ランダムウォーク , 自己回帰モデル , 時系列解析

(1)

ランダムウォーク, 自己回帰モデル, 時系列解析

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆実習B L08(2018-06-12 Tue)

最終更新: Time-stamp: ”2018-06-12 Tue 19:22 JST hig”

今日の目標

ランダムウォークの座標の母平均値,^母分散が求められる

自己回帰モデルの座標の母平均値,^{母分散が厳} 密に求められる

(2)

連続型確率変数の擬似乱数

L07-Q1

Quiz解答:大きな転置推移確率行列をかける関数

ソースコード 1: 大きな転置推移確率行列をかける関数

1 i n t m u l t i p l y t r a n s (d o u b l e q [ ] , d o u b l e p [ ] ,i n t m){

2 i n t x ;

3 q [ 0 ] = 7 . 0 / 1 0∗p [ 0 ] + 2 . 0 / 1 0∗p [ 0 + 1 ] ;

4 f o r( x =1; x<m−1; x++){

5 q [ x ] = 3 . 0 / 1 0∗p [ x−1]+5.0/10∗p [ x ] + 2 . 0 / 1 0∗p [ x ] ;

6 }

7 q [ m−1]=3.0/10∗p [ m−2]+8.0/10∗p [ m−1 ] ;

8 r e t u r n 0 ;

9 }

L07-Q2

Quiz^解答:^一様分布

1 E[1] = 1 ^より,C = _b−a¹ .

2 E[X] = ^a+b₂ .

3 √

V[X] = √^b⁻^a

12 ≃ ^b_3.5⁻^a.

(3)

ランダムウォーク,自己回帰モデル,時系列解析 (連続型)ランダムウォークの座標の母平均値と母分散

ここまで来たよ

7 連続型確率変数の擬似乱数

8 ランダムウォーク,^{自己回帰モデル},^{時系列解析}

(連続型)ランダムウォークの座標の母平均値と母分散自己回帰モデル

(4)

(連続型)ランダムウォーク I

(連続型)ランダムウォークの定義

ランダムウォークの座標 X(t): 次で決まる確率変数. t=a, a+ 1, . . . R(t): ^{独立同分布に従う}(^連続型)^確率変数. t=a+ 1, a+ 2, . . .

X(t) =X(t−1) +R(t), 初期条件P(X(a) =b) = 1 日本語で言うと,

x軸上を移動するランダムウォーカーを考える

ウォーカーは,^時刻 t=a^に,x=b ^{から出発する}(^確率が1^である) ウォーカーは各時刻に,^確率変数R(t) ^{だけ移動する}

連続型 R(t) の例 R(t)∼U(c, d),

E[R(t)] =µ= ^c+d₂ ,V[R(t)] =σ² = ^(d⁻₁₂^c)²

(5)

X(T) : 時刻T のランダムウォーカーの座標(を確率変数とみたもの) (X(0), X(1), X(2), . . . , X(T)): パス (path) (を確率変数とみたもの) 連続座標ランダムウォーク

離散座標ランダムウォーク,初期条件 X(0) = 0 初期条件 X(6) =−5

(6)

ランダムウォークの座標の母平均値と母分散確率統計☆演習I(2017)L06

X(t) =X(t−1) +R(t)

=(X(t−2) +R(t−1)) +R(t)

=· · ·=X(a) +R(a+ 1) +· · ·+R(t) 連続/離散型ランダムウォークの母平均値/母分散 E[R(t)] =µ,V[R(t)] =σ² ^のとき,

E[X(T)] =E[X(a) +R(a+ 1) +· · ·+R(T)] =b+ (T −a)µ (E[]の性質), V[X(T)] =V[X(a) +R(a+ 1) +· · ·+R(T)]

=V[R(a+ 1) +· · ·+R(T)] (X(a) =b^は定数)

=(T−a)σ² (R(t)は互いに独立)

a=b= 0 ^{という簡単な場合},X(t) ^{の母平均値},^母分散はt^{に正比例する}.

(7)

X(t)の母標準偏差=√

V[X(T)] =

自分で書いてね

ってことは,ランダムウォークの座標の確率分布の時間変化はこんな感じ?

(8)

L08-Q1

Quiz(ランダムウォーカーの到達点の座標の母平均・母分散) 時刻 t= 3 に,x= 5 から出発するランダムウォークの座標X(t) を考える.

時刻ごとに,時刻 1 あたりの座標の増分R(t)は E[R(t)] =−3,V[R(t)] = 5

を満たす確率変数である. 時刻ごとの増分は独立である.

1 X(20)^{の母平均値を求めよう}.

2 X(20)の母分散を求めよう.

3 この母平均値と母分散を持つ正規分布の確率密度関数f(x) を書こう.

(9)

中心極限定理西川確率統計§4.2 確率統計☆演習I(2017)L10

中心極限定理(いいかげんバージョン) X₁, . . . , X_n が母平均値µ,母分散 σ² の独立同分布に従うとき,n→+∞ ^で

Un=X1+· · ·+Xn,^{の確率分布は}, の

正規分布

N(nµ, nσ

²

)

に似るランダムウォークの場合.

n→t,X_i →R(i). U_n→X(n) と思って適用できる.

問: さっきのランダムウォークの X(20) ^の確率分布を描いて.

(10)

ランダムウォーク,自己回帰モデル,時系列解析自己回帰モデル

ここまで来たよ

7 連続型確率変数の擬似乱数

8 ランダムウォーク,^{自己回帰モデル},^{時系列解析}

(連続型)ランダムウォークの座標の母平均値と母分散自己回帰モデル

(11)

m次の自己回帰モデル=ARモデル Auto Regression

m次の自己回帰モデル AR(m) X(t): 連続型確率変数,t= 0,1,2,3, . . .

X(t) =

∑m

k=1

akX(t−k) +R(t)

ただし,R(t) ^{は同分布にしたがい}, E[R(t)] =0,

E[R(t)R(s)] =σ²×δ_t,s=σ²× {

1 (t=s) 0 (他) , E[R(t)X(s)] =0 (t > s)

(12)

自己回帰モデルで記述できそうな現象の例

t=日,X(t) =気温の,平年平均気温との差,0< ϕ <1.

t=^シーズン,X(t) =^{タイガースの勝率の}5^割との差,−1< ϕ <0.

E[R] = 0^{なランダムウォーク}⊂AR(1) ⊂^{自己回帰モデル} ⊂^時系列

(13)

独立と共分散

E[AB] = 0の意味

‘^{偏りがない}’^とき,^つまり E[A] = 0or E[B] = 0^のとき,^共分散 Cov[A, B] = E[AB].

独立ならば共分散ゼロ

Cov[A, B] = E[(A−µ_A)(B−µ_B)] = E[AB]−E[A]E[B]^独立= E[A]E[B]−E[A]E[B] = 0

よって,E[AB] = 0は,独立の必要条件(独立よりちょっとだけ弱い条件,

‘2次までは独立’)

(14)

AR(1)モデルとランダムウォーク

AR(1) a₁=ϕ(一般の値).

1 f o r( t ){/∗AR ( 1 )∗/

2 x=p h i∗x+g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

3 }

AR(1)で ϕ= 1 で,R(t) が独立とすると,ランダムウォークで E[R] = 0 であるもの実現できる.

1 f o r( t ){/∗^{ランダムウォーク}∗/

2 x=x+g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

3 }

ϕ= 0.9,σ= 1 ϕ=−0.9,σ = 1

(15)

L08-Q2

Quiz(AR(1)モデルの例)

AR(1)モデルで,出発点を X(0) = 100.0 とする. 得られた乱数の値を, R(1) = 15.0, R(2) =−8.0^とする. X(1), X(2) ^を,3^つの場合

ϕ= 1.0,0.9,−0.9について求めよう.

(16)

定常過程

定常過程

確率過程 X(t)が

E[X(t)]^がt^{によらない}

E[X(t)X(s)]^が差 t−s^{だけにより},t ^{によらない} であるとき,定常過程という.

要するに

自分の言葉でどうぞ

ある極限,たとえば t→ ∞のみで定常過程であることはある. ランダムウォークは定常過程

ではない

一般に, AR(m)モデルが定常かどうかは a_k による.

(17)

母自己共分散, 母自己相関係数

母自己共分散, 母自己相関係数 µ= E[X(t)].

k 次の母自己共分散C(k) = E[(X(t)−µ)(X(t+k)−µ)]

k= 0 ^{次の母自己共分散}C(0) = E[(X(t)−µ)²]=^{ふつうの分散}. k 次の母自己相関係数r(k) = ^C(k)_C(0).

k^をラグ lag^という

横軸ラグk,^{縦軸自己相関係数}r(k)^{の棒グラフを} ^{コレログラムという}.

(18)

AR(1)モデルの自己共分散

X(t) =ϕX(t−1) +R(t)

=ϕ(ϕX(t−2) +R(t−1)) +R(t)

=· · ·=ϕ^tX(0) +ϕ^t−1R(1) +· · ·ϕR(t−1) +R(t).

E[X(t)] =ϕ^tE[X(0)]. (初期条件の影響は…)

以下E[X(t)] = 0と仮定.

E[X(t)X(t+k)] =E[(ϕ^tX(0) +ϕ^t−1R(1) +· · ·ϕR(t−1) +R(t))

×(ϕ^t+kX(0) +ϕ^t+k−1R(1) +· · ·+ϕ^k+1R(t−1) +ϕ^kR(t) +· · ·+R(t+k))]

展開すると対角項E[R(t^′)R(t^′)]しか残らない

=ϕ^2t+kE[X(0)X(0)] + (ϕ^2t+k−2+ϕ^2t+k−4+· · ·ϕ^k)σ²

t→∞→







ϕ^kσ²

1−ϕ² (|ϕ|<1)

(C+tσ²のように発散) (|ϕ|= 1) (tより速く発散) (|ϕ|>1)

(19)

AR(1)モデルの母自己相関係数

E[X(t)X(t)] =ϕ^2tE[X(0)X(0)] + (ϕ^2t−2+ϕ^2t−4+· · ·+ϕ⁰)σ². k次の母自己相関係数r(k) = E[X(t)X(t+k)]

E[X(t)X(t)] =ϕ^k. t-X(t)グラフの例とk-r(k)グラフ(コレログラム)

ϕ= 0.9,σ= 1 ϕ=−0.9,σ= 1

ϕ= 0.2,σ= 1 ϕ= 0.2,σ= 3

(20)

定常な確率過程に対する母ナントカと標本ナントカ 定常過程については, 1個の時系列データを,一定の長さに分割して複数個のデータからなる標本のように扱ってよい.

横:t^縦:^{標本内のデータ番号}. 標本自己相関係数を求めるとき

本当はこういう標本が欲しい

定常ならこれでもいいじゃん

Excel^{的にはこうやると楽}

(21)

お知らせ

提出場所

https://learn.math.

ryukoku.ac.jp/moodle

モバイルアプリ https://download.

moodle.org/mobile

通信量を抑えられるスキャナアプリ. ^おすすめ: CamScanner on iOS/Android

https://www.camscanner.

com/

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