高等学校
平 成14年 度
教 育 研 究 員 研 究 報 告 書
匝
東 京 都 教 職 員 研 修 セ ン タ ー
平成14年 度
教育研 究員(数 学)名 簿
分科会 研 究 テ ー マ 学 校 名 氏 名
2次 関数 にお ける関数概念 の形成 お 都 立世 田谷 工業高等学校 ◎川 島 香
1 よび理解 を深 める指導 都 立小金井北高等学校 澤 直 樹
都 立田無工業高等学校 宇佐美 俊 哉
数 え 上 げ る 作 業 を 通 して 、 順 列 ・組 都立足立西高等学校 安 藤 直 美
皿 合 せ の 区 別 が 明 確 に で き る 力 を 培 う 都立足立工業高等学校 ○島 村 昇
指導 都立向島商業高等学校 三 浦 秀 行
表 計 算 ソ フ トを 用 い て 、 「定 積 分 と 都立中野工業高等学校 清 水 賢 二
皿 面積 の関係」 の理解 を深 める指導 都立竹早高等学校 松 本 幸 博
都立府中東高等学校 加 藤 義 彦
◎ 世話人
(担当)東 京都教職員研修セ ンター 指導主事
○ 副世話人
江 本 敏 男
目 次
主題 基 礎 ・基 本 の確 実 な 定 着 を図 り、 自 ら学 ぶ 意 欲 を育 て る 教 材 ・指 導 方 法 及 び評 価 の 工夫
1主 題 設 定 の 理 由 2
II2次 関 数 に お け る 関 数 概 念 の 形 成 お よ び 理 解 を 深 め る 指 導
1 2 3 4 5 6 7
研 究 の ね ら い
関数 につ いての意識調査 結果 指 導 方 法 ・教 材 の 工 夫
評価方 法 の工夫 学習指 導計画 検 証 授 業 に つ い て ま と め
3 3 5 6 6 9 0 1
皿 数 え 上 げ る 作 業 を 通 して 、 順 列 ・組 合 せ の 区 別 が 明 確 に で き る 力 を 培 う指 導
1 2 3 4 5
研 究のね らい 研 究 の方法 指 導計 画
ア ン ケ ー ト調 査 の 結 果 と 分 析 ま と め と 今 後 の 課 題
11 11 11 15 18
IV表 計 算 ソ フ ト を 用 い て 、 「定 積 分 と 面 積 の 関 係 」 の 理 解 を 深 め る 指 導
1 2 3 4 5
研 究のね らい 教材 の工夫 学 習指導 計画
ア ン ケ ー ト調 査 の 結 果 と 分 析 ま と め と 今 後 の 課 題
19 19 2a 23 24
]
1主 題 設定 の理 由
現 在 、 都 立 高 等 学 校 で は 、 各 学 校 の 個 性 化 ・特 色 化 を 推 進 して い る 。 学 習 指 導 要 領 の 趣 旨 を 踏 ま え 、 生 徒 一 人 一 人 の 個 性 を 生 か し 、 畠生 き る 力 」 の 育 成 に 取 り組 ん で い る と こ ろ で あ り 、 基 礎 ・基 本 を 確 実 に 定 着 させ 、 興 味 ・関 心 ・意 欲 を 高 め 、 学 ぶ こ と の 楽 し さ や 充 実 感 を 感 得 で き る 充 実 し た 教 育 活 動 を 展 開 す る こ とが 求 め ら れ て い る。
平 成11年3月 告 示 の 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 で は 、 数 学 の 目標 と して 、 「数 学 に お け る 基 本 的 な 概 念 や 原 理 ・法 則 の 理 解 を 深 め 、 事 象 を 数 学 的 に 考 察 し処 理 す る 能 力 を 高 め 、 数 学 的 活 動 を 通 し て 、 創 造 性 の 基 礎 を 培 う と と も に 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を認 識 し 、 そ れ
ら を 積 極 的 に 活 用 す る 態 度 を 育 て る 。」 と い う こ と が 示 さ れ た 。
数 学 教 育 が 直 面 し て い る 課 題 と して 、算 数 ・数 学 に 対 す る 知 識 は あ る が 関 心 ・意 欲 が 低 い 、 い わ ゆ る 「数 学 嫌 い 」や 学 力 低 下 問 題 な どが あ げ られ る 。 こ れ ら の 課 題 を解 決 す る た め に は 、 今 ま で の 知 識 伝 達 型 中 心 の 授 業 方 法 を 改 善 し、 数 学 を 学 ぶ 楽 し さ 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 感 じ させ 、 興 味 ・関 心 ・意 欲 を よ り一 層 高 め る こ と が 大 切 で あ る 。 さ ら に 、 そ の 興 味
・関 心 ・意 欲 を 基 に、 具 体 的 な 事 象 を 題 材 とす る こ と に よ り、 生 徒 に と っ て 数 学 を 身 近 な も の に 感 じ させ 、 自 ら課 題 を 設 定 しそ れ を 解 明 し て い こ う とす る 態 度 を 育 て る 工 夫 が 必 要 で あ る 。 こ の よ うな 指 導 を 通 じ て 、 単 に 数 学 を 知 識 と して 覚 え る の で は な く 、 数 学 の 文 化 や 社 会 生 活 に 果 た して い る 役 割 を 認 識 し、 客 観 的 ・論 理 的 に 考 え る カ や 創 造 性 の 基 礎 を 培 う こ と が で き る。
す な わ ち 、 生 徒 が 自 ら 目標 を も っ て 考 え 、 「ゆ と り」 あ る 「数 学 的 活 動 」 を 通 し て 、 「学 ぶ こ と の 楽 し さや 充 実 感 」 を 味 わ い 、 数 学 の 学 習 の 意 義 が 理 解 で き る授 業 を 展 開 し、 数 学 科 の 目標 を 達 成 す る こ と が 重 要 と な る。
こ の よ う な 状 況 を 踏 ま え 、 平 成14年 度 の 教 育 研 究 員 数 学 部 会 で は 、 研 究 主 題 を 「基 礎 ・ 基 本 の 確 実 な 定 着 を 図 り、 自 ら 学 ぶ 意 欲 を 育 て る 教 材 ・指 導 方 法 及 び 評 価 の 工 夫 」 と した 。
ま た 、 研 究 を 進 め る に あ た り 以 下 の 点 に っ い て 配 慮 し た 。
(1)基 礎 ・基 本 の 徹 底 を 図 り 、 生 徒 が 意 欲 を も て る 分 か り や す い 授 業 を 実 施 す る。
(2)身 近 な 事 象 を 題 材 とす る こ と に よ り、 関 心 ・意 欲 を 喚 起 し、 数 学 の 有 用 性 を 感 得 す る 。 (3)体 験 的 活 動 を 取 り入 れ 、 自 ら 学 ぶ 意 欲 を 高 め る 。
(4)コ ン ピ ュ ー タ を 道 具 と し て 使 用 し 、 そ の 有 用 性 を 認 識 さ せ 情 報 活 用 能 力 を 高 め る 。
○ 各 分 科 会 研 究 テ ー マ
第1分 科会
2次 関 数 にお け る関数 概 念 の形成お よび理解 を深
める指導
第II分 科 会
数 え 上 げ る作 業 を 通 して 順 列 ・組 合 せ の 区 別 が 明 確 に で き る カ を 培 う指 導
第m分 科 会
表 計 算 ソ フ トを 用 い て 、
「定 積 分 と面 積 の 関 係 」 の 理 解 を深 め る指 導
一2一
II2次 関 数 に お け る 関 数概 念 の 形 成 お よび 理 解 を深 め る指 導
1研 究 の ね ら い
現 行 の 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 の 数 学1の2次 関 数 で は 、 中 学 校 で 学 ん で き た 関 数 を 基 礎 と し 、 関 数 の 定 義 、1次 関 数 の 復 習 、 用 語 の 確 認 な ど を 行 い 、2次 関 数y=ax2の グ ラ フ か ら 一 般 の2次 関 数 の グ ラ フ へ と 進 ん で い く 。 こ の2次 関 数 の 学 習 の 中 で 、 関 数 を 身 近 な 事 例 と 結 び 付 け て 考 え よ う とす る 関 心 ・意 欲 や 、 変 化 す る 事 象 の 規 則 を と ら え て 数 理 的 に 考 察 し よ う
と す る 態 度 が 足 り な い と 、 グ ラ フ(座 標 上 の 図 形)を か く こ と に 終 始 し て し ま い 、 関 数 と は 何 か を 十 分 に 理 解 で き な い こ と が 考 え ら れ る 。関 数 概 念 を 十 分 に 定 着 さ せ る た め に は 、集 合 、 変 数 、 対 応 、 変 化 の 割 合 、 座 標 な ど を 統 合 的 に 理 解 す る 必 要 が あ り 、 こ の 統 合 的 な 理 解 の 難
し さ が 、 多 く の 関 数 を 苦 手 と す る 生 徒 を 生 み 出 す 要 因 と な る 。
現 行 の 小 学 校 ・中 学 校 学 習 指 導 要 領 で は 、 小 学 校 高 学 年 か ら 関 数 関 係 を 表 、 グ ラ フ 、 式 に 表 し て 考 え る こ と を 指 導 し 、 中 学1年 で 比 例 ・反 比 例 と 座 標 、 中 学2年 で1次 関 数 と 変 化 の 割 合 、 中 学 校3年 で2次 関 数y=QX2を 指 導 す る よ う示 さ れ て い る 。 ま た 、 変 数 や 変 域 は 、 中 学1年 で 指 導 さ れ 、 中 学2、3年 で も 適 宜 指 導 す る こ と に な っ て い る 。 そ し て 、 具 体 的 な 事 象 を 通 し て1次 関 数 や2次 関 数 ア=axeを 理 解 す る と 示 さ れ て い る が 、 こ の 研 究 の た め に 実 施 し た 関 数 に つ い て の ア ン ケ ー ト調 査 で は 、 身 近 な 事 象 か ら 関 数 を と ら え る こ と が で き る 生 徒 は 少 な い こ と が わ か っ た 。 こ の 様 な 状 況 か ら 、 高 校 入 学 ま で に 学 ぶ べ き 関 数 概 念 の 定 着 は 十 分 と は い え な い 。
2次 関 数 の 増 加 ・減 少 を も と に 、 最 大 値 ・最 小 値 を 求 め た り 、2次 関 数 の グ ラ フ とx軸 と の 共 有 点 か ら2次 方 程 式 の 解 を 調 べ る な ど 、 関 数 を 活 用 す る 学 習 に お い て は 、 基 本 と な る 関 数 概 念 の 定 着 は 重 要 で あ る 。 し か し 、 関 数 の 用 語 を 正 し く 理 解 し て い な い 生 徒 に と っ て は 、 関 数 概 念 を 形 成 す る こ と が 困 難 で あ る 。 よ っ て 、 高 校 で は 、 中 学 校 ま で の 関 数 概 念 と 用 語 を き ち ん と ま と め て 、関 数 の 指 導 に 取 り組 み た い 。 そ の 上 で 、適 宜 、具 体 的 な 事 象 を 体 験 さ せ 、 関 数 関 係 を 考 察 す る こ と に よ り 理 解 を 深 め る こ と も 大 切 で あ る 。 そ の た め に は 、 生 徒 が 自 ら 学 び 意 欲 的 に 取 り組 め る 学 習 活 動 を 通 し て 関 数 概 念 を 身 に 付 け させ る 必 要 が あ る と 考 え 、 教 材 の 開 発 を 中 心 に 本 研 究 を 行 っ た 。
2関 数 に つ い て の 意 臓 調 査 結 果
生 徒 の 関 数 に つ い て の 実 態 を 把 握 す る た め 、 都 立 高 校 全 日制 普 通 科3校 ・全 日 制 工 業 科3校 3)第1学 年 で 、 ア ン ケ ー ト調 査 を 実 施 し 、 有 効 回 答 数 は426名 で あ っ た 。
1中 学 で 学 ん だ 数 学 の 単 元 の 中 で 、 『 数 は 好 き で す か?ま た 、ど ん な と こ ろ か ら そ う 感 じ ますか?
嫌 し 89%
好 き
11% 好 き な 理 由 ・
'解 け る と 楽 し い ・達 成 感 が あ る
'計 算 が 面 白 い ・グ ラ フ を か く の が 好 き
● 様 々 な 応 用 が で き る ・図 形 に 比 べ て 簡 単
● 他 の 単 元 よ り も 分 か りや す い な ど
i
一3一
一一 嫌 い な 理 由 …
・ 難 し い
。 グ ラ フ が 難 し い
・ 分 か ら な い
・数 学 が 苦 手
・ グ ラ フ が か け な い
・覚 え る の が 大 変
・計 算 が 難 し い ・計 算 が 面 倒
。応 用 が 難 し い ・複 雑
○生 活 す る 上 で 役 に た た な い な ど
「
2関 数 の意 味 を理 して いま す か?
し瑞ま9
い い え 27%
どち らか とい う といい え
3眺
どち らか とい う とは い
26%
3身 近 な場 面 で感 じ られ る関 数 関係 の 具 体例 を挙 げて くだ さ い。
回 答 率 は41%(特 に な し を 除 い た 回 答 率37%)で あ り 、 関 数 の 意 味 を 理 解 で き て い る と 思
セ
う割 合 と ほ ぼ 一 致 す る 。 具 体 例 は 、 時 間 と 水 の 変 化 量 、 時 間 と 距 離 、 距 離 と 料 金 、 物 体 の 落 ち る 速 度 と 時 間 を あ げ る 生 徒 が 大 半 を 占 め た 。
・ 時 間 と 水 の 変 化 量(風 呂 ・水 槽 な ど)
● 携 帯 電 話 の 通 話 時 間 と料 金
。 温 度 の 変 化 '物 の 数 と値 段
。 株 の 上 が り 下 が り
● 電 車 の 運 賃 と 距 離 '距 離 と料 金
'物 体 の 落 ち る 時 間 と 速 度
● 季 節 と気 温
'荷 物 を 運 ぶ 時 の 重 さ と 値 段
'時 間 と 走 行 距 離 .消 費 税 の 計 算
'走 行 距 離 とガ ソ リンの 減 る
○ 物 を 投 げ る と き
・ 電 車 の ダ イ ヤ な
4 関 数 』 に つ い て 説 明 し て 下 さ い 。
回 答 率 は 約67%で あ り 、 関 数 を 式 や グ ラ フ で と ら え る 生 徒 が 多 い 。
。y=ax
,y=ax+b,y=axeな ど の 式OYがxで 表 さ れ る 式
'xが 増 加 す る に と も な い ア も 変 化 す る 。 放 物 線
● 直 線exと ア が 入 っ て い る
'直 線 ま た は 曲 線 の グ ラ '比 例
'式 や 割 合 の 関 係 な
Q51次 関 数v=ax+bの 特 徴 を2つ 以 上 挙 げ て く だ さ い 。
回 答 率 は 約57%で あ り 、 グ ラ フ の 特 徴 を 書 い た 生 徒 が ほ と ん ど で あ る 。
● グ ラ フ が 直 線 ● 変 化 の 割 合 は 常 に 一 定
。 値 力宝ひ と つ'原 点 を 通 る
'a>0の と き グ ラ フ は 右 上 が り、Q<0の と き グ ラ フ は 右 下 が り
●a一 傾 きb‑y切 片 '原 点 を 通 ら な い
な ど
lQ62次 関 数v=axeの 特 徴 を2つ 以 上 挙 げ て く だ さ い 。
回 答 率 は 約63%で あ り 、 グ ラ フ の 特 徴 を 書 い た 生 徒 が ほ と ん ど で あ る 。
一4一
● グ ラ フ が 放 物 線
'変 化 の 割 合 は 一 定 で な い '原 点 を 通 る
'計 算 が 多 い な ど
●yはxの2乗 に 比 例 す る 。 左 右 対 称
'y軸 に つ い て 対 称'2乗 で あ る
。aが 変 わ る と 式 も 変 わ る'値 が2つ
●a>0の と き グ ラ フ は 下 に 凸、aく0の と き グ ラ フ は 上 に 凸
今 回 の ア ン ケ ー ト調 査 か ら 、 関 数 は 生 徒 が 苦 手 と す る 単 元 で あ る こ と が わ か っ た 。 数 学 自 体 I」嫌 い と い う理 由 も あ る が 、計 算 や グ ラ フ が 難 しい こ とや 応 用 が 難 し い こ と を理 由 と して い る。
≧次 関 数 を 式 の 計 算 や グ ラ フ と し て と ら え る こ と は 、 あ る 程 度 で き て い る が 、 具 体 的 な 事 象 と )結 び つ き や 用 語 の 定 着 に つ い て は 十 分 で な い こ と が わ か っ た 。
i指 導 方 法 ・教 材 の 工 夫
数 学1「2次 関 数 」 の 導 入 部 分 に 焦 点 を あ て 、 生 徒 が 意 欲 的 に 学 習 に 取 り組 み 、 関 数 概 念 を 身 に 付 け る 教 材 と し て 、 物 体 の 運 動 を 題 材 と し た 実 験 を 授 業 に 取 り 入 れ た 。
具 体 的 に は 、 距 離 セ ン サ ー か ら グ ラ フ 電 卓 に デ ー タ を 転 送 し 、 グ ラ フ 化 す る 実 験 と 、 ビ デ オ カ メ ラ で 撮 影 し た 画 像 か ら デ ー タ を 読 み 取 り 、 パ ソ コ ン に 入 力 し 、 表 計 算 ソ フ トを 用 い て グ ラ フ 化 す る と い う2通 り の 実 験 を 行 っ た 。 こ れ ら の 実 験 を 行 う に あ た り 、 次 の 指 導 を 重 視 し た 。
① … 「変 化 す る2っ の 量(時 間 と 距 離)を み っ け 、 そ れ ら をx,Yの 文 字 に お く こ と に よ り 、 xが 決 ま る とvが 一 意 的 に 決 ま る と い う対 応 が 関 数 で あ る 」 こ と を 実 感 す る 。
② … 同 じ 物 体 で も 重 力 に 対 す る 運 動 の 方 向 な ど に よ り 、 変 化 の 割 合 が 一 定 で な い こ と に 気 付 き 、 そ の グ ラ フ か ら1次 関 数 と2次 関 数 に つ い て 学 習 す る 。
③ …1次 関 数 に つ い て は 、 そ の 式 に つ い て 調 べ る 。
④ …2次 関 数 に つ い て は 、 関 数 グ ラ フ ィ ッ ク ソ フ トや 表 計 算 ソ フ トな ど を 利 用 し て 、 そ の グ ラ フ の 表 す 式 が2次 式 に な っ て い る こ と を 理 解 す る 。
指 導 方 法 ・教 材 の 工 夫 と し て 、 次 の 点 に 留 意 し た 。
① … 生 徒 が 意 欲 的 に 取 り組 め る よ う に 、 ワ ー ク シ ー ト に 工 夫 を 図 る 。
② … 実 験 の 考 察 の 際 に 、 少 人 数 の 班 に 分 か れ て 話 し 合 う。
③ … ま と め で は 、 工 夫 し た 方 法 で 班 ご と に 発 表 す る 。
④ … パ ソ コ ン の 利 用 法 に つ い て は 、 授 業 時 間 の ほ と ん ど が パ ソ コ ン を 操 作 す る 実 習 に な ら な い よ う に 配 慮 し 、 必 要 な と き に 活 用 で き る よ う次 の3つ の 方 法 で 工 夫 す る 。
・プ レ ゼ ン テ ー シ ョ ン ソ フ トの 活 用 な ど 導 入 部 分 で 利 用 す る 方 法
・実 験 デ ー タ の 読 み 取 り(FLASHMXを 利 用)や 、 表 か ら の グ ラ フ 表 示(EXCELを 利 用)な ど の 使 用 目 的 を 明 確 に し て 、 道 具 と し て 利 用 す る 方 法
・関 数 グ ラ フ ィ ッ ク ソ フ ト を 用 い た シ ミ ュ レ ー シ ョ ン な ど
、 教 材 の 提 示 に 利 用 す る 方 法
⑤ … ④ で 述 べ た3つ の パ ソ コ ン の 使 用 法 が 生 か さ れ る よ う に 、 パ ソ コ ン を 活 用 す る 教 材 作 成 に 工 夫 を す る 。
こ の よ う な 指 導 方 法 と 教 材 の 工 夫 が 、 一 層 関 数 概 念 へ の 理 解 と 定 着 に 結 び つ く も の と考 え た 。
j一
4評 価 方 法 の 工 夫
評 価 方 法 に つ い て は 、 評 価 の4観 点(① 数 学 へ の 関 心 ・意 欲 ・態 度 、 ② 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 、③ 数 学 的 な 表 現 ・処 理 、④ 数 量 、図形 な どに っ い て の 知 識 ・理解)を 踏 ま え て 、関数 の 意 味(4 時 間)と い う学 習 の ま とま りで評 価 規 準 を作 成 した。本 単 元 で の 内 容 及 び 生 徒 の 実 態 を踏 ま え、 関 心 ・意 欲 を高 め 、数 学 的 な 見方 や 考 え 方 を 引 き 出せ る こ とを 中 心 に 、評 価 の 工 夫 を 行 って み た。 そ の 際 、観 点 間 の バ ラ ン ス に 配 慮 し、授 業 時 間 ご との 具 体 的 な評 価 規 準 に 細 分 化 した。実 際 の 授 業 で は 、1時 間 の 中 で4 観 点 す べ て を 見 る こ とは難 し く、評 価 の ポ イ ン トを1時 間 ご とに2〜3観 点 に しぼ っ た。 また 、指 導 案 に 示 した 評 価 規 準 は 、 授 業 中の 場 面 を想 定 して 、 生 徒 の 実 際 の行 動 を イ メ ー ジ しな が ら作成 した 。
5学 習指 導計 画
関 数 の 意 味 関 数 の 定 義 、1次 関 数 の 具 体 例
2次 関 数 の 定 義 、 実 験 ・シ ミ ュ レー シ ョ ン 4時 間
y=axeの グ ラ フ y=x'一 の グ ラ フ 、 ア ニax'一 の グ ラ フ の 特 徴 1時 間
Y=axZの グ ラ フ の
平 行 移 動
Y;axe十4の グ ラ フ 、y=Q(x‑P)2の グ ラ フ Y=R(x‑P)z十9の グ ラ フ
3時 間
y=axe十bx十cの グ ラ フ 平 方 完 成 の 計 算 、 ア=axe+bx+cの グ ラ フ 3時 間
2次 関 数 の 最 大 ・ 最 小
2次 関 数 の 増 加 ・減 少 、 最 大 値 ・最 小 値 限 ら れ た 変 域 で の 最 大 値 ・最 小 値
シ ミ ュ レ ー シ ョ ン
4時 間 2次 関 数 の グ ラ フ と
2次 方 程 式
2次 関 数 の グ ラ フ とx軸 と の 共 有 点
2次 方 程 式 の 解 の 個 数 2時 間
(1)学 習 指 導 案 【学 習 指 導 計 画 「関 数 の 意 味 」 の 目標 】
① 具 体 的 な 事 象 の な か で 、 変 化 す る2っ の 量 を み っ け 、 こ れ ら の 関 係 を 調 べ る こ と に よ り 、 関 数 が 「変 化 す る 現 象 の 規 則 を つ か む こ と 」 に 気 付 く 。
② 中 学 校 で 学 習 し た 関 数 の 用 語 や 、1次 関 数 の 復 習 を 行 う。
③ 関 数 を グ ラ フ ・式 ・表 を 用 い て 表 現 で き る 。
④2次 関 数 を 定 義 す る 。
(2)評 価 規 準 【学 習 指 導 計 画 「関 数 の 意 味 」 の 評 価 規 準 】
数 学 へ の 関 心 ・意 欲 ・態 度 数学的 な見方や考 え方 数 学 的 な 表 現 ・処 理 数 量 、図形 な ど に つ い て 【 知 識 ・理 解
① 実 験 ・観 測 を 行 う場 ① 時 間 と 距 離 の2つ の ①1次 関 数 を 表 す 身 近 ① 関 数 に お け る 戸 面 や 、 生 活 に お け る 変 量 の 間 で 、 数 量 関 な 事 象 を グ ラ フ 、 式 語 な ど の 基 本 三 事 象 に 対 し て 、 伴 っ 係 を 見 い だ せ る 。 を 用 い て 表 現 で き 項 を 理 解 す る 。
て 変 わ る2つ の 数 量 ② 具体的 な事象 の 中か る 。 ② 関 数 の 意 味 を 玉
関 係 に 興 味 ・関 心 を ら 変 化 や 対 応 の 様 子 ②1次 関 数 の グ ラ フ か 解 す る 。
も つ 。 に 着 目 し て 、 関 数 関 ら 式 を 求 め る こ と が ③ 式 や グ ラ フ か じ
②1次 関 数 と 比 べ る こ 係 を 見 い だ す こ とが で き る 。 1次 関 数 と2諺
と に よ り2次 関 数 の で き る 。 ③ 関数 の特徴や性 質 に 関 数 の 違 い を 葦
特 徴 や 性 質 を 調 べ よ 従 っ て 、 具 体 的 な 事 解 す る 。
う と す る 。 象 に あ る 問 題 に 対 し
て 処 理 す る こ と が で
き る 。
一6一
1時 限 目 指 導 案
指 導 内 容 学 習 活 動 指 導 上 の 留 意 点(・)、評 価 の 観 点(0)
・ 日常 生 活 で 使 わ れ て 【教 科 書 の 例 題 】 ・xの 変 化 と そ の と き のyの 対
導 い る 関 数 の 例 と し 日 常 使 っ て い る 関 数 の 例 と し て 、 例1を 考 え 応 が 密 接 な 関 係 に あ る こ と
て 、例1を パ ワ ー ポ る 。 を 強 調 す る 。
イ ン トで 例 示 す る 。
入 例1)12kmの 道 の り を 、時 速4kmで 歩 くこ とに す る 。歩 き は じ め て か ら
・ 「3'がxの 関 数 で あ る 」 と は 、 Xの1つ1つ の 値 に 対 し て 、 x時 間 後 の 残 りの 道 の りをykmと す る とき.xとYの 間 に どん な 関 Yの 値 が1つ ず つ 決 ま る こ と ,.
1 係 が 成 り立 っ か 。 を 理 解 さ せ る 。
a ● 1次 関 数 を 復 習 す ①xと ア の 関 係 を 式 で 表 す 。 ・関 数 の 用 語 と し て 、 変 数 や 変
愈 るc ②xとyの 関 係 を 対 応 表 に ま と め る 。 域 に つ い て 確 認 す る 。
・関 数 の 定 義 の 説 明。 ③xとyの 関 係 を グ ラ フ で 表 す 。
・本 時 の 実 験 の 説 明。 (GRAPES利 用)
・ グ ラ フ 電 卓 と 距 離 【実 験 】 ・距 離 セ ン サ ー の 測 定 方 法 の 説
セ ン サ ー を 用 い て 、 ① 距 離 セ ン サ ー の 前 か ら 歩 い て 遠 ざ か る 。 明 を す る 。
歩 い て 近 づ い て く (生 徒 が 歩 く) ・一 定 の 速 度 で 歩 く よ う に 指 示
展 る(遠 ざ か る)人 や 、 ② 距 離 セ ン サ ー へ 歩 い て 近 づ く 。 す る 。
斜 面 上 を 下 る 台 車 (生 徒 が 歩 く)
に つ い て 、時 間 と 距 ③ 距 離 セ ン サ ー を ス ロ ー プ の 上 端 に 設 置 し 、 OOHPに 投 影 さ れ た グ ラ フ を 離 の 関 係 を 調 べ る 台 車 を 斜 面 の 上 端 か ら 滑 ら せ る 。 見 て 、時 間 と 距 離 の2つ の 変 開 実 験 を 行 う 。 (補 足)グ ラ フ 電 卓 の 表 示 画 面 を ス ク リー ン ビ 量 に 関 心 を も つ か 。(数 学 へ
・ 実 験 結 果 を も と に、 ユ ー に 転 送 しOHPで ス ク リ ー ン に 投 影 す の 関 心 ・意 欲 ・態 度)
(
時 間Xと 距 離 アの 関 係 を 探 る 。
る.
コ[]
・① と ② の 関 係 が1次 関 数 で あ る こ と に 気 付 か せ る 。 2
0 分
ビ ュ 」一 ス ク リ ー ン
OHP 0[ヲ 撃 ど上
・① と ② の グ ラ フ の 傾 き の 違 い に 着 目 さ せ る 。
v グ ラ フ 電 卓CBL(デ ー タ収 集 機) ・③ の グ ラ フ が 曲 線 で あ る こ と
に 気 付 か せ 、グ ラ フ の 違 い か
※ 距 離 セ ン サ ー と は 別 に 、 メ ジ ャ ー と ス ト ッ ら 、③ の 関 係 が1次 関 数 で な プ ウ ォ ッ チ で 、 時 間 と 距 離 を 計 測 す る 。 い こ と を 強 調 す る 。
・① 〜 ③ の 実 験 に つ 【4班 に 分 か れ て 、 班 ご と に 考 察 す る 】 ・1次 関 数 で は、変 化 の 割 合 が 考 い て 、 距 離 セ ン サ ★1人1人 が ワ ー ク シ ー トに 記 入 し な が ら 話 一 定 な こ と を 確 認 す る。
一 ・グ ラ フ 電 卓 な し し 合 う 。
で グ ラ フ 化 で き な [ワ ー ク シ ー トに 記 入 す る 内 容] ○ 変 化 の 割 合 が 一 定 の 場 合 、距 離 察 い か 考 え る 。グ ラ フ (1)そ れ ぞ れ の 実 験 ご と に 、距 離 セ ン サ ー セ ン サ ー と は 別 に 計 測 し た デ 化 で き た も の に つ と は 別 に 計 測 し た デ ー タ を 表 に 記 入 。 一 タ か ら 、 グ ラ フ が か け る か 。 い て は 式 を 求 め る 。 (2)① 、② で 、距 離 セ ン サ ー と は 別 に 計 測 ま た 、 グ ラ フ か ら 式 が 求 ま る
0 し た デ ー タ を も と に 、 グ ラ フ を か く 。 か 。(数 学 的 な 表 現 ・処 理)
1 (3)(2)と 同 じ 方 法 で 、 ③ の グ ラ フ が か け
5 る か 考 え る 。 ・グ ラ フ を か く 際 に、 変 域 を 考
愈 (4)① 、 ② の グ ラ フ か ら 式 を 求 め る 。 え て か い て い る か を 確 認 す
(5)① 〜 ③ に お け る 変 化 の 割 合 ・変 域 等 。 る 。
・実 験 結 果 の ま と め を 【班 ご と に 発 表 す る 】 ○ 時 間 と 距 離 の2つ の 変 量 の ま す る 。 ワ ー ク シ ー ト の 内 容 に そ っ て 、 各 班 で 話 し 合 間 で 、数 量 関 係 を 見 い だ せ る と っ た こ と や 、 今 回 の 実 験 に つ い て 感 じ た こ と か 。(数 学 的 な 見 方 や 考 え 方)
な ど を 発 表 す る 。 め ・次 回 ま で の 課 題 を
【次 回 の 授 業 に む け て の 発 問 】 ・変 化 の 割 合 が 一 定 で な い 場 合、 提 示 す る 。 次 回 ま で の 課 題 と し て 、 次 の 発 問 に つ い て 考 え 計 測 した デ ー タ が 少 な い と 、
( る 。 う ま く グ ラ フ が か け な い こ と
5
分 距 離 セ ン サ ー を 使 わ ず に 、 実 験 ③ の グ ラ フ を か く た め に は 、 時 間 と に 気 付 か せ る 。
)
距 離 の 計 測 に ど の よ う な 工 夫 が 必 要 か 。
一7一
2,3時 限 目 指 導 案
導
入
( 2 5 分 )
展
開
( 4 0 分 )
考
察
( 2 0 分 )
指 導 内 容
・ 剛 回 の 課 題 に 対 す る 生 徒 の 考 え を 聞 く。
学 習 活 動
班 こ と に 発 表 る 剛 回 の 班
前 回 の 課 題 に つ い て 考 え た こ と を 発 表 す る 。 距 離 セ ン サ ー を 使 わ ず に 、 実 験 ③ の グ ラ フ を か く た め に は 、 時 間
と 距 離 の 計 測 に ど の よ う な 工 夫 が 必 要 か 。
・EXCELで の グ ラ フ の 表 示 方 法 の 説 明 。
・2次 関 数Y=xzの 復 習 。
・ 実 験 の 目 的 の 説 明。
・本 時 の 実 験 の 説 明。
・ レ ー ル 上 を こ ろ が る 球 を 用 い て 、水 平 方 向 の 運 動 と 、斜 め 方 向 の 運 動 に つ い て 、 時 間 と 距 離 の 関 係
を 調 べ る 実 験 を 行 う。
【EXCELで の グ ラ フ 表 示 方 法 を 学 習 す る 】 ワ ー ク シ ー トA(EXCELフ ァ イ ル)で 、 v=x2に【実 験 つ い て グ ラ フ 表 示 の 練 習 を す る 。
の 目 的 確 認 ・準 備1
説 明 を 聞 き 、 実 験 の 目 的 に つ い て 考 え る 。 2班 に 分 か れ て 、 実 験 器 材 を 準 備 す る 。 実 験 の 役 割 分 担 を 決 め る 。
・1レ ー ル を 水 平 に 設 置 し 、 修 を 発 ・ す る 。
【実 験2】 レ ー ル を 斜 め に 設 置 し 、 球 を 発 射 す る 。
指 導 上 の 留 意 点(・)、 評 価 の 観 点((
・ 、3の グ ラ フ を か く た め は 、計 測 デ ー タ を 多 く と る 必 が あ る こ と に 気 付 か せ る 。
・実 験 結 果 を も と に、 時 間xと 距yの 関 係 を 探 る 。
・実 験1や 実 験2と 似 た よ う な 運 動 を 身 近 な 事 例 で 考 え る 。
・実 験1と 実 験2の グ ラ フ の 違 い を 考 察 す る 。
・EXCELに は 、 表 か ら グ ラ を 表 示 す る 機 能 が あ る こ と 知 ら せ る 。(グ ラ フ を か く 具 と し て の パ ソ コ ン の 利 用
・2つ の 変 量(時 間 と 距 離) み つ け 、 こ れ ら の 関 係 を 調
る こ と が 実 験 の ね ら い で あ こ と を 強 調 す る 。
※2班 に 分 か れ て 実 験 を 行 う 。
※ 実 験 の 手 順
① 計 測(球 の 動 き を デ ジ タ ル ビ デ オ で 撮 影 す る 。)
② デ ー タ 処 理(メ デ ィ ア に 記 録 さ れ た デ ー タ を パ ソ コ ン:FLASHMXに 取 り 込 む 。
1コ マ が0.1秒 に な る よ う に タ イ ム ラ イ ン を 設 定 し 、 デ ィ ス プ レ イ 上 で 、 時 間 と 距 離 を 読 み と る 。)
③ 時 間x、 距 離yの 対 応 表 作 成(ワ ー ク シ ー トB〈EXCELフ ァ イ ル 〉 に 、② で 読 み と っ た デ ー タ を 入 力 す る 。)
④ グ ラ フ の 表 示(入 力 し た デ ー タ を も と に 、 EXCELで グ ラ フ 表 示)
14班 に 分 か れ て 、 班 ご と に 考 察 す る 】
☆1人1人 が ワ ー ク シ ー トCに 記 入 し な が ら 話 し 合 う 。
[ワ ー ク シ ー トCに 記 入 す る 内 容 】 (1)実 験1と 実 験2の 運 動 を そ れ ぞ れ 記
述 し て み る 。(自 然 現 象 や 、日 常 生 活 で 体 験 し て い る こ と な ど を 参 考 に す
る 。)
(2)実 験1と 実 験2の グ ラ フ の 形 状 を 述 べ る 。
実 験1の グ ラ フ … … 直 線 実 験2の グ ラ フ … … 放 物 線 (3)実 験1と 実 験2の グ ラ フ か ら 、
EXCELの 機 能 を 利 用 し て 式 を 求 め る 。
(4)実 験1と 実 験2に お け る 変 化 の 割 合 ・変 域 等 を 調 べ る 。
・撮 影 が う ま く い か な か っ た 合 は 、 も う一 度 撮 り な お す
占 貝 り ︒ に 盛 る
ル 目 と 一 の み レ レ 読
㍉翫呂 ケ 位
ご ス の 秒 た 球 ナ 5 } ︑ 0 ︒付 ら
・画 像 デ ー タ をrLASxMX
取 り 込 ん だ と き に 多 少 誤 差 生 じ る こ と を 知 ら せ る 。
・ワ ー ク シ ー トB〈EXCELブ イ ル 〉に 距 離 を 入 力 す る と 這 時 間Xと 距 離Yの 対 応 表 を く っ て い る こ と に 気 付 か せ そ
量 数 的 憐 数 関 欲 ︒ た 次 意 か れ ー も る 測 さ ︑ て い 態 表 ち い て ・ で も つ し 欲 フ を に と 意 ラ 心 数 う " グ 関 関 よ 蹴 や に い べ の 表 係 な 調 へ ○
・時 間 と 距 離 の 変 化 の 割 合 に 目 し 、 「実 験1は 一 定 で あ が 、実 験2は 一 定 で な い 。」
と に 気 付 か せ る 。
○ 実 験 結 果 か ら 、 変 化 や 対 応 様 子 に 着 目 し て 、 関 数 関 係 見 い だ せ る か 。(数 学 的 な 方 や 考 え 方)
○ 実 験1が1次 関 数 に な る こ を 理 解 し、グ ラ フ の 傾 き や 変 を 求 め ら れ る か 。(数 量 、図 形
ど につ い て の 表 現 ・処 理)
・実 験2の グ ラ フ が、 中 学 校 習 っ たy=axeの グ ラ フ と 同 形 で あ る こ と に 気 付 か せ る
一g一
ま と め ( 1 5 分 )
・実 験 結 果 の ま と め を す る 。
・実 験1と 実 験2の グ ラ フ を 表 す 式 を 提 示 す る 。
(GRAPES利 用)
・2次 関 数 と な る 身 近 な 事 例 を 提 示 す る 。
(噴 水 ・球 の 放 物 運 動)
・2次 関 数 の 定 義 の 説 明 。
1班 ご と に 発 表 す る 】
ワ ー ク シ ー ト の 内 容 に そ っ て 、 各 班 で 話 し合 っ た こ と や 、 今 回 の 実 験 に つ い て 感 じ た こ と な ど を 発 表 す る 。
【シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 】
GRAPESで 提 示 さ れ た 式 お よ び グ ラ フ と 、実 験 結 果 か ら 得 ら れ た グ ラ フ と を 比 べ る 。
(式 か ら グ ラ フ を 描 く ひ と っ の 方 法 と し て 、 関 数 グ ラ フ ィ ッ ク ソ フ ト の 利 用 が 有 効 で あ る こ と を 実 感 す る 。),薪
看
‑1」
【2次 関 数 の 定 義 】
身 近 な2次 関 数 の 例 と し て 、 噴 水 と 、 球 の 放 物 運 動 を 考 え るe
実 験2の 関 数 の よ う にyがxの2次 式 で 表 さ れ る も の が 、2次 関 数 で あ る こ と を 考 え る 。
02次 関 数 の 特 徴 を1次 関 数 と 比 べ て 調 べ よ う と し て い る か 。(数 学 へ の 関 心 ・意 欲 ・ 態 度)
・関 数 グ ラ フ ィ ッ ク ソ フ トを 利 用 す る と 式 か ら グ ラ フ が 簡 単 に か け る こ と を 実 感 さ せ る 。
「一一アー 写^四 一 罵トーし6‑?
・噴 水 の 画 像 と2次 関 数 の グ ラ フ が 重 な る こ と に 気 付 か せ る 。
・一 般 に、2次 関 数 は 、
v=αx毎 δx+cの 形 で 表 さ れ る 。
〈 実 験 機 材 〉
・ グ ラ フ 電 卓 、CBL(デ ー タ 収 集 機)、 距 離 セ ン サ ー 、 ビ ュ ー ス ク リ ー ン 、OHP、 巻 尺(10m>、 ス ト ッ プ ウ ォ ッ チ
・ レ ー ル 、 ア ク リ ル 球(直 径5cm)、 バ ネ 式 発 射 装 置 、 デ ジ タ ル ビ デ オ カ メ ラ 、 三 脚
・ パ ソ コ ン20台(パ ソ コ ンLAN装 置 利 用) 、 メ モ リ ー カ ー ド リ ー ダ ー
6検 証 授 業 に つ いて
検 証 授 業 は 、 都 立 高 等 学 校 工 業 科 全 日 制 課 程1年 生 の1ク ラ ス で 、1月 中 旬 に 実 施 す る 。 検 証 授 業 で 本 研 究 の 効 果 を 調 べ る た め 、 授 業 に 対 す る ア ン ケ ー ト と 自 己 評 価 を 行 う 。 分 析 す る 観 点 と し て は 、 ① 距 離 セ ン サ ー や 、 レ ー ル を 使 っ た 実 験 な ど の 授 業 に よ る 関 数 に 対 す る 関 心 ・意 欲 の 変 化 、 ② パ ソ コ ン の 活 用 に よ る 関 数 学 習 へ の 取 組 み 態 度 の 変 化 、 ③ 関 数 概 念 の 定 着 お よ び 理 解 度 の 変 化 を 中 心 と す る 。 ま た 、 自 己 評 価 は 、 指 導 案 に 示 し た 評 価 の 観 点 を も と に 行 う 。
こ れ ら の デ ー タ を も と に 本 研 究 の 成 果 と 課 題 を 分 析 し 、 よ り効 果 的 な 指 導 に つ い て 探 求 し て い く 。 な お 、 ア ン ケ ー トや 自 己 評 価 の 分 析 結 果 は 、 発 表 の と き の 補 助 資 料 に 載 せ る 。 ア ン ケ ー ト及 び 自 己 評 価 の 具 体 的 な 内 容 は 以 下 の 通 り で あ る 。
(1)ア ン ケ ー ト例
ア ン ケ ー ト 項 目 回 答 欄 感 想 欄
① 距 離 セ ン サ ー や 、 レー ル を 使 っ た 実 験 を 取 り入 れ た こ と で 、 関 数 の 授 業
へ 意 欲 的 に 取 り組 む こ と が で き ま し た か 。 ア イ ウ 工
② 今 回 の3時 間 の 授 業 を 通 して 、 関 数 に 興 味 を も つ こ と が で き ま し た か 。 ア イ ウ 工
一g一
③ 今 回 の3時 間 の授 業 を通 して 、1次 関数 の 復習 や 関 数 用語 の確 認 が 十 分
に で き ま した か。 ア イ ウ エ
④ 時 間 と距離(伴 っ てか わ る2つ の 変 量)な どの具 体 的 な事 が らか ら関 数
関係 を見 いだ す こ とが で きま した か。 ア イ ウ エ
⑤ 伴 っ て か わ る2つ の 変 量(時 間 と距 離)の 表 か ら グ ラ フ を か く と き に パ ソ コ ン を 利 用 す る こ と に よ り、 関 数 を グ ラ フ で 表 す こ と に 関 心 を も ち ま し た か 。
ア イ ウ エ
⑥1時 間 目 の 授 業 の 導 入 部 分 に パ ソ コ ン(ブ レゼ ン テ ー シ ョ ン ソ フ ト)を
活 用 す る こ とで 、 関 数 の 授 業 へ 意 欲 的 に 取 り組 め ま した か 。 ア イ ウ エ
⑦ 物 体 の 運 動 な どを グ ラ フ ィ ッ ク ソ フ トで シ ミ ュ レ ー シ ョン す る こ と で 、
関 数 に 興 味 を もち ま した か 。 ア イ ウ エ
(2)自 己 評 価 例
評 価 項 目 観 点 自 己 評 価 欄 感 想 欄
① 物 体 の 運 動 を 関数 の授 業 の題 材 とす る こ とに 興
味 ・関 心 を もちま したか 。 数 学 へ の 関 心 ・意 欲 ・
態 度 ア イ ウ エ
② 物 体 の 運 動 を通 して1次 関 数 の理 解 が 深 ま りま
した か0 数 量 、 図 形 な どに つ い
て の 知 識 ・理 解 ア イ ウ エ
③ 物 体 の 運 動 を通 して2次 関 数 の理 解が 深 ま りま した か。
数 量 、 図 形 な どに つ い
て の 知 識 ・理 解 ア イ ウ エ
④1次 関 数 の グ ラ フ を 見 て 、 そ の 式 を 求 め る こ と
が で き ま した か 。 数 学 的 な 表 現 ・処 理 ア イ ウ エ
⑤ 式 や グ ラ フ か ら1次 関 数 と2次 関 数 の 違 い が 理 解 で き ま した か 。
数 量 、 図 形 な どに つ い
て の 知 識 ・理 解 ア イ ウ エ
⑥ 座 標 上 に 、 点 や1次 関 数 の グ ラ フ を か く こ と が
で き ま した か. 数 学 的 な 表 現 ・処 理 ア イ ウ エ
⑦1次 関 数 の 式 や グ ラ フ を 見 て 、ア 切 片 や 傾 き が わ か り ま し た か 。
数 量 、 図 形 な ど に つ い
て の 知 識 ・理 解 ア イ ウ エ
⑧ 変 域 を 考 え て 、1次 関 数 の グ ラ フ を か く こ と が
で き ま した か 。 数 学 的 な 表 現 ・処 理 ア イ ウ エ
⑨ 関 数 の意 味 が理解 で きま した か。 数 量 、 図 形 な ど に つ い
て の 知 識 ・理 解 ア イ ウ エ
⑩ 今 回 の 実験 の ほ か に 、身 近 に感 じられ る 関数 の 具 体 例 を あげ る こ とが で き ます か。
数 学 的 な 見 方 や 考
え方 ア イ ウ エ
⑪ い ろい ろな数 量関係 を 文宇 式 で表 す こ とが で き
ま した か。 数 学 的 な 見 方 や 考
え 方 ア イ ウ エ
備 考
上 記 の ア ン ケ ー ト及 び 自 己 評 価 の 各 項 目 に っ い て 、 ア 「そ う 思 う」・イ 「や や そ う 思 う」・ウ 「や や そ う は 思 わ な い 」・
エ 「そ う は 思 わ な い 」 の4枝 択 一 で 回 答 を 求 め る 。 ま た 、 各 項 目 ご と に 感 想 を 書 く 欄 を 設 け る 。
7ま と め
関 数 を 苦 手 とす る 生 徒 が 多 い 状 況 の 中 で 関 数 概 念 の 定 着 を 図 り 、2次 関 数 の 基 礎 ・基 本 を 身 に つ け る た め に 、 今 回 の 研 究 で は 、 関 数 の 具 体 的 な 事 象 を 実 験 に よ り生 徒 に 体 験 させ る こ と に し た 。 最 初 は 、 ボ ー ル の 投 げ 上 げ 実 験 等 も 考 え た が 、 生 徒 が 真 上 に 投 げ 上 げ た り、 距 離 を 正 確 に 読 み と る 難 し さ か ら 、 よ り 扱 い や す く 読 み と りや す い 距 離 セ ン サ ー や レ ー ル を 偉 っ た も の に 切 り替 え た 。 実 験 の デ ー タ 処 理 に 、 道 具 と し て パ ソ コ ン を 利 用 す る こ と に よ り 、 生 徒 は 短 い 時 間 で 「時 間 と 距 離 」 の 数 量 関 係 に 関 心 を 持 ち 、 次 の 段 階 で あ る 考 察 に つ な が る と
考 え た 。実 験 装 置 で は レ ー ル と の 抵 抗 を な る べ く 小 さ く す る た め に ア ク リル 球 を 利 用 し た が 、 よ り正 確 な2次 関 数 の グ ラ フ を か き 、 美 し さ を 実 感 で き る 教 材 開 発 は 今 後 の 課 題 で あ る 。
ま た 、 実 験 や コ ン ピ ュ ー タ の 操 作 に 気 を 取 ら れ 、 数 学 的 な 考 察 が 十 分 に 出 来 な い 生 徒 が い る こ と が 予 想 さ れ る 。 こ の よ う な 生 徒 へ の 対 応 と し て 、 テ ィ ー ム テ ィ ー チ ン グ な ど 、 教 授 法 の 工 夫 の 必 要 性 を 探 っ て い き た い 。
〈 参 考 文 献 〉
・ 北 尾 倫 彦 ・ 鈴 木 彬 編 集 観 点 別 学 習 状 況 の 新 評 価 基 準 表(中 学 校 数 学)図 書 文 化
・ 大 阪 府 教 育 セ ン タ ー 高 等 学 校 数 学 「新 学 習 指 導 要 領 の 要 点 」
・ 愛 知 県 総 合 教 育 セ ン タ ー コ ン ピ ュ ー タ を 活 用 す る 高 校 数 学
・友 田 勝 久 著 関 数 ソ フ トGRAPESのWebペ ー ジhttp:〃www ,osaka・kyoiku,ac.jp1‑tomodak'grapeslindex.html
‑10一
皿 数 え上 げ る作 業 を通 して、順 列 ・組合 せ の区 別が 明確 に で きる力 を培 う指 導
1研 究 の ね ら い
「個 数 の 処 理 」 で は 、 問 題 か ら順 列 と組 合 せ の 見 分 け が で き て い な い 生 徒 が 意 外 と多 い 。 順 番 を 考 慮 し な れ け ば な ら な い 問 題 に 組 合 せCの 記 号 を 使 っ て い た り、 逆 に 順 番 の な い 問 題 に 順 列Pの 記 号 を 使 っ て い た りす る。 ま た 、 机 間 指 導 を した り答 案 等 を 見 る と、 問 題 そ の も の に は 正 解 して い て も 、 問 題 文 の 中 か ら キ ー ワ ー ドを 見 つ け 、 並 べ る→ 順 列(P)、 選 ぶ → 組 合 せ(C)の よ うに 、 特 定 の 語 句 だ け で 判 断 し、 機 械 的 に 。P,や 。C,の 公 式 を 使 っ て 答 え を 求 め て い る 場 合 も 多 く、 順 列 と組 合 せ の 使 い 分 け が 十 分 に 理 解 で き て い る とは 言 い 難 い 。 そ の 原 因 と して 、 第 一 に 「並 べ る 」 と 「選 ぶ 」 の 言 葉 の 意 味 が 理 解 で き て い な い こ と 、 第 二 に 実 体 験 の 不 足 、 っ ま り、 問 題 か ら得 られ る イ メ ー ジ と計 算 の 結 果 に ギ ャ ップ を 感 じて しま
うこ と に あ る の で は な い か と 考 え た 。
こ の 内 容 は 、 中 学 校 で 扱 っ て い る(中 学 校 学 習 指 導 要 領 平 成10年12月)こ と も あ っ て 、 高 校 で は 「数 え 上 げ の 作 業 」 に 十 分 な 時 間 が 割 か れ て い な い 。 しか し、 樹 形 図 等 を 用 い て 場 合 の 数 を もれ も な く 、 重 複 も な く 、 順 序 よ く 数 え 上 げ る 作 業 は 、 そ の 後 の 積 の 法 則 等 に つ な が っ て い く も の で あ り、 具 体 的 な 考 察 に 当 た っ て の 基 本 と な る も の で あ る。
そ こ で 、 「数 え 上 げ の 作 業 」 を 積 み 重 ね る過 程 か ら 、 生 徒 自 ら が 「選 ぶ 」・「並 べ る 」 の 意 味 を 考 え 、 規 則 性 を 見 つ け て 、 「組 合 せ 」 と 「順 列 」 の 違 い を 理 解 し、 実 感 す る こ と を ね ら い と し て 標 記 の 研 究 主 題 を 設 定 した 。
な お 、 こ の研 究 の 内 容 は 、 新 学 習 指 導 要 領 で は 、 数 学Aに お い て 「場 合 の 数 と確 率 」 の 項 目で 「順 列 ・組 合 せ 」 と して 学 習 す る こ と に な っ て お り、 そ こ で の 目標(「 基 礎 的 な 知 識 の 習 得 と技 能 の 習 熟 を 図 り、 事 象 を数 学 的 に 考 察 し処 理 す る能 力 を 育 て る と と も に 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を認 識 で き る よ う に す る。」)に も十 分 か な う も の で あ る 。
2研 究 の 方 法
前 項 の ね らい に 基 づ く研 究 を 、 以 下 の よ うな 手 順 で 進 め る 。 (1)ワ ー ク シ ー トを 作 成 す る。
ワ ー ク シ ー トの 作 成 に 当 た っ て は 、 生 徒 の 実 態 を 踏 ま え 、 よ り身 近 な 題 材 を 扱 う こ と に よ り活 動 が 効 率 よ く行 え 、 興 味 ・関 心 を も っ て 取 り組 め る よ う に す る。
(2)ワ ー ク シ ー トを 活 用 した 検 証 授 業 を 行 う。
(3)演 習 、 確 認 テ ス トを 実 施 して 学 習 内 容 の 理 解 度 を 調 べ る 。
(4)研 究 の 成 果 を 確 か め る た め 、 検 証 授 業 を 行 っ た ク ラ ス とそ う で な い ク ラ ス と の 結 果 を 比 較 す る 。
3指 導 計 画
図1の よ うに 、 これ ま で の授 業 の 展 開 は 、 順 列.P,の 後 に 階 乗!や 重 複 順 列 、 円 順 列 、 組 合 せ 。C,を 学 習 す る 形 と な っ て い る。 しか し、 生 徒 に と っ て は 順 列Pか ら組 合 せCを 学
一1ユ ー
習 す る 間 に 、 円 順 列 な ど、 順 列 に 関 して 学 ば な け れ ば な ら な い 事 柄 が 多 く現 れ 、 順 列 と組 合 せ の 違 い を理 解 す る際 の 妨 げ に な っ て い る よ うに 思 わ れ る 。 ま た 、 私 た ち の 生 活 の 中 で は 、
「選 ん で か ら 並 べ る」 と い うの が 自 然 な 思 考 で あ る 。 そ こで 、 指 導 方法 と して、組 合せ か ら 順 列 を 扱 い 、 さ ら に 、 組 合 せ と順 列 の 間 に 特 別 な 順 列 を 入 れ る こ と な くつ な げ 、 比 較 す る こ
と に よ り 、 生 徒 の 理 解 が 深 ま り 、 定 着 す る と考 え 、 図2の 方 法 を 考 え た。
(1)1時 間 目
「樹 形 図 等 に よ る数 え 上 げ 」
樹 形 図 等 を 用 い 、 場 合 の 数 を す べ て 書 き 並 べ る 作 業 を 通 して 、 もれ や 重 複 が な く、 順 序 よ く数 え 上 げ る 力 を 定 着 し、 そ の 有 用 性 を認 識 す る。
(2)2時 間 目
「積 の 法 則 」
樹 形 図 か ら積 の 法 則 を 導 き 、 そ れ を 活 用 す る 態 度 を 育 む 。 (3)3時 間 目
「組 合 せ と順 列 」
組 合 せ ・U頂列 の 総 数 を 樹 形 図 等 を使 っ て 求 め 、そ れ ら を 並 列 す る こ と で 、 「選 ぶ 」 と 「並 べ る 」 の 違 い を 視 覚 的 に 捉 え 、理解 し、組 合せ と順 列 の関係 につ い て も把 握 す る。 ま た、
。C,、 。P,の 定 義 を 与 え 、 組 合 せ ・順 列 の 総 数 を.C。 、 。P,の 記 号 を 用 い て 正 確 に 表 す こ とが で き る よ うにす る 。
(4)4時 間 目
「演 習 及 び 確 認 テ ス ト」
演 習 を通 して 、 これ ま で 学 ん で き た 事 柄 の 定 着 を 図 る 。 (5)5時 間 目
「順 列 、 組 合 せ の 計 算 公 式 の 導 入 」
積 の 法 則 の 発 展 と し て 、 。P,の 計 算 式 を導 き 、 さ ら に 組 合 せ と順 列 の 関 係 か ら 。C,の 式 を 導 い て 、 こ れ ら を 活 用 す る 。
図1 樹 形 図
↓
積 の 法 則
↓ ll頂列 。P,、 階 乗!
↓
重複順列
↓
円 順 列
↓ 組 合 せ.C,
図2 樹 形 図
↓
積 の 法 則
↓
組 合 せnC,、 順 列 。P,の 定 義
1
順 列 。P,.組 合 せ 鴨C,の計 算 公 式
↓
重複 順 列
↓
円 順 列
一12一
O学 習 指 導 案(1)
指 導 単 元 積 の 法 則(指 導 計 画 の2時 問 目)
指 導 目標 場 合 の 数 が 多 く 、 書 き 並 べ て 数 え上 げ る こ とが 大 変 な 場 合 、 ら積 の 法 則 を 発 見 ・理 解 し、 そ の 活 用 を 図 る。
樹 形 図 の イ メ ー ジ か
指導 内容 学 習活動 指 導 上 の 留 意 点(・)
及 び 評 価 の 観 点(0)
樹 形 図 に よ る 数 【復 習1】 ・樹形 図 の 考 え 方 が っ か
え 上 げ の 復 習 と あ る レ ス トラ ン の ラ ン チ は 、 次 のA、B、Cの3っ め て い る か を 確 認 す る し て 、 【復 習1】 の グ ル ー プ か ら1品 ず つ 選 べ る 。 こ の と き 、 ラ ン チ
導 を 与 え る 。 の 組 合 せ は 全 部 で何 通 りあ るか 。 A[パ ン 、 ラ イ ス]
入 B[ス テ ー キ 、 和 風 ハ ン バ ー グ 、 魚 の グ リル 、
シ チ ュ ー]
c[コ ー ヒ ー 、 紅 茶 コ
ラ ン チ の 選 び 方 の総 数 を樹 形 図 を使 って 数 え 上 げ る。
稲 の 法 則 の 導 入 【問 題1】 ・樹 形 図 を用 い て 数 え 上
と し て 【問 題1】 あ る ハ ン バ ー ガ ー 屋 で 次 の よ う な セ ッ トメ ニ ュ ー が げ る よ う指 示す る。
を提 示す る。 あ っ た 。 こ の と き 、 メ ニ ュ ー は 全 部 で 何 通 り あ る か 。 単品価格+aOO円
(サ イ ド メ ニ'1̀1品 と ド リ ン ク1品)
ナ ン 野 菜 サ ラ ダ
コ ー ラ
ハ ン バ ー ガ ー
十 フ ラ イ ドポテ トメ ロ ン ソ ー ダ
ホ ッ ト ドッ グ オ ニ オ ン リン グ ジ ン ジ ヤ エ ー ルライ ス バ ー ガー オ レン ジ ジ ュー ス
展
ウ ー ロ ン 茶
ア イ ス コ ー ヒ ー
ホ ッ ト コ ー ヒ ー ミ ル ク テ ィ ー
開
レ モ ン テ ィ ー
コ ー ン ス ー プ
場 合 の 数 が 多 く、 樹 形 図 を 利 用 して数 え 上 げ る こ と ・場 合 の 数 をす べ て 書 き が 大 変 な こ とに 気 づ く。 並 べ る の は 大 変 な の で 樹 形図 を考察す これ ま で に 取 り組 ん だ 闇題 や 【復 習1】 の 樹 形 図 を 他 の方 法 を 考 え る よ う
る こ と で 、 積 の 考 察 し、そ の 規 則 性 か ら掛 け算 をす る こ と で 場 合 の 指 示 す る 。
法 則 を 導 く 。 数 が 求 ま る こ とを 知 る。 樹 形 図 で 数 え上 げ た も の と ○ 積 の 法 則 を 理 解 す る。
積 の 法 則 か ら得 られ た結 果 が 一 致 す る こ と を確 認 す (見 方 や 考 え 方)
る 。
一13一
