328 (昭和60年11月 日本 造 船 学 会 季秋 講 演 会 に おい て 講 演)
塑 性 選 点 法 の 開 発
塑 性 節 点 法 の 拡張
正員 上
田
幸
雄*
正員 藤 久 保
昌 彦**
正員 三
浦 正
博***
Developement of Plastic Collocation Method Extension of Plastic Node Method
by Yukio Ueda, Member
Masahiko Fujikubo,
Member
Masahiro Miura,
Member
Summary
Previously, the authors developed the plastic node method for elastic-plastic analyses of homogeneous continuum in any geometrical shape. In this method, using ordinary finite elements, plastification is examined only at the nodes. Regarding the yield conditions at the nodes as plastic potentials and applying the plastic flow theory, the elastic-plastic stiff-ness matrices can be derived without integration over the element. The successful applica-bility of this method has so far been verified.
By the way, the accuracy of the elastic-plastic behavior obtained by this method depends on that of the stresses in the elements and the yield conditions. Especially on the former one, it is generally agreed that the stresses evaluated at the Gaussian points or by means of averaging may be more relevant rather than nodal ones.
From this point of view, in this paper, the basic theory of the plastic node method is further extended so that plastification can be examined at any point in the element. In this sense, the authors name this extended theory the "plastic collocation method". The theoreti-cal background of this new method is also argued especially aiming at the mechanism of the plastic deformation in the element. Applying this plastic collocation method, several examples are analysed, and the effectiveness of this method is demonstrated.
1 緒 言 骨 組 板 構 造 か ら3次 元 固 体 に い た る 任 意 形 状連 続 体 に 対 す る効 率 良 い 弾 塑 性 解 析 手 法 と して,著 者 らは塑 性 関 節 法1),2)を拡 張 した 塑 性 節 点 法 を提 案 した3),4)。この解 析法 で は,任 意 の 変 位 型有 限 要 素 に お い て,そ の塑 性 化 を 節 点 の み で 判 定 す る 。 そ して,節 点 の塑 性 条件 を要 素 の 節 点 力 で表 わ した も の を 塑 性 ポ テ ン シ ャル とみ な し て,塑 性 ポ テ ン シ ャル論 に 従 って塑 性 節 点変 位 増 分 の形 で塑 性 変形 を 導 入 して い る。 通 常 の有 限 要 素 法 に よる弾 塑 性 解 析手 法 と異 な り,要 素 の弾 塑 性 剛性 行 列 は要 素 内 で積 分 をす る こ とな く,マ トリ ッ クス演 算 で得 られ る。 この火解析 法 のす ぐれ た適 用 性 は,す で に熱 や 動 的 影 響 を 受 け る 問題 を含 め 明 らか に され て い る5),6)。 と ころ で,塑 性 節 点 法 を 用 い て 得 られ る塑 性 崩 壊荷 重 の精 度 は,用 い る有 限 要 素 の 変 位 関数 か ら算 出 され る節 点 の応 力 の精 度 に 依 存 す る｡し た が っ て,集 中 荷重 を 受 け る骨 組 構 造 物 に 対 して,Hermite3次 式 を 変 位関 数 と す る梁 要 素 を 用 い た 場 合 で は,節 点 力 が 断 面 の合 応 力 と 一 致 し,か つ要素内極大 となるので,節 点での塑性化の 判 定 は崩 壊 挙 動 の 追 跡 の上 で最 適 と言 え る。 これ に 対 し,一 般 の 変 位型 有 限 要 素 の 場 合,要 素 内 の 応 力 場 は 変 位 関 数 の精 度 に依 存 す る近 似 解 で あ り,隣 接 要 素 間 の 応 力 の 連 続 性 も満 た さ れ て い な い。 した が っ て,こ の 種 の 要 素 の場 合,節 点 に お い て 塑性 化 を判 定 す る こ とは 必 ず し も適切 で な い。 例 え ば,良 く知 られ て い るBazeleyの 非 適 合板 曲 げ要 素 の 場 合,変 位 につ い て は 良 い解 が 得 られ る が,変 位 関 数 と して 不 完全3次 式 を用 い て い るた め 応 力 場 の近 似 は悪 く,通 常,要 素 の重 心 点 の応 力 が 妥 当 な 値 を与 え る とされ る7｡ま た,集 中 荷重 の作 用 点 近 傍 の ご と く応 力 が特 異 性 を 示 す 領域 では,高 * 大 阪 大 学溶 接 工 学 研 究所 ** 広 島 大 学工 学 部 *** 広 島大 学 大 学 院
塑 性選 点 法 の 開発 一塑 性 節 点 法 の拡 張 一 329 次 の要 素 を 用 い るほ ど,節 点 には 不 自然 な 応 力 場 が 生 じ る こ とが あ り,こ の た め,要 素 内 の 平 均 応 力 を も っ て評 価 され る場 合 の方 が 多 い。 この よ うに,一 般 に は節 点 の応 力 よ りも,要 素重 心 や ガ ウス積 分 点 の 応 力 あ る い は平 均 化 や 平 滑化 され た応 力 を も って要 素 の 応 力場 を 評 価 す る 方 が 合 理 的 な場 合 も 多 い。 そ こで,本 論 文 で は,塑 性 判 定 を 節 点 を 含 む 要 素 の任 意 位置 で行 え る よ うに従 来 の塑 性 節 点 法 を拡 張 し,新 た
に"塑 性 選 点 法(Plastic Collocation Method;PCM)" を提 案す る。 は じめ に,塑 性選 点法 の基 礎 理 論 を 静 的 微 小 弾塑 性 問 題 を対 象 と して 述 べ る。 ま た,本 解 析 法 に お け る塑 性 変 形 特性 とそ の 理 論 的 位置 づ け お よび 解 の精 度 に つ い て考 察 す る。 最 後 に3次 元 ア イ ソパ ラ メ ト リッ ク要 素 を含 む 種 々の要 素 を 用 い た解 析 例 を 通 し,本 解 析 法 の適 用 性 を 検 討す る。 な お,本 論 文 の 理 論 ば 熱 や 動 的影 響 を含 む問 題 に も容 易 に 拡 張 で き る｡ 2 塑 性 選 点 法 の 基 礎 理 論 21 基 本 的 仮 定 塑 性選 点 法 は,通 常 の変 位 型 有 限 要 素 に新 しい塑 性 変 形 機 構 を 導 入 す る弾 塑 性 解 析 法 で あ る。 した が っ て,弾 性範 囲 では 有 限要 素 法 そ の もの で あ る｡塑 性 選 点 法 の基 本 的仮 定 は 以 下 の通 りで あ る。 (1) 要 素 の塑 性 化 は,節 点 を 含 む 要 素 の任 意 の点 の 合 応 力 あ るい は 断面 力 が,塑 性 条 件 を 満足 す るか ど うか で判 定 す る｡ (2) 塑 性 条 件 を節 点 力 で 表 わ した もの を塑 性 ポ テ ン シ ャル とみ な し,塑 性 ポ テ ン シ ャル論 に した が っ て,塑 性 挙 動 を 表 現 す る。 結 果 と して,要 素 内 は弾 性 挙 動 し, 塑 性 変 形 は 節 点 のみ に生 じる こ とに な る。 22 弾 塑 性剛 性 方程 式 の 定 式 化 2。21 弾 性 剛性 方 程 式 難個 の 節 点 を有 す る有 限 要 素 を考 え る。 こ の要 素 の 節 点 力{x},弾 性 節点 変 位{ue}は そ れ ぞ れ 次 の よ うに表 わ せ る。 (1 )
(2 )
この時,要 素 の増 分 型 弾 性 剛 性 方 程式 は次 式 とな る。(3 )
ここ 観Ke]=L[B]7[De][B]4V;弾 性 剛 性 マ トリ ッ ク ス [B];節 点 変 位.ひ ず み マ ト リ ッ ク ス ［De];応 力 ・ひ ず み マ ト リ ッ ク スJv4V;簾
分
2.2.2塑 性判 定 点 の塑 性 条件 と塑 性 節 点変 位 要 素 のi番 目の塑 性 判 定 点 の塑 性 条件fiを 考 え る。i 点 の応 力 を σxi,σyi,…,τm,… とす る とfiは 次 の形 で 表 わ せ る。 (4 ) こ こ で,{σi}={σxi,σyも…,τxyi….}T σy;降 伏 応 力 式(4)の{σi}は,要 素 の 変 位 関 数 の 性 質 に も よ る が 一 般 に 要 素 のj個(j≦n)の 節 点 の 節 点 力 の 関 数 と な る (ApPendix.A参 照)。 し た が っ て 式(4)の 塑 性 条 件 も 次 の よ う に 節 点 力 の 関 数.亀 と な る 。 (5 ) 上 式 で,Fiは 節 点 力{Xi}σ=1,…,の な る一 般 化 応 力 に関 す る塑 性 条 件 と解 釈 で き る。 そ こで 本 理 論 で は,一 般 化 塑 性 歪 増 分 に 相 当 す る塑 性 節 点 変 位 増 分{4uρ}をFi を 塑 性 ポ テ ンシ ャル とみ な して 次 式 で 定 義 す る。(6 )
こ こ で,4λi;positive scalar た だ し,{φi}に お い てFiに 関 与 しな い 節 点 の 節 点 力 に 関 す る微 分 項 は 消 失 す る。 式(6)よ り塑 性 選 点 法 で は, 塑 性 判 定 点iが 塑 性 化 した と き,i点 の 応 力 に 関 係 す る 節 点 力 の 作 用 す る 全 節 点 に 塑 性 変 形 が 生 じ る こ と に な る。 また,i点 の 塑 性 化 に起 因 して 要 素 で な され る塑 性 仕 事 増 分dViρ は(7 )
と な る。 2.2.3 弾 塑 性 剛 性方 程 式 要 素 内 のk個 の 塑 性 判 定 点 が 塑 性 化 し た 要 素 を考 え る｡こ の 要 素 に 生 じる 塑 性 節 点 変 位 増分{4uP}は 式(6) よ り次 式 で 与 え られ る 。(8 )
こ こで,[φ コ=〔{φ1}{φ2}…{φk}] {4λ}={4λ14λ2…{dλk}7 また 材 料 を 完 全 弾 塑 性 体 とす る と,各 塑 性 化 点 の 内 力 は 負 荷 の 続 く限 り次 の 条 件 を 満 た さね ば な らな い 。(9 )
す な わ ち, (10 ) 一 方 ,弾 塑性状態にあ る要 素の全 節点変 位増分{4u}は, 弾 性,塑 性 の 各 成 分 の 和 と して 次 の形 で表 わ され る。(11
)
式(8),(11)を 式(3)に 代 入 す る と次式 を 得 る。 (12 ) これ を 式(10)に 代 入 す る と{dλ}に 関 す る 次 の連 立 一330 日本 造 船 学 会 論 文 集 第 158 号
次方程式が得 られ る｡
(13
)
これ よ り{4λ}が{4u}の 関 数 と して 次 の よ うに 求 ま る。(14
)
式(14)を 式(12)に 再 び代 入す る と,弾 塑 性 剛 性 方 程 式 が 次 式 の よ うに 得 られ る。(15
)
こ こで ;弾 塑 性 剛 性 マ ト リ ッ ク ス 以 上 の定 式 過 程 で 明 らか な よ うに,塑 性 選 点 法 で は要 素 内 の剛 性 積 分 が 不 要 で あ る。 したが っ て,塑 性 節 点 法 の もつ 計 算 効 率 を維 持 しつ つ解 の精 度 を 高 め る こ とが 可 能 とな る｡ 2.3 塑 性 選 点 法 に お け る 塑 性 変 形特 性 通 常 の塑 性 理 論 を適 用 す る場 合,材 料 の各 点 に お い て 応 力 を求 め,塑 性 条件 を 満足 した 点 には 塑 性 ひず み が 生 じる とす る 。 この塑 性 理 論 を も とに した通 常 の有 限要 素 法 に よる弾 塑 性 解 析 の場 合 には,要 素 内 に拡 が る塑 性 領 域 に 塑性 ひ ず み が 分 布 す る と して 要 素 剛性 を評 価 す る こ とに な る。 これ に対 し,塑 性 選 点 法 では,塑 性 判 定 点 が塑 性 化 し た 場 合,弾 性 要 素 の 節 点 に 塑 性 変 位 を 縮 約 して,弾 塑性 剛 性 を 評 価 す る。 た とえ ば,Fig.1の 一 次 元 要 素 では, 本 来 の 節 点i',j'か ら塑 性 変 形 量 だ け 離 れ た 点i,jが, 要 素 の 節 点 とな る。 そ して,内 節 点i',j'に 囲 まれ る 領 域は,弾 性 挙 動 を 示 し,そ の 剛 性は 弾 性 要 素 と同 じで あ る。 以 上 の 塑 性 変 形 特 性は,有 限 要 素 の 種火類 や 塑 性 判 定 点 の 位 置 に か か わ らず,常 に 同 じで あ る。 本 節 では,塑 性 選 点 法 に お け る この よ うな 塑 性 変 形 特 性 の 導 入 に よ る要 素 の 剛 性 評 価 の 妥 当 性 を 検 討 す る。 続 いて,梁 要 素 を 始 め とす る特 定 の 要 素 の 節 点 に 塑 性 選 点 法 を 適 用 した 場 合,塑 性 関 節,塑 性 関 節 線 そ して す べ り線 を 容 易 に 表 現 で き,そ れ らが,塑 性 関 節 法,塑 性 関 節 線 法 な ど と一 致 す る こ とを示 す 。 2.3.1 塑 性 変 形 特 性 と弾 塑 性 剛 性 行 列 の 収 束 性 塑 性 判 定 点iの 応 力{σi}は,一 般 に要 素 の複 数 の節 点 の節 点 力 の関 数 とな る。i点 が要 素 の節 点 に 位 置 す る場 合 も同 様 で あ る。 した が っ て,式(8)で 定義 した 塑 性 節 点 変 位 増 分 も一 般 に と複数 の節 点 に生 じ,こ れ らの節 点 に は,Fig。1の よ うな 塑性 変 位 場 が 形 成 す る。 具体 的 な変 形 モ ー ドや 各 節 点 に 配 分 され る塑 性 変 形 の 割 合 は要 素 の 変 位 関 数,塑 性 判 定 点,そ して塑 性 条 件 式 に 依 存す る。 次 に,塑 性 化 が 始 ま った弾 塑 性 状 態 の 要 素 の全 体 剛 性 を 考 え る。 式(3),(12)よ り,節 点 力 増 分{6x}は 次 式 とな る。 (16 )節点変位を被積分項 に取 り込む と
(17 ) な る関 係 式 が 導 か れ る。 上 式 の括 弧 内 の第1項 お よび第 2項 はそ れ ぞ れ 次 式 の よ うに 要 素 内 に[B]マ トリッ ク ス で分 布 させ られ る と 考 え た 場 合 の全 ひ ず み増 分{4ε} と塑 性 ひず み 増 分{鹿 ρ}を 示 して い る。 す な わ ち,(18
)
(19
)
この こ とよ り,式(12)を 用 い る塑 性 選 点法 では,式(19) に示 す 塑 性 ひず み の 分 布 を 要 素 内 で 仮定 して,式(17)の 積 分 を実 行 した 場 合 と等 価 な 要 素 剛性 の評 価 を 行 って い る と解 釈 で き る。 次 に,式(10)の 塑 性 状 態 に お け る負 荷 条 件 式 の示 す 意 味 を考 え る。 式(10)の 両 辺 に{4λ}を 乗 じる と(20
)
これは,式(8)の 塑 性 節 点 変 位 増 分{4uρ}=[φ]{4λ} と節 点力 増 分{4￠}の 直 交 性 を 示 して い る。 式(16)を 式(20)に 代 入 し,式(19)を 用 い る と次 式 が得 られ る。(21
)
上 式 の応 力 場{dσ}は 仮定 で は な く,要 素 の弾 性 領 域 に 生 じる実 際 の 応 力 増 分 で あ る｡要 素 内の 個 々の 点 では, [B]マ トリ ッ クス分 布 す る{δ ερ}は,そ の 点 の応 力 に 対 応 す る量 で ない た め,応 力増 分 と塑 性 ひ ず み増 分 の 直 交 性 は一 般 に加 立 しな い が,式(21)は{4εP}が,{4σ} と要 素全 体 と して直 交 す るた め の 条 件 を与 えて い る と解 釈 で き る。 ま た塑 性 判 定 点iで は次 の関 係(22
)
Fig. 1 PCM model塑 性選 点 法 の開 発 一塑 性 節 点 法 の 拡 張 一 331 が 常 に加 立 し,塑 性 ひ ず み増 分 と降 伏 曲 面 との 直 交 性 が 満足 され る。 以上 の式(21),(22)よ り,要 素 分 割 を 無 限 に 細 か く し,要素 が 一 様 応 力状 態 に至 っ た状 態 では,要 素 全 域 で塑 性 ひず みの 直 交 性 と,塑 性 負 荷 条 件 が 厳 密 に 満 足 され る こ とが わ か る。 また 式(17)に 関す る考 察 か ら,要 素 の 剛 性 も厳 密 な もの とな る 。 以上 の結 果,本 解 析 理 論 に お け る塑性 変 形 と,要 素 剛 性 の収 束 性 が 明 らか と な った 。 な お,一 様 ひず み 面 内 三 角形 要 素 に つ い ては,通 常 の 有 限 要 素 法 と塑 性 選 点 法 とで 同 一 の弾 塑 性 剛 性 マ トリ ッ クスが 得 られ る。 この 時,有 限 要 素 法 で 要 素 に生 じる 一 様 な塑性 ひず み 増 分は 式(19)の{4εp}と 完 全 に 一 致 す る。 2.3.2 塑性 関 節,塑 性 関 節 線 す べ り線 節 点 力 が,要 素 境 界 の 断 面合 応 力 と一 致 す る 要 素 で は,節 点 の 塑性 条 件は,そ の 節 点 の節 点 力 の み の関 数 と な り,節 点 の塑 性 化は,そ の 断 面 の 塑 性 化 を 意 味す る。 この種 の 要 素 と して,変 位 関 数 がHermiteの3次 式 で 表 わ され る梁 要 素 を は じ め,Morleyの 板 曲 げ 要素8), 渡 辺 に よ る一 連 の ハ イ ブ リ ッ ドス トレスモ デ ル9)な どが 挙 げ られ る｡本 項 では 以 上 の要 素 の 境 界 節 点 を 塑性 判 定 点 と して塑 性 選 点 法(塑 性 節 点 法)を 適 用 した 場 合 に 生 じる塑 性 変 形 特 性 を 検討 す る。 最 も基 本 的 な 要 素 と してFig.2(a)の 梁 要 素 を 取 り 上 げ る。 この 要 素 のi番 目の節 点 の塑 性 条 件Fi,節 点 力Miを 用 い て 次式 とな る。
(23)
こ こで,My;全 断 面 塑性 モ ー メ ン ト 今,2つ の要 素A,β 間 の 節 点jが 塑 性 化 した場 合 を 考 え る。A,Bが 等 強 度 部 材 の 場 合,両 要 素 とも塑 性 化 す るが,塑 性節 点 法 では,こ の 時A,β いず れ か の要 素 の(a) Beam element
(b) Discontinuous field j飾 点 を塑 性 化点 とす る。(両 要 素 に塑 性 節 点 を 導 入 ナ る と,j節 点 の 回転 剛性 が 消 失 し,剛 性 行 列 が 特 異 に な る た め｡)こ こでは,要 素Aに 塑 性 節 点 を 導 入 す る。 式(6),(23)よ り,要 素Aに 生 じると塑性 節 点 変 位 増 分は,次 の 回転 角 増 分 のみ とな る。
(24)
こ こで,1Aは 要 素Aに 関 す る量 で あ る こ とを 示 す。 式(24)の4θ5ρiAの 幾 何 学 的 意 味 をFig.2(b)を 用 い て 検 討 す る。 塑 性 化 要 素Aの 弾 性 部 分(実 要 素 領 域) の 節 点 回 転 角 増 分 はFig2(b)のm」elAと な る。 一 方,弾 性 要 素Bの 節 点 回 転 角 増 分 はFig2(b)の4θji8 で あ る。 と ころ で,式(15)よ り要 素Aの 弾 塑 性 鰯 性 方 程 式は 次 の 全 節 点 回 転 角 増 分4θ51Aを 未 知 数 とす る。(25)
し た が っ て,こ の4θ31Aが,Fig。2(b)に 示 す よ うに, 4θjIEと 等 置 さ れ る｡(26)
式(25),(26)よ り次 の 関 係 式 が 成 立 す る 。 (27) す なわ ち,賜piAは 両 要 素 間 の不 連 続 変 位 量 を意 味 す る こ とがわ か る｡ この種 の不 連 続 場 を要 素 間 に導 入す る場 合,従 来 か ら 節 点jに お け る 弾性 要 素Aお よびBの 回転 角 を独 立 に と った上 で,い ず れ か一 方 の節 点 変 位 をdMFOな る条 件 を 用 い て 消 去 す る手 法 が と られ る｡こ う して 得 られ る弾 塑 性 剛 性 マ トリッ クス が,式(23),(24)を 用 い て塑 性 選 点 法 に よ り得 られ る 剛 性 マ ト リッ クス と完全 に 一 致 す る こ とを 確 か め て お り,上 記 の 塑性 変形 特 性 の解 釈 と本 理 論 の 剛 性 評 価 の 妥 当 性 を 裏 づ け て い る｡ 以 上 の 結 果,梁 要 素 の 節 点 に 塑 性 選 点 法 を 適 用 した 場 合,節 点 に塑 性 関 節 が 形 加 され,こ の 手 法 が,塑 性 関 節 法 と一 致 す る こ とが 明 らか とな っ た。 同様 の議 論 は 本 項 (a),(B);Elements number(a) Plate bending element (b) Plane element Fig. 2 Mechanism of plastic hinge Fig. 3 Watanebe's hybrid stress models
332 日本 造 船 学 会 論 文集 第 158 号 の 始 め に 挙 げ た い ず れ の 要 素 に つ い て も成 立 す る。 す な わ ち,Fig.3(a)の 渡辺 の板 曲 げ要 素 や,Fig。4のMorley の 要 素 の 境 界 辺 上 中 点 節 点 に お け る,法 線方 向 節 点 力 モ ー メ ン トMnお よび .脇(i=1∼3)で 塑 性 化 を 判 定 す れ ば,塑 性 関 節 線 を,ま たFig.3(b)の 渡 辺 の 面 内 要 素 の 境 界 辺 上 中 点 節 点 の,接 線 方 向 節 点 力Fsで 塑 性 化 を 判 定 す れ ば,す べ り線 場 を 表 現 で き る こ とに な る 。 さ ら に 本 理 論 では,塑 性 相 関 関 係 の 導 入 が 容 易 で あ る た め, 曲 げ と軸 力 の よ うな 組 み 合 わ せ応 力 の 問 題 に つ い て も, 精 度 の 良 い 弾 塑 性解 析 が 可 能 で あ る 。 2.3.3 塑 性 選 点 法 の 位 置 づ け 有 限 要 素 法 に よる 一 般 的 な 弾 塑性 解 析 法 では,要 素 内 の塑 性 化 した 点 に塑 性理 論 に基 づ く応 力,ひ ず み 関 係式 を導 入 し,応 力 お よび ひず み の積 分 に よ って,節 点 力 と 節 点 変 位 の 関 係 を 求 め,要 素 の 剛性 を評 価 す る。 す なわ ち,弾 性 お よび塑 性 挙 動 は ひず み レベ ル で分 離 され る。 これ に対 し,塑 性 選 点法 では,要 素 の塑 性 挙 動 を塑 性 理 論 を ふ ま え な が ら節 点 の変 位 で あ らわ す 。 す なわ ち, 弾 塑 性 挙 動 を節 点変 位 の次 元 で分 離 して い る。 した が っ て,元 来,変 位 を未 知 数 とす る変 位型 有 限要 素 法 に対 し て,要 素 の 弾塑 性 剛性 マ ト リッ クス が,積 分 をす る こ と な くマ ト リッ クス 演 算 の み で得 られ る とい う効 率的 な弾 塑 性 解 析 ア ル ゴ リズ ム を提 供 す る こ とに な る。 この変 位 型 塑 性 理 論 とも 呼 べ る 塑 性 選 点 法は,2.31で 述 べ た [B]マ トリ ッ クスが,ひ ず み分 布 を示 す と解 釈 す る こ と に よっ て,従 来 の ひず み レベル の塑 性 理 論 と結 びつ く。 したが っ て,本 解 析 法 は,有 限 要 素 法 と い う,離 散 化 に よ る近 似 解 析 法 に適 した形 に塑 性 理 論 を 一 般 化 した 理 論 と言 え る。 一 方 ,塑 性選点法 で節点 に生 じる不連続 な塑性変位場 は 要 素 の特 性(特 に 変 位 関 数)と,要 素 内 塑 性 判 定 位 置 に よ っ て様 々 な形 を と る。 この 内,前 項 に 示 した 特 定 の 要 素 の 場 合,こ の塑 性 変 位 場は 塑 性 解 析 で用 い る塑 性 関 節,塑 性 関 節 線,そ してす べ り線 の よ うな不 連 続 場 を 明 確 に 表 現 す る こ とに な る。 した が っ て,本 解 析 法は,塑 性 関節 法,塑 性 関 節 線 法 な どの解 析法 を包 含 す る一 般 的 な解 析 法 で あ る と言 え る｡ 3 塑 性 選 点 法 の 適 用 法 3.1 代表 的 な要 素 へ の 適 用 法 3.1.1 Morley の 板 曲 げ 要 素 Morleyの 要 素 をFig.4に 示 す｡こ の要 素は た わ み ω の変 位 関 数 を,x,yに つ い て の 完全2次 多 項 式 で表 わ し た,要 火素 内 モ ー メ ン トが 一 定 の,非 適 合 三 角 形 板 曲げ 要 素 で あ る。 節 点 を3頂 点 と3中 点 に配 し,節 点 変位は 頂 点 の たわ みzoi(i=1∼3)と 中 点 の 法 線 方 向 た わ み 角 0￠(i=1∼3)で あ る｡し た が って,節 点 力は 頂 点 の面 外 せ ん断 力 と中 点 の 法 線 方 向 曲 げ モ ー メ ン トで あ る。 こ の要 素 の 節 点 力 モ ー メ ン トMri(j=1∼3)は,要 素 の境 界 辺 の 断 面 に 作 用 す る法 線 方 向合 モ ー メ ン トに等 し い と い う,明 確 な 力 学 的対 応 性 を もつ 。 す なわ ち,Fig. 4の よ うに,Mf乞 の 働 く境 界辺iの 辺 長 玩,法 線 方 向 角 ψiを 用 い て,境 界 辺iの 単 位 長 さ当 た りの モ ー メ ン トMrx,.My,Mxy(要 素 内 一定)と 次 の関 係 に あ る。 (28) ま た,式(28)をMx,ルfy,Mfxyに つ い て 解 く こ とに よ り,要 素 の 一 般 化 応 力{σ}は 節 点 力 モ ー メ ン トの み の 関 数 と して 表 わ す こ と が で き る 。 す な わ ち, (29) 次 に,Fig.4の 分 割線1-4の よ うに,節 点 を通 る任 意 直 線 で 要 素 を 二 分 した 時 の分 割 線1-4に 働 く法 線 方 向合 モ ー メ ン トM*を 考 え る。Mf*は 式(28)のLi,ψiをL*, ψ*に 置 換 した次 の形 で得 られ る 。 (30) このM*は 分 割 され た 領域Aお よびBに お い て,別 々に 節 点 力 と釣 り合 い条 件 を満 たす 。 式(29)を 式(30)に 代 入 す る と,Mτ*は 結 局,節 点 力 モ ー メ ン トの 関 数 と な る 。
(a)Plastic section (b) Plastic region
Fig. 4 Morley's plate bending element
Fig. 5 Modes of plasticity for Morley's element
塑 性 選 点 法 の 開発 一塑 性 節 点 法 の拡 張 一 333
(31)
分 割 線1-4が 境 界 辺 に 一 致 す る 時,M*は そ の 辺 上 の 節 点 力 モ ー メ ン トそ の もの とな る。 なお,要 素 に 分 布 荷重 が 作 用 す る場 合 は 式(31)に 分 布荷 重 に よ る付 加 モ ー メ ン トを加 え る必 要 が あ る。 以上 の よ うな,内 力特 性 を有 す る本 要 素 に 塑 性 選 点法 を 適用 す る揚 合,塑 性 判 定 法 と して,次 の2つ の方 法 が 可 能 で あ る。 (i) 分 割 線 に お け る全 断 面 合 モ ー メ ントM*を 用 い た 塑性 判 定 法:断 面塑 性 法,Fig.5(a)。 (ii) 要 素 に は一 様 曲げ モ ー メ ン トが 働 くの で,こ の 曲 げ モ ー メ ン トを用 い た全 領 域 の 塑 性 判 定 法;全 領域 塑 性法,Fig。5(b). 以下 では,こ れ らの判 定 法 に お け る塑 性 条 件 と塑 性 変 形 特性 につ い て述 べ る。 (1) 断 面塑 性 法 要 素 境 界 を含 め,頂 点 を 通 る任 意 の分 割 線 の塑 性 化 は 式(31)のM*に よ り判 定 で き る。 この 時 の塑 性 条 件は 次 式 とな る。(32)
こ こで,Mr;単 位 長 さ当 た りの全 断 面 塑 性 モ ー メ ン ト (=σyt2/4) t;要 素 の板 厚 さ て,要 素 の境 界 断 面 が塑 性 化 す る場 合,F*は そ の 境 界線 の 中 点 の節 点 力 モ ー メ ン トのみ の関 数 で あ るた め, その 節 点 の み に 塑 性 回転 角 が 生 じる。 す なわ ち,23.2 で述 べ た塑 性 関 節 線 が 形加 され る｡ これ に対 し,要 素 内 部 の分 割 線 が 塑 性 化 す る時 は,M* が 全 節点 力 モ ー メ ン トの関 数 で あ るの で,中 点 節 点 の す べ て に塑 性 変 形 が 生 じる｡例 え ぽ,Fig,5(a)の 直 角 二 等辺 三 角 形 要 素 の 中線1-4の 場 合Mr*は,(33)
とな る。 中 線 と直 交す る辺 の節 点 モ ー メ ン トM1がM∫* に 寄 与す るのは,M1に 釣 り合 うた め に 頂 点 節 点1を 始 め,2,3に 垂 直 反力 が生 ーじるた め で あ る。 式(33)よ り,こ の分 割 線1-4の 塑 性 化 に起 因 して,要 素 に は各 中 点 節点 に分 散 され た不 連 続 回 転 角 が 生 じ る こ と が わ か る。 山本 らは,同 じMorleyの 要 素 を 用 い て,要 素 再 分 割 法 とい う効 率 よい解 析 手 法 を 提 案 して い る10)。この 再 分 割法 では,中 線 に塑 性 化 が 生 じる 時,要 素 を中 線 で2要 素 に分 割 し,剛 性 方 程 式 を 作 り直 す の で 中線 の み に 不 連 続場 が 導 入 され る。 式(32)を 用 い る塑 性 選 点 法 は,再 分 割 法 と塑性 判 定 法 は 同 一 で あ る が,実 際 には,要 素 を 分 割 しな い の で変 形 特 性は 異 な る。 も し,中 線 に 沿 って 要 素 を2分 割 し,新 しく2有 限 要 素 で も との 要 素 を 構成 す る と,山 本 らの 方 法 と全 く同 じに な る 。 な お,Morleyの 要 素 の応 力場 の 自 由度 は3で あ るた め,境 界辺 を 含 め,要 素 内 に 導 入 可 能 な 塑 性 断 面数 も3 個 ま で で あ る。 (2) 全 領域 塑 性 法 要 素 内は 一 様 応 力 場 で あ る ため,任 意 の点iの 塑 性 化 が 要 素 の全 領 域 の塑 性 化 を示 す こ と に な る。Misesの 条 件 に従 う材 料 の場 合,塑 性 条 件 瓦 は 次 式 と な る。(34)
こ こ で, 塑 性 変 形 は式(29)よ り,要 素 の 全 部 の 中 点 節 点 に生 じ る。 な お,塑 性 化 は,全 領 域 で 同時 に 生 じるた め,同 じ 有 限 要 素 に対 して 層 分 割 法 を 適 用 し,全 断 面 と塑性 状 態 に 至 った 場 合 と 定 量 的 に 同一一 の 剛 性 マ トリ ック スが 得 ら れ る｡ 3,1.28節 点6面 体 アイ ソパ ラ メ トリ ック立 体 要 素 Fig.6に 要 素 の 形 状 を 示 す 。 この 要 素 は 最 も基 本 的 な 3次 元 アイ ソパ ラ メ トリ ック要 素 で あ り,要 素 内 には 線 型 に 変 化 す る6加 分 の応 力 とひ ず み が 生 じる。 ア イ ソパ ラ メ ト リッ ク要 素 の剛 性 マ ト リッ クス は,通 常 ガ ウス積 分 法 を用 い て 導 出 され る。 したが って,弾 塑 性 解 析 の 場 合,ガ ウス積 分 点 で塑 性 化 を判 定 し,塑 性 化 点 に 塑 性 の応 力 ・ひず み関 係式 を導 入 して剛 性 評 価 を行 うの が 一 般 的 で あ る。 一 方 ,塑 性選点法 では,節 点 を含む要て素 内 の任 意 点 で 塑 性 判 定 が 可 能 で あ り,弾 塑 性 剛性 マ トリ ッ クス は マ ト リ ック ス演 算 に よ って 導 出 され る。 そ こで,本 論 文 で は,Fig。6の 要 素 に対 して,塑 性 判 定 点 と して節 点 と ガ 特ス積 分 点 の二 種 類 を取 り上 げ る。 いず れ の 判 定 法 で も 判 定 点 応 力 が 要 素 の全 節 点 力 の 関 数 と な るた め,判 定 点 の塑 性 化 後 は要 素 の 全 節 点 に 不 連 続 変 位 場 が 形 加 さ れ る。 なお 解 析 対 象 に 対 す る要 素 分 割 が 細 か い ほ ど,判 定 点 位 置 が 解 析 結 果 の 精 度 に 及 ぼ す 影 響 が 小 さい こ とは 自 明 で あ るが,一一般 には ガ 特 ス積 分 点 の 応 力 を 用 い る方 が 妥 当 とい え る。 しか し,特 殊 な問 題 に お いては,節 点 に おけ る塑 性 判 定 とそ れ に よ って 生 じる塑 性 変 位 場 が 全 塑Fig. 6 Hexahedron isoparametric element with eight nodes
334 日本 造船 学 会論 文 集 第 158 号 性 状 態 を形 成 す る の に非 常 に 有 効 に機 能 す る こ とを後 に 示 す 。 3.2 塑 性 条 件 式 の 選 定 法 塑 性 選 点法 を 適 用 す れ ば,任 意 の タイ プの有 限要 素 を 用 い て 弾 塑性 解 析 を 効 率 良 く進 め る こ とが 出来 る。 変 位 場,お よび 応 力 場 の 収束 性 が保 証 され て い る 弾性 要 素 に 本 法 を 適 用 した 場 合,2.3.1に 示 した通 り,弾 塑 性 解 析 結 果 の 収 束 性 も保 証 され て い る が,塑 性 条 件 自体 の精 度 や,塑 性 判 定 点 の 位 置 が 解 析 精 度 に 及 ぼ す 影 響 も大 き い 。 本 節 で は,塑 性 条 件 式 の 精 度 を 検 討 す る 。 塑 性 選 点 法 で は,塑 性 の 判 定 に 用 い る応 力 成 分 に よ っ て 塑 性 条 件 は2種 類 に な る。 す な わ ち, (i) 要 素 内の 点 の 応 力 加 分 に よ る塑 性 条 件 (ii) 要 素 の 断 面 力 加 分 に よ る塑 性 条 件 前 者 の塑 性 条 件は,ア イ ソパ ラ メ トリ ッ ク立 体 有 限 要 素 の よ うに,要 素 内 の個 々 の 判 定 点 に お い て 定 義 され る。 したが っ て,Misesの 降 伏 条 件 な ど,応 力 表 示 の 正 しい塑 性 条 件 を用 い る こ とが で き る。 一一方 ,後 者 は,梁,板 要 素 な どの断 面 力 表 示 が 可 能 な 要 素 に用 い る もの で,こ れ に よ り効 率 良 い極 限解 析 的 ア プ ロ ーチ を 取 り入 れ る こ とが で きる｡こ の種 の塑 性 条 件 は,全 断 面 塑 性 状 態 に お け る 応 力分 布 に何 らか の仮 定 を 置 い て 導 か れ るた め,必 ず し も厳 密解 で は な い｡し か し, 曲 げ と軸 力 を 受 け る中 実 矩 形 断 面 の 梁 柱 部 材 に つ い て は 次 式 が 厳 密 に加 立 す る。
(35)
こ こで,N;軸 力,Ny;全 断面 塑 性 軸 力 また,式(32)に つ いては,対 象 とす る崩 壊 形 式 に 関 連 して,塑 性 条 件 に考 慮 す る 応 力 成 分 を 限定 して い るの で,そ の枠 内 では 厳 密 解 で あ る。 さ らに 式(34)は モ ー メ ン ト加 分 の み が作 用 す る場 合 のMisesの 条 件 に 基 づ く厳 密 解 で あ る。 面 内 力,曲 げ モ ー メ ン トのす べ て の加 分 を考 慮 した板 お よび シ ェル要 素 に対 す る全 断面 塑 性 条 件 式は 種 々示 さ れ て い る 。11yushinがKirchhoff-Loveの 仮 定 とMises の 降 伏 条 件 に基 づ く厳 密解 を 明 らか に し て い る。 しか し,複 雑 な 陰 型 式 の 内 力 相 関 式 で あ る た め,古 くか らそ の 近 似 式 が 導 出 され て い る。 そ の 主 な もの を 次 に 示 す 。 (36)(37)
(38) こ こ で, Tx,Ty,7xy,TY;単 位 長 さ当 た りの面 内 力 お よび全 断 面 塑 性 軸 力 F1は11yushin自 身 が 導 出 した近 似 式 で,軌,Qm,Qtm の線 型 関 係 式 の 中 で は 最 適 近 似式 で あ るが,Ivanovに よるPや.F3よ り精 度 が 劣 る こ とをRobinsonが 指 摘 して い る11)。ま たF3が 最 も厳 密解 に 近 いが,実 際 にP お よびF3の 両 者 を 用 い た 解 析 例 では ほ とん ど崩 壊 荷重 に差 が な い。 そ こで,本 論 文 の 塑 性 選 点法 に よ る解 析 で はPを 採 用 す る。 なお,相 関 式F2は 軌 ・Qm=Qtm2 の 時,例 え ば,ら=ty,mx=my,txy=mxy=0な る球対 称 問題 の場 合,次 式 と同値 とな る｡(39)
4 解 析 例 41 横 圧 を 受 け る 平 板 の 曲 げ崩 壊 解 析 等 分 布 荷 重 を 受 け る 周辺 単 純 支 持 正 方 形 板 の 微小 曲げ 塑 性 崩 壊 解 析 を 塑 性 選 点 法 を適 用 して行 った 。用 い た要 素 はMorleyお よびBazeleyの 要 素 で,い ずれ の場 合 も,弾 性 変 形 の 精 度 を 考 慮 し一 辺 を8等 分 した 要素 分 割 を 用 い た。 ま た対 称 性 か ら1/8の 部 分 の み に つ い て解 析 した。 4.1.1 Morleyの 要 素 の 適 用 Fig。7(a)にMorleyの 要 素 に よ る解 析結 果 を 示 す 。 この要 素 の塑 性 化 の 判 定 に は311に 示 した 断 面塑 性 法,お よび全 領 域 塑 性 法 を 用 い た｡ま た,断 面 塑 性法 に よる解 析 では,対 角 線 モ ー ドの 厳 密 な 崩壊 機 構 を 要 素 境 界辺 が表 わ し得 る よ うな要 素 分 割 パ ター ン1と これ に 無 関 係 な 要 素 分 割 パ タ ー ンIを 採 用 し た。 比 較 の た め に,同 じ要 素 を 用 い て有 限 要 素 法 に よ る弾塑 性 解 析 を 行 った 。 要 素 を 板 厚 方 向 に10層 に分 割 し,各 層 の重 心 で 塑 性 化 を 判 定 した 。 各 解 析 と も,要 素 の塑 性 判 定点 が 厳 密 に塑 性 条 件 を 満 足 す る よ う荷 重 増 分 を 調 整 して い る。 まず,断 面 塑 性 法 を 用 い た塑 性 選 点 法 の結 果 を見 る と, 分 割 パ タ ー ン1,IIの い ず れ の場 合 で も,塑 性 崩 壊荷 重 は 剛塑 性 体 に対 す る厳 密 解 と完 全 に一 致 し,崩 壊 機構 も それ に近 い。 特 に パ タ ー ンIIでは,要 素 内 の分 割 線 が有 効 に機 能 して厳 密 解 と等 しい 崩 壊 荷重 を導 い てい る。 ま た,変 形 の 面 では,パ タ ー ンIIの 結 果 の方 が,有 限要 素 法 に よる 解 に 近 い。 これ は,塑 性 変 形 が 関節 部 に集 中 す るパ タ ー ン1よ りもパ タ ー ンIの 方 が,要 素全 域 に塑 性 変 形 が 分 散 され るた め と考 え られ る。 同様 に全 領 域 塑 性 法 に よ る解 も厳 密 な崩 壊 荷 重 と等 し い。 塑 性 化 の 判 定 に,全 モ ー メ ン ト成 分 を 考 慮 してい る た め,崩 壊 時 の塑 性 領 域 の 分 布 は 有 限 要素 法 と類 似 の パ塑 性選 点 法 の 開発 一塑 性 節 点 法 の拡 張 一 335
(a) Plastic region
method (b) Plastic method (Mesh-I)section (c) Plastic method (Mesh-U)section
(a)Morley'selement (b) Bazeley's element ター ンとな る。 ま た,崩 壊 荷 重 近 傍 の 剛性 が有 限要 素 法 とほ とん ど等 しい点 も,全 領 域 塑 性法 の特 徴 で あ る。 な お,塑 性 選 点 法 で要 した計 算 時 間 は い ず れ の ケー ス で も 約4秒 であ り,有 限 要 素 法 の1110で あ った 。 ま た, Morleyの 要 素 の場 合,全 領 域 塑{生法 は 崩 壊 荷 重 が要 素 分割 パ タ ー ンに 依存 せ ず,計 算 時 間 も短 く,ま た精 度 も よ く,最 もす ぐれ て い る。 4.1.2 Bazeleyの 要 素 の適 用 Bazeleyの 要 素 に よ る結 果 をFig。7(b)に 示 す 。 本 要 素 は3次 多項 式 を変 位 関数 とす る た め,要 素 内応 力 場 は線 型 に変 化 す る。 こ こで は,塑 性 判 定 点 と して(1) 要 素 の3頂 点 節 点,(2)要 素 内3点(面 積 座 標 で,0.7, 0.15,0。15の 組 み合 わ せ),そ して(3)重 心 点1点 の み,の3ケ ー ス を取 り上 げ た。 塑 性 条 件 式 に は式(34) を用 い た。 Fig。7(b)よ り,塑 性 判 定 点 を要 素 の 外側 に置 くほ Fig. 7 Elastic-plastic analysis of a simply supported square plate under uniformly distrbuted
336 日本造 船 学 会論 文 集 第 158 号
(a) Thin plate
(b) Thick plate ど,解 が 低 め とな る こ と,ま た 重 心 点 で 判 定 した 場 合, 若 干 高 め で は あ るが,最 も厳 密 解 に 近 い 塑 性 崩 壊 荷 重 が 得 られ る こ とが わ か る。 した が って,こ の 要 素 の 場 合, 重 心 点 を判 定 点 とす るの が 精 度 面 で最 適 と言 え る。 た だ し,前 提 と して弾 性 挙 動 が 充 分 な精 度 で得 られ る要 素 分 割 が な され て い る こ とが 必 要 で あ る。 こ の重 心 点1点 で の 判 定 法は,式(15)の 剛 性 行 列 が 短 時 間 に得 られ る利 点 も持 つ。 4.2 面 内圧 縮 を 受 け る 板 の座 屈 崩壊 解析 面 内 力,曲 げ モ ー メ ン トの連 成 応 力 場 に あ る構 造 物 の 弾 塑性 大 たわ み解 析 例 と して,初 期 たわ み の あ る平 板 の 座 屈 崩 壊解 析 を行 った。 面 内要 素 と して一 様 ひず み 三 角 形 要 素 を,ま た 曲 げ要 素 と してBazeleyの 要 素 を用 い, 大 た わ み を考 慮 した接 線 弾性 剛性 方 程 式 に対 して塑 性 選 点法 を 適用 した。 塑性 判 定 には,41.2と 同 じ よ うに3 方 法 を用 い た。 ま た 塑性 条件 式 に は式(37)を 用 い た 。 Fig.8(a)お よび(b)に そ れ ぞ れ 薄板 お よび厚 板 に 対 して 得 られ た 荷 重 た わ み 曲線 を示 す 。 いず れ の場 合 も 板 厚 の1/100の 初 期 たわ み を与 え て い る。 有 限 要素 法 に よ る解 析 結 果 も同 図 に 点 線 で 示 す 。 塑 性 化 の 判 定は 板 厚 方 向 に20層 に 分 割 した 各層 の 重 心 点 応 力 に よ った。 こ の 有 限 要 素 法 に よる 結果は 実 験 結 果 と比 較 して,十 分 な 精 度 の 解 を与 え る事 が確 認 され て い る。 Fig8(a)の 薄板 の場 合,微 小 曲 げ 問題 と同様 に,重 心 点 だ け で 判 定 す る 塑性 選 点 法 に よ る解 は非 常 に精 度 の 良 い 崩 壊 荷重 を 示 して い る。 これ に 対 し,Fig8(b)の 厚 板 では,い ずれ の塑 性 判 定 位 置 を 採 用 して も,崩 壊 荷 重は 若 干 高 め に な って い る｡ 塑 性 選 点 法 では,塑 性 条 件 と して全 断 面塑 性 条 件 を用 い て い る。 した が って,薄 板 の崩 壊 は 非 載 荷辺 中央 部 の 面 内応 力 に よ る全 断 面 塑性 化 が支 配 的 要 因 で あ る ので, この 解 析 法は 高 い 精 度 の解 を与 え る｡他 方,厚 板 の塑 性 座 屈 では,わ ず が な 曲 げ変 形 に よる板 厚 方 向 の塑 性 域 の 増 加 が 崩 壊 に つ なが るが,本 解て析 法 では,表 面 か らの 板 厚 方 向の 部 分 的 な塑 性 化は 考 慮 しな いの で,高 目の解 を 与 え たわ け であ る。 4.3 立 体 の 微 小 弾 塑 性 解析 4.3.1 矩 形 柱 状 体 の二 軸 曲 げ,お よび,ね じ り Fig。9 に示 す 矩 形 柱 状体 の二 軸 曲げ,お よび ね じ りに よる弾 塑 性 挙 動 の解 析 を8節 点6面 体 ア イ ソパ ラ メ トリ ッ ク要 素 を用 い て実 施 した 。 塑性 条件 には3次 元応 力 場 に対 す るMisesの 式 を 用 い た 。 また,い ず れ の 解 析 で も 図 中 に示 す よ うに節 点 に強 制 変 位 を加 え た｡こ こで は, 節 点 で 塑 性 判定 す る塑 性 選 点 法 を 適 用 す る こ とに よ り, Fig. 8 Elastic-plastic large deflection analysis of square plates under thrust
塑 性 選 点 法 の 開 発一塑 性 節 点 法 の 拡 張一 337
(a) Solid body under bi-axial bending moments
(b) Solid body under torsional moment
非 常 に少 ない 要 素数 で全 域 塑 性 状 態 を 精 度 良 く解 析 で き る こ とに な る 。Fig.9(a)の 二 軸 曲げ 問 題 の場 合,中 性 面 で分 け た 二要 素 のみ を 用 いて い る。 図 のA点 で,上 下 面 の節 点 に 塑性 化 が 生 じた 後 も,要 素 は 剛性 を維 持 し,B点 で変 位 の拘 束 され て い る中性 面 に も塑 性 化 が生 じて崩 壊 に 至 る。 こ の時 の 崩 壊 モ ー メ ン トは二 軸 応 力 場 の全 断 面 塑性 モ ー メ ン トに 厳 密 に 一 致 す る。 この よ うに 中性 面 の 塑性 化 を追 跡 で き るのは,上 下面 の初 期 塑 性 に 起 因 して 生 じる中 性 面 上 の 塑 性 節 点変 位 の存 在 に よる。 つ ま り,全 節 点 変 位 が 零 に な る中 性 面 では,塑 性 変 位 を うち消 す方 向 に弾 性 変 位 が 生 じ,こ れ が応 力増 加 を も た ら した わ け で あ る。 次 に,ね じ りに よる弾 塑 性 挙 動 を解 析 す る。 Fig。9(b)の よ うに 解 析 対 象 を,ね じ り中心 で4要 素 に分 け た。 こ の場 合 も,曲 げ の場 合 と 同 じ塑 性 変 形 機 構 に よっ て 要 素 全 体 に 塑 性 域 が 拡 が る。 この解 析 では,断 面 の そ り変 形 を許 容 して い るが,得 られ た崩 壊 モ ー メ ン トは理 論 値 よ り少 し高 め で あ る｡こ れ は要 素 の変 位 関 数 の 影 響 に よ る｡な お,ガ 特 ス積 分 点 で塑 性 化 を 判 定 した 場 合,い ず れ の解 析 で も理 論 値 よ りは るか に 大 き な崩 壊 荷 重 が 得 ら れ る 事 が わ か っ た0 4.3.2 厚 肉長 円 筒 の 両 端 閉 じ押 し広 げ 両 端 を 閉 じた 厚 肉長 円筒 を 内圧(P)に よ り 押 し広 げ る問 題 で,中 央 断 面 近 傍 を 解 析 す る。 これ は,軸 対 称 の 弾 塑 性 問 題 で あ る の で, Fig10(a)に 示 す よ うに,中 央 断 面 の 単 位 長 さ(斜 線 部A)を 考 え,さ らに 単 位 角 度 の 部 分 を 取 り出 して 解 析 す るが,端 部B,Cに 作 用 す る内 圧 に よ り軸 方 向 荷 重 も加 わ るた め,3次 元 問 題 とな る。 また,解 析 モデ ル の 横 断 面 は 平 面 を 維 持 し,か つ 平 行 に 変 位 す る と仮 定 し,8節 点6面 体 アイ ソパ ラ メ トリ ック要 素 を 用 い て 塑 性 選 点 法 に よ り解 析 した 。 この 問 題 に 対 しては,Trescaの 条 件 を 用 い てHi11が 解 析解 を示 して い る12)。 本 解 析 で も同 じ塑 性 条 件 を 用 い,塑 性 判 定 点 に は 節 点 と2次 の ガ 特ス積 分 点 を と りあ げ た 。 Fig10(b)に 内圧 と外 面 の半 径 方 向変 位 との 関 係,お よびFiglo(c)には,半 径 方 向, 周 方 向 応 力 の 分 布 を 示 す。 か な り粗 い要 素分 割 で は あ る が,本 解 析 法 の結 果は,Hi11の 解 と非 常 に 良 く一 致 して い る。 ま た前 項 の解 析 例 と異 な り,各 要 素 の応 力 場 が比 較 的 一 様 で あ る た め, 判 定 点 位 置 に よる差 は余 り表 わ れ な い。 5 結 論 本 研 究 に お い て,下 記 の主 要 な結 論 を得 た。 (1) 従 来 の塑 性 節 点 法 の 理 論 を 基 礎 と し,塑 性 判 定 を 要 素 内部 の任 意 点 で行 え る よ うに拡 張 した塑 性 選 点 法 を 提 案 した。 (2) 本 解 析 法 で導 入 す る塑 性 変 形 特 性 と,そ れ に よ る弾 塑 性 剛 性 行 列 が 妥 当 で あ る こ とを 明確 に した 。 特 定 の要 素 に本 解 析 法 を 適 用 した 場 合,塑 性 関 節,塑 性 関 節 線 そ して す べ り線 を 容 易 に表 現 で き る。 (3) 本 解 析 法 の 解 の精 度 を 支 配 す る因 子 の 一 つ であ る塑 性 条 件 式 に つ い て 考 察 を 加 え た｡ (4) 3次 元 ア イ ソパ ラ メ トリ ッ ク要 素 を 含 む い くつ Fig. 9 Elastic-plastic behavior of prismatic solid
338 日本 造船 学 会論 文 集 第 158 号
(a) Model for analysis
(b) Relationship between pressure and radial displacement of outer surface
(c) Distributions of radial and circumferential stress components over transverse section
か の要 素 を用 い た解 析 を 行 い,本 解 析 理 論 の す ぐれ た 適 用 性 を 明 らか に した 。 最 後 に,本 研 究 の 遂 行 に あ た り,終 始,適 切 な 御 助 言 を 頂 い た広 島 大 学工 学 部 為 広 正 起 教 授 に 感 謝 致 し ます 。 ま た,卒 業 研 究 と して 種 々の プ ロ グ ラ ムの 開 発 に 当 た ら れ た 住 田 公 彦 氏(日 立 造 船),森 憲 司 氏(今 治 造 船)の 労 に対 し謝意 を表 しま す 。 な お 数 値 計 算 に は,広 島大 学 総 合 情 報処 理 セ ン タ ーHITACM-200Hを 使 用 した こ と を 付 記 す る。 参 考 文 献 1) 上 田,松 石,山 川,赤 松:マ トリ ック ス法 に よる 骨 組 構 造 物 の弾 塑 性解 析,日 本 造 船学 会 論 文 集, 第124号(1968),pp.183∼191. 2) 上 田,赤 松,近 江:マ トリ ッ クス 法 に よる骨 組 構 造 物 の 弾 塑 性 解析(そ の2),日 本 造 船学 会論 文 集,第126号(1969),pp. 253∼262 3) 上 田,矢 尾,藤 久 保:塑 性 関 節 法 の 一 般 化 に 関 す る研 究,日 本 造 船 学 会論 文 集,第146号(1979)。 pp.307∼313.
4)
Y. Ueda, T. Yao : The Plastic Node
Method-A New Method of Plastic Method-Analysis, Comput.
Meths.
Appl. Mech. Engrg., Vol. 34 (1982),
DD.
1089—A104.
5) 上 田,中 長,藤 久 保,石 川:塑 性 節 点 法 の 熱 弾 塑 性 お よ び 動 的 問 題 へ の 適 用,日 本 造 船 学 会 論 文 集, 第153号(1983),pp.200∼208.
6)
Y. Ueda, K. Nakacho,
M. Fujikubo :
Applica-tion of the Plastic Node Method to the
Ther-mal Elastic-plastic
and Dynamic Problems,
Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg., (1985),
掲 載 予 定.
7) O.C.ッ ィ エ ソ キ ー ヴ ィ ッ ツ(吉 識,山 田 監 訳): 基 礎 工 学 に お け る マ ト リ ッ ク ス 有 限 要 素 法,初 版, 培 風 館,1975,pμ190∼195.
8)
L. S. D. Morley : On the Constant
Moment
Plate Bending Element,
J. Strain Anal., Vol.
8 (1971), pp. 20-24.
9) 渡 辺,川 井:ハ イ ブ リ ッ ドス ト レ ス モ デ ル に よ る,す べ り線,塑 性 関 節,塑 性 関 節 線 の 表 現,日 本 造 船 学 会 論 文 集,第147号(1980),pp. 297∼ 305. 10) 山 本,大 坪,粟 生:有 限 要 素 法 に よ る 平 板 構 造 物 の 簡 易 弾 塑 性 解 析 法,日 本 造 船 学 会 論 文 集,第 Fig. 10 Elastic-plastic behavior of a long cylindrical tube with closed ends under internal pressure塑性 選 点 法 の 開発 一塑 性 節 点 法 の拡 張 一 339
145号(1979), pp125∼131.
11) M. Robinson : A Comparison of Yield Sur-faces for Thin Shells, Int. J. Mech. Sci.,
Vol. 13 (1971), pp. 345•`354.
12) R. Hill : The Mathematical Theory of Plas-ticity, Oxford Univ. Press, 1950, pp. 106•` 125. AppendixA塑 性 判 定 点 応 力 と 節 点 力 の 関 係 式 塑 性 選 点 法 で は,要 素 内 部 は 常 に弾 性挙 動 す る｡し た が って,{σi}と 節 点 力{x}は,要 素 の 弾 性,塑 性 状 態 に かか わ らず,次 式 で 表 わ され る。 ( A・1 ) こ こ で,[Bi];[B]に 判 定 点iの 座 標 を 代 入 し た マ ト リ ッ ク ス 適 当 な 境 界 条 件 に よ り,要 素 の 剛 体 変 形 が 生 じ な い 状 態 で の 変 位 ベ ク トル を{ue*},こ れ に 関 係 す る 列 の み に 縮 小 し た[Bi],[K8]を そ れ ぞ れ,[Bi*],[Ke*]と す る と,次 式 は,{σi}と{x}の 関 係 を 示 す 上 で 式(A・1)と 同 値 で あ る 。 ( A・2 ) {ue*}を 消 去 す る と,次 の よ う に{σi}が,{x}の 関 数 と して 得 ら れ る 。 ( A・3 )
