電磁気学 (2007年度 後期)試験問題 18.01.08
以下で，表記A~= (Ax, Ay, Az)は空間に固定したある直交直線座標系O-xyz に対するベクトルA~ のx，y，z 成分が それぞれ Ax，Ay，Az であることを意味する。また，真空の誘電率をε0，真空の透磁率をµ0 とする。
【1】右の図に示すような1辺の長さが2` である正方形上の3つの点をA, B, Dとする。ただし，点Dは正方形の中心にあり，長さ2`の線分CDは正 方形を含む面と直交している。頂点Aには電気量 qの点電荷を置き，頂 点Bには電気量 2qの点電荷を置き，頂点Cには 電気量−3qの点電荷を 置く。このとき，以下の問に答えなさい。ベクトルの各成分を答える際に
は，どのように座標系をとったかを明記すること。 A B
C
D
2ℓ q 2ℓ
3q
−
2q 2ℓ
(1)点Aにある点電荷の受ける力の x，y，z 成分をそれぞれ求めなさい。
(2)点D の位置での電場のx，y，z成分をそれぞれ求めなさい。
(3) この3つの点電荷の配置が持つ静電エネルギーを求めなさい。
【2】原点を中心とする半径 R の球内に次の電荷密度ρ(~r)に 従って電荷が分布している；
ρ(~r) =
ρ0 (1−r/R) ; 0≤r < R
0 ; R < r
だだしρ0は定数, r=|~r|=p
x2+y2+z2 である。
このとき
(1)この球の内部に含まれる全電荷を求めなさい。
(2)この電荷分布が位置 (2R,0,0) に作る電場の
x，y，z 成分をそれぞれ求めなさい。
【3】位置~r= (x, y, z)の電流密度が~i(~r) =i0
³
2xyz ,−1−2y2z ,2 +yz2
´
，で表される定常電流が流れている。
(i0 は定数)このとき
(1) x-y 平面上にある原点を中心とする半径aの円形の面を単位時間に横切る電荷の量を求めなさい。ただ し正の電荷がz軸の正の向きに面を横切る場合を正と数える。
(2) z-x平面上にある原点を中心とする半径aの円形の面を単位時間に横切る電荷の量を求めなさい。ただ し正の電荷がy軸の正の向きに面を横切る場合を正と数える。
【4】質量 m，正の電荷q(>0) を持つ質点が，一様な磁束密度B~ = (0,0, B)の中を運動する。(B >0は定数。) 時刻t= 0での質点の位置は~r(0) = (0, 0, 0)，速度は~v(0) = (v0,2v0, 0) であった。(v0は定数)このとき (1) 任意の時刻t の質点の位置ベクトル~r(t)と速度ベクトル~v(t)を求めなさい。
(2) 質点が原点から最も離れた時の原点から質点までの距離を求めなさい。
【5】右の図に示すように，z軸に平行な2本の直線導線が位置(0,−`,0)と(0,3`,0) に置かれている。導線にはどちらもz軸の正の向きに定常電流I が流れている。
このときz軸上の点 (0,0, z) での磁束密度B(0,~ 0, z)の x，y，z 成分をそれぞ れ求めなさい。
y x
z
I I
ℓ 3ℓ
