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わが国証券市場におけるファクター数の推定
一交差妥当化による実証分析一
村 松 郁 夫
1 はじめに ファクター・モデルは，株式などの危険資産の収益とリスクの関係を線形に 表現するモデルの一つである。周知のように，「市場モデル」に代表される単一 指標モデルによって証券の平均的な収益をうまく説明し得るのか否かに関して， これまで，多数の実証研究が蓄積されてきたのであるが，各種アノマリーの報 告とも相場って，多変量モデルに対する関心も高まった。 市場モデルにおける市場インデックスのような，証券の収益にシステマティ ックな影響を及ぼす変量をファクターと呼ぶならば，多変量モデルを通して証 券の収益を把握する場合には，実証段階に先立ち，どのようなファクターが証 券の収益に関係しているのかについて事前に知識を持つことが必要となる。し かし，裁定評価理論（APT）のベースとなるファクター・モデルの場合，何が ファクターであり，そして，いくつ存在するのかという，いわゆる，ファクタ ーの同定（identification）に関しては，理論的には何ら含意されていない。フ ァクター・モデルは，仮に，市場にK個のファクターが存在するならば，証券 の収益のシステマティックな変動要因，つまり，システマティック・リスクの 源泉として，それらのK個のファクターのみを考慮すればよいということを述 べているにすぎない。 このように，ファクター・モデルを実証モデルとして取り扱うためには，そ れに先立ち，ファクターを同定しなければならないのであるが，ファクター同 定の二つの問題のうちファクター数の決定については，これまで，因子分析を1） 利用した実証研究が数多くなされている。ファクター・モデルを因子モデルと 見なして因子分析を適用する場合，最尤法（maximum likelihood method）に よる因子負荷行列の推定，尤度比検定（1ikelihood ratio test）によるファクタ ー数の検定という手順を踏むのが一般的である。しかし，尤度比検定は，標本 の採り方にその結果が依存するという欠点を持つことが指摘されており，必ず しも，ファクター数の決定に関して有効な方法であるとは言い難い。 そのため，AIC（Akaike’s Information Criterion）， SBC（Schwarz’s Bayesian Criterion）などの情報量基準を補完的に用いて，モデルの良さを判断 することも多いが，交差妥当化（cross validation）と呼ばれる手法は，因子負 荷行列の推定とファクター数の検定を，それぞれ，同一母集団からの独立した 標本の下で行うように工夫されたものであり，ファクター数の決定に関してよ り安定した結果が得られる方法であるとされる。 そこで，本稿では，この交差妥当化の手法を用いて東証一部上；場銘柄の投資 収益率データによる実証を試み，交差妥当化が，尤度比検定，AIC， SBCに対 する有効な代替的基準を提示し得るか否かについて考察を加えてみたい。議論 の順序として，まず，尤度比検定によるファクター数の決定方法と既存の実証 結果から明らかになった問題点を考察する。次に，交差妥当化によるモデルの 評価方法を紹介し，上記のデータに基づく実証結果を報告する。そして，この 手法を用いた米国における実証結果との比較を通して，本稿で得られた実証結 果の妥当性に触れたい。 II尤度比検定とファクター数 証券の投資収益率をx，期待収益率をμ，反応係数をB，ファクターの収益 率をf，独自項をεとすると，ファクター・モデルは， x＝pt十Bf十e と表される。ただし，E（ε）＝0， E（f）＝0， E（ff’）＝1， E（εfり＝0を仮定す 1）例えば，Chen［6］， Dhrymes， Friend＆Gultekin［8］，Dhrymes， Friend， Gultekin＆ Gultekin［9］ ， Roll ＆ Ross［10］ ，
わが国証券市場におけるファクター数の推定 る。このとき，投資収益率の共分散行列Σは， E＝E［（x−pt） （x−pt）’］ ＝E［（Bf＋s） （Bf＋e） ’］ ＝BB’＋E（es’） と計算される。 87 E（εε’）≡Dが対角行列である，つまり，異なる資産i，ブついて，独自項の共 分散E（εi，εゴ）＝0であると仮定し，
E＝BB’十D
と表す揚合，ファクター・モデルの構造は，因子分析において通常想定される 因子モデルの構造に等しくなる。ファクター・モデルの場合，最：尤法によって 因子負荷行列Bを推定するのが一般的であるが，その場合には，ファクター数 を決定する手段として尤度比検定を用いることが可能となる。 いま，標本共分散行列を8，母集団共分散行列の推定値をΣとするとき，フ ァクター数をKとする帰無仮説に対して尤度比， x2＝ （N−1） ［loglS 1−loglSI十tr（2 fiiS） 一P］ 2） は，x2分布をもって近似できることが知られており，x2検定の手順にしたがっ て帰営仮説に対する検定を行うことが可能である。そして，仮説が棄却された 場合には，少なくともK＋1個のファクターが必要であるという結果が導かれ ることになる。 尤度比検定の問題点として，変量数（標本に含まれる証券数）の増加に伴っ て必要とされるファクター数が多くなる傾向を持つこと，また，時系列データ 3） 数の増加に伴って同様の傾向が見られることが挙げられる。因子分析において は，Σを構成するBB「とDが同時に推定されるのであるが， Dが対角行列で あるという条件を満たしつつBB’が推定されることになるので， Dが実際に 2）ただし，Nは時系列データ数， Pは証券数である。 3）Dhrymes， Friend＆Gultekin［8］によれば，証券数15，30，45，60，90の標本につい て，それぞれ，2，3，4，6，9のファクター数が必要となった（有意水準5％）との報告が なされている。また，時系列データ数とファクター数の関係については，Dhrymes， Friend， Gultekin＆Gultekin［9］に同様の傾向が報告されている。は対角行列でない場合，Dの非対角成分における相関がファクターとして抽出 されることも起こり得る。このような例としては，例えば，産業要因が存在す る場合が挙げられるであろう。産業要因は，同一産業に分類される証券間での みファクターとして機能するが，市場全体から見れば，少数の証券についての み観察されるものであろうから，システマティックなファクターとして捉える ことは適当ではない。したがって，産業要因のような擬似的なファクターが存 在する場合に，より大きな標本にその影響を受ける証券がより多く含まれるな らば，擬似的なファクターが，いわゆる，ファクターとして抽出される結果， ファクター数が過大に決定されることもあり得るのである。 III交差妥当化とファクター数の決定方法 ファクター数の決定に関する尤度比検定の不安定性と恣意性を回避し，より 客観的な判断を可能ならしめるものとして，AICやSBCなどの情報量基準が 広く知られているが，交差妥当化はこれらの情報量基準と代替的に用いること 4） のできる方法である。 交差妥当化は，同一母集団から独立に抽出された二つの標本の一方を用いて 因子モデルのパラメータを推定し，さらに，得られたパラメータによって表現 される因子モデルの良さを他方の標本を用いて評価する手法である。本稿で行 った実証手順は， ① 週次収益率データを奇数番目のデータ集合（標本X）と偶数番目のデー タ集合（標本Y）に分割する。 ② 標本Xを用いて標本相関行列を計算し，因子分析により母相関行列を推 バ 定する（Σx）。 4）尤度比検定における恣意性とは，あらかじめ任意に設定した有意水準に基づき判断を下 すことをさす。一方，AICやSBCを用いてファクター数を決定する場合には，計算：された AICやSBCの値の大小を比較し，最小の値をとるファクター数を選択すればよい。したが って，尤度比検定のように有意水準を設定する必要がないという意味で，より客観的な基 準であるといえる。なお，情報量基準と交差妥当化を巡る理論的背景に関しては，豊田［3］ に詳しい。
わが国証券市場におけるファクター数の推定 89 ③標本Yから標本相関行列Syを計算し，次式を用いて交差妥当化による 評価を行う。 cv＝一一lif一［1091Sx1＋tr（Sx−isy）］ というものである。この評価式は，標本相関行列Syが与えられたときの母集団 相関行列の対数尤度で与えられるが，計算に際してはAICやSBCの場合と同 様，値の大小のみが問題となるため，比較に影響しない部分については除かれ ている。そして，各ファクター数についてそれぞれ計算されたCVのうち，最 大の値をとるファクター数を選択すればよい。 この手法の利点は，二つの標本が独立であるため，標本Xを用いて推定され たパラメータがYにとっては固定パラメータとなることであり，それゆえ，パ ラメータが最尤法による推定値でない場合にも，交差妥当化の手法を適用でき 5） ることである。 株式の投資収益率データを用いた実証分析の場合，時系列データが正規分布 にしたがうか否かが問題となる場合が多いが，最尤法によりパラメータを推定 するということは，正規性の条件が満たされていると仮定することに等しい。 それゆえ，正規性の条件が満たされていない場合には，最尤法に代わる推定法 が用いられねばならないのであるが，同時に，それは，モデルの客観的な評価 6） 基準を失うという代償を払わねばならないことを意味する。そこで，本稿では， 母相関行列の推定法として最尤法に加え，最小二乗法による推定を行い，交差 妥当化によるモデルの評価を同時に試みた。 IV データおよび実証手順 分析対象とする銘柄については，東証1部上場1235銘柄のうち，1981年1月 5日から1995年6月30日までの日次株価データが利用可能なもので，週次収益 5）豊田［3］105ページ 6）尤度比検定，AIC， SBCは，パラメータの推定法として，最尤法が採用されている場合 にのみ適用可能である。
7） 率（754週分）が計算可能であるものに限定されている。ただし，株価が固定的 な期間が含まれており，収益率がゼロと計算される割合の多い銘柄は標本から 除外したため，最終的に，標本に含まれる銘柄数は600となっている。 そして，この600銘柄を東証コード順に並べ，さらに以下の方法で並べ変える ことによって，50銘柄からなる12のグループと！00銘柄からなる6グループを形 成する。 ①50銘柄からなるグループについては，1番，13番，・…，589番の銘柄を 第1グループ，2番，14番，…・，590番目の銘柄を第2グループ，とい うようにして12グループを形成する。 ② 100銘柄からなるグループについても同様に，1番，7番，・…，595番 の銘柄を第1グループ，2番，8番，…・，596番目の銘柄を第2グルー プ，というようにして6グループを形成する。 東証コード順に並べた銘柄を一定の間隔をもってグループ分けする理由は， 東証コードが業種順に配列されているため，この方法が，グループ内に含まれ る銘柄の業種を分散させる最も単純な方法であると思われるからである。そし て，業種を分散させることの意図は，疑似的なファクターである産業要因の影 響を極力避けるためである。 また，50銘柄からなるグループと100銘柄からなるグループを形成する理由 は，銘柄数の異なる標本における結果を比較することによって，尤度比検定で 見られたような，標本に含まれる証券の数と決定されるファクター数の相関関 係が，交差妥当化による評価の場合にも見られる否かを調べるためである。当 然ながら，交差妥当化による評価がファクター数の決定に関して安定的であれ ば，両グループにおける結果は相違しないことが予想される。 実証手順については，各グループごとに，まず，754週全体のデータを用いて 7）週次収益率は，週末終値を用いて，つまり，週末終値で購入し，次週の週末終値で売却 したときの投資収益率として計算した。また，欠損値についてはデータの存在する日まで 繰上げ，その日の終値を週末終値と見なした。ただし，配当落ちに関しては修正を行って いない。
わが国証券市場におけるファクター数の推定 91 ファクター数を1から10と仮定した場合について，それぞれ，最尤法による因 子負荷行列の推定，尤度比検定を行い，さらに，AIC， SBCを求める。つま り，従来一般的に行われてきた実証手順を踏襲し，この標本について，尤度比 検定，AIC， SBCが有効な結果を導き得るか否かを調べる。 次に，前節で述べた方法によって標本を二分割し，50銘柄からなるグループ と100銘柄からなるグループについて各グループごとに，最尤法による交差妥当 化基準（CVMと記す）と最小二乗法による交差妥当化基準（CVLと記す）を それぞれ計算する。 V 実証結果 第1表は，50銘柄からなる12のグループについての計算結果であり，X2， AIC， SBC， CVM， CVLの平均値を示したものである。尤度比検定に関して は，それぞれのファクター一twで十分であるという仮説は，すべてのグループに 8） おいて棄却されている。つまり，どのグループにおいても，ファクター数が10 以上必要であるという結果が導かれている。AICについても，ファクター数の 増加に伴ってその値が漸次減少しており，AICが最小値となるファクター数を 選択するという基準を適用するまでに到っていない。 SBC， CVM， CVLに関しては， SBCが4ファクターのとき， CVMとCVL は5ファクターのとき，最：小（最大）値をとっており，それぞれの基準に照ら し合わせれば，4ファクターおよび5ファクターによるファクター・モデルの 表現が最良であることを示している。 100銘柄からなる6グループについての計算結果を示したものが第2表であ る。50銘柄の場合と同様に，尤度比検定，AICに関しては，10ファクター以下 で基準を満たすグループは存在しない。さらに，SBC， CVM， CVLに関して も，50銘柄の場合よりも多くのファクター，具体的には，SBCの5ファクタ ー，CVMの6ファクター， CVLの7ファクターが，それぞれ必要とされる結 果となった。 8）有意水準0．5％で，すべてのグル・一一一プ，すべてのファクター数について棄却されている。
第1表 ファクター数 κ2
AIC
SBC
CVM
CVL
1 4526 ， 4844 ， 2653 ， 一7430 ， 一7，430 2 2958 ， 3336 ， 2013 ， 一7，061 一7，060 3 2，202 2658 ， 1784 ， 一6，923 一6926 ， 4 1，848 2390 ， 1759 ， 一6，894 一6900 ， 5 1，610 2238 ， 1789 ， 一6，888 一6893 ， 6 1424 ， 2138 ， 1843 ， 一6，915 一6，906 7 1281 ， 2087 ， 1928 ， 一6，940 一6，926 8 1178 ， 2061 ， 2006 ， 一6962 ， 一6，950 9 1083 ， 2048 ， 2097 ， 一6960 ， 一6974 ， 10 994 2038 ， 2187 ， 一6953 ， 一7001 ， 第2表 ファクター数 κ2AIC
SBC
CVM
CVL
1 15，185 16，342 8，633 一14，426 一14，427 2 11，378 12，555 6，969 一13，474 一13，471 3 9，244 10，517 6，177 一13，051 一13，054 4 8，309 9，737 6，011 一12，918 一12，933 5 7，613 9，202 5，965 一12，850 一12，867 6 7，081 8，839 6，003 一12，819 一12，853 7 6，662 8，592 6，097 一12，823 一12，846 8 6，307 8，409 6，221 一12，856 一12，875 9 6，001 8，276 6，367 一12，892 一12，904 10 5，725 8，171 6，525 一12，936 一12，952 以上の結果を踏まえて，まず，最：尤法による交差妥当化と最小二乗法による 交差妥当化を比較する。50銘柄のケースにおいては，両方法とも5ファクター を最良とする結果となっているが，その値はCVMの方が若干大きく，交差妥 当化の基準からいえば，最尤法が推定法として優れていることになる。また， 100銘柄のケースにおいては，CVMの最大値はCVLの最大値よりも大きく，さ らに，CVLよりも1ファクター少ない6ファクターを最良として選択してい る。モデルをより少数のファクターで表現できる方法が望ましいとするならば， ファクター数決定の問題に関しては，本結果を見る限り，最尤法による推定がわが国証券市場におけるファクター数の推定 93 優れていると判断することができよう。 しかし，SBCとCVMを比較すると，50銘柄のケースにおいても100銘柄のケ ースにおいても，SBCの方がCVMよりも少ないファクター数を最良とする結 果を示しており，上と同じ理由で，SBCが最：も有効な基準であるといわざるを 得ない。 次に，標本に含まれる銘柄数と決定されるファクター数の関係についていえ ば，銘柄数を50から100に増やした場合，つまり，第1表と第2表の結果を比較 すると，SBCが4ファクターから5ファクターへ， CVMが5ファクターから 6ファクターへ，それぞれ，1ファクターの増加にとどまっており，Dhrymes， Friend＆Gultekin［8］の結果と比べてもかなり安定した結果が得られている。 VI おわりに 本稿で得られた実証結果をまとめると，ファクター数の決定に関して交差妥 当化の手法は，①尤度比検定に代わる客観的な基準を提示し，②標本に含ま れる証券数を変化させた場合にも安定的な結果が得られる方法であると結論づ けることができよう。ただし，この二つの長所はSBCについても当てはまるた め，交差妥当化を行う場合，二つの標本を準備しなければならないという手間 を併せ考えるならば，最尤法による推定が可能な場合には，SBCをファクター 数決定の基準として採用するのが合理的である。その意味で，交差妥当化は， 最尤法による推定が不可能な場合に，SBCに代わるファクター数決定の手段で あると考えられよう。 最後に，Conway＆Reinganum［7］（CRと記す）の実証結果と本稿の結果 を比較し，締めくくりとしたい。CRは1962年7月から1972年12月までの，約10 年間の日次収益率データを用いて交差妥当化によるファクター・モデルの評価 を行った。そして，50銘柄からなる11グループに対する検証の結果，2ファク ターによるモデルの表現が最適であり，市場ファクターのようなメジャーなフ ァクターとそれを補う第2のファクターによって証券の投資収益率が説明可能 であることを報告している。
彦根論叢 第298号 CRの実証結果は，本稿における実証と検証期間およびデータの種類（週次デ ータと日次データ）は異なるが，交差妥当化によって選択されたファクター数 には大きな差が見られる。この差が何に起因するのかは，交差妥当化によって 得られた結果から直接判断することは不可能であるが，産業要因や企業規模効 果といった疑似的なファクターが，東証一部市場においてより大きな影響力を 持っていることも考えられる。また，本稿で対象とした検証期間は，いわゆる バブル形成期と崩壊後の調整期を含んでおり，それらの期間全体を一つの標本 とすることは，市場構造の大きな変化の影響を考慮していないという意味で不 適切であったかもしれない。 しかしながら，交差妥当化やSBCによって決定されるファクター数をその 上限と考えるならば，疑似的なファクターやノイズを特定化し取り除く作業を 通じて，より少数のファクターで，かつ，十分な説明力を有するファクター・ モデルを構築することが可能となるであろう。 参考・引用文献 ［1］弓場千尋，1987，「日本における株価変動のメカニズムについて 一APT（裁定評価理 論）の実証分析一」『金融研究』第6巻 第3号，41−82ページ ［2］津田博史，1990，「因子分析による日本株式市場の分析」刈谷武昭編著『金融・証券計 量分析の基礎と応用』東洋経済新報社 ［3】 豊田秀樹，1992，『SASによる共分散構造分析』東京大学出版会 ［4］堀本三郎，1985，「わが国における裁定評価理論（APT）の検証」彦根論叢，第231号 43 −54ページ ［5］ Brown， S． J． 1989， “The Number of Factors in Security Returns”， Journal of Finance Vol． 44 No． 5 pp． 1247−1262 ［ 6 ］ Chen， N． 1983， “Some Empirical Tests of the Theory of Arbitrage Pricing”， Jozarnal of Finance Vol． 38 No．5 pp． 1393u1414 ［7］ Conway， D． A．， ＆ Reinganum， M． R． 1988， “Stable Factors in Security Returns： Identification Using Cross−Validation”，ノbumal of Business＆Economic Statistics VeL 6 No． 1 pp． 1−15 ［8コ Dhrymes， P．， Friend，1．＆Gultekin， N． B．1984，“A Critical Re−examination of the Empirical Evidence of the Arbitrage Pricing Theory”， ／oblrnal of Finance Vol． 39 No． 2 pp． 323−346 ［9］ Dhrymes， P．， Friend， 1．， Gultekin， N． B ＆ Gultekin， M． N． 1985， “An Empirical
わが国証券市場におけるファクター数の推定 95
Examination of the lmplications of Arbitrage Pricing Theory”，ノburnal of Banleing
and Finance 9 pp． 73−99
［10］ Roll， R． ＆ Ross， S． A． 1980， “An Ernpirical lnvestigation of the Arbitrage Pricing Theory”， Jozarvaal of Finance Vol． 35 No． 5 pp． 1073−1103
