フインスラー空間に於ける部分空間のDeformationについて

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(1)Title. フインスラー空間に於ける部分空間のDeformationについて. Author(s). 北村, 五郎. Citation. 北海道學藝大學紀要. 第二部, 5(1): 50-58. Issue Date. 1954-02. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5436. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 北海道学蔓大学紀要. 第５巻第１号. 昭和２９年２月. フィンスラー空間に於ける部分空間のＤｅｆｏｒｍａｔｌｏｎ北. 村. について郎. ・五. 北海道学墓大学旭川分校数学教室. ｉＧｏｒｏＫ１ＴｏｎｏｆａＳｕｂｓＰａｃｅ＼ＭＵ＆＼：〇ｎｔｈｅＤｅｆｏｒｍａｔ ‘ ｉｌｅｒＳｐａｃｅｎａＦｉｎｓ. ＳＩ序Ｓ . ｎ. 説. ）をこ於てその部分峯間Ｆｍ（粥くれ．次元Ｆ１ｘｓＬＥＲ空間Ｆ足を. ｝鯖』『入（ＺのＬ. （１．］）. 無限小変換をが））ばて導入＝＝入（〆）＋喜入Ｇｍ（ｚ〉によって坂扱われています。本論文ではベクトルき入がＦｍｚ超〃の理論は先にＤＡｖｍｓ氏２で輿えた時のＤｅｆの’ ｉｚｑの各点でのみ定義されている時即ち無限小変換がｆＭで導入＝が（〆）＋き入（ｚる. （１．２）. ｆｏ〆 ’ ｉｍねα≧を調べましたｏＳ２では部分室間に従属する基本的なテンソル及び接続係の式で奥えられている時のＤｅ入がお足の接奏聞にある時義２の特別な場合としてではなく別個な方法でその変化を調べて数の変化を、ｓ３ではぎｚｆｓ噂廓だがＦｍの接空間にあると仮定します。Ｆｍの点かで定義されたＦ， ’ ’ ｚみました。以後の節ではｅ′ｅ，のばｏＣ “ 熱の ′ にＱ ” ” を点字叉はラテン文字を示す）で表わされた指標はギリシャ文Ｆに於けるテンソルこ（洋。，ズ）（… ′ ′ ｂ〆ｍ所ｉ二（更Ｄ ’ ｚ，されたテンソルをＦｒ，ｉ）で表わしま意味で平行移動して得られたテンソルをＦご（奔，元）で叉Ｄｅｆての二次以上の項を無脱して作られたすとば騒た＝＝鱒二（発ち発つ一一ベヱ発っは叉次の式で奥えられます。即ち，. . ．. い. －－. . . ・. ，. ばＦ＝＝Ｆ：（鶴野）：：（兄彫）－Ｆ：：： . . ＺＦ：：：＝だニ（潟〆）－Ｆ：：：（甥 ‘. ゞ）. ）（但し法の二次以上の項を無税する。とおきますとＪＲ：Ｚ）Ｆ二：＝（ｃト（二Ｊのものを採用しました。今後用いる記号、関係式はＤＡＶｍｓ氏２．. ，－５０一.

(3) . ′. ｆｉｔ・ｍａｏｏｎについてフイソスラー塞間に於ける部分峯間のＤｅｉｏｎＳ２部分空間のＤｅｆｏｒｍａｔ１先ず射影因子お夕については（．２）より. ゞ. 故に. ・（２．１）. おきＺ＝ればてタ＝（. 他方２）（２，，こ. ≧ ｄＢタニー（ゆる夕霞. ′』＊ ′ 入＋き招けｔ（だは任意の鍬γ姻 ”“ にょる微分を示す）からでの舎はＱ．２）よりｉ。. （２，３）. （リ公＝ｒル ← 十４。鍔がばて. を表わします。 β夕に対しリ←マン幾何の場合と同機こ腕－ βがｇ｝、ＢＡ－ｇＪｇこょって入嬉Ｂｙを導入し鯛個の接ベクトル弓ｐ張られた接塞間に垂直な単位法ベクトルＣ》及びその共変ベクトルＣを導入してＣルーｏを仮定します。）のＡ－Ｅｒ階ＣＭャ＼Ｎ３ ‘. ：ｃｌわれの係数弓だとの間を満足する ”増加〆ｃｍ瑚ｅば知れの係数′ｒｉｅｃｏ粥２ｃ β たと初霜‘. こも. ′ｒｋ－蔦＝２ず′玖珂後発〆）〕. ’. この事から容易に. （２．４）. ″；″＝。. ）は（２）を使って（２．３．４. （２・５）. び÷ び）喜喜 ①舎ニニヱ▼。十一ダルｚｏ. ．. とも書けますから（２）と（２）から．１）．２．５，（２. （２．６）. び－ぴ）１ばてｄＢタニ）斉一トきめ，喜 ÷４。（方ニＩＺ－三むき. （２．７）. 書もばて…４βもぎずちｊミβ諸』ぐちミｑぐ. 今. ‘十隼きＰに分解してとおきぞ＝跨ぎ（２．８）. １十ＺＺもぎ七＝残（Ｚ）ぞ÷ぼるＰＦ）÷ 三すずき）ｇｐ）｛ト ÷の（〆Ｊ．. （２．９）. Ｚ）静＝）きＰａよＰ）＋仁＝β Ｚ祐一÷Ｌ多（Ｇ誌“喜一ト ÷Ｚ），. を（２）に代入して．６. （２．１０）. 甘ＧＩゴヒ亙詔解き。－５１－.

(4) . . 村. 北. 五. 郎. を用いますと. ２（ ① ｛臨書驚喜電器雛膏篇禦ぎ繁．（パキド場号溺も βルニ薦写ｑ蓉′．）Ｅ“ の基本テンソルｇｕ－Ｂ浮ｇ入〆こｄを施してｄｇリニβｇｕ，（２）入ＦＯ入物務めｄ：とＦｐｇ．１，ｄｇ｝－（ｇ人ルｑきｏ十ｇに注意して. ｄｇリニ２尋ねβ恕〆. て. が得らオますから. （２．１２）・. ｄ＆＝２＆（ぶち〆で. 反変基本テンソル蝉についてはぎ獄に能にＪを施し（２）を用いて．・２（２，１３）. り；（ぎ純て・ｄＢニー２ｇ為. ｒ叉ｇ卿βｆＣリ≠呈ばて十ｄＣから》＝０についてｄｑ＝－（ ◆ ＝＝きブきば（みるｄｃ（２ヲ－お＆ｇて＆Ｑ＝Ｃ全掬｝），１４）で決定します。今. （２，１５）. ｄｒ三万 ≧一 α，（きけでミＣｒｅｄα，ｄｃ｝…こぎｄてＧ！. とおきますと. （２，１６）. ４α ＝＝妬きｒ窃十ｃば野）ばて. ｇＰＱについては直ちに. （２，１７）. ばて（（れＱニ＆ ‘〆）有ぞＱニ２と叩）. 叉疎別＝β からｊ，Ｂ延会ニ０からぽ崎＝βな， βに【＝０. （２．１９）. ｄｃｆ出－（み麦箭、十Ｃｇこず）ばて. が得られます。次にＦｍに導入された如加ｃｅ館〃”ｅ倣似の係数ｒ長から作られた. （２，２Ｏ）こ. ６）ｒｋ＝だん－４！＆＝Ｂた（跨ん十ｒ髭β芋）. ・で. （２，２１）. ｒ彰；ｒ麹忍差十４認某．. （２，２２）. 甘タニ鞭（露Ｊ＋ｒ翫避ｉｙ）か. ． ※. こ先ず〃＝βもがにょって導入せられた〆だを調べてみます。を調べる篤を－５２－.

(5) . フィンスラー空間に於ける部分寡聞のＤｅｆｉｔｏｒｍａｏｎについて. ばか＝（①認もばて十ｄ理）が十βもばか. び” 解彩Ｊ＝｛（ｒ鱒ぴ薦－働か）十βを（際喜）｝ばて．. こ〉で（２）と．４. ノヂナムニーだら聡７. 紗. ＠溢）. 焔＝増一閲。. ２及び（）を用いて．９）．１１，（２．ｚ. ｏｏｉニーＺ ‘ ｄＺＺ（珠ぎ＋ＬもぎＰ）ｄてｊ. 且 ′. たｇらＬｐ＝Ｚノリなα ニーＺ α 殊ん；〇. よつて. （２．２４）. ， . . . ‘＝とら乙もぎｉばてｄＺ＝－Ｚ. が得られます。次に互夕については. ” αＣを（鳶Ｊ十ｒ翫β曹）＃＝－のき① さ）（総理）＋町）ゑ町ばて十（ｑで十βＣ＝ですから右辺に（２．５）と. ４崎；４Ｃ》Ｃず十Ｇ》ゴα 二ｄＣ；Ｃ＋Ｃた（β籍“市十α４Ｃも）を代入して整理しますと. （２．２５）. ｄ船（踏ｊ＋ｒ飽β胃）が. ＝Ｃた１塾ｒ＆＋″；（蒔よび十βをＤｏｇぴ）１ｄｒーダＢ台″写－①台町ｄｒ叉き＝拳〆とｒｊ－鍔ｒを汁轍 “）ｄ酷ＺばＤＤぞ，ｒコ〔ｊき－鍔吾 ‘ Ｚｄｒ－喜び（ｒ専らューｒ後れｒ＆十ｒ写る鳶Ｊ－ｒ欲ｒれ）〕ｒ英. ※ ，. 美. ｄｒ麹シニｉｒガきけ十ｒ粥. ※ ．. 。. ・. ー. ′. Ｄ寿げ－Ｆｒめ…ｄｒ. を用いて. （２．２６）. ．. ｒｚ. ※. 。。. 美. ｏ. . . . . . . ）炉十ｒ』甘；ロメで一ｇ「（Ｒ麹ｄＢ；十ｒキメル甘｝. ４）２）から（．２，２６．２５）と（２，（２. ‐２７）（２. ○. ＣＭ（端十ｒ髭β岸）が＝ α〔Ｄｊ珠ぞ－Ｄよび鳶打；＋塾 ′＆十ｒ翫坤理Ｚの寿げ. ’ ′. ｏｏ. 発. ○. ※. ※. α十（鷲』｝－鳶けｄ″；ｇ＝蟹〔刀ｉＤ，亭十鳶叩け町Ｄｏ．～ゅ町）書」ばてた一〃；ＺたＤｏｇばて－（ヰ ″３ばて－ｄＢ台″Ｓ－５３－.

(6) ト. ，. ，. 、北，. 村. 五. 郎. これから. （２）．２８．. ）ぞ４跡ニＣた〔Ｄｉｐ惑十鳶中町亘ぞ＋（発き加理－ｒも ″；一跨Ｚ辺よりばて－ｄＢ舎駕. 倦弓にっし、ては. Ｚ理（跨素十ヱ覆ん跨）（１. ｏ. ｒな）ばてコｉ噂Ｂき（町な十ｒ翫た鐸）－（β害も十 αこの（甘をｒ十踏ｉばて十甘ｉデー薦＝理１雌（町＋ｒ錆β“ －鰯だＡＩ. ですから. ば“ コＢたｇｒ麹辺デ十ｉｑ（駕十ｒ覧リーきだた十きみな十ｒ麹寿議ばて〕. こ. でドル／；の紳可より. り発たβケ十（ヰＭＢ芋ｒムー（弔ｒ縁Ｂダきｊに；Ｄぶち－（た十（ギＢＳ寿十ｒ琶劃一納“ｒｉ，を用いて. （２，２９）. リルな十（弔しばｒおニβた態ｒ鶴ｚｒの跨な彫十ｉ（のば静－（４摩ぶ－（. 〕十甘たｒｉＢも十おぶち扇てなお. ｏ＋≠捌に窄め理十ｒ誌詩 ” 傘加Ｆ十月胸に爺，ｚ摩ドー（ｒ髭″ｇｘだ）耳※－傘のＺ旗，扇て十傘. ‐ Ｈ墓. ｏ. ｏ＊ｏろ ← 珠亭について、同轍この筈ｒえた－においてはきγｉ＝比ドー亭ｒ＆，壕＝Ｄず－きけるたを用いて射。，。。. み直α βひ，ＤたＤ直。について整理して，きα の払増か弱‘ においてはれＤ直入について、の緑においては窮２）に代スして霊域 … 〃磯なる事から（．２９. （２，３〇）. び十ｉｒ飽きβ茎 α麟＝ＩＲ霊前理十（４絢－ｒ』～）″差ま喜，－Ｄ. 』＋（月影短－孝. 」日賜る寿げ十傘。珠Ｄ志げ十傘。ｄ″更）. とおきまずと. （２，３１）. ばて十船．ｒｄＢも４鷹ＦＢた〔碗町十ろぶち〕. ｚｍｚｇの接続係数ス禄についてｓＰのけこょって β” ぞ同様な方法し. （２・３２）. ４ぇムニＣ. に“. ＫＭで－蟹．〆曙拷＋る轟々. 叉リ←マン幾何の場合と同様にＴもＦについては－５４－.

(7) . ｉｆフィンスラー塞間に於ける部分峯間のＤｅｔｌｍａｏｎについてｏ. 刀－リｄ）ｒ÷ ，ｐα ｊ；ｒｅ. （２・３３）. で－ｒ÷腔ｄｒメた－. になりますから. ｐｉＱｄ拳た－ “ｊｋ－ｒ凌ぎ，. ｄ″ 〆＝態９α ＋Ｄぶも〕ばて－残４ｒｇたｐ. （２・３４）が成立します。. Ｓ３部分空間を自分自身に移す無限小変換についてこの場合の無限小変換は次式で奥えられます。. ばっ十絶つて信二に震. 鰻）. ′ プとなり従って第一近似として ′ ／』Ｂ；？ぼけｓｅｅｉｉｚｅ ’ ｚ ‘幼“ごはＦｍに接していますからＡ ‘ ・. （３．２）. 三義ニキ信れ埋雷雲ル・一物，働こ講. ≧十字ｄてなる変換が生じます。か得られますから（３）なる無限小変換によって郷γ ｚ，今 ’ ；；ｅｅｒ潜むこ対しか→？ ‘ ” ，１. （３，３）. き＝〆＋ぎくりばて滋. ３（），４. β々－器－（β｝十駆）Ｇ１一助. ８きみとおきまずとこの点変換にょって点死）からこ於ける射影因子島は（３．ｉ. β ＃維. ！＋きけで）＝助十跨ぎｄで… 別（ｚ ‘ となり鴬と βな＠）が一致します。今. 翻三豊－；. ３５）（）からとおきますと（３．４. （３．６）. 町ニＰ詔か. 叉. ′ ′ Ｂげ＆麟）＝Ｐｒ夕＆ゥ（発，元）＝Ｐｉ餌を鰐｝（足元＃ど．Ｆ. 即ち. ．. （３。７）. “. タｇｍーん＝Ｐ！. ｆからき … ドに＝β きざじ（３，８）. ｆコＱｇぼっざ ‐ １き. （３）よりＪ，７、（３．８. （３，９）. 麟コメｉ＆．（ゑ発っβダニ α 蕨５－－５. 晴“ ）ぬ.

(8) . . 北. 者Ｑとβな（弼）が一致しますから. 村. ′ ）ｂに，” “ ｇ“ とｇ，彰. 五. 郎. ′ と〆（毎，耐），．蟹と β数弼証）とが一致します。この. 事から. ３（，の. ｛農繁霧. と仮定する事が出来ます。. 横一方餅及び房で張られた接 “ ⑦塞間は一致しますから鍔と碑及び鷲とげとの腕こ夫々次式が成立します。. 信濃；瀞. ３（．の. で（３．め）を便って β；をＴＡＹＬＯＲ展開しますと. こ. （３．１２）. ｉ十ｑきふか）ばて言 α ＝ α 十（Ｍ考α 十 α，ｊＪｆ. （３．１３）. Ｚ α ＝ α 十（－①≧年十礎） ‘ ｒ. 他方. ですから（３）と（３）より．１３．１２. ｉきか ”際 α＝－ＩＣ；，斧十 α 〆ふ十（薦岸十４；βダ珠）年１十群. た十月；鍔峰Ｄ諺｝＋α ；－１（ＤｊＣ十 α”詔命十 α 偽）ぎ十 α′ぎＺ。. こ．〉で. Ｃルｚ. ）で一２８１Ａを９．すから. （３．１４）. ．. ｏ. み際＝－機Ｆー４島Ｄ君十＜〆十尺芸. 但し尺励まＲ喜Ｃ焚＝ｏを満足する任意の函数であります。同様にして. （３，１５）. ｉＬＮ雫コスギｊｅ十４ｆＪα辱こが十鯛. 但しｓ美はｓ云Ｃザニ０を満足する任意の函数であります。 . . 叉Ｃ》ＣダニＣ》Ｃダニ諺から. ７Ｚ字＝能６をげ窃‘ トＭ妻ば）α（（６喜一で）（て従って. （３．ユ６）. ，. ダキ；Ｎクド ○ Ｍ多＋～メコＯ，ハ. きについて倦Ｆ隅の接塞間にある反変ベクトルメニβたひ. （３，ユ７）. ？２．. ７も. 一－ “ － ” 入入（弘発っ＝Ｑｆ日彩り罷るリ一（元，）； αマ＝＝β妄り. ≧ ｌｄ：ｚをＰ如）へ？〃”ｇｅｓｃ／）から点（” 即ち炉はｗα を点（〆＋きの点変換によるＬＩＥ α馴れ研かｅと一致します。－５６－. ‘ に一致しますから山〆＝面ろ一叫ば（３した・ｚり．３）.

(9) . フイソスラー室間に於ける部分空間のＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎについて同様にしてＦｍの共変ベクトルについても言えますから一般に瓦，もの接空間に含まれるテンソルｒｔｊＡに対し１ふは（３３ｄ７ ≠物ｅと一致する事が導かれます。．）た，の点変換によるＬｍｄ好か” 叉Ｆｍの接空間に垂直な反変ベクトルかたＣ参りＰについてはのＰご〆＠，可）に注意して. （３，ユ８）ですから. . （３．ｉ９）. . . . . . あら＝曙が偏る売り＝総一売りニメ一入ぼり“ばて一Ｍ溺で）Ｃダリ発， . ゴリＰニザ－－りた＝. えｒ）〆｝ｄｒ諸三十（Ｚもぎた－－きり→＆）＋（；署十月謬りβ－－こえ. Ｊ十（月島Ｄ声・ＬＯＦ）りりばて＝ＩＤ耀空ゴ＋弔工もぎ同様にして共変ベクトル鱒について. （３，２Ｏ）. ｉ－（雌ゑｇｉ一Ｇパ）り１ばて勿ぞコにもＵ涛４りＰメもぎ ”. が得られます。こ４弓回ごついて調べる篤に先ず（３次し）を７声について偏微分しますと．６．. （３，２１）. ・笈. ？２. Ｂ完コ坪残十Ｐ鴬賜り，. 叉（３ ‐２２）. ．α ；Ｃ（７＃＝６喜十Ｍｇｄｒ）（増一Ｍ溺ｒ）Ｃ学ぶ露＝＝α. ー. （３１））と（３．６），１７．２、（３．２２）から，（３. （３，２３）. き＝ＰＦ昭ｙ理＝Ｃ；（β瀞十ｒ琶れ彩）ＢＢ ‘ ）．. ごの事から. ‘２生）（３. ｒ袋；ｒ』（発，）理十β』（発，）″系＝Ｐ楚ｒ』. 従ってる，？. ？Ｚ．. ウき. ？乙. ．. ● ，？ｚ．. ごα皮（Ｐみ薦十Ｐ繋残十Ｐ貸タｒ』聡）ですから. （３，２５），. ｒムコＱもＰみ十ＱもＰ字差ｒｇ. ．４弓たは（３この事から・．３）の点変換によるＬｍｄ銑初雄おβ に外なりません。. リーマン幾何の場合と同様にして４亙”入を求める事が出来ます。終りに種々御指導下さいました恩師河口・桂田両先生に衷心より感謝致します。．．，. －５７－. ．.

(10) . 北. 村. 五. 郎. １～ ′ 迄版るものとします。１）ギリシャ文字は１～“ ，ラテン小女字は１～”もラテン大文字は夕“十 ” ＭｈＬｄＰｌｎｓｅｒＳｐａｃｅ．４９１９４５．２ｖｏｌ２）日．Ｔ．ＤＡＶＩＥＳ；ＳｕｂｓｐａｃｅｏｆＦｉ．Ｓｅｒ．ｏｎｏｎａｔ．Ｓｏｃ．ｒｏｃｉｌｌｉｉ負ｑｕｅｓｅｉｔｔｌｎｄｕｓ・ｅｅ７９ｌｔｕａｌｔｄＳｓｃｅｎｔｎｓｅｒＡｃ．ｉ９３４＼酔眼Ｎ；ＬｅｓＢｓｐａｃｅｓｄｅＦｉ３）Ｂ．Ｃ‘. ４）），６），９，５）７）. １７２７））参照２）の（２６）．（，（，（３０）. ３）の３７参照. ｉｉａＩＧｅｏｍｅｔｒｅＢａｎｄｌｉｌｅｎｔｉｉｈｒｕｎｇｉｎｄ＾Ｐ．１４０ｅｎｅｕｅｒｅｎＭｅｔｈｏｄｅｎｄｅｒＤｉ什ｅＩＯＵＴＥＮ；Ｂｉｎｆ８）Ｊ．Ａ．ＳＣＩ. 参照. －５８－.

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