)．
3.3
加速度
→
速度
→
位置
・直線上（x 軸）を運動する物体を考える．物体の位置の微分は物体の 速度，物体の速度の微分は物体の加速度であることは既に述べた．ここ では逆に，加速度から速度，速度から位置を求めることを考える． ・物体の加速度 a を積分すると，物体の速度 v が得られる． つまり， v = # adt (3.7)注．右辺は不定積分であるから，この式を利用して求めた速度 v には任 意定数 C が付く（(1.18) 参照）．この定数 C の値は，ある時刻（例えば 最初の時刻）における物体の速度がわかれば定まる（後の問参照）． ・物体の速度 v を積分すると，物体の位置 x が得られる． つまり， x = # vdt (3.8) 注．右辺は不定積分であるから，この式を利用して求めた位置 x には任 意定数 C が付く．この任意定数の値は，ある時刻における物体の位置が わかれば定まる（後の問参照）． 注．「積分」の項の最初に述べたように，# f (t)dt は，微分すると中に書 かれた関数 f(t) になる関数を表す．従って，(3.7) は (3.2) の，(3.8) は (3.1) の言い換えに過ぎない． 問．物体の加速度 a が a = cos 2t で表されるとき，物体の速度 v はどの ように表されるか．ただし t = 0 のときの物体の速度を v0 とする． 解．物体の速度は v = # adt ((3.7) より) = # cos 2tdt (a = cos 2t より) = 1 2sin 2t + C (C は定数) ((1.22) より). 得られたこの速度 v = 1 2sin 2t + C の定数 C の値を求める．問の最後の条件より，上式で t = 0 としたとき v の値は v0 にならなければならない．つまり v0 = 1 2sin 0 + C.
これと sin 0 = 0 より C = v0．従って求める物体の速度は v = 1 2sin 2t + v0. 問．物体の速度 v が v = 2t と表されるとき，物体の位置 x はどのよう に表されるか．ただし t = 1 のときの物体の位置を x0 とする． 解．物体の位置は x = # vdt ((3.8) より) = # 2tdt (v = 2t より) = t2+ C. (C は定数) ((1.20) より) 得られたこの結果 x = t2+ C の定数 C の値を求める．問の最後の条件より，上式で t = 1 としたとき x の値は x0 にならなければならない．つまり x0 = 12+ C これより C = x0− 1．従って求める物体の位置は x = t2+ x0− 1.
3.4
物体の運動方程式
・直線上（x 軸上）を運動する物体を考える．この物体に対するニュー トンの運動方程式は ma = F (3.9) ここで m は物体の質量，a は物体の加速度，F は物体の受けている力． (m は mass（質量）の頭文字，F は force（力）の頭文字 ・力 F の符号は，力 F が物体に対しどちら向きに働いているかを表す： F > 0 のとき力の向きは x 軸正方向. F < 0 のとき力の向きは x 軸負方向(3.10)・物体の質量 m と物体の受けている力 F がわかっていれば， (3.9) から 物体の加速度 a がわかる．逆に，物体の質量 m と加速度 a がわかって いれば， (3.9) から物体の受けている力 F がわかる． ・(3.3) より，運動方程式 (3.9) は次のようにも表せる． md 2x dt2 = F (3.11) ・(3.1) より，運動方程式 (3.9) は次のようにも表せる． mdv dt = F (3.12) ・(3.9) から力の単位がわかる．実際， F の単位 = ma の単位 ((3.9) より) = m の単位× a の単位 = 質量の単位× 加速度の単位 = 質量の単位× 長さの単位 (時間の単位)2 ((3.6) より). これより 力の単位 = 質量の単位 × 長さの単位 (時間の単位)2 . (3.13) ・長さ，質量，時間の単位に m（メートル），kg（キログラム），s (秒） を用いた場合，(3.13) より，力の単位 = (kg · m)/s2．この単位 (kg · m)/s2 を ニュートン と呼び，記号 N で表す． 問．質量 10 kg の物体が加速度 5 m/s2 で運動している．この物体に働い ている力 F を求めよ．
解． (3.9) に m = 10 kg，a = 5 m/s2 を代入すると F = 10 kg× 5m s2 = 50 kg· m s2 = 50 N. ・力は足し合わせることができる．物体がいくつかの力 F1, F2, F3, . . . を 受けているなら，物体の受けている正味の力（合力） F はこれらを足し 合わせた F = F1+ F2+ F3 +· · · である．
3.5
力を受けずに運動している物体
・直線上（x 軸）を運動する物体を考える．この物体の受けている力 F が 0 の場合，物体の運動方程式 (3.9) は ma = 0. これより物体の加速度 a は a = 0. (3.14) このとき物体の速度 v は v = # adt ((3.7) より) = # 0dt ((3.14) より) = 定数 C ((1.26) より) この結果より，力を受けていない物体の速度 v は一定で変化しないこと がわかる．特に，静止した物体はそのまま静止し続ける． ・逆に，物体の速度 v が一定で変化しないときは（静止している場合も 含む），物体が受けている力 F は 0 である．実際このとき F = mdv dt ((3.12) より) = m· 0 (v は一定，つまり定数だからdv dt = 0) = 0. 問．机の上に置かれている本は，重力以外の力を受けているか．解．重力以外の力も受けている．この本は静止しているから，上で述べ たことより本が受けている正味の力は 0 のはずである．従ってこの本は， 地球の重力の他に，それを打ち消すような力，つまり重力と大きさが等 しく向きが逆の力を机から受けていることになる．（この力は本が机から 受けている抗力と呼ばれる．）
3.6
地表の近くで重力を受けながら運動している物体
・地表の近くで重力を受けながら運動する物体を考える．いま x 軸を 次図のようにとり，物体はこの軸に沿って運動しているとする（つまり 真下に落とした物体や真上に投げ上げた物体などを考える）．物体の位置 座標 x は物体の地表からの高度を表している． " " ! x x F = −mg x = 0 (地表) ・地表近くで質量 m の物体の受ける重力 F は F =−mg (3.15) と表される．g は 重力加速度 と呼ばれる正の定数． 注．(3.15) の重力 F が負の値であるのは，上図のように x 軸を上向きに とったために．重力の向きが x 軸負方向となるため（(3.10) 参照）． 注，天体間の重力の式は上と異なる．地表の近くなどこれに比べて小さ な範囲では，重力の式は上の簡単な式 (3.15) で近似される．・(3.9) と (3.15) より，重力を受けながら運動する物体の運動方程式は ma =−mg (3.16) つまり a =−g. (3.17) 注．方程式 (3.17) には物体の質量 m が含まれていない．従って地表の 重力の下での物体運動は物体の質量に無関係である（ガリレオの法則）． 例えば，空気の抵抗が無い月面では，同じ高さから同時に落としたハン マーと鳥の羽が同時に着地する． ・(3.17) より，重力加速度 g は加速度 a と同じ単位を持つ（だから g を 重力「加速度」という）．重力加速度 g の値は約 9.8 m/s2． 問．時刻 t = 0 に高さ x0 の位置から物体を落下させた．時刻 t における 物体の位置（高度） x を求めよ．始めの時刻 t = 0 における物体の速度 は 0 とする． 解．まず物体の速度 v を求め，次にそれを使って物体の位置 x を求める． 物体の速度 v は v = # adt ((3.7) より) = # (−g)dt ((3.17) より) = −gt + C. (C は定数) ((1.19) より) 得られたこの速度 v =−gt + C の定数 C の値を求める．問の最後の条件より，上式で t = 0 としたとき v の値は 0 にならなければならない．つまり 0 = −g · 0 + C これより C = 0．従って物体の速度は v =−gt (3.18)
これを用いると，物体の位置 x は x = # vdt ((3.8) より) = # (−gt)dt ((3.18) より) = −1 2gt 2+ C. (C は定数) ((1.20) より) 得られたこの結果 x =−1 2gt 2+ C の定数 C の値を求める．問の最初に書かれている事より，上式で t = 0 としたとき位置 x の値は x0 にならなければならない．つまり． x0 =− 1 2g· 0 + C これより C = x0．従って求める物体の位置は x =−1 2gt 2+ x 0. 問．上の問で時刻 t = 0 における物体の速度を v0 としたとき，物体の時 刻 t における位置 x はどう表されるか． 解．（上の (3.18) が v = −gt + v0 になることに注意．） x =−1 2gt 2+ v 0t + x0.
3.7
ばねの力を受けて振動する物体
・下図のような，ばねの先端に取り付けられた物体を考える．x 軸をば ねに沿ってとり，ばねが自然長（伸び縮みのないときの長さ）のときの 物体の位置を座標原点 x = 0 にとる． ! #$ %& # $ % % $$%%$$%%$$%%$$"%%$ x x F = −kx 0 ばね固定 ばねが自然長のときの物体の位置・上図における物体の位置座標 x を物体の平衡点（x = 0）からの 変位 と呼ぶ． ・ばねの先端に取り付けられた物体がばねから受ける力 F は，物体の平 衡点からの変位を x とするとき F =−kx (3.19) と表される．k は ばね定数 と呼ばれる正の定数であり，ばねの強さを表 す． 注．ばねの力の式 (3.19) の右辺のマイナス符号は，ばねの力が常に物体 を平衡点に引き戻す向きに働くことを表している．実際，(3.19) （ (3.10) も参照）より x > 0 (物体が平衡点の右) のとき F < 0 (力の向きは x 軸負方向) x < 0 (物体が平衡点の左) のとき F > 0 (力の向きは x 軸正方向) となる．結果として，物体は平衡点を中心にして左右に振動を続ける． ・ (3.11) と (3.19) より，ばね定数 k のばねの力を受けながら運動する質 量 m の物体の運動方程式は md 2x dt2 =−kx (3.20) ここで x は物体の平衡点からの変位．（上式は加速度の記号 a を使って ma =−kx と表すこともできるが，上の書き方の方が応用上便利である．） ・(1.14) の解は (1.13) の形であること，つまり d2x dt2 =−a 2x ⇒ x = C 1cos at + C2sin at (3.21) （C1，C2 は定数）であったことを思い出す．と置くと，x は式 d2x dt2 =−a 2x (3.22)
問．質量 m の物体が，ばね定数 k のばねにつながれている．時刻 t = 0 における物体の平衡点からの変位が x0，速度が v0 であるとき，時刻 t に おける物体の変位 x を求めよ． 解．この物体の変位 x は運動方程式は (3.20) を満たす．この (3.20) は d2x dt2 =− k mx と書き直せる．(3.21) で a = ( k m と置けばわかるように，上式を満た す x は， x = C1cos ( k m t + C2sin ( k m t (C1, C2は定数) (3.23) の形である．後はこの変位 x の式の定数 C1, C2 の値を求めればよい．問 の条件より，上式で t = 0 としたとき x は x0 とならなければならない． つまり x0 = C1cos 0 + C2sin 0 これと cos 0 = 1, sin 0 = 0 より C1 = x0. (3.24) 次に定数 C2 の値を求める．いま (3.23) から物体の速度 v を求めると v =−C1 ( k msin ( k mt + C2 ( k mcos ( k m t (3.25) となる．実際 v = dx dt ((3.1) より) = d dt C1cos ( k m t + C2sin ( k m t ((3.23) より) = −C1 ( k msin ( k mt + C2 ( k mcos ( k mt ((1.4), (1.5) より) 問の t = 0 における条件より，(3.25) で t = 0 としたとき v は v0 となら なければならない．つまり v0 =−x0 ( k msin 0 + C2 ( k mcos 0
これと sin 0 = 0, cos 0 = 1 より C2 = -m kv0. (3.26) (3.23), (3.24), (3.26) より求める変位は x = x0cos ( k mt + -m k v0sin ( k mt. (3.27) ・関数 sin t や cos t の値は t を 2π 増やすと元に戻る．つまり sin(t + 2π) = sin t, cos(t + 2π) = cos t
この事を，sin t や cos t は周期 2π の関数であるという．より一般に，関 数 f(t) の値が t をある定数 T だけ増やすと元にもどるとき，つまり f (t + T ) = f (t) となるとき，T をこの関数 f(t) の 周期 という． 問．上の問で求めた物体の位置 (3.27) の周期 T を求めよ． 解．(3.27) は二つの関数 f1(t) = sin ( k mt, f2(t) = cos ( k m t. から成る．(3.27) の周期を求めるには，この f1(t) と f2(t) の周期を調べ ればよい．sin t の周期は 2π である．つまり sin(t + 2π) = sin t t はどんな値でもよいのだから，この式の文字 t を ( k mt に置き換えて もよい．このとき上式は sin ( k mt + 2π = sin ( k mt.
となる．左辺の括弧の中を ( k m でくくると，この等式は sin ( k m $ t + 2π -m k % = sin ( k mt. と書ける．左辺は f1(t) の t を t + 2π -m k に置き換えたものに他ならな いから，上式は f1(t + 2π -m k ) = f1(t). と表せる．これは f1(t) が周期 T = 2π -m k を持つことを示している．上 の議論は sin を cos に置き換えてもそのまま成り立つから，f2(t) も同じ 周期 T を持つ．従って (3.27) の周期は T = 2π -m k ．
3.8
物体の運動量とエネルギー
・直線上（x 軸）を運動する物体を考える．この物体の 運動量 p とは， 物体の質量 m と速度 v の積である．つまり p = mv (3.28) ・物体が力を受けていない場合，物体の運動量は一定で変化しない．実 際，物体の受けている力 F が 0 なら d p dt = m dv dt ((3.28) より) = F (物体の運動方程式 (3.12) より) = 0 (仮定 F = 0 より). となるから p は定数（(1.10) より）． ・物体の 運動エネルギー T を T = 1 2mv 2 (3.29)で定める．ここで m は物体の質量，v は物体の速度．（前に記号 T を周 期を表すために使ったが，ここでは記号 T を運動エネルギーを表すため に用いる．） ・(3.28) より v = p/m であるから，(3.29) で定めた物体の運動エネル ギー T は物体の運動量 p を用いて T = p 2 2m (3.30) と表すこともできる． ・物体の受けている力を F とすると dT dt = F v (3.31) が成り立つ．実際， dT dt = d dt $1 2mv 2% = 1 2m d v2 dt = 1 2m d(vv) dt = 1 2m ! dv dtv + v dv dt " ((1.9) より) = 1 2m· 2 dv dtv = mdv dtv = F v ((3.12) より) 注．上の計算を (1.9) の代わりに (1.11) を使って行うと（こちらの方が 普通） dT dt = d dt $1 2mv 2% = 1 2m dv2 dt
= 1 2m dv2 dv dv dt ((1.11) の 文字 x を v に変えたものより) = 1 2m· 2v dv dt = mdv dtv = F v ((3.12) より) ・物体が力を受けていない場合，物体の運動エネルギー T は一定で変化 しない．実際，このとき dT dt = F v ((3.31) より) = 0 (物体の受けている力 F = 0 より) となるから T は定数（(1.10) より）． ・物体が重力 (3.15) を受けている場合は，その位置エネルギー V を V = mgx (3.32) により定める．ここで x は物体の位置の地表からの高さ．この物体のエ ネルギー E とは，その運動エネルギー (3.29) と位置エネルギー (3.32) の和のことである．つまり E = 1 2mv 2+ mgx (3.33) ・エネルギー (3.33) は時間によらず一定値を保つ．実際， dE dt = d dt( 1 2mv 2+ mgx) = d dt $1 2mv 2%+d mgx dt = F v + mgdx dt ((3.31) と (3.29) より) = F v + mgv ((3.1) より) = F v− F v (物体の受けている力の式 (3.15) より) = 0.
従って E は定数（(1.10) より)． 問．物体を地表からの高さが x0 の位置から真上に速度 v0 で投げ上げた． この物体が着地する直前の速度 v を求めよ． 解．重力を受けながら運動する物体でのエネルギーは (3.33) で定めたよ うに E = 1 2mv 2+ mgx (3.34) である．ここで x, v は物体の高度と速度である．上に示したように，こ のエネルギー E の値は一定である．問の条件より，物体のはじめの高度 は x0，速度は v0 である．このときは E = 1 2mv 2 0 + mgx0 (3.35) である．物体が着地する直前は，物体の高度 x は 0 である．従ってこの ときは E = 1 2mv 2+ mg· 0 = 1 2mv 2 (3.36) である．ここで v は着地直前の物体の速度である．エネルギー E は時間 によらず一定なのであるから，(3.36) の右辺は (3.35) の右辺と同じ値で ある．つまり 1 2mv 2 = 1 2mv 2 0 + mgx0 両辺を m 2 で割れば v2 = v02+ 2gx0. これより v =±.v2 0 + 2gx0. 着地直前の物体は下方に向かって運動しているから，その速度 v は負． 従って，求める速度は v =−.v2 0 + 2gx0. 問．物体を地表からの高さが x0 の位置から速度 v0 で投げ上げた．この 物体が到達する最高点の高さ x を求めよ．
解．（この物体のエネルギー (3.33) が一定であることと，最高点での物体 の速度は 0 になることを用いる．） x = v 2 0 2g + x0. ・物体がばねの力 (3.19) を受ている場合は，その位置のエネルギー V を V = 1 2kx 2 (3.37) により定める．この物体のエネルギー E とは，その運動エネルギー (3.29) と位置エネルギー (3.37) の和のこと．つまり E = 1 2mv 2+1 2kx 2 (3.38) ・エネルギー (3.38) は時間によらず一定値を保つ．実際， d dt $1 2kx 2% = 1 2k d x2 dt = 1 2k d(xx) dt = 1 2k ! d x dtx + x d x dt " = 1 2k· 2x d x dt = kxv ((3.1) より) = −F v (物体の受けている力の式 (3.19) より). これと (3.31) を用いると dE dt = d dt( 1 2mv 2+1 2kx 2) = d dt $1 2mv 2%+ d dt $1 2kx 2% = F v− F v = 0.
従って E は定数（(1.10) より)． 注．上の d dt $1 2kx 2% の計算では (1.9) を使ったが，(1.11) を使って次の ように計算してもよい： d dt $1 2kx 2% = 1 2k dx2 dt = 1 2k dx2 dx dx dt ((1.11) より) = 1 2k· 2x dx dt = kxv ((3.1) より) = −F v ((3.19) より). 問．物体がばねの力を受けながら運動している．ある時刻におけるこの 物体の平衡点からの変位は x0，速度は v0 であった．この物体の変位 x の最大値を求めよ． 解．ばねの力を受けながら運動する物体のエネルギーは (3.38) で定めた ように E = 1 2mv 2+ 1 2kx 2. (3.39) である．ここで x, v は物体の変位と速度である．上に示したように，こ のエネルギー E は一定である．問の条件より，ある時刻における物体の 変位は x0，速度は v0 である．このときは E = 1 2mv 2 0+ 1 2kx 2 0. (3.40) である．エネルギー E は時間によらず一定なのだから，(3.39) の値は常 に (3.40.) に等しい．つまりどの時刻でも 1 2mv 2+1 2kx 2 = 1 2mv 2 0+ 1 2kx 2 0 が成り立っている．右辺は x0 と v0 によって定まっている定数だから，左 辺の x2 が最大となるのは，左辺の第１項が最小の値 0 となるときであ る．つまり上式が 1 2kx 2 = 1 2mv 2 0 + 1 2kx 2 0.
となるときである．この式を書き直すと x2 = m kv 2 0 + x20. これより x =± -m kv 2 0 + x20. これは物体の x 座標（変位）の最小値が − -m kv 2 0 + x20，最大値が -m kv 2 0+ x20 であることを示している．従って，変位 x の最大値は -m kv 2 0 + x20． 問．物体がばねの力を受けながら運動している．ある時刻におけるこの 物体の平衡点からの変位は x0，速度は v0 であった．この物体の速度の 最大値を求めよ． 解． ( v2 0+ k mx 2 0． ・エネルギーの単位を求める．エネルギーの式 (3.33) や (3.38) の運動エ ネルギー 1 2mv 2 の部分に注目すると エネルギーの単位 = 運動エネルギー 1 2mv 2の単位 = 質量の単位× (速度の単位)2 = 質量の単位× ! 長さの単位 時間の単位 "2 ((3.5) より) 従って エネルギーの単位 = 質量の単位 × 長さの単位時間の単位2 2. (3.41) ・長さの単位に m（メートル），質量の単位に kg（キログラム），時間の単 位に s（秒）を用いた場合，(3.41) よりエネルギーの単位は (kg · m2)/s2． この単位 (kg · m2)/s2 を ジュール と呼び，記号 J で表す．3.4 節で述べ たニュートン N を使うと，J = N · m と表せる．
3.9
力のポテンシャル
・前節では，物体の受ける力が重力の場合とばねの力の場合に対し，物 体のエネルギーを定めた．ここではより一般的な場合に対し物体のエネルギーを定める． ・重力 F = −mg を受ながら運動する物体の位置エネルギーは，(3.32) で定めたように V = mgx である．この V は位置 x のみを変数に持ち（速度 v や時間 t を変数に 持たない），x で微分すれば dV dx = d mgx dx = mg = −F (F = −mg, より) (3.42) となる．また，ばねの力 F = −kx を受ながら運動する物体の位置のエ ネルギーは，(3.37) で定めたように V = 1 2kx 2 である．この V も位置 x のみを変数に持ち，x で微分すると dV dx = d dx( 1 2kx 2) = kx = −F (F = −kx より) (3.43) となる． ・上に述べたように，力 F が重力やばねの力の場合，V は位置 x のみ を変数に持つ関数であり (3.42), (3.43) に示したように F = −dV dx (3.44) という式を満たしている．力 F が重力やばねの力でない場合でも，力 F に対して，位置 x のみを変数に持つ関数 V で (3.44) を満たすようなも のが見つかることがある．このとき V を力 F の ポテンシャル と呼ぶ． （上の重力やばねの力の場合のように V を位置エネルギーと呼ぶことも ある．）
・一般に，力のポテンシャル V を求めると任意定数 C が付く．つまり V =· · · + C (C は任意定数) (3.45) の形となる． 例．力 F が F = sin x (3.46) と表されるとき，力 F のポテンシャル V は V = cos x + C (C は任意定数) (3.47) の形となる．実際， dV dx = d(cos x + C) dx = − sin x = −F (3.46) より) となるから V は C の値が何であっても (3.44) を満たしている． ・通常は，ポテンシャルの基準点を適当に選び（例えば x = 0），その点 でのポテンシャル V の値が 0 となるように (3.45) の定数 C の値を定め る． 問．力 (3.46) のポテンシャル V は，ポテンシャルの基準点を x = 0 に とったときどのように表されるか． 解．力 (3.46) のポテンシャル V の一般形は (3.47) に示したように V = cos x + C. 基準点 x = 0 ではこのポテンシャル V の値は 0 でなければならないか ら C = −1（cos 0 = 1 より）．つまり，V は規準点を x = 0 としたとき V = cos x− 1 と表される．
・物体の受けている力 F が保存力であり，従って式 (3.44) を満たすよう なポテンシャル V があるとき，物体のエネルギー E を E = T + V (3.48) で定める．ここで T は (3.29) で定めた物体の運動エネルギーである． ・(3.48) で定めたエネルギー E は時間によらず一定値を保つ．実際， dE dt = dT dt + dV dt = F v + dV dt ((3.31) より) = F v + dV dx dx dt ((1.11) より) = F v− F v ((3.44) と (3.1) より) = 0. 従って E は定数（(1.10) より）． 問．物体の受けている力 F が F = −x3 と表されるとする．この物体のエネルギー E はどのような式となるか． ただし力 F のポテンシャルの基準点を x = 0 とせよ． 解．いま V = 1 4x 4+ C (C は任意定数) (3.49) と置く．この V は位置 x のみを変数とする関数であり，しかも dV dx = d dx $1 4x 4 + C%= x3 =−F となるから (3.44) を満たす．従って V は力 F のポテンシャルである． 基準点 x = 0 ではこのポテンシャル (3.49) の値は 0 でなければならない から C = 0．従って V = 1 4x 4
従って (3.48) より物体のエネルギーは E = 1 2mv 2+ 1 4x 4.
3.10
仕事
・物体を位置 x = a から位置 x = b まで力 F を加えながらゆっくり移 動させたとする．このとき，定積分 W = # b a F dx (3.50) の値を物体にした 仕事 と呼ぶ．(W は work（仕事）の頭文字．定積分に ついては (1.27) 参照） 注．物体をゆっくりと移動させるとは，物体が外部から受けている力を 打ち消して 0 にするのに必要なだけの力 F を加えながら（つまり，釣り 合いを保ちながら），物体を移動させるということである． 問．地上にある質量 m の物体を，ゆっくりと高さ h の位置まで持ち上げ た．物体になした仕事 W を求めよ．重力加速度を g とする．また，こ の仕事 W が，持ち上げた後の物体の位置エネルギーから持ち上げる前の 物体の位置エネルギーを引いたものに等しいことを確かめよ． 解．物体は重力 −mg (3.15) を受けている．これをゆっくり持ち上げるに は，逆の力 F = mg を加えることが必要．物体の最初の位置（高度）は 0，最後の位置は h であり，また mg は定数であるから， W = # h 0 F dx ((3.50) より) = # h 0 mgdx = [mgx]h0 ((1.27) の 文字 t を x に変えたものより) = mgh− mg · 0 = mgh 従って求める仕事は W = mgh．(3.32) より，物体が高さ h の位置にあ るときその位置エネルギーは mgh．また，物体が地表にあるときその位置エネルギーは mg · 0 = 0．従って，前者から後者を引いたものは mgh． これは求めた W に等しい． 問．ばね定数 k のばねに取り付けられた物体を，平衡点からゆっくりと x0 だけ変位させた．物体になした仕事 W を求めよ．また，この仕事 W が，変位させた後の物体の位置エネルギーから変位させる前の物体の位 置エネルギーを引いたものに等しいことを確かめよ． 解．物体はばねが引き戻す力 −kx (3.19) を受けている．この物体をゆっ くりと変位させるためには，逆の力 F = kx を加えることが必要．物体 の最初の位置（変位）は 0，最後の位置は x0 だから， W = # x0 0 F dx ((3.50) より) = # x0 0 kxdx = &1 2kx 2'x0 0 ((1.27) の 文字 t を x に変えたものより) = 1 2kx 2 0− 1 2k· 0 2 = 1 2kx 2 0. 従って求める仕事は W = 1 2kx 2 0．物体の変位が x0 のとき，(3.37) より物 体の位置エネルギーは 1 2kx 2 0．また，物体が変位が 0 であるとき，物体 の位置エネルギーは 1 2k· 0 2 = 0．従って，前者から後者を引いたものは 1 2kx 2 0．これは求めた W に等しい．
3.11
物体の衝突
・x 軸上を運動してい２つの硬い小球 A と B が衝突したとする．衝突 時に小球 A が小球 B から受ける力 FA と小球 B が小球 A から受ける 力 FB は，向きが逆で大きさが等しい．つまり FB =−FA. (3.51) である．これを 作用反作用の法則 と呼ぶ．衝突の前と後は小球 A も小 球 B も力を受けずに運動しているものとする．・衝突後の２つの小球の運動量の和は，衝突前の運動量の和に等しい（運 動量は (3.28) で定めた）．つまり，小球 A と B の衝突前の運動量を pA, pB，衝突後の運動量を p"A, p"B とすれば， p"A+ p"B = pA+ pB が成り立つ．運動量の定義 (3.28) より，上式は mAv"A+ mBvB" = mAvA+ mBvB (3.52) と表すこともできる．ここで mA, mB は小球 A,B の質量，vA, vB は小球 A,B の衝突前の速度，v" A, vB" は小球 A,B の衝突後の速度である． ・衝突後の２つの小球の運動エネルギーの和が，衝突前の運動エネルギー の和に等しいとき（運動エネルギーは (3.29) で定めた），つまり 1 2mAv " A 2 +1 2mBv " B 2 = 1 2mAvA 2+1 2mBvB 2 (3.53) が成り立つとき，この衝突を 完全弾性衝突 と呼ぶ． 注．物体の衝突によってその運動エネルギーの一部が物体内部のエネル ギーに転化する場合 (物体の温度上昇などが起る）は，衝突は完全弾性衝 突とはならない． ・(3.52) が成り立つことを示す．いま，時刻 t における小球 A, B の速度 を vA(t), vB(t) と書き，時刻 t に小球 A, B が受けている力を FA(t), FB(t) と書く．(3.12) より，小球 A と小球 B の運動方程式はそれぞれ mA d vA(t) dt = FA(t), mB d vB(t) dt = FB(t). (3.54) である．小球 A と B の運動量の和 mAvA(t) + mBvB(t) を時間 t で微分 し，上の２つの式を用いると d dt(mAvA(t) + mBvB(t)) = mA d vA(t) dt + mB d vB(t) dt = FA(t) + FB(t) ((3.54) より) (3.55)
を得る．ここで，どの時刻 t においても FA(t) + FB(t) = 0 (3.56) が成り立っている．実際，小球 A，B が衝突している最中は，(3.51) よ り (3.56) が成り立ち，それ以外の時刻 t では小球 A, B の受けている力 FA(t), FB(t) はどちらも 0 だから，やはり (3.56) が成り立つ ．(3.55) と (3.56) より d dt(mAvA(t) + mBvB(t)) = 0 この結果は小球 A,B の運動量の和 mAvA(t) + mBvB(t) が定数であり変 化しないことを示す（(1.10) より）．従って衝突後の小球 A と B の運動 量の和は衝突前の和と同じである．つまり (3.52) が成り立つ． 問．静止している質量 m の小球 A に，同じ質量を持つ速度 vB の小球 B が衝突した．この衝突は完全弾性衝突であった．小球 A と小球 B の 衝突後の速度を求めよ． 解．小球 A と B の衝突後の速度をそれぞれ vA"，vB" で表す．問の条件 より，小球 A と小球 B の質量は m であり，また衝突前の小球 A の速度 vA は 0 である．従って (3.52) より mv"A+ mvB" = mvB. (3.57) が成り立ち，また (3.53) より 1 2mv " A 2 +1 2mv " B 2 = 1 2mv 2 B. (3.58) が成り立つ．(3.57) の両辺を m で割った式より vB = v"A+ vB" (3.59) これを (3.58) の両辺を m/2 で割った式の右辺に代入すると vA" 2+ v"B2 = (vA" + v"B)2 この式は右辺を展開した後，整理すると vA" vB" = 0
という式となる．これより vA" = 0 (3.60) と v"B= 0 (3.61) の少なくとも一方が成り立たなければならない．いま (3.60) が成り立つ としてみる．これは衝突後も小球 A が静止したままであることを意味す る．一方，(3.59) よりこの仮定 (3.60) のもとでは vB" = vB であり，小 球 B は衝突後も衝突前と同じ速度で運動していることになる．従って， 衝突後，小球 B は静止したままの小球 A を通り抜けたことになる．こ れは不可能．従って (3.60) は成り立たない．従って (3.61) の方が成り立 つことになる．つまり衝突後の小球 B の速度は 0．このとき (3.59) より v" A = vB．つまり衝突後の小球 A の速度は vB．（A と B の速度が衝突で 入れかわったことになる．）
4
ベクトルの復習
4.1
ベクトル
・ベクトル とは向きと大きさを持つ量． ・ベクトルを次図のように矢印で表す．矢印の向きはベクトルの向き，矢 印の長さはベクトルの大きさを表す．ベクトルに名前を付けるときは， "A のように上に矢印のついた記号を用いることにする． ## ## # $ " A ・ベクトル "A， "B の 和 "A + "B とは， "A， "B を２辺とする平行四辺形の 対角線で表される下図のようなベクトル．% && && &' " A " B % && && &' (((( (((( (() $$ $$ $ " A " B " A + "B 注．右端の図のベクトル "A + "B は下図のように "A と "B を繋げることで も得られる： %&& && &' (((( (((( (() " A " B " A + "B ・ベクトル "A の 定数 k 倍 k "A とは，下図のように "A の大きさを |k| 倍 し（例えば k = −2 なら | − 2| 倍，つまり２倍する），k が負のときは更 に向きを逆にしたベクトル． && && &' " A && && && &' & & & & & & &* k "A k "A k が正のとき k が負のとき ・− "A とは −1 "A のこと．従って − "A は "A と大きさが同じで向きが逆の ベクトル．差 "A− "B とは "A + (− "B) のこと． ・ "A に対し "A− "A = ( "A + (− "A)) や "A の 0 倍 0 "A を作図すると，大きさ （長さ）が 0 のベクトルとなる．大きさが 0 のベクトルを記号 "0 で表し， 零ベクトル と呼ぶ．零ベクトル "0 を表す矢は長さが 0 であるからその向 きは重要ではない． ・ベクトル "A の大きさ，つまりベクトル "A を表す矢印の長さを，記号 | "A| で表す．ベクトル "A の大きさを，上の矢印を取り除いた A で表すこ ともある．
・ベクトル "A と "B の 内積 "A· "B を " A· "B =| "A|| "B| cos θ (4.1) により定める．ここで θ はベクトル "A と "B のなす角．つまり下図の角 θ． % && && &' " A " B θ ・ベクトル "A と "B が直交しているときは "A· "B = 0 となる．実際，こ のとき θ = 90◦ だから cos θ = 0．従って (4.1) の右辺は 0 となる． 問． "A の大きさが 2， "B の大きさが 3， "A と "B のなす角が 2π 3 のとき， 内積 "A· "B を求めよ． 解． " A· "B = 2× 3 × cos2π 3 ((4.1) より) = 6× (−1 2) (cos 2π 3 = cos 120 ◦ =−1 2より) = −3. ・ベクトル "A の大きさ | "A| は，内積を用いて | "A| = . " A· "A (4.2) と表せる．実際， "A が "A 自身となす角は 0 であるから， " A· "A = | "A|| "A| cos 0 ((4.1) より) = | "A|2 (cos 0 = 1 より). これより (4.2) を得る．
4.2
ベクトルの成分
・以下では平面上にあるベクトルを考える．この平面上に xy 座標をと る． ・ベクトル "A を， "A を表す矢を下図のように座標原点から書いたときの 矢の先端の x 座標 Ax，y 座標 Ay を用いて， " A = ! Ax Ay " . (4.3) と表す．Ax, Ay をそれぞれベクトル "A の x 成分，y 成分 と呼ぶ．ベク トルを (4.3) のように表すことを，ベクトルの 成分表示 という． ! " ++ ++ ++, ++ ++ ++, x y " A Ax Ay ・零ベクトル "0 とは大きさが 0 のベクトルのことであった．これは "0 = ! 0 0 " (4.4) と表せる．実際，上図で "A が "0 の場合，矢印の長さは 0．従って上図右 の座標 Ax も座標 Ay も 0 となる． 例．下図のベクトル "A は，これを表す矢を座標原点から書いたとき，そ の先端の x 座標が −2，y 座標が 3 となる．従って "A = ! −2 3 " である．! " -. -. x y " A −2 3 ・ベクトル "A, "B が " A = ! Ax Ay " , B =" ! Bx By " と表されるとき， " A + "B = ! Ax+ Bx Ay+ By " (4.5) k "A = ! kAx kAy " (k が定数のとき) (4.6) となる．言い換えれば ! Ax Ay " + ! Bx By " = ! Ax+ Bx Ay + By " , (4.7) k ! Ax Ay " = ! kAx kAy " (4.8) 問． "A = ! 5 3 " ， "B = ! 4 −1 " のとき，2 "A− 3 "B を求めよ． 解． 2 "A− 3 "B = 2 ! 5 3 " − 3 ! 4 −1 " = ! 10 6 " + ! −12 3 " ((4.8) より) = ! −2 9 " . ((4.7) より)
注．(4.5) は下の左のような図を書けば確かめられる．矢 "A の先端の x 座標は Ax，矢 "B の先端の x 座標は Bx である．矢 "A と矢 "B から平 行四辺形の規則に従って作図した矢 "A + "B の先端の x 座標は Ax+ Bx であることがわかる．また y 座標についても同様なことが確かめられる． (4.6) は下右のような図（これは k > 0 の場合の図）を書けば確かめられ る．矢 "A の先端の x 座標は Ax である．矢 "A からベクトルの定数倍の 規則に従って作図した矢 k "A の先端の x 座標は kAx とであることがわか る．また y 座標についても同様なことが確かめられる． ! " ////// ///0 && && &&' 11 11 11 11 11 1 2 &&&&&& &&& $$ $$ $$ x y " A Ax Ay " B Bx By " A + "B Ax+ Bx Ay+ By 0 ! " ++ +++, ++ ++ ++ + , x y " A Ax Ay k "A kAx kAy ・(4.5),(4.6) と (4.4) より " A + "0 = ! Ax+ 0 Ay+ 0 " = ! Ax Ay " , k"0 = ! k× 0 k× 0 " = ! 0 0 " . つまり " A + "0 = "A, k"0 = "0 (4.9) が成り立つ． ・ベクトル "A， "B が " A = ! Ax Ay " " B = ! Bx By " と成分で表されているとき， "A の大きさ| "A| と， "A， "B の内積 "A· "B は 次のように表せる： | "A| =.A2 x+ A2y , (4.10)
" A· "B = AxBx+ AyBy (4.11) と表せる．言い換えれば / / / / / ! Ax Ay "/// / /= . A2 x+ A2y , (4.12) ! Ax Ay " · ! Bx By. " = AxBx+ AyBy (4.13) (4.10) と (4.11) からも (4.2) が得られる． 問． "A = ! 4 −3 " ， "B = ! 2 5 " のとき，| "A| と "A· "B を求めよ． 解． | "A| = .42+ (−3)2 ((4.10) より) = √25 = 5, " A· "B = 4× 2 + (−3) × 5 ((4.11) より) = −7. 注．(4.10) は次左図を用いて次のように確かめられる： | "A| = ベクトル "A を表す矢印の長さ = .A2 x+ A2y ! 図の矢印の長さをピタゴラス の定理を使 っ て求めた " . ! " ++ ++ ++, x y " A Ax Ay ! " ////// ///0 && && &&' x y " A Ax Ay " B Bx By θ (4.11) は次のようにして確かめられる．上右図の "A と "B のなす角を θ， " A と x 軸のなす角を θA， "B と x 軸のなす角を θB とすると， " A· "B = | "A|| "B| cos θ ((4.1) より)
= | "A|| "B| cos(θB− θA) (θ = θB− θAより)
= | "A|| "B|(cos θBcos θA+ sin θBsin θA)
(cos(x− y) = cos x cos y + sin x sin y より) = | "A|| "B| ! Bx | "B| Ax | "A| + By | "B| Ay | "A| " cos θB = Bx/| "B|, cos θA= Ax/| "A|, sin θB = By/| "B|, sin θA= Ay/| "A| より = AxBx+ AyBy. ・ベクトルの内積は次のように通常の数の積と似た性質を持つ： " A· "B = "B· "A (4.14) ( "A + "B)· "C = "A· "C + "B · "C (4.15) " A· ( "B + "C) = "A· "B + "A· "C (4.16) (k "A)· "B = k( "A· "B) (4.17) " A· (k "B) = k( "A· "B) (4.18) 問．内積が上の性質を持つことを，ベクトルの成分表示を利用して示せ． 解．ベクトル "A, "B, "C を " A = ! Ax Ay " , B =" ! Bx By " , C =" ! Cx Cy " と成分で表す．このとき " A· "B = AxBx+ AyBy ((4.11) より) = BxAx+ ByAy = "B· "A ((4.11) より) となり，(4.14) を得る．また " A + "B = ! Ax+ Bx Ay+ By " ,
であるから ( "A + "B)· "C = (Ax+ Bx)Cx+ (Ay+ By)Cy ((4.11) より) = AxCx+ AyCy + BxCx+ ByCy = A"· "C + "B· "C ((4.11) より) となり，(4.15) を得る．(4.14) と (4.15) を利用すると " A· ( "B + "C) = ( "B + "C)· "A ((4.14) より) = "B · "A + "C· "A ((4.15) より) = A"· "B + "A· "C ((4.14) より) となり，(4.16) を得る．また k "A = ! kAx kAy " であるから， (k "A)· "B = (kAx)Bx+ (kAy)By ((4.11) より) = k(AxBy + AyBy) = k( "A· "B) ((4.11) より) となり，(4.17) を得る．(4.14) と (4.17) を利用すると " A· (k "B) = (k "B)· "A ((4.14) より) = k( "B· "A) ((4.17) より) = k( "A· "B) ((4.14) より) となり，(4.18) を得る． ・ベクトルの大きさは次のように数の絶対値と似た性質を持つ： |k "A| = |k|| "A| (4.19) | "A + "B| ≤ | "A| + | "B| (4.20) ここで (4.19) 右辺の |k| は定数 k の絶対値である．
問．(4.19) が成り立つことを，ベクトルの成分表示を利用して示せ． 解．ベクトル "A を " A = ! Ax Ay " と成分で表すと k "A = ! kAx kAy " であるから， |k "A| = .(kAx)2+ (kAy)2 ((4.10) より) = .k2(A2 x+ A2y) = √ k2.A2 x+ A2y = |k|.A2 x+ A2y (|k| = √ k2より) = |k||| "A| ((4.10) より).
5
ベクトルの微分
・以下では成分が変数 t の関数であるようなベクトルを考える．例え ば ! cos t sin t " はそのようなベクトルである． ・ベクトルを微分するということは，その成分を微分するということで ある．つまり， " A = ! Ax Ay " のとき d "A dt = dAx dt dAy dt . 言い換えれば d dt ! Ax Ay " = dAx dt dAy dt . (5.1)ベクトルを２回微分するということは，その成分を２回微分するという こにとなる．つまり d2 dt2 ! Ax Ay " = d2A x dt2 d2A y dt2 . (5.2) 問． "A = ! t2 sin t " のとき，d2A" dt2 を求めよ． 解． d2A" dt2 = d2 dt2 ! t2 sin t " = d2t2 dt2 d sin t dt ((5.1) より) = ! 2 − sin t " . ・(1.10) に記したように，微分すると 0 となる関数は定数である．同様 に，微分すると零ベクトル "0 となるベクトルは，成分が定数のベクトル である．つまり d "A dt = "0 ⇒ A のどの成分も定数" (5.3) 言い換えれば d dt ! Ax Ay " = ! 0 0 " ⇒ ! Ax Ay " = ! C1 C2 " (C1, C2は定数) が成り立つ．実際，上の左側の式は (5.1) より dAx dt dAy dt = ! 0 0 " と書き直せるが，これは２つの式 dAx dt = 0, dAy dt = 0 をまとめて書いたものに他ならない．これらの式から Ax = C1, Ax = C2 （C1, C2 は定数）を得る（((1.10) より)．
6
平面上を運動する物体
6.1
位置，速度，加速度
・ここでは平面上を運動する物体を考える．この平面上に下図のよう に xy 座標をとる．物体の位置の x 座標と y 座標をそれぞれ x，y で表 す． ! " ' 33 33 334 x y x y "r 物体 ・上図に示したような，座標原点から物体の位置へのベクトル "r を，物 体の 位置ベクトル，あるいは簡単に物体の 位置 という．ベクトルの成分 の定め方 (4.3) より，位置 "r は "r = ! x y " と表せる．物体の位置 "r は，物体の座標 (x, y) を縦に書いたものに他な らない． ・物体が運動していれば，物体の位置 "r は時間 t の関数となる．例えば物体 の座標が x = cos t，y = sin t と表されるとき，物体の位置は "r =! cos t sin t " という t の関数となる． ・物体の速度 "v とは，物体の位置 "r を時間 t で微分したもの．つまり "v = d"r dt (6.1) （ベクトルの微分については前節を見よ．） ・物体の 速さ とは，物体の速度 "v の大きさ |"v| のこと．
・物体の加速度 "a とは，物体の速度 "v を時間 t で微分したもの．つまり "a = d"v dt (6.2) 問．物体の位置が "r = ! 1− cos t sin 3t " と表されるとき，物体の速度 "v と加 速度 "a を求めよ．また物体の速さ |"v| を求めよ． 解． "v = d"r dt ((6.1) より) = d dt ! 1− cos t sin 3t " = d dt(1− cos t) d sin 3t dt ((5.1) より) = ! sin t 3 cos 3t " , (6.3) "a = d"v dt ((6.2) より) = d dt ! sin t 3 cos 3t " ((6.3) より) = d sin t dt d 3 cos 3t dt ((5.1) より) = ! cos t −9 sin 3t " . また，物体の速さ |v| は |v| = .(sin t)2+ (3 cos 3t)2 ((6.3), (4.10) より) = . sin2t + 9 cos23t.
・物体の位置の微分は速度，速度の微分は加速度だから，加速度は物体 の位置 "r を２回微分したもの． つまり物体の加速度 "a は次のようにも表 せる： "a = d 2"r dt2 (6.4) 問．物体の位置が "r = ! t + 1 t3+ 1 " と表されるとき，物体の加速度 a を求 めよ． 解． "a = d 2"r dt2 ((6.4) より) = d 2 dt2 ! t + 1 t3+ 1 " = d2(t + 1) dt2 d2(t3+ 1) dt2 ((5.2) より) = ! 0 6t " . 注．物体の位置 "r，速度 "v，加速度 "a の関係は下図のように表現できる． 矢 "v の方向と長さは，矢 "r の先端（つまり物体の位置）が進む方向と進 む速さを表す．同様に，矢 "a の方向と大きさは，矢 "v の先端が進む方向 と進む速さを示す．つまり，加速度 "a は速度 "v がどのように変化しつつ あるかを表す． ! " ' 11 1112 5 5 56 7 7 8 x y "r "v "a 物体
6.2
運動方程式
・平面上を運動する物体が受けている力は，下図のように平面上のベクト ル "F で表される．物体がいくつかの力 "F1, "F2, "F3, . . . を受けているなら，物 体の受けている正味の力（合力）"F はこれらの力の和 "F = "F1+ "F2+ "F3+· · · となる． ' 7 7 7 7 8 " F 物体 ・平面上を運動する物体に対するニュートンの運動方程式は m"a = "F (6.5) ここで m は物体の質量，"a は物体の加速度， "F は物体の受けている力． ・(6.4) より，運動方程式 (6.5) は次のようにも表せる． md 2"r dt2 = "F (6.6) ここで "r は物体の位置． ・(6.1) より，運動方程式 (6.5) は次のようにも表せる． md"v dt = "F (6.7) ここで "v は物体の速度． 注．(6.5) より，力 "F を受けた物体には加速度 "a = 1 mF が生じる．この" 加速度 "a は，下図のように物体の速度 "v の矢の先端を力 "F と同じ方向 に動かそうとする．つまり，物体の速度の方向を力の方向へ向けようと する．! " ' 5 5 56 7 7 8 7 7 7 7 8 x y "v "a = m1F" " F 物体
6.3
力を受けずに運動する物体
・物体が力を受けていない場合，言い換えれば，物体の受けている力 " F が " F = "0 (6.8) である場合を考える．ここで "0 は零ベクトル "0 = ! 0 0 " ． 注．(6.8) を "F = 0（数の 0）と書くことはできない．実際， "F = 0 と書 くと，左辺はベクトル，右辺は数であるから，決して成り立たない式と なる（複数の成分を持つベクトルが通常の数に等しくなることはない）． ・物体が力を受けていない場合，(6.7) と式 (6.8) より物体の運動方程式 は次のように表せる： md "v dt = "0. この両辺に 1/m を掛ければ（(4.9) より右辺は 1/m 倍してもやはり "0 ） d "v dt = "0. となる．従って (5.3) より "v の各成分は定数であり，"v は時間が経過して も変わらない．つまり，力を受けていない物体の速度 "v は方向も大きさ も常に一定である． ・逆に，物体の速度 "v が方向も大きさも変えず常に一定であるときは， 物体は力を受けていない．実際，"v が一定ならその成分も一定でだから，"v = ! C1 C2 " （C1, C2 は定数）と表せる．このとき " F = md"v dt ((6.7) より) = md dt ! C1 C2 " = m d C1 dt d C2 dt ((5.1) より). = m ! 0 0 " = ! 0 0 " = "0.
6.4
等速円運動をする物体
・半径 r の円の周上を一定の速さで運動している質量 m の物体 A を 考える．下図のように，この円の中心を座標原点にとる． ! " '''' ''' ! 9 9 9: x y r cos ωt r sin ωt r "v ωt 半径 r の円の周 円の中心 物体 A ・ 物体 A は時刻 t = 0 に x 軸を横切ったとする．座標原点と物体を結 ぶ直線と x 軸がなす角は時間 t に比例して増大していくから，この角度 を図中のように ωt（ω は比例定数）と書いた．この比例定数 ω は物体 A の円運動の 角速度 と呼ばれる．（距離割る時間を速さと呼ぶのと同様に， 角度割る時間 = ωt/t = ω には角速度という名前がく）．・図より物体 A の x 座標は r cos ωt，y 座標は r sin ωt． 従って，物体 A の位置ベクトル "r は次のように表せる： "r = ! r cos ωt r sin ωt " . (6.9)
・物体 A の速度 "v と加速度 "a は次のように表せる： "v = ! −rω sin ωt rω cos ωt " , (6.10) "a = ! −rω2cos ωt −rω2sin ωt " . (6.11) 問．(6.9) から (6.10) と (6.11) を導け． 解． "v = d "r dt ((6.1) より) = d dt ! r cos ωt r sin ωt " ((6.9) より) = d r cos ωt dt d r sin ωt dt ((5.1) より) = ! −rω sin ωt rω cos ωt " ((1.5), (1.4) より), "a = d "v dt ((6.2) より) = d dt ! −rω sin ωt rω cos ωt " (上で示した (6.10) より) = d (−rω sin ωt) dt d rω cos ωt dt ((5.1) より) = ! −rω2cos ωt −rω2sin ωt " ((1.4), (1.5) より). ・物体 A が等速円運動を続けるのは，ある力を受けているからである． 運動方程式 (6.5) を利用して物体 A の受けている力 "F を求めると " F = m"a ((6.5) より)
= m ! −rω2cos ωt −rω2sin ωt " ((6.11) より) = −mω2 ! r cos ωt r sin ωt " ((4.8) より) となる．この最後の ! r cos ωt r sin ωt " は (6.9) に記した物体の位置ベクトル "r に他ならない．従って上の結果は " F =−mω2"r (6.12) と表せる． ・物体 A の位置ベクトル "r は，物体 A の円軌道の円の中心にとった座 標原点から物体 A へ向かうベクトルである．物体 A の受けている力 "F は，(6.12) のようにこの "r を負の定数 −mω2 倍したものであるから，"r と逆の向きを持つ．従って，力 "F は物体 A からその円軌道の円の中心 への向きを持つ．物体 A の受けているこの力 "F を 向心力 と呼ぶ． ・物体 A が受けている向心力 (6.12) の大きさ | "F| は，物体 A の円軌道 の半径 r を用いて | "F| = mω2r (6.13) と表せる． 問．(6.13) を示せ． 解． | "F| = ///−mω2"r// / ((6.12) より) = | − mω2||"r| ((4.19) より) = mω2.(r cos ωt)2+ (r sin ωt)2 ((6.9) と (4.12) より) = mω2r . cos2ωt + sin2ωt = mω2r· 1 = mω2r. ・いま物体 A の速さを v で表す．速さ v とは速度 "v の大きさ |"v| のこと
であるから，(6.10) より v = |"v| = .(−rω sin ωt)2+ (rω cos ωt)2 ((6.10), (4.10) より) = .r2ω2(sin2ωt + cos2ωt) = rω . sin2ωt + cos2ωt = rω· 1 = rω を得る．これより ω = v r. (6.14) 向心力の大きさを表す式 (6.13) を上式を用いて書き換えると， | "F| = mv 2 r となる．これは物体 A の受けている向心力の大きさを，物体 A の速さ v を用いて表す式である． 注．(6.14) は次のようにしても得られる．物体 A は時間 t の間に円軌道 に沿って r × ωt の長さだけ動く（本 6.4 節始めの図参照）．この移動し た長さ rωt を移動時間 t で割ったものが物体 A の速さ v である．つまり v = rωt t = rω これより (6.14) を得る．
6.5
運動量とエネルギー
・平面上（xy 平面上）を運動する物体を考える．物体の運動量 "p を "p = m"v (6.15)により定める．ここで m は物体の質量，"v は物体の速度である．運動量 "p と速度 "v を "p = ! px py " , "v = ! vx vy " (6.16) のように成分で表せば，(6.15) は ! px py " = m ! vx vy " と表せる．これは２つの式 px = mvx, py = mvy をまとめて表したものに他ならない． ・物体が力を受けていない場合，物体の運動量 "p は一定で変化しない．実 際，物体の受けている力 "F が "0 なら d"p dt = m d"v dt ((3.28) より) = "F (物体の運動方程式 (6.7) より) = "0 (仮定 "F = "0 より). となる．(5.3) より，上の結果は "p の成分が定数であり，従って "p は常に 一定であることを示している． ・物体の 運動エネルギー T を T = 1 2mv 2 (v2 = "v · "v) (6.17) で定める．ここで m は物体の質量，"v は物体の速度であり，内積 "v · "v を 簡単に v2 と書いた． 問．物体の質量が m であり，その速度 "v が "v = ! 2t 1− t2 "
