円形 都 市 を有 す る都 市 圏 構 造

円形 都 市 を有 す る都 市 圏 構 造

平 面 幾 何 学 とラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル の応 用

神 頭 広 好

1は じ め に

都 市 の 相 対 的 人 き さ は,おtj:い の 引 き 合 う 力 で あ るPullと 自 ら が 出 よ う と す るPushの 力 関 係 で 決 ま る 。 こ れ ら の 空 間 的 相 互 関 係 が 複 雑 化 し た と して も 都 市 の 特 性 に こ だ わ ら な け れ ば 都 市 の 規 模 と 順 位 に は あ る 程 度 の 関 係 が 見 ら れ る 。 ま た 都 市 の 規 模 に 関 わ る 変 遷 に つ い て は 大 き く は2つ に 分 け ら れ よ う 。 人 き な 都 市 か ら ス タ ー ト して 周 辺 に そ れ よ り も 小 さ な 規 模 の 都 市 が1f地 して 行 く ケ ー ス と 小 さ な 都iiiか ら ス タ ー ト し て 周 辺 に そ れ よ り も 大 き な 都 市 が 、γ地 して 行 く ケ ー ス で あ る 。 前 者 は 一・般 の ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル が 当 て は ま り,後 者 は 逆 ラ ン ク ・サ イ ズ が 当 て は ま る。 通 常 は, 小 さ な 都II∫を 都 心 部 と して,こ こ で の 企 業 の 集 積 に よ っ て 人 口 の 増 加 を 通 じ て 周 辺 部 に 都 市 が 創 出 して い く方 が 都 市 圏 を イ メ ー ジ し 易 い 。 ま た,小 さ な 都 市 を 都 心 部 と して 円 の 逆 数 を 人 日 密 度,昼 間 人ii比,企̀1り の 生 産 力 と す る と逆 ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル の 解 釈 が 容 易 に な る 。

こ こ で は,'Flfli幾 何 学 の 定 理 に も と つ い て 円 形 の 都 市 か ら な る 円 形 の 都 市 圏 を 対 象 に して,}三 と して 同 都 市 圏 に 立地 して い る 円 形 の 都il∫の 数 や 交 通 条 件 に よ る 違 い か ら,都 市 圏 の 規 模 と 都 心 部 の 規 模,都 市 圏 の 蜆 模 と 都 市 規 模 間 の 格 差 な ど の 関 係 を 明 ら か に す る た め に,ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル を 応 川 す る。 そ の 際 円 の 半 径 は 円 の 面 積 と 人 口 に 比 例 的 で あ る と み な し,

1 ^[Lll ^̲

こ こ で は ニ ュ ー タ ウ ンの 部 分 を 除 い て,円 の 半 径 を 都 市 圏,都 市 お よ び 都 心 部 の 人 き さ と して い る 。

H円 形 の 都 市 と都 市 圏

1.4つ の 円 形 都 市 を 有 す る 円 形 の 都 市 圏 ll)ニ ュ ー タ ウ ン 建 設 計 画

Stewartの 定 理i'か ら,図1に お い て 111111

‑(一 一 一)=一 十 一 十 一 2r,r.;r.r・,r,

が 導 か れ るi'j)。た だ し,r,:1'1uの 半 径,r.,:IljAの 半 径,る 径,γ1:Iljcの'卜 径,花:IilOの'卜 径 を そ れ ぞ れ 示 す 。

(1)

円Bの 半

図14つ の 円 都 市 と都 市 圏

(Dこ の 定 理 は,岩 田(幾 何 学 大 辞 典4,p.232,[1504])に よ る と 「同 じ 円 に 内 接 す る2つ の 外 接 す る 円 のt径 の 逆 数(曲 率)の 和 が 一定 」 と ぼ う も の で あ る 。 12)こ れ に つ い て は,岩 川(幾 何 学 大 辞 典1,p.389‑385,[681],幾 何 学 大 辞 典

4,p.273,[1581])お よ び 岩 川(補 巻n,p.121,[223])を 参 照 せ よ 。

一26一 z

円形都市を有する都市圏構造

こ こ で,通 常 の ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル

̲r,r ,  ‑a72

を(1)へ 代 人 す る と, 2̀3"4"5"11>

̲=+(一 十 一

2r,r,r,r,r, で 表 さ れ る 。 さ ら に

1‑5cr=2(2rr十3̀一 ト4α)

に 整 理 さ れ,こ れ をMapleで 解 く と,α=‑1.873が 求 め ら れ る 。

(2)

(3)

これ は,逆 ラ ン ク ・サ イ ズ の 法 則 を 示 して い る 。 こ こ で,r,;1と す る と, r.,=3.7,r.,=7.8,r,=13.4,r.;=20.4

で あ る。

こ の 結 果 は,小 さ な 人 目 規 模 を 有 す る 都 市 か ら 出 発 し て,人nの 増 加 と と も に 周 辺 に 人 日 が 移 っ て い き,そ こ に 比 較 的 大 き な 都 市 が 出 来Lが る と い っ た こ と を 示 唆 し て い る 。 た だ し,円0は1'1uを 除 い た 他 のIllの 境 界 に 接 し て い る 都 市 圏 を 示 して お り,詫 わ ば 同 質 平 野 と 比 較 優 位 性 が 存 在 す る 隠 れ た 都 市 圏 と,髭え る 。

こ れ に 対 し て 大 き な 円 か ら ス タ ー トす る 場 合 は, ,Za3<r4≪1

.5"1+=(4)(一=)̲̲十 2r,r,r,ハr,

が 導 か れ,こ れ を 解 く と α=4.39が 求 め ら れ る 。 現 実 の 都 市 の ラ ン ク ・ サ イ ズ で の α は,ほ ぼ0か ら2の 値 で あ る。

こ こ で は,小 さ な 都 市 か ら 出 発 す る 場 合 で,以 ドの3つ の ケ ー ス に お け る 通 勤 費 を 比 較 す る。

(1)都 市u,A,B,Cの そ れ ぞ れ の 中 心 部 へ 居 住 者 が 通 勤 す る ケ ー ス (2)都rliA,B,Cの そ れ ぞ れ の 中 心 部 に ニ ュ ー タ ウ ン を 建 設 して,

都 市uの 都 心 部 へ 通 勤 す る ケ ー ス

3 ^一27一

(3)都 市u,A,B,Cが 合 併 し て,都ili圏0を 都 市 と す る ケ ー ス ち な み に,ケ ー ス(1)は 都 市 独 ぐ冗型,ケ ー ス(2)は 歴 史 都 市 中 心 型, ケ ー ス(3)は 地 形 中 心 型 を そ れ ぞ れ 示 し て い る と 諄 え よ う。

ケ ー ス(1)に お け る 総 交 通 費 は, T=π 十3.7:̀n十7.83π 十13.43π=2407.1π ケ ー ス(2)に お け る 総 交 通 費 は,

り ウ

ウ

T,、=π 十4.7*3.7'π 十8.8*7.8一 π+14.4*13.4一 π=3186.4π

ケ ー ス(3)に お け る 総 交 通 費 は,

り ゆ り

T=(3.7一 π+7.8轄 π+13.4一 π)*20.4=5183.4π

1:記 の3つ の 分 析 結 果 か ら,ケ ー ス(1)が 最 も 低 く い 。 し た が っ て, 通 勤 者 に と っ て は 居 住 都 市 の 中 心 部 に 通 勤 す る こ と が 最 も 有 効 で あ る こ と が 示 さ れ る 。

ち な み に,残 さ れ た 空 間 を 公 共 サ ー ビ ス に 利 川 で き る 面 積Sと す る と, S=416.2π 一 π 一13.7π 一60.8π 一179.6π=161.1π

で あ り,Sは 都ll∫圏 全 面 積 の 約4割 で あ る 。

(2》 都 心 部 の 規 模 と 都 市 圏 の 規 模 と の 関 係 t記 の(1)式 か ら,

r,‑r.一,2

ar.;+1(5)ま た はr.一,=1‑r,2。r,(6)

が 導 か れ る 。 た だ し,。 一 ⊥+⊥+⊥ で あ り,こ の 。 は 一 定 で あ っ て も r.,るr,

y,,ろ,r,が そ れ ぞ れ 一 定 で な い こ と に 注 意 を 要 す る。(以 ドの α に つ い て 1

も 同 様)(6)の 分 母 が 正 で あ る こ と か ら0〈

r,< で あ る。2 a

こ の(6)は,都 心 部 に 企 業 移 転 に 伴 い 人 口 が 流 入 した 場 合 都 市 圏 の 大 き さ が ど の よ う に 変 化 し て 行 く か を 表 し て い る 。 た だ し,α を 一 定 と し た 場 合 は 都 市 圏 の 空 い て い る と こ ろ に ニ ュ ー タ ウ ンな ど の 住 宅 地 を 設 け て お

一28一 4

円形 都市を有する都市圏構造

く 必 要 が あ る 。 さ ら に,ヒ 記 で 導 か れ たr.,,r.,,π1を1:式 の α に 代 入 す る と,a=0.473で あ る 。 こ れ を(6)へ 代 入 す る と,

ハ(7)r .;̲1 ‑0 .946r,

で あ る 。 こ の(7)はMathematicaに よ っ て 図2が 描 か れ て い る 。 こ れ は 都 心 部 に 人 口 が 流 人 す る と 徐 々 に 都 市 圏 が 拡 大 して い く こ と を 物 語 っ て い る 。

(3)見 え ざ る 都 心 部 機 能 と 都 心 部 の 規 模

こ こ で,fllA,B,C,uに お い て,Soddyの 定 理 が 成 り 、γっ て い る と す る と,こ こ で 見 え ざ る 中 心 地 と して の 都 心 部 機 能 を 求 め る こ と が で き る 〔3[。

Soddyの2番 目 の 定 理 中 は,

(3)こ れ に つ い て は,神 頭(2007,第7章)を 参 照 せ よ 。 (4)こ れ に つ い て は,一 一松(2003,p.77)を 参 照 せ よ 。

5 ^一29一

11112̲

̲̲十 十̲十̲(g) r,r.,r.3r,r

で あ る こ と か ら, 2r,(9) r=1 ‐ar

,

が 導 か れ る 。 た だ し,rは △ABCの 内 接f'1の 半 径 を 示 し て お り,こ れ が 見 え ざ る 都 心 部 機 能 を 示 し て い る 。 さ ら に ヒ 記 同 様 に α を 一 定 と し て α=0.473を(9)へ 代 入 す る と,

2r,(10) r=1 ‑0 .473r,

で 表 さ れ る 。 こ の(10)はMathematieaを 用 い て 図3に 描 か れ て い る 。 こ れ は 都 心 部 が 拡 大 し て 行 く と,集 積 の 経 済 に よ っ て 見 え ざ る 都 心 部 機 能 (ま た は 外 部 効 果 と し て の 集 積 の 経 済)が 逓 増 的 に 拡 大 して 行 く こ と を 示 唆 し て い る。

Y

50

40

30E‑

20

=:メ ー‑L12 ,一畳コ‡L6

図3見 え ざ る 都 心 部 機 能 と 都 心 部

‑!11/

,ー/ー/

///ー/ノ

''ー' ろ

噛

8一1﹂

!〆

こ こ で,(5)を(10)へ 代 人 す る と,

‑30一 6

円形 都 市 を 有 す る 都 市 圏 構 造

r=0 2筏

.477r‑一,十1

が 導 か れ,こ れ は 図4か ら 都 市 圏 へ の 人 口 の 流 人 は, を 徐 々 に 拡 大 す る こ と を 示 唆 して い る 。

r

(11)

見え ざる都心 部機能

(4)都 市 圏 が ラ ン ク ・ サ イ ズ の 法 則 に 従 わ な い ケ ー ス こ こ で,r,=Rと す る と(3)か ら

2̀3"4'111

‑(一 一 一)=一 十 一 十 一

2r,R乃r,r,

で 表 さ れ,こ れ を 整 理 す る と,

= r,R

1‑2(2r十3十4cr)

乱 一一 一 一 一Y;

100

(12)

(13)

で あ る 。 こ の(13)にr,=1を 代 人 し て 図 示 す る と,以 ドの 図5が 描 か れ る 。

し た が っ て,都 市 規 模 の 格 差 を 示 す 絶 対 値 と し て の が 小 さ くな る ほ ど 都 市 圏 が 逓 増 的 に 人 き く な る こ と か ら,人 き な 都 市 圏 ほ ど 都 心 部 周 辺 の 都ll∫

7‑31一

規 模 の 格 差 が 小 さい こ とを 示 唆 して い る。

ーー∠U5

4

3

/

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︑/

'ノー//

/

,,̲̲一 一 盤

α

'/

ノ1

/

! ONNN†

ガ

'一一一一一一

図5都 市圏 と都市規模格差

ち な み に,こ こ で の 円 都 市 圏 に お け る4円 都 市 の ケ ー ス で の α は4.39, Soddyの 定 理 か ら 単 な る4円 都lliの ケ ー ス:;Zの α は3.12,傍 接 円 に お

け る4円 都 市 の ケ ー ス で の α は1.73で あ る 。 た だ し,Soddyの 定 理 は 対 象 性 で あ る こ と か ら,α がit:で 計 算 さ れ る た め こ こ で は 大 き い1'1か らの ス タ ー ト と して,す な わ ち 通 常 の ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル と し て α が 計 算 さ れ て い る 。 し た が っ て,Ir1と して の 都ll∫圏 が 規 定 さ れ て い る 場 合 の 都II∫の 規 模 格 差 が 最 も 大 き く,つ い で 規 定 さ れ な い 場 合,さ ら に 道 路 を 境 に して 出 来1.が っ た 計 画 的 都 市(傍 接 円)の 場 合 は 都 市 の 規 模 格 差 は 最 も 小 さ い こ と を 示 唆 し て い る 。

2.円 形 の 都 市 圏 に お け る4つ の 円 市 場 と 中 心 都 市

円AとD,1'1BとCが そ れ ぞ れ1点Mで 外 接 し て,そ れ ら4つ のill

(5》 こ れ と 傍 接f'1の ケ ー ス に つ い て は,神 頭(第4章,2007)を 参 照 せ よ 。

一32一 8

円 形 都 市を 有 す る都 市圏 構 造

が1つ の 円 に 内 接 して い る な ら ば,つ ぎ の 式 が 成 り ・r.つ'lii。

!+!=1+1(1) r,r,r.,乃

た だ し,r,:f']Aの'卜 径,r.:IljBの'{裂 径,る:1'lcの 半 径,71:円D の'卜径 を そ れ ぞ れ 示 す 。

こ こ で,1'1の 大 き さ に 対 し て ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル を 適 川 す る と, 14̀2'3 ̲+̲(2)

一 十 r,ハr,ri か ら

1+4α=2"+3̀(3)

で あ り,こ れ よ り,α=0と な る 。 こ こ で4つ のII川 ∫場 に 外 接 す る 円 を 都 市 圏 と して,4つ の 市 場 が1'二い に 交 じ り合 う 唯 一 の 点 を 中 心 都 市 と す る と, ラ ン ク ・サ イ ズ の 法 則 が 成 り 、'f.たな い こ と を 示 唆 して い る 。

こ れ に つ い て は,市 場 は 空 間 に お い て も境 界 の 重 複 は あ りえ る が,都rli に お い て の 重 複 は あ りえ な い こ と の 証 明 で は な い か と 考 え ら れ る 。

図64つ の 円市 場

(6)こ れ に つ い て は,岩 田(幾 何 学 大 辞 典(補 巻n,p.120‑121,「222])を 参 照 せ よ 。

9 ^一33一

3.直 径 の 道 路 を 有 す る5つ の 円 形 都 市 を 有 す る 円 形 の 都 市 圏 図7か ら 対 象 なllJDお よ び 円Eの.,径 を.z'と す る と,

r,(r,+r,)(r,+r,)

x=ゆ

r.,r.,‑r,

お よ び

̲2r,Rx R‑r,

が 成 立 す る7b。 た だ し,r,:円Aの.̲径,r.:

'卜径

,R:円0の,.径 を そ れ ぞ れ 示 す 。

(1)

(2)

円Bの 半 径,r.;:円Cの

図7直 径 の 道 路 を 有 す る5つ の 円都 市 と都 市 圏

こ こ で,中 心 に 位 置 し て い る1'1Aを 都 心 部 と して,円0を 都li∫圏 と す る と,都 心 部 が 周 辺 都 市 の 規 模 の 格 差 に ど れ だ け 影 響 さ れ る か を 見 る た め に,(1)お よ び(2)に ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル を 応 用 す る と,

171こ れ に つ い て は,岩 川(幾 何 学 大 辞 典4,pp.271‑272,[1579])を 参 照 せ よ 。

一34一 10

円 形 都 市を 有 す る都il∫圏 構 造

r,(r,+r',)(r,+r',r)

x=ウ ー ソ

r,2 ろ ろ 一r,

6"‑r'

1.,̲1

η(1+2r)(1+乎)

=

1(3) 6α1

ま た,(3)と(2)か ら

1..̲1

(1+7)(1+3・)2R

渉 一1=(R‑r,)(4)

で あ る 。 こ れ を 整 理 す る と, Z

r,(5)R=Z

‑2

1..̲1 (1+2cr)(1+3cr)

お よ びZ>2 た だ し,Z=1

、r‑16

(5)か ら,Zを 一 定 と す る と 都 心 部 と 都 市 圏 は 比 例 的 関 係(図 省 略)に あ る が,図8か ら 絶 対 値 と し て の α が 大 き く な る に つ れ て 逓 減 的 に 都 市 圏 が 拡 大 す る こ と か ら,大 都 市 圏 ほ ど 都rl∫圏 内 の 都 市 の 規 模 に 少 し ず つ 格 差 が 見 られ る こ と を 物 語 っ て い る。

11 ^一3 .5一

i.o

＼ 、噛、

、覧＼

、＼

、

0・8＼ ＼

。、 ＼

＼

o.・ ＼

＼

。、 ＼

＼t α

252ρ 且510

注)こ こで は,都 市 圏 と1三要 道路 に 沿 った 都 市の 規 模 の 格 差 と の関 係 に よ る こ とに 注 意 を 要 す る。

図8都 市 圏 と 都 市 規 模 格 差

こ こ で,直 径 の 道 路1一 に お け る 都 市 の1順 位 は 分 か っ て い る が,道 路 ヒ に な い 都 市 に つ い て は 分 か ら な い と し よ う 。 図7の 円 の 直 径 道 路 の 半 径 は

R=r,+r.,+r.,(6

で 表 さ れ る こ と か ら,こ れ を(2)に 代 人 す る と,

.x‑2r,R‑2r,(r,十r.十‑r η)(7)R

,r.,十 る

で あ る 。 こ こ で,(3)=(7)と こ れ に ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル を 応 用 す る こ と に よ っ て,

1..̲1 r,(1+z・)(1+3")

‑2r,(r,+r.,+r.;) (16,r‑1)一(η+r・3)(8)

が 成 立 す る 。 こ れ をMathematicaで 解 く と α=‑1が 求 め ら れ る 。 ち な み に,こ の 式 に6番 目 の 都 市 が 登 場 し て い る こ と は 興 味 深 い 。 し た が っ て,

‑3612

円形 都 市 を 有す る 都 市 圏 構造

ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル か ら r,=1,Y,=2,r.,二3,R=6

が 計 算 さ れ る 。 ま た,こ れ ら を(7)へ 代 入 す る と,∫ 二2.4で あ る こ と か ら 他 の 等 し い2つ の 円Dお よ びEの 半 径 は2.4で あ る 。 こ の 円 か ら 成 る2つ の 都 市 は ラ ン ク でiiう な ら ば3番 目 の 都 市 と な る。 こ の ラ ン クの 順 位 が 都 市 の で き た 順 位 で あ る と す る と,A→B→(DE)→Cで あ る。

こ こ で は,以 ドの3つ の ケ ー ス に つ い て 考 察 す る 。

(1)各 都iliの 中 心 部A,B,C,D,Eに 中 心 地 機 能 が 集 中 す る ケ ー ス (2)中 央 に 位 置 す る 都 市Aに 中 心 地 機 能 が 集 中 す る ケ ー ス

(3)都 市 圏 の 地 理 的 中 心0に 中 心 地 機 能 が 集 中 す る ケ ー ス ケ ー ス(1)に お い て,居 住 者 の 総 交 通 費 用 は

TC,二 π十23π 十2*2.43π →‑3°}π;63.65π ケ ー ス(2)に お い て,居 住 者 の 総 交 通 費 用 は

ウ リ リ

TC、 二 π十3*2一 π十2*3.4*2.4一 π十4*3凹 π88.17π ケ ー ス(3)に お い て,居 住 者 の 総 交 通 費 用 は

コ ウ ソ

総 人 目 が,π+2"π+2・2.4一 π+3一 π=25.52π

で あ る こ と か ら,こ の 人flが 都ll∫圏 に 均 等 に..1!.地 し て い る 場 合 は,

TC‑6・i。25・u6一 季2ππ 一153.12π

円 周 ヒに ニ ュ ー タ ウ ン建 設 の 場 合 は TC,,=6*25.2π=153.12π

L記 の3つ の ケ ー ス を 比 較 す る と,ケ ー ス(1)が 最 も総 交 通 費 が 少 な い こ と か ら,各 都 市 の 中 心 に 機 能 を 集 中 さ せ た 方 が 得 策 で あ る 。 こ れ は, 4つ の 円 を 有 す る 都 市 圏 の ケ ー ス と 同 じ で あ る。

ち な み に,都 市 圏 に お け る 公 共 財 お よ び 公 共 サ ー ビ ス を 供 給 す る た め の 25π 二 〇.694で あ る こ と か ら 約7割 で あ る 。

空.間の 割 合 は,36 π

13 37

4.7つ の 円 形 都 市 を 有 す る 円 形 の 都 市 圏

以 ドの 図9か ら,都 市 圏 円0の 中 に7つ のt'1形 の 都 市A,B,C,D,

E,F,Gが あ り,そ れ ぞ れ の 都 市 が η:いに 接 して い る と き,つ ぎ の 式 が bkり 、Zつ̀8レ。

r,r.,r.;(1)

た だ し,r,:円Bの'卜 径,r.,:円Cの 半 径,r;.円Dの.:径,γ1:1'1E

の'卜 径 を,r.;:円Fの'卜 径 を そ れ ぞ れ 示 す 。

図97つ の 円 都 市 と都 市 圏

(1)都ll∫ 圏 と 都 心 部

こ こ で,ラ ン ク ・ サ イ ズ モ デ ル 弓=‑r,,rを(1)へ 適 川 す る と, rt

{8)こ れ に つ い て は,岩 田(幾 何 学 大 辞 典),Pp.401,[994])を 参 照 せ よ 、,

一38一 14

円形都 市を有す る都市圏構造

,:3r

⊥=6tr(2) 5̀2,̲13

2"(1+3≪)‑3"

が 導 か れ,r,=1と して,(2)をMathematicaで 解 くと,α=3.175・10is が 求 め ら れ る 。 ち な み に,こ の α は 限 り な くゼ ロ に 近 い こ と か ら,6つ の 都 市 の 規 模 に お い て ほ と ん ど 格 差 が な い こ と を 示 し て い る。

こ こ で,都 心 部 に 関 係 な く周 辺 都 市 の 順 位 が 決 ま る 場 合 の 都 心 部 と 都 市 圏 と の 関 係 に つ い て 見 る と,定 理 の プ ロ セ ス に お い て

‑=一1111 一 十3・(一 〜 一)(3) 筏r.rR

の 関 係 が 成 り 立 つ こ と か ら,

r‑R(4)ま た はR‑r(5)

aR十11‑ar

111 鱒 か れ る

・ た だ しa=3°(r

.;+r.,)で あ る ・ さ ら に(5)にr.;=r.,=1 と して 代 人 す る と,

Rr'(6)z 1‑r3

3 で 表 さ れ る

。 た だ し,Rが 正 で あ る こ と か ら0ぐrくzに あ る 必 要 が あ る 。

(6)を プ ロ ッ ト し た も の が 図10で あ る。 し た が っ て,都 心 部 の 初 期 の 規 模 に 関 わ らず,都 心 部 へ の 企 業 移 転 に 伴 う 人 口 の 流 入 は 都 市 圏 を 逓 増 的 に 拡 人 さ せ る 。 そ の 際,2番 目 の 都il∫と5番 目 の 都li∫が 一 定 の 規 模 を 維 持 して い る こ と に な る た め,他 の 都 市 に お い て の 人Ilの 変 動 が 見 ら れ る か, 都 市 圏 内 の 公 共 空 間 に ニ ュ ー タ ウ ン が 建 設 さ れ る こ と に な る 。

IJ 39一

510ー5

,,"!

‑!ー‑/

'ーノ//

/〆

'δ

20.40.60.gi.ol214一 一r

図10都 市 圏 と 都 心 部

(2)都 市 圏 と 都il∫規 模 格 差

こ こ で は,(5)と α か ら,ラ ン ク ・ サ イ ズ モ デ ル を 応 用 す る と, R(7)1

グ

1‑一(5r十2')r3

で 表 さ れ る 。r‑1と し て,Rと α の 関 係 を み る と,図11か ら 大 都 市 圏 ほ ど 都rti規 模 の 格 差 が 小 さ い こ と を 示 唆 し て い る 。

/Sl/ 16

円 形 都 市 を 有 す る 都 市圏 構 造

1.18

1.16

1.14F

i.iz

1」0

!!

1.08/!

.i ノ/'!

一一f工 一 一L

/'

/ /

// /

!///

/!

← 直忌一L

ノ

/

2.4

図11

222.01.81.6

都 市 圏 と 都 市 規 模 格 差

α 1.4

ヒ記 の 分 析 結 果か ら,大 き な 都 市 か らの 出 発 よ り も小 さ な 都 市か らの 出 発 の 方が 都 市間 の 規 模 に差 が あ る こ とが 分 か る。 また,あ る意 味 に お い て は,隠 れ た 都 市圏 を示 して い る。

5.直 径 の 道 路 が 存 在 す る7つ の 円 形 都 市 を 有 す る 円 形 の 都 市 圏 図12か ら,つ ぎ の 式 が 成 、ヒす る',。

⊥ 一 座(⊥+⊥)」 一(1) r3r,r.R

た だ し,r:円Aの'卜 径,r,:円Bの'f'径,r.,:円Cの 半 径 ろ,R.円 0の'卜 径Rを そ れ ぞ れ 示 す 。

191こ れ に つ い て は,岩 川(幾 何 学 大 辞 典4,PP.286‑287,L1600])を 参 照 せ よ 。

17 ^一41‑一

図12直 径 道 路 を 有 す る7つ の 円都 市 と都 市 圏

11)都 市 圏 と 都 心 部

こ こ で,円Aを 都 心 部,円oを 都 市 圏 と す る と,都 市 圏 と 都 心 部 の 関 係 は(1)か ら

3r(2)R

= Oar‑3

1̲..31 で あ る

。 た だ し,α=一+一 お よ びr/

r,r.,4a

こ こ で,a=1と して,(2)を プ ロ ッ トす る と,図13が 描 か れ る 。 こ の 図 か ら,大 き な 都 心 部 を 有 す る 都 市 圏 ほ ど,相 対 的 に 小 さ い 都 市 圏 規 模 を 有 して い る こ と を 示 して い る 。

42一 18

円形 都 市を イ∫す る 都 市 圏 構造

＼＼

¥,

￣ 一一

〇り81ρ121.4

図13都 市 圏 と都 心 部

(2)都 市 圏 と 都 市 規 模 格 差

こ こ で,ラ ン ク ・サ イ ズ の 法 則(ま た は 逆 ラ ン ク ・ サ イ ズ の 法 則)が 成 り 、ア っ て い る と す る と,

111 r,r., か ら

33 =V .(4)R=1

̲̲44(1+

‑31十

"(C

2α

が 成 り 、読つ 。0ぐ α<3と して(4)を プ ロ ッ トす る と,図14が 描 か れ る 。 つ ぎ の 図14か ら,都 市 圏 の 大 き さ と 都 市 規 模 の 格 差 の 人 き さ を 示 す α は 比 例 的 で あ る こ と か ら,大 き な 都 市 圏 ほ ど 都ll∫圏 内 の 都 市 の 規 模 に 格 差 が 見 られ る と 言 え よ う。

19 ^{一 ・13一}

2.0 1.8 1.6 1.4 L2 1.O o.s

/' ノ/

/!

/ノ

/!/

//

ノ/

!/

!/ /ノ //

//

! ノ/ ノ 1ノ

!

ノ!

//

os1ρ152.025

図14都 市 圏 と 都 市 規 模 格 差

一・一一晶 一」一」一」一一一」一」一」一 一一一一上一 α

3.0

6.10の 円 形 都 市 を 有 す る 円 形 の 都 市 圏

こ こ で は,Elemen.DerMath.Bd.18,Nr.6(1963),p.136に も と つ

い て お り,図15か ら 円 形 の 都 市J,1,H,F,E,D,C,B,Aの 半 径

を そ れ ぞ れr,,r.,,r.,,r,,る,r,;,r‑,。 服,r,と す る と,つ ぎ の 定 理 が 成 り 、̀五 つX100

111111111十 十 十=十=十=18(十=十=)(1)

r,r.r.,r,r.;r;跨 服r,

た だ し,こ の 定 理 に は 円0お よ び 円Gの"x‑Tt:は 直 接 に は 関 わ っ て い な い 。

k記 の 定 理 に ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル を 応 川 す る と, 1+2"+3"+4"十5"十6°=18(7"十8̀T十9")(2)

が 導 か れ,こ れ をMapleで 解 く と α=‑1.679が 求 ま る 。 し た が っ て, こ の 場 合 は α の 符 号 が マ イ ナ ス で あ る こ と か ら 逆 ラ ン ク ・ サ イ ズ モ デ ル

(10》 こ れ に つ い て は,岩 川(幾 何 学 大 辞 典4,pp.287‑288,[160̀?])を 参 照 せ よ 。

一一44一 20

円 形 都ll∫を 有 す る都 市圏 構 造

と な る 。

一 方,人 き な 円 か ら 出 発 す る と,円 形 の 都iliA,B,C,D,E,F,H,

1,Jの,.径 を そ れ ぞ れr,,r,r,,71,筏,r,;,符,筏,r<,と す る と,定 理 か ら

11111̲̲.1111

‑十 一 十 一 十 一 十 一 十 一=18(一 十 一 十 一) ろr.;r,;r‑,rxY,r,r.r;

で 表 さ れ る 。 こ れ に ラ ン ク ・サ イ ズ モ デ ル を 応 川 す る と, 4"+5"+6"+7"十8̀"十9"=18(1"+2"+3̀")

が 導 か れ,こ れ を 解 く と α=1.932で あ る 。

(3)

(4)

(1)都 心 部 と して のGの 導 出

こ こ で,円A,円B,IijCのli」 を 利 川 し て,Soddyの 定 理 が 成 りf̲っ て い る と す る と,Gの 半 径 を 求 め る こ と が で き る 。 ま た,円 の 中 央 部 に 位 置 す るGを 都 心 部 と し て,こ れ を 支 え て い る 見 え ざ る 都 心 部 機 能 を 求 め る こ と が で き,そ の 都 心 部 機 能 が 昼 間 人 口 に 比 例 し て い る と す る と,こ の 都 心 部 に お け る 昼 間 人 口 比 率 を(△ABCの 内 接Iljの 面 積)/(円Gの 面 積),

21 ^一45一

と して 求 め る こ と が で き る 。 Soddyの 定 理 「IPは,

〔÷+1r.,÷ ÷〕2‑2〔÷+÷+÷+÷ 〕

で あ る こ と か ら,τ1=r,=100と す る と 100

rir=ろ=21…=26.2

100 筏・=r,=31…2=12

が そ れ ぞ れ 導 か れ,こ れ ら を(5)へ 代 入 す る と,

1.̲,(10 100+26.2+12+r,12/100̀'+26.2'+12'̀+r,'

で 表 さ れ る 。 た だ し,γ1は1'IGの'r一 径 を 示 し て い る 。 こ れ を 解 く と,

τ匹=7そ,=3.8

(5)

(6)

が 求 め ら れ る 。GはIllの 中 央 に 位 置 し て い る こ と と,人 き な 都il∫A,B, Cに 接 し て い る こ と か ら,ア ク セ ス に お い て 集 積 の 経 済 を 受 け 易 い 都 心 部

を 指 して い る とriえ よ う 。 ま た,H,1,Jは そ れ ぞ れ2つ の 大 き な 都 市 に 接 し て い る こ と か ら 副 都 心 的 な 役 割 を 有 し て い る 地 区 とrえ よ う 。

さ ら に,円0の 半 径r()を 求 め る た め に,つ ぎ の5円 の 定 理 111111‑一)=一+一+一(7)

一(

2花 符,πtrii履 ・

へL記 で 導 か れ た η,,宅1,砺 筏 を 代 入 す る こ と に よ っ て 求 め ら れ る 。

(1Dこ れ に つ い て は,一 松(2003,PP.75‑77)を 参 照 せ よ 。 ま た,こ の 定 理 は 1646年 にDescartesが ボ ヘ ミアE女 へ 宛 て た1一 紙 の 中 で も 見 ら れ る と の こ と で あ る 。(岩 田(幾 何 学 大 辞 典1,pp.384‑385,[681])を 参 照)

一X16一 ?Z

ITI形都 市を 有 す る 都 市圏 構 造

111111 2(3.8一 鴛、)=1。 。+26.2+12

か ら

2わ 一6437.07

で あ る 。

(2)見 え ざ る 商 業 機 能 と し て の 都 心 部 機 能 Soddyの2番 目 の 定 理 は,

11112

‑=一 十 一一 一トー 十 一(8) r,r,rzr.,r

で あ る 。 た だ し,rは △ABCの 内 接 円 の'卜径 を 示 す 。 こ れ は 見 え ざ る 都 心 部 機 能 の 大 き さ の 尺 度 で も あ る 。 こ の 定 理 に そ れ ぞ れ の 半 径 を 代 入 す る

と,

11112̲十 十 十一

3.810026.212r

と な り,こ れ を 解 く とr=15.2が 求 ま る 。 こ れ は 都 心 部 機 能 が3番 目 の ラ ン ク の 都 市 と 同 等 で あ る こ と を 示 唆 し て い る。

した が っ て,こ の 機 能 の 人 き さ を 集 積 の 効 果 と み な せ ば,実 際 の 都 心 部 15.2

の 人 き さ

吃 に 対 して .8 一4と な り,4倍 の 効 果 を 有 し て い る こ と に な3 る。

(3)見 え ざ る 都 心 部 機 能 と 都 市 規 模 格 差 こ こ で,(8)を(3)へ 代 入 す る と,

1.1.1111̲,12

‑十 一 十 一 十 一 十 一 十 一=18(一 一 一) r,r5Yg2ラYHYyろr

で 表 さ れ,こ れ に ラ ン ク ・ サ イ ズ モ デ ル を 応 用 す る と,

(9)

23 ^一41一

4・ イ+6・+7・+8・+9̀"‑18(4・‑2ハ)

r

ま た は,

r̲2r,(10)

4̀"一̲‑..(4̀r+5̀r+6̀r+7"+8"+9'r)18

で 表 さ れ る 。 こ の(10)をrがlilと な る0く α 《2の 範 囲 で,シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 う と,図16が 描 か れ る 。

た だ し,r<ハ ー100で あ る こ と か ら α が1.13<α ぐ1.76で あ る 必 要 が あ り,こ れ に も と つ い て 図16が 描 か れ て い る 。 し た が っ て,こ の 図 か ら 見 え ざ る 都 心 部 機 能 は α が1.5位 ま で は 見 え ざ る 都 心 部 機 能 が 徐 々 に 減 少 す る が,1.5を 過 ぎ る と 逓 増 的 に 拡 大 す る 傾 向 に あ る 。 ち な み に 都 市 規 模 格 差 を 示 す α が ほ ぼ1.5の と き,最 小 の 見 え ざ る 都 心 部 機 能rは87.5 で あ る 。

一48 24

円形都市を有する都市圏構造

こ れ に つ い て は,都 心 部 周 辺 都 市 の 規 模 格 差 が 大 き くな る に つ れ て 特 化 して い く都 市 が 増 え,そ の 結 果 都 心 部 へ の 依 存 度 が 弱 ま る 。 と こ ろ が,あ る 程 度 の 格 差(α=0.5)を 超 え る と,生 産 や 需 要 の 拡 大 か ら 都 心 部 へ の 依 存 度 が 高 ま っ て い く こ と が 考 え ら れ る 。

7.総 合 的 考 察

ヒ記 の分 析 結 果か ら以 ドの こ とが 整理 され る。

(1)図17か ら,4つ の 円 形 都rl∫が 存 在 す る 場 合,(a)か ら都 心 部が 大 き い ほ ど都 市 圏 は よ り大 き く,(b)か ら都 市 圏 が 大 き い ほ ど 都 市 規 模 の 格 差 が 小 さ い。 ま た,図3か ら都 心 部 が 拡 大 す る と,逓 増 的 に 見え ざ る 都 心 部 機 能 が 増 大 す る。 さ らに,図4か ら都ffl圏が 拡 大 して 行 く と都 心 部 機 能 が 徐 々 に増 大 す る。 最 後 に,円 形 の 都 市 圏 が 存 在 しな い場 合 に つ い て は 都 市規 模 格 差 が よ り小 さ くな り, 道 路 を 介 す る傍 接 円 の場 合 に つ い て は そ の 格 差 が さ らに 小 さ くな る。

(2)図17か ら,直 径 道 路 を 有 す る5つ の 円形 都 市 が 存 在 す る場 合, (c)か ら都 心 部 規 模 と都 市圏 規 模 は 比 例 的 で あ り,(d)か ら都 市 圏 が 大 き くな る に つ れ て 都 市 規 模 の 格 差 が 拡 大 して行 く。

(3)図17か ら,7つ の 円形 都 市が 存 在 す る場 合,(1)同 様 に(e)か ら都 心 部 が 大 きい ほ ど 都 市圏 は よ り大 き く,(f)か ら都 市 圏 が 大 き い ほ ど 都 市規 模 の格 差 が 小 さい。

(4)図17か ら,『 〔径 道 路 あ りの7つ の 円 形 都 市が 存 在 す る場 合,(g) か ら都 心 部 が 大 き い ほ ど大 都 市 圏 は 小 さ く,(h)か ら都 市 圏 が 小 さ い ほ ど都 市 規 模 格 差 は 小 さい。

(5)図17の(1)お よ び(3)か ら,円 形 の 都 市 圏 に 存 在 す る4つ の 円 形 都 市 と7つ の 円 形 都 市 の場 合 は,都 市 圏 と都 心 部,都 市 圏 と都 市規 模 格 差 につ い て の そ れ ぞ れ の 関 係 は 同 じ傾 向 にあ る。

25 49一

(1)4つ のIll形 都 市 の ケ ー ス (a)R(b}

(2)直 径 道 路 を 有 す る5つ の 円 形 都 市の ケ ー ス

(c)R(d)

(3)7つ の 円 形 都 市 の ケ ー ス

(4)直 径 道 路 を有 す る7つ の 円 形 都 市 の ケ ー ス (g)R(h)

注)す べ て の 図 に お い て α は,絶 対値 と して 表 され て い る。

図17都 市 圏(R),都 心 部(r)お よ び 都 市 規 模 格 差(α)

一50一 26

円形都 市を 有す る都市圏構造

(6)図17の(2)お よ び(4)か ら,直 径 の 道 路 を イiする5つ の 円 形 都 市 と 直 径 の 道 路 を 有 す る7つ の 円 形 都 市 の 場 合 は,都 市 圏 の 規 模 が 拡 大 す る と,都 市 規 模 格 差 が 増 大 す る 傾 向 に あ る 。

(7)図17か ら,7つ のilJ形 都ll∫が 存 在 す る ケ ー ス で,直 径 の 道 路 が 交 通 の 比 較 優 位 性 と し て 存 在 す る(4)の 場 合 は,直 径 の 道 路 が 無 い (3)の 場 合 と 比 較 して,大 き な 都 市 圏 ほ ど 都 心 部 が 相 対 的 に 小 さ く,都 市 規 模 格 差 が 人 き い こ と を 示 唆 して い る 。

(8)10の 円 形 都 市 が 存 在 す る 場 合 は,図16か ら 見 え ざ る 都 心 部 機 能 が 最 小 に な る と き の 都 市 規 模 格 差 は 約1.5で あ る 。

8.多 くの 円 と計 画 都 市

図18か ら,初 期 の 都 市 圏0が 人 口の 増 加 と と もに 中 心 部 を 突 き抜 け る i三要道 路 が あ る 交通 条件 の 良 い 東 方 へ 住 宅 都 市が 拡 人 して,空 間 と交通 条 件 と の関 わ りか ら順 次 住 宅 都 市 が 開 発 され て い くと結 果 的 に1'1形の 都 市圏 Sが 成 ㍍す る。 こ こで 各 住 宅 都 市の 境 界 ■ で 示 され る と こ ろ に シ ョ ッ ピ ン グセ ンタ ー を設 け よ うと す る と,物 流 の 中 心 地 点 は 交 通 費 均 等 の観 点 か ら Pが 最 適 で あ る。

このPか ら シ ョ ッピ ン グセ ン ター へ の 距 離 をxと す る と,定 理 か ら 2Rr(1)

x=R十 r

で あ る112。 た だ し,r:iljoの 半 径 を,R:円sの 半 径 を そ れ ぞ れ 示 す 。

(12}こ れ に つ い て は,岩 田(幾 何 学 大 辞 典4,p.293,[1617])を 参 照 せ よ 。

27 ^一51一

こ こ で,rを 一 定 と し て,xとRの 関 係 を み る と 図19か ら,都 市 圏 が 拡 大 す る と均 等 距 離 は 徐 々 に 大 き く な っ て い く こ と を 示 唆 して い る 。

10

一52一 28

円形 都 市 をtiす る 都 市 圏 構 造

ち な み に0に はCBDが,Sに は 副 都 心,Pは 物 流 拠 点 が 成 立 す る こ と に な る 。 一・方Pに 中 心 地 機 能 お よ び 病 院 な ど の 公 共 施 設 を 蹉 地 さ せ,圏 に ニ ュ ー タ ウ ン を1f地 さ せ る と,あ る 意 味 に お い て コ ン パ ク ト化 し た 都 市 圏 に な る 。raい 換 え れ ば,物 流 の 拠 点 の 考 え 方 を う ま く利 川 す る と コ ン パ

ク ト シ テ ィ の 構 想 に も'11て は ま る 場 合 が あ る と 言 え よ う 。

mお わ り に

こ こで は,幾 何 学 大 辞 典 に 掲 載 され て い る 円 の定 理 に も とつ いて,そ れ ら定 理 に ラ ン ク ・サ イ ズを 応 川 す る こ と に よ って,都 市 圏 と都 心 部,都 市 圏 と都 市規 模 格 差 の 関係 を 見 るた め に シ ミュ レー シ ョ ン分 析 を 試 み た 。 そ の 結 果,4円 と7円 の ケ ー ス に つ い て は そ れ ぞ れ の 関 係 に お い て 同 じ傾 向 が あ るが,II藍〔径 道 路 を 有す る比 較 優 位性 が 存 在 す る5円 と7円 の 場 合 は都 市圏 が 人 き い ほ ど都 市規 模 格 差 が 大 きい こ とが 示 さ れ た。 これ は,お そ ら

くll蟹{径道 路 を 対 象 に 都 市 が創 出 され る場 合 は,rl由 度 が 限定 され るた め に 都 市規 模 の 格 差 が 人 き くな る の で は な い か と 考え られ る。 こ の 証 明 は,今 後 の 課 題 とな る。 と こ ろで,こ こで は 分 析 結 果 を 動 学 的 に捉 え る な らば, 人 口 か ら見 た 都 心 部 の プ ッ シ ュや プ ル の 作 用 に よ って 都心 部 の 周辺 都 市 に お け る合 併 や 独 立の 繰 り返 しを暗 に 含 み な が ら都 市圏 の 大 き さ が 決 め られ る こ とを 示 唆 して い る。 ま た,定 理 に よ って 円 の 数 が 限 定 さ れ て い る が, 他 の空 間 にお い て 円 形 の 都 市 圏 に外 接 す るIqは 存 在 す るか も しれ な い た め, 一 般 に現 状 に 近 い 形 状 も見 られ る の で は な い か と も考 え られ る。 さ らに 見 え ざ る 都心 部 機 能 と都 市規 模 格 差 につ い て は 意 外 に も最 小 値 が 見 られ た こ とは 興 味 深 い 結 果 で あ った 。

こ こで は,4,5,7,10の 円 だ けが 取 りLげ られ て い る が,111形 の 都iii 圏空 間 に お い て は 円 都 市が 創 出す る 可能 性 は 多 く,こ れ らの 研 究 を通 じて 計 画 都 市 を構 築 す る 際 の 方 向 性 を 示 し,実 際 の 都 市 圏 に 対 して 実 証 す る こ

29 一53一

と が 必 要 で あ る 。

今 後 は,円 形 の都 市圏 に 比 較 優位 性 を導 人 した場 合の 都 市規 模 の 格 差 や, 都 市圏 の形 状 が 円 で は な く モ角 形 や 四 角 形 を は じめ 多 角 形 の場 合 な どに つ い て も同 様 な 分 析 を す る必 要が あ り,こ れ らの分 析 結 果 と現 状 と の 整 合性 を 考 察 しな けれ ば な ら な い。

〔追 記 〕

本 論 文 は,第21回 応 川 地 域 学 会(ARSC)(2007年,12月8fl(土),鳥 取 県 立 県民 文 化 会 館)に お い て 発 表 され た もの で あ り,討 論 者 で あ る麻 生 憲 一 先 生 (奈 良 県 立大 学)か らr+T;な コ メ ン トを 頂 い た こ と に謝 意 を 表す る次 第 で あ る。

参考文献

・松 信 『現 代 に 活 か す 初 等 幾 何 人 門 』 岩 波薩韮}店,2003年 岩 川 至 康 『幾 何 学 大 辞 典(補 巻H)』 槙 巳藍}1̀11,1993年

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一54 3U