シェルピンスキー・ガスケット上の自己回避過程 の族の見本関数の性質

シェルピンスキー・ガスケット上の自己回避過程 の族の見本関数の性質

大塚隆史

目 次

1

導入

2

2

グラフ上の自己回避ランダムウォークの構成

3

2.1

プレ・シェルピンスキー・ガスケットグラフ, パス空間

. . . . 3 2.2

パス空間上の確率測度と生成関数

. . . . 5

3

連続な自己回避過程の存在

8

3.1

シェルピンスキー・ガスケット

F

とその上のパス空間

. . . . 9 3.2

パスの族の空間とその上の確率測度の整合条件

. . . . 10

4

見本関数の性質

15

4.1

短時間挙動を支配する指数

. . . . 15 4.2

重複対数の法則

. . . . 21

1 導入

シェルピンスキー・ガスケット上の非マルコフ的なランダム・ウォークは,これまで 様々なモデル設定の下研究されてきた. 第一に挙げられるのは,歩数を固定するごとに 自己回避的なパスに等確率を与えて定義される自己回避ウォークである

([7], [8]).

これ を「通常の」自己回避ウォークとよび, パスが自己回避である他のモデルと区別する.

シンプル・ランダム・ウォーク（等確率で隣の点に移るもの）からループを消して得ら れるループ・イレーズド・ウォークは

G. Lawler

により導入された非マルコフ的なラ ンダム・ウォークであり

,

シェルピンスキー・ガスケット上においても研究されている

([9], [12]).

ループ・イレーズド・ウォークも自己回避性をもつが,「通常の」自己回避

ウォークとは異なる分布をもつ. 自己反発ウォークは一度通った点に再び訪れることを 妨げられる非マルコフ的なランダム・ウォークである

([4]).

自己反発ウォークは必ず しも自己回避的でないが,自己反発ウォークからループを消去して得られるループ・イ レーズド・ウォークの族は自己回避的であり

,

元の自己反発ウォークの「反発の強さ」

をパラメーターとして「通常の」自己回避ウォークとループ・イレーズド・ウォークを 連続的につなぐモデルとなる

([10]).

ランダム・ウォークに関する基本的な問題として次の二つが挙げられる. 一つ目は, ランダム・ウォークは連続極限をもつか, である. 連続極限とは,グラフの辺の長さを

0

へ近づけたときの極限のことである

.

例えば

, Z

^d上もしくはシェルピンスキー・ガス ケット上のブラウン運動はそれぞれのグラフの上でのシンプル・ランダム・ウォークの 連続極限として得られる

.

二つ目は

,

平均

2

乗変位はべき乗的な振る舞いをするか

,

で ある. すなわち

X(n)

を原点からスタートしたランダム・ウォークの

n

歩目の位置とし, その原点からのユークリッド距離を

| X(n) |

とするとき,

E[ | X(n) |

²

]〜n

^2ν

のようなべき乗則（スケーリング則）は何らかの意味で成り立つか

,

また指数

ν

はどの ような値となるか, という問題である. 多くのモデルで, ここで現れた指数が連続極限 の短時間挙動を支配する指数と等しいことが知られている.

本研究では,自己回避的なパスに対して,より一般的な形で確率測度を帰納的に定め自 己回避ウォークの族を構成し,その性質を調べた. 先に挙げた「通常の」自己回避ウォー ク

,

ループ・イレーズド・ウォーク

,

自己反発ウォークからループを消去して得られる ループ・イレーズド・ウォークの族などはこの一般的なモデルに含まれる. これにより 連続極限の存在や見本関数の性質などをモデルによらず統一的に証明できた.

本論文の構成は以下のとおりである. ２章ではまずプレ・シェルピンスキー・ガスケッ ト・グラフを構成し,自己回避的なパスの空間に帰納的に確率測度を定めた. さらにパ スの「長さ」（歩数）の分布を考えるため歩数の生成関数を導入し

,

その性質をまとめ た. ３章では前章で定義したプレ・シェルピンスキー・ガスケット・グラフの辺の長さ を

0

に近づけていくとき

,

自己回避ウォークの連続極限が存在することと

,

その連続極 限の確率過程が持つ性質を調べた. 射影極限に関するコルモゴロフの拡張定理と分枝過 程の極限定理が本質的な役割を果たしている. ４章では見本関数の性質を証明した. 指 数型のタウバー型定理を適用するために

[11]

での議論を参考にした. 重複対数の法則の 証明は

[4]

を参考にした.

2 グラフ上の自己回避ランダムウォークの構成

2.1

プレ・シェルピンスキー・ガスケットグラフ

,

パス空間

定義

2.1 (プレ・シェルピンスキー・ガスケットグラフ). O = (0, 0), a = (1/2, √

3/2), b = (1, 0), G

0

= { O, a, b } , E

0

= {{ Oa } , { Ob } , { ab }}

とおき,

F

₀

= G(G

₀

, E

₀

)

とおく

.

ただし

G(G

0

, E

0

)

で

G

0 を頂点

, E

0 を辺の集合とするグラフを表す

.

また相 似写像

f

i

: R

²

→ R

²

, i = 1, 2, 3

を

f

1

(x) = 1

2 x, f

2

(x) = 1

2 (x + a), f

3

(x) = 1 2 (x + b)

のように定める. これらを用いてグラフの再帰列

{ F

_N

}

^∞N=0を

F

N+1

= f

1

(F

N

) ∪ f

2

(F

N

) ∪ f

3

(F

N

)

で定める.

F

_N をプレ・シェルピンスキー・ガスケットグラフとよぶ.

G

_N を

F

_N の頂 点

, E

N を

F

N の辺全体の集合とする

.

F

₀

F

1

F

_N

O a

b O a

b O a

b 1

2

⁻¹

2

^−N

図

1:

プレ・シェルピンスキー・ガスケット・グラフ

定義

2.2 (自己回避的なパスの空間). N ∈ Z

+

= { 0, 1, 2, . . . }

に対して,

F

N 上の辺で 結ばれた頂点間を移っていく有限長のパスで,

O

からスタートし

a

にヒットしたとき止 まり

,

一度通った場所に二度と戻らないものの全体

Γ

N を次のように定める

.

すなわち

,

Γ

_N

= { w = (w(0), w(1), . . . , w(n)) : w(0) = O, w(n) = a, w(i) ∈ G

_N

,

{ w(i), w(i+1) } ∈ E

_N

, w(i) ̸ = a, 0 ≤ i ≤ n − 1, w(j) ̸ = w(k), 0 ≤ j < k ≤ n, n ∈ N} .

このとき

w

の「長さ」を

ℓ(w) = n

とする

.

定義

2.3 (到達時刻). w ∈ Γ

_N

, M ≤ N

とするとき, 到達時刻の列

{ T

_i^M

(w) }

^mi=0を次 のように定める

.

T

₀^M

(w) = 0,

T

_i^M

(w) = inf { j > T

_i^M₋₁

(w) : w(j) ∈ G

M

\{ w(T

_i^M₋₁

(w)) }} , i ≥ 1.

ただし

inf ∅ = ∞ , m = inf { m

^′

∈ N : T

_m^M_′+1

(w) = ∞}

とする.

T

_i^M

(w)

は

w

が

G

_M の 点に（

i + 1

）回目に到達した時刻を表している

.

このとき同じ点を続けて複数回訪れる ときは

1

回と数える.

定義

2.4 (

粗視化写像

).

粗視化写像

Q

M

: ∪

^∞N=M

Γ

N

→ Γ

M を次のように定める

. (Q

M

w)(i) = w(T

_i^M

(w)), i = 1, 2, . . . , m.

ここで,

m

は定義

2.3

で述べたものである. このように粗視化写像を定めたとき,

Q

K

◦ Q

M

= Q

K

, K ≤ M,

w ∈ Γ

N

, M ≤ N ⇒ Q

M

w ∈ Γ

N

,

が成り立つ.

定義

2.5 (

脱出時刻

,

スケルトン

). T

Mを各頂点が

G

Mの要素

,

各辺が

E

M の要素であ る閉三角形で,上向きであるもの全体の集合とする.

T

M の要素を

2

^−M

-三角形とよぶ.

w ∈ Γ

_N

, N ≥ M

に対し

2

^−M

-三角形の列 ( △

1

, △

2

, . . . , △

k

)

と,それらからの脱出時刻 の列

{ T

_i^ex,M

(w) }

^ki=0を次のように定める.

{ T

_i^M

(w) }

^mi=0を定義

2.3

の到達時刻とする.

まず,

T

₀^ex,M

(w) = 0,

△

1

: △ ∈ T

Mで

O, w(T

₁^M

)

を含むもの

.

と定める. 次に,

J (i) = inf { j ≥ 0 : j < m, T

_j^M

(w) > T

_i^ex,M₋₁

(w), w(T

_j+1^M

(w)) ∈ △ /

i

} ,

ただし

inf ∅ = ∞ , k = min { i ≥ 1 : J(i) = ∞}

とおく

. i = 1, . . . , k − 1

に対して

,

T

_i^ex,M

(w) = T

_J(i)^M

(w),

△

i+1

: △ ∈ T

Mで, w(T_i^ex,M

), w(T

_J(i)+1^M

)

を含むもの.

と定める. 最後に

T

_k^ex,M

(w) = T

_m^M

(w)

と定める. このように定めた

( △

1

, △

2

, . . . , △

k

)

をパス

w

の

2

^−M

-スケルトンとよぶ.

今

後

σ

_M

(w)

で

w

の

2

^−M

-スケルトンを表す表記も用いる.

定義

2.6 (スケルトンの要素のタイプ). w ∈ Γ

N

, N ≥ M, σ

M

(w) = ( △

1

, . . . , △

k

)

とす るとき,

i = 1, . . . , k

に対して, ある

n(i) ∈ N

が存在して

T

_i^ex,M₋₁

(w) = T

_n(i)^M

(w)

が成り 立つ

.

このとき

△

i

∈ σ

M

(w)

は

T

_i^ex,M

(w) = T

_n(i)+1^M

(w)

ならばタイプ

1, T

_i^ex,M

(w) = T

_n(i)+2^M

(w)

ならばタイプ

2

であるとする.

w ∈ Γ

Nが自己回避的であることより全ての

2

^−M

-スケルトンの要素 △

i

∈ σ

_M

(w)

のタイプが決定する.

2.2

パス空間上の確率測度と生成関数

Γ

_N上の測度を帰納的に定義することによってプレ・シェルピンスキー・ガスケット・

グラフ上の自己回避ウォークを定義する.

定義

2.7 (Γ

₀上の確率測度).

(O, a), (O, b, a) ∈ Γ

₀に対して

P

0

[ (O, a) ] = 1, P

₀^′

[ (O, b, a) ] = 1

のように確率測度

P

0

, P

₀^′ を定める.

定義

2.8 (Γ

1上の確率測度

).

図

2

のように

Γ

1の要素を

w

₁^∗

, . . . , w

^∗₁₀と表す

. w

^∗₁

, . . . , w

^∗₁₀

∈ Γ

1に対して,

∑

10

i=1

p

i

= ∑

10

i=1

q

i

= 1, p

1

, . . . , p

7

, q

1

, . . . , q

10

≥ 0, p

8

= p

9

= p

10

= 0

を 満たす実数

p

_１

, . . . , p

₁₀

, q

₁

, . . . , q

₁₀を用いて

P

1

[ w

^∗_i

] = p

i

, P

₁^′

[ w

_i^∗

] = q

i

, i = 1, . . . , 10,

のように確率測度

P

1

, P

₁^′ を定める.

命題

2.9 ( △

iによるパスの分割

). w ∈ Γ

N

, N ≥ M, σ

M

(w) = ( △

1

, . . . , △

k

)

とする

.

こ のとき各

△

i

∈ σ

M

(w) (1 ≤ i ≤ k)

に対して,その分割を

w |

_△i

= [w(n), T

_i^ex,M₋₁

≤ n ≤ T

_i^ex,M

]

のように定める

.

必要ならば平行移動

,

回転

, 2

^N−M倍のスケール変換によって

, Q

M

w(T

_i^ex,M₋₁

)

を

O, Q

M

w(T

_i^ex,M

)

を

a

と対応させて

w |

_△iを

Γ

N−M の要素と同一視する. 簡単のた め同一視された

Γ

_N−Mのパスに対しても同じ記号を用いる.

逆に,

N ≥ M

として, スケルトンになりうる

2

^−M

-三角形の列 ( △

1

, . . . , △

k

)

と,

w

^′_i

∈ Γ

_N−M

, i = 1, . . . , k

が与えられたとき,

w ∈ Γ

_N が一意に定まる.

b O

a w

^∗₁

w

₂^∗

w

₃^∗

w

₄^∗

w

₅^∗

w

^∗₆

w

₇^∗

w

₈^∗

w

₉^∗

w

₁₀^∗

図

2: Γ

1のパス

定義

2.10 (Γ

N+1上の確率測度).

w ∈ Γ

N+1

(N ∈ N )

に対して,

P

N+1

[w] = ∑

v∈ΓN: σN(w)=σN(v)

P

N

[v]

∏

k j=1

P

₁^∗

[w |

_△j

]

P

_N^′ ₊₁

[w] = ∑

v∈ΓN: σN(w)=σN(v)

P

_N^′

[v]

∏

k j=1

P

₁^∗

[w |

_△j

],

のように確率を定める. ただし

P

₁^∗は

△

j

∈ σ

₁

(v) = ( △

1

, . . . , △

k

)

に対して

△

jがタイ プ１ならば

P

1

,

タイプ２ならば

P

₁^′とする.

注

2.11.

定義

2.10

のように与えた

P

N+1

, P

_N^′ ₊₁が

Γ

N+1上の確率測度であることを確 かめるには

P

_N+1

[Γ

_N+1

] = 1, P

_N^′ ₊₁

[Γ

_N+1

] = 1 (1)

となっていることを確かめればよい. 帰納法を用いて証明する. まず

P

₂

[Γ

₂

] = P

₂^′

[Γ

₂

] = 1

を示す.

O

を含む

2

⁻¹

-三角形を △

1

, a

を含む

2

⁻¹

-三角形を △

2

, b

を含む

2

⁻¹

-三角形を

△

3とする. このとき命題

2.9

より,

P

2

[Γ

2

] = ∑

w∈Γ2

∑

v∈Γ1; σ₁(w)=σ₁(v)

P

1

[v]

∏

k j=1

P

₁^∗

[w |

△j

]

= ∑

v∈Γ1; σ₁(v)=(△1,△2)

P

1

[v] ∑

w1∈Γ1

P

₁^∗

[w

1

] ∑

w∈Γ1

P

₁^∗

[w

2

]

+ ∑

v∈Γ1; σ₁(v)=(△1,△3,△2)

P

1

[v] ∑

w1∈Γ1

P

₁^∗

[w

1

] ∑

w2∈Γ1

P

₁^∗

[w

2

] ∑

w3∈Γ1

P

₁^∗

[w

3

]

= ∑

v∈Γ1; σ₁(v)=(△1,△2)

P

1

[v] + ∑

v∈Γ1; σ₁(v)=(△1,△3,△2)

P

1

[v]

= ∑

v∈Γ1

P

1

[v] = 1.

が成り立つ. 同様に

P

₂^′

[Γ

₂

] = 1

も分かる.

P

N

, P

_N^′ が

(1)

を満たすと仮定する

. v ∈ Γ

N の

2

^−N

-

スケルトンに含まれる

2

^−N

-

三 角形の個数を

k(v)

で表すとすると

P

_N+1

[Γ

_N+1

] = ∑

w∈Γ_N

∑

v∈Γ_N; σN(w)=σN(v)

P

_N

[v]

∏

k j=1

P

₁^∗

[w |

_△j

]

= ∑

v∈Γ_N

P

_N

[v] ∑

w₁∈Γ₁

P

₁^∗

[w

₁

] · · · ∑

w_k(v)∈Γ₁

P

₁^∗

[w

_k(v)

]

= ∑

v∈Γ_N

P

_N

[v] = 1

（帰納法の仮定）

,

が成り立つ

. P

_N^′ ₊₁に関しても同様に示せる

.

注

2.12.

仮に

p

i

= 0, i = 8, 9, 10

でないとすると,

P

N

[Γ

N

] < 1, P

_N^′

[Γ

N

] < 1

となって しまうことが上記の考察より分かる.

以上でパス空間に一様分布を帰納的に与えることができた. 次にパスの「長さ」の分 布を扱うために生成関数を定めてその性質を調べる.

定義

2.13 (

生成関数

). w ∈ Γ

Nに対して

,

タイプ１

,

タイプ２の

σ

N

(w)

の要素の個数を それぞれ

s

1

(w), s

2

(w)

とする. ２つの生成関数の列

{ Φ

N

(x, y) }

^∞N=1

, { Θ

N

(x, y) }

^∞N=1

を次のように定める.

Φ

N

(x, y) = ∑

w∈ΓN

P

N

[w]x

^s1(w)

y

^s2(w)

, (2) Θ

_N

(x, y) = ∑

w∈Γ_N

P

_N^′

[w]x

^s1(w)

y

^s2(w)

. (3)

命題

2.14.

定義

2.13

の生成関数は以下の再帰式を満たす.

Φ(x, y) = p

1

x

²

+ (p

2

+ p

3

)xy + p

4

y

²

+ (p

5

+ p

6

)x

²

y + p

7

x

³

,

Θ(x, y) = q

₁

x

²

+ (q

₂

+ q

₃

)xy + q

₄

y

²

+ (q

₅

+ q

₆

)x

²

y + q

₇

x

³

+ q

₈

x

²

y + (q

₉

+ q

₁₀

)xy

²

,

とおくとき

,

Φ

1

(x, y) = Φ(x, y), Θ

1

(x, y) = Θ(x, y), (4) Φ

N+1

(x, y) = Φ

N

(Φ(x, y), Θ(x, y)), Θ

N+1

(x, y) = Θ

N

(Φ(x, y), Θ(x, y)). (5)

証明

. Φ

についてのみ証明する.

Θ

についても同様に証明できる.

Φ

N+1

(x, y) = ∑

w∈ΓN+1

P

N+1

[w]x

^s1(w)

y

^s2(w)

= ∑

w∈Γ_N+1

∑

v∈ΓN;σN(v)=σN(w)

P

_N

[v]

∏

k i=1

P

₁^∗

[w |

_△i

]

（定義

2.10）

= ∑

v∈Γ_N

∑

w|△1∈Γ₁

· · · ∑

w|△k∈Γ₁

P

_N

[v]

∏

k j=1

P

₁^∗

[w |

_△j

]

（命題

2.9）

× x

^{s1(w|△1)+s1(w|△2)+···+s1(w|△k)}

y

^{s2(w|△1)+s2(w|△2)+···+s2(w|△k)}

= ∑

v∈ΓN

P

N

[v] ∑

w|△1∈Γ₁

P

₁^∗

[w |

△1

]x

^s1(w|△1)

y

^s2(w|△1)

× · · · × ∑

w|△k∈Γ1

P

₁^∗

[w |

_△k

]x

^s1(w|△k)

y

^s2(w|△k)

= ∑

v∈ΓN

P

N

[v]

∏

k i=1

( ∑

w|△i∈Γ₁

P

₁^∗

[w |

△i

]x

^s1(w|△i)

y

^s2(w|△i)

)

= ∑

v∈Γ_N

P

_N

[v]Φ(x, y)

^s1(v)

Θ(x, y)

^s2(v)

= Φ

N

(Φ(x, y), Θ(x, y)).

定義

2.15 (

平均値行列

). Φ, Θ

の平均値行列

M = (m

ij

)

1≤i,j≤2を

(1, 1) ∈ R

²での

Φ, Θ

のヤコビ行列として定める.

M = [

∂

∂x

Φ(1, 1)

_∂y^∂

Φ(1, 1)

∂

∂x

Θ(1, 1)

_∂y^∂

Θ(1, 1)

]

注

2.16. (1, 1)

は写像

(x, y) → (Φ(x, y), Θ(x, y))

の

R

²+での固定点である.

注

2.17. (i, j)

成分はタイプ

i

の

2

⁰

-

三角形からタイプ

j

の

2

⁻¹

-

三角形が生まれる個数 の平均を表している.

i = 1, 2

に対して

(i, 1)

成分と

(i, 2)

成分の和は一つ細かい段階で できる三角形の個数の平均なので

, 2

以上

3

以下となることが分かる

.

すなわち

, Φ, Θ

は各項が

2

次以上

3

次以下の多項式なので,

2 ≤ m

i1

+ m

i2

≤ 3, i = 1, 2

が成り立つ.

定理

2.18.

平均値行列

M

は最大固有値

λ

をもつ.

λ

は

p

₁

, . . . , p

₁₀

, q

₁

, . . . , q

₁₀の連続 関数で

2 ≤ λ ≤ 3

を満たす

.

証明

. M

の各成分は非負なので, フロベニウスの定理より最大固有値が存在する.

M

の各成分は

p

1

, . . . , p

7

, q

1

, . . . , q

10の多項式であるから

, M = (m

ij

)

1≤i,j≤2とおくと

,

λ = m

₁₁

+ m

₂₂

+ √

(m

₁₁

− m

₂₂

)

²

+ 4m

₁₂

m

₂₁

2

と表せる. 従って最大固有値

λ

は

p

1

, . . . , p

7

, q

1

, . . . , q

10に関して連続. さらにフロベニ ウスの定理より,

λ

に対する各成分が正の固有ベクトルをとれる. これを

v =

^t

(v

₁

, v

₂

)

と書き,

Mv, λv

の各成分を比較すると,次の連立方程式を得る.

 



m

11

v

1

+ m

12

v

2

= λv

1

, m

21

v

1

+ m

22

v

2

= λv

2

.

(6)

よって

v

1

, v

2が正なので

λ

は

λ = m

₁₁

+ v

₂

v

1

m

₁₂

= m

₂₁

+ v

₁

v

2

m

₂₂

と表せる. 注

2.17

より

2 ≤ m

i1

+ m

i2

≤ 3, i = 1, 2

であることに注意すると,

v

1

> v

2

ならば

λ = m

11

+ v

2

v

1

m

12

≤ m

11

+ m

12

≤ 3, λ = m

21

+ v

1

v

2

m

22

≥ m

21

+ m

22

≥ 2,

が成り立ち,

v

₂

> v

₁ならば

λ = m

21

+ v

1

v

2

m

22

≤ m

21

+ m

22

≤ 3, λ = m

11

+ v

2

v

1

m

12

≥ m

11

+ m

12

≥ 2,

が成り立つ. 従って

2 ≤ λ ≤ 3

が成り立つ.

3 連続な自己回避過程の存在

プレ・シェルピンスキー・ガスケット・グラフの辺の長さを

0

に近づけていくとき, 自己回避ウォークの連続極限が存在することを証明し,その性質を調べる.

3.1

シェルピンスキー・ガスケット

F

とその上のパス空間

定義

3.1 (

シェルピンスキー・ガスケット

).

プレ・シェルピンスキー・ガスケット・グ ラフの列

{ F

_N

}

に対して,

F = cℓ( ∪

^∞N=0

F

N

)

とおく. ただし,

cℓ(A)

は集合

A

の閉包を表す.

F

をシェルピンスキー・ガスケットと

よぶ.

定義

3.2 (

連続なパス

).

C = { w ∈ C

o

([0, ∞ ) → F) : w(0) = O, lim

t→∞

w(t) = a }

とおく. ただし

C

_o

([0, ∞ ) → F)

は

[0, ∞ )

上連続な

F-値関数の全体を表す. C

は距離

d(u, v) = sup

t∈[0,∞)

| u(t) − v(t) | , u, v ∈ C

に関して完備可分距離空間を成す. ただし,

| x − y | , x, y ∈ R

²はユークリッド距離で ある.

定義

3.3 (

到達時刻

). w ∈ C

に対して

G

M への到達時刻の列

{ T

_i^M

(w) }

^mi=0を

T

_i^M

(w) =

 



0, i = 0

inf { t > T

_i^M₋₁

(w) : w(t) ∈ G

M

\{ w(T

_i^M₋₁

(w)) }} , i ≥ 1

のように定義する

.

ただし

inf ∅ = ∞ , m = inf { m

^′

∈ Z

+

: T

_m^M′+1

(w) = ∞}

とする

.

簡 単のため

Γ

Nのパスの到達時刻と同じ記号を用いている.

定義

3.4 (

粗視化写像

). N ∈ Z

+に対して

Q

N

: C → C

を次のように定める

. (Q

N

w)(i) = w(T

_i^N

(w)), i = 0, 1, 2, . . . , m,

(Q

_N

w)(t) =

 



(i + 1 − t)(Q

_N

w)(i) + (t − i)(Q

_N

w)(i + 1), i ≤ t < i + 1, i = 0, 1, . . . , m

a, t ≥ m

w ∈ C

に対して到達時刻を定めたので,

2

^−M

-スケルトン,

脱出時刻の列

{ T

_i^ex,M

}

^ki=0

も定義

2.5

に倣って定義できる

.

定義

3.5 (パスの線形内挿). w ∈ Γ

N

, N = 0, 1, 2, . . .

に対して, 線形内挿を以下のよ うに定義する.

w(t) =

 



(i + 1 − t)w(i) + (t − i)w(i + 1), i ≤ t < i + 1, i = 0, 1, 2, . . . , ℓ(w) − 1

a, t ≥ ℓ(w)

この内挿により

w

を

C

の要素とみなせる

.

このとき

,

到達時刻

,

粗視化写像

,

脱出時 刻, スケルトンは

Γ

N の要素として定義されたものと同じである. 以後

Γ

N とその部分 パス空間は

,

線形に内挿されたものであるとする

.

3.2

パスの族の空間とその上の確率測度の整合条件

定義

3.6 (

パスの族の空間

).

パスの族の空間

Ω ˆ

を次のように定める

. Ω = ˆ { ω = (w

0

, w

1

, . . . ) : w

N

∈ Γ

N

, w

N

◃ w

N+1

, N = 0, 1, 2, . . . }

ただし,

w

_N

◃ w

_N+1は

σ

_N

(w

_N

) = σ

_N

(w

_N+1

)

であることを表す.

定義

3.7 (像空間上の確率測度). ω ∈ Ω ˆ

に対して,最初の

(N + 1)

個の要素を対応させ る射影を

π ˆ

_N とする. つまり,

ˆ

π

N

ω = (w

0

, w

1

, . . . , w

N

) ∈ Γ

0

× Γ

1

× · · · × Γ

N

.

以下のように,像空間

π ˆ

N

Ω ˆ

に対して確率測度

P ˆ

N

, P ˆ

_N^′ を帰納的に定める. まず

(w

0

, w

1

) ∈ ˆ

π

₁

Ω ˆ

に対して,

w

₀

= (O, a)

のとき

P

₀

[w

₀

] = 1, w

₀

= (O, b, a)

のとき

P

₀^′

[w

₀

] = 1

となる ことに注意して,

P ˆ

₁

[(w

₀

, w

₁

)] = P

₀

[w

₀

]P

₁

[w

₁

], P ˆ

₁^′

[(w

₀

, w

₁

)] = P

₀^′

[w

₀

]P

₁^′

[w

₁

],

と定める

.

次に

(w

0

, w

1

, . . . , w

N

) ∈ π ˆ

N

Ω ˆ

に対して

σ

N−1

(w

N−1

) = ( △

1

, . . . , △

kN−1

)

と するとき,

P ˆ

_N

[(w

₀

, w

₁

, . . . , w

_N

)] = ˆ P

_N−1

[(w

₀

, w

₁

, . . . , w

_N−1

)]

k

∏

_N−1

j=1

P

₁^∗

[w

_N

|

_△j

],

P ˆ

_N^′

[(w

₀

, w

₁

, . . . , w

_N

)] = ˆ P

_N^′₋₁

[(w

₀

, w

₁

, . . . , w

_N−1

)]

k

∏

_N−1

j=1

P

₁^∗

[w

_N

|

_△j

]

と定める. ただし,

P

₁^∗は

△

jがタイプ１のとき

P

₁

,

タイプ２のとき

P

₁^′であるとする.

このように定義された確率測度の列

{ P ˆ

N

}

^∞N=0

, { P ˆ

_N^′

}

^∞N=0は次の整合条件を満たすこ とが分かる.

P ˆ

N

[(w

0

, w

1

, w

2

, . . . , w

N

)] = ∑

v∈Γ_N+1;w_N◃v

P ˆ

N+1

[(w

0

, w

1

, w

2

, . . . , w

N

, v)], P ˆ

_N^′

[(w

₀

, w

₁

, w

₂

, . . . , w

_N

)] = ∑

v∈Γ_N+1;w_N◃v

P ˆ

_N^′ ₊₁

[(w

₀

, w

₁

, w

₂

, . . . , w

_N

, v)].

従って,コルモゴロフの拡張定理を適用できて,以下の定理を得る.

定理

3.8 ( ˆ Ω

の測度).

Ω ˆ

上の確率測度

P

が存在して

P ◦ π ˆ

⁻_N¹

= ˆ P

_N

, N ∈ Z

+

,

を満たす

.

ここで

P ◦ ˆ π

_N⁻¹は

π ˆ

N で誘導される像測度を表す

.

注

3.9.

いま,

P ˆ

Nから構成される

Ω ˆ

上の確率測度の存在のみ述べたが,

P ˆ

_N^′ も整合条件 を満たしているので,

P ˆ

_N と同様に対応する

Ω ˆ

上の確率測度を定義できる. しかし,今 後連続極限とその見本関数の性質を調べるにはどちらか一方に対応する

Ω ˆ

上の確率測 度が定義されていれば十分である. そこで,以後

P ˆ

_N に対応する確率測度

P

のみ扱う.

定義

3.10 (第 (N + 1)

成分への射影).

Y

_N

: ˆ Ω → Γ

_N を

ω

の第

(N + 1)

成分への射影 とする

.

このとき

, Y

N は

( ˆ Ω, B , P )

上の

F -

値過程

Y

N

(ω, t)

とみなせる

.

ただし

, B

は筒 集合から生成される

Ω ˆ

上のボレル

σ-加法族とする.

定理

3.11. P

を

Ω ˆ

上の確率測度,

Y

N を上で定義した

Ω ˆ

の第

(N + 1)

成分への射影と すると,

P ◦ Y

_N⁻¹

= P

N

が成り立つ. ここで

P

N は定義

2.10

のものである.

証明

. Y

_N^′

: ˆ π

N

Ω ˆ → Γ

Nを

π ˆ

N

Ω ˆ

の第

(N + 1)

成分への射影とすると

, P ◦ Y

_N⁻¹

= P ◦ π ˆ

_N⁻¹

◦ (Y

_N^′

)

⁻¹

= ˆ P

N

◦ (Y

_N^′

)

⁻¹

(7)

が成り立つ.

v ∈ Γ

_N に対して

P ◦ Y

_N⁻¹

[v] = P

N

[v] (8)

となることを帰納法で示す.

w

₀

= (O, a)

とすると,任意の

v ∈ Γ

₁に対して

P ◦ Y

₁⁻¹

[v] = ˆ P

1

[(w

0

, w

1

) : w

1

= v]

= P

0

[w

0

]P

1

[v]

（

P ˆ

1の定義）

= P

1

[v]

が成り立つ. 次に任意の

v ∈ Γ

N に対して

P ◦ Y

_N⁻¹

[v] = P

_N

[v] (9)

を仮定する.

u ∈ Γ

N+1に対して

σ

N

(u) = ( △

1

, . . . , △

k_N

)

とすると,

P ◦ Y

_N⁻₊₁¹

[u] = P ◦ π ˆ

⁻_N¹

◦ (Y

_N+1^′

)

⁻¹

[u] ((7)

式)

= P

_N+1

ˆ ◦ (Y

_N+1^′

)

⁻¹

[u]

（定理

3.8）

= ˆ P

_N+1

[(w

₀

, . . . , w

_N

, w

_N+1

) ∈ π ˆ

_N+1

Ω : ˆ w

_N+1

= u]

= ∑

(w₀,...,w_N)∈πˆ_NΩ;ˆ σ_N(w_N)=σ_N(u)

P ˆ

_N

[(w

₀

, . . . , w

_N

)]

kN

∏

i=1

P

₁^∗

[u |

△i

]

（定義

3.7）

= ∑

wN∈ΓN; σ_N(w_N)=σ_N(u)

P

N

[w

N

]

k_N

∏

i=1

P

₁^∗

[u |

△i

]

（帰納法の仮定）

= P

N+1

[u]

（定義

2.10）

定義

3.12 (タイプ毎の 2

^−M

-三角形の個数). w ∈ ∪

N≥M

Γ

N

, j = 1, 2, σ

M

(w) = ( △

1

, . . . , △

k

)

に対して

S

_j^M

(w)

で

σ

_M

(w)

内のタイプ

j

の

2

^−M

-三角形の個数を表す.

すなわち

,

S

^M_j

(w) = ♯ { i : △

iがタイプ

j } .

また

S

^M

(w) = (S

₁^M

(w), S

₂^M

(w))

とする. このとき

w ∈ Γ

N ならば

ℓ(w) = S

₁^N

(w) +

2S

₂^N

(w)

が成り立つ.

定義

3.13. S = (S

₁

, S

₂

), S

^′

= (S

₁^′

, S

₂^′

)

を

( ˆ Ω, B , P )

上の

Z

+

-値過程で,

それぞれ

P

₁

, P

₁^′ の下での

S

¹と同分布な確率変数とする

.

すなわち

S, S

^′は任意の

x, y ∈ Z

+に対して

P[S = (x, y)] = P

1

[S

¹

= (x, y)], P [S

^′

= (x, y)] = P

₁^′

[S

¹

= (x, y)].

をみたすとする.

命題

3.14 (分枝過程). v ∈ Γ

M を任意に固定し,

σ

M

(v) = ( △

1

, △

2

, . . . , △

k

)

とする.

条件付き確率

P[ · | Y

_M

= v]

の下で各

1 ≤ i ≤ k

に対して,

{ S

^M+N

(Y

_M+N

|

_△i

), N = 0, 1, 2, . . . }

は

2-

タイプの分枝過程である

.

このとき各個体のタイプは

,

三角形のタイプ と対応する. すなわち,タイプ１の三角形から生まれる三角形の子孫分布は

S

の分布に, タイプ２の三角形から生まれる三角形の子孫分布は

S

^′の分布にそれぞれ等しい

.

特に

N = 0

のとき,

S

^M

(Y

M

|

_△i

) =

 



(1, 0), △

iがタイプ１のとき,

(0, 1), △

iがタイプ２のとき.

このとき次の

(1)–(4)

がなりたつ.

（

1

） 子孫分布の生成関数

g

1

, g

2を

g

1

(x, y) = E[x

^S1

y

^S2

], g

2

(x, y) = E[x

^S1′

y

^S2′

],

とおくとき,

g

1

(x, y) = Φ(x, y), g

2

(x, y) = Θ(x, y)

が成り立つ. ここで

E

は

P

の下での期待値を表す.

（2）

M

を定義

2.15

の平均値行列とするとき,

E[S

^M+N

(Y

M+N

|

△i

) | Y

M

= v] = S

^M

(v |

△i

)M

^N

.

（3）

P [S

₁

+ S

₂

≥ 2] = P [S

₁^′

+ S

₂^′

≥ 2] = 1.

（4）

E[S

_i

log S

_i

] < ∞ , E[S

^′_i

log S

_i^′

] < ∞ , i = 1, 2.

定義

3.15 (

時間のスケール変換

). w ∈ C

に対して時間のスケール変換

U

N

(α) : C → C, α ∈ (0, ∞ ), n ∈ N

を次のように定める.

(U

_N

(α)w)(t) = w(α

^N

t).

定理

2.18

の最大固有値

λ

でスケールされた

F -

値過程

Y

N を

X

N とする

.

すなわち

,

X

N

= U

N

(λ)Y

N

, N ∈ N .

命題

3.16.

時間をスケール変換しても,パスが通過するスケルトンは変わらない. すな わち,

σ

M

(X

N

) = σ

M

(X

M

) = σ

M

(Y

M

), M ≤ N, a.s.

特に

X

N

(T

_i^ex,M

(X

N

)) = X

M

(T

_i^ex,M

(X

M

)) = Y

M

(T

_i^ex,M

(Y

M

)), M ≤ N, a.s.

注

3.17. σ

_M

(X

_N

) = ( △

1

, . . . , △

k

)

とおくと

T

_j^ex,M

(X

_N

) = λ

^−N

∑

j i=1

(S

₁^N

(X

_N

|

△i

) + 2S

^N₂

(X

_N

|

△i

)), 1 ≤ j ≤ k.

が成り立つ

.

命題

3.14

と優臨界分枝過程の収束定理より次の命題が従う. ここで,

u =

^t

(u

₁

, u

₂

)

を

M

の

λ

についての成分正の右固有ベクトル

, v = (v

1

, v

2

)

を

M

の

λ

についての成分正 の左固有ベクトルとする. ただし,

| u | = | v | = 1

を満たすものとする.

命題

3.18 (

優臨界分枝過程の極限定理

).

任意に

v ∈ Γ

Mを固定し

, σ

M

(v) = ( △

1

, △

2

, . . . , △

k

)

とする. 条件付き確率

P[ ·| Y

^M

= v]

のもとで,各

i(1 ≤ i ≤ k)

に対して次が成り立つ.

（１） 各

i ∈ { 1, . . . , k }

に対して

, { λ

^−(M+N)

S

^M+N

(X

M+N

|

△i

), N = 0, 1, . . . }

は

N → ∞

のとき,ある

R

²

-値確率変数 S

^∗M,i

= (S

^∗₁^M,i

, S

₂^∗M,i

)

に概収束する.

（２）

{ S

^∗M,i

, i = 1, . . . , k }

は独立な確率変数列である.

（３） ある確率変数

B

₁

, B

₂が存在して,

S

^∗M,iは

△

iがタイプ１のとき

λ

^−M

B

₁

v

と, タイプ２のとき

λ

^−M

B

2

v

と同分布である

.

（４）

P [B

i

> 0] = 1, E[B

i

] = u

i

, i = 1, 2.

B

1

, B

2は正の確率密度関数を持つ.

（５）

B

1

, B

2のラプラス変換を

ϕ

_i

(t) = E[exp( − tB

_i

)], i = 1, 2

と表すとする

. ϕ

iは

C

上の正則関数で

,

次の方程式の解である

.

ϕ

1

(λt) = Φ(ϕ

1

(t), ϕ

2

(t)), ϕ

2

(λt) = Θ(ϕ

1

(t), ϕ

2

(t)), ϕ

1

(0) = ϕ

2

(0) = 1.

証明

. (1) − (3)

と

(4)

の

E[B

_i

] = u

_iはマルチタイプ優臨界過程の一般論の極限定理か ら従う

. P [B

i

> 0] = 1

は

Φ, Θ

の各項が

2

次以上であることより従う

.

ラプラス変換が

C

上正則であることの証明は

[6]

を参照.

命題

3.19. σ

M

(X

M

) = ( △

1

, . . . , △

k

)

とする.

△

iがタイプ

j

ならば,

N

lim

→∞

T

_i^ex,M

(X

N

) =

^d

λ

^−M

(v

1

+ 2v

2

)B

j

が成り立つ.