２００２年微分積分学I（ 昼）中間試験問題・解答例 2002年12月5日(木)実施
[1]
(1)
6x2+ 4x+ 3 (1−2x2)2 (2)
log(1 + 4x) 2√
x + 4√
x 1 + 4x [2]
(1)
対数微分法により
f(x) =xsinx{(cosx)(logx) +sinx x }
ゆえに
f(π/2) = 1.(2)
合成関数の微分法により
2xtan(1−x2) 1 + (log|cos(1−x2)|)2.
(3)y= cos−1x
とおく．
x= cosyかつ
0< y < π.逆関数の微分法により，
dy
dx = 1/dx
dy =− 1 siny. siny=±
1−cos2y
であるが，0
< y < πから
siny >0.ゆえに
siny=1−cos2y=√ 1−x2. (4)ex{x2+ 2nx+n(n−1)}.
(5)
極大値
31/27 (x= 1/3),極小値
1 (x= 1). x= 0のとき，増加状態にあり，上に凸．
(6)
ロピタルの定理から
log 3−log 2.[3]
(1)
y=e−π/2(x−π
2)−e−π/2 (2)
y=e−π−e−π(x−π)−3e−π
2 (x−π)2 (3)
f(x) = 1−x−3
2x2+e−c(11 cos 2c+ 2 sin 2c)
6 x3
