直交座標と極座標 [P75]
• 極座標
– XY
直交座標上の点を、原点からの距離・角度を用いる 極座標を用いて表す。直交座標
X
軸Y
軸
(x
0, y
0) y
0極座標
(A
0, Φ
0) A
0Φ
0極座標・直交座標変換
• 角度 Φ と大きさ A を用いて、平面上の点の位置を示す
。
–
この角度Φ
が変復調では位相となる。–
この大きさが変復調では振幅となる。Φ A
x y
A x A y
cos sin
cos
sin A
x
A y
BPSK 波形
• BPSK
とはBinary Phase Shift Keying
•
位相Φ
の値として２つの値を用いて、２つの波形を生成する。•
通信を行うときに、上記２つの波形の一つを送るので、2
種類 の可能性があり、’ 1’
か’ 0’
かすなわち1
ビットの情報を送信す る。) 2
cos(
A ft x
元の波形
情報’
0’
を送信する場合：Φ =0
とする情報’
1’
を送信する場合：Φ =π
（180
度）) 2
cos( ft A
x
) 2
cos(
A ft
x
SCILAB にて BPSK 波形を作る
BPSK の２つの波をコンスタレーション
• BPSK の２つの波の振幅と位相は？ で示す
–
情報‘０’ ：振幅A=1
、位相Φ
＝０–
情報‘１’ ：振幅A=1
、位相Φ
＝π
• これを極座標面に表現すると
極座標
(A
0, θ
0)
=(1, 0) (A
1, θ
1)
=(1, π)
QPSK 波形
• Quadrature Phase Shift Keying
• 4 つの位相を用いる
– Φ ＝ 1*π/4 – Φ ＝ 3*π/4 – Φ ＝ 5*π/4 – Φ ＝ 7*π/4
) 4 / 2
cos(
A ft x
) 4 / 3 2
cos(
A ft x
) 4 / 5
2
cos(
A ft x
) 4 / 7
2
cos(
A ft
x
SCILAB にて QPSK 波形を作る
QPSK の４つの波をコンスタレーション
• QPSK の４つの波の振幅と位相は？ で示す
– 振幅 A=1 、位相 Φ ＝ 1 π /4 – 振幅 A=1 、位相 Φ ＝ 3 π /4 – 振幅 A=1 、位相 Φ ＝ 5 π /4 – 振幅 A=1 、位相 Φ ＝ 7π /4
極座標
0
(A
0, Φ
0)
=(1, 1π/4) (A
1, Φ
1)
=(1, 3π/4)
(A
2, Φ
2)
=(1, 5π/4) (A
2, Φ
2)
=(1, 7π/4)
クイズ１
• 以下の２つの送信波形（ BPSK, QPSK ）の各サイクル（ T1 ～ T5 ） の波のコンスタレーションポイントを示せ
• ただし基準の波の波形として以下の式を仮定せよ！
• ( ヒント ) 図の BPSK はこれまで説明した波と異なる。
) 2
cos(
A ft x
基準となる波形
クイズ２
• 以下の４つのコンスタレーションに対応 する波形を SCILAB で生成せよ
極座標
0
x0 x1
x2
x3
1 -1
-1
1
X 軸、 Y 軸を I 相、 Q 相にチェ ンジ [p79]
• これまで見てきたように、 X 軸と Y 軸ではちょうど 90°
の位相差がありました。すなわち、直角です。
• これからは、 X 軸を I 相（ In Phase ） ,Y 軸を Q 相 (Quadrature Phase)
• 平面を IQ 平面と呼ぶ
IQ 平面
0
I 相Q 相
ここからは教科書を超えた事項
！
新導入１：複素指数関数
• 実数部と虚数部からなるので、複素数である。
) 2
sin(
) 2
cos(
)
~ (
(2 )
ft A
j ft
A
Ae t
x
j ft実数部 虚数部
• これまでは、三角関数を用いたが、もう
一歩すすんで複素指数関数を導入する！
新導入２：複素平面
• IQ 平面
– I
相、Q
相の２つの値のペアで、平面上の点を指定した。• 複素平面
–
複素数ひとつで、平面上の1
点を示す方法を導入する。–
実部をI
相に対応：実数軸–
虚部をQ
相に対応：虚数軸複素平面
0
実数軸（ I 相）嘘数軸（ Q 相）
a
b a + j b
複素指数関数は複素平面では 回転を示す関数となる。
) 2
sin(
) 2
cos(
)
~ (
(2 )
ft A
j ft
A
Ae t
x
j ft実数部 虚数部
実数軸、 I 相 虚数軸、 Q
相
~ x ( t )
) 2
sin( ft A
A 2 ft
時間とともに複素指数関数は回転する
。
複素振幅
ft j j
ft j
e Ae
Ae t
x
2
) 2
)
(~ (
t j j
e X t
x
f Ae X
)
0~ (
0
2
とすると、
、
• X
はx(t=0)
の値であり、回転のスタート位置（
t=0
の位置複素指数関数で、 QPSK を示す
。
ft j j
ft
j
e e
e t
x
2
4 ) 1
4 2 1
( 0
( )
~
ft j j
ft
j
e e
e t
x
2
4 ) 3
4 2 3
( 1
( )
~
ft j j
ft
j
e e
e t
x
2
4 ) 5
4 2 5
( 2
( )
~
ft j j
ft
j
e e
e t
x
2
4 ) 7
4 2 7
( 3
( )
~
0
実数軸、 I 相 虚数軸、 Q
相
4 1
e
j 43
e
j4 5
e
je
j74
複素振幅を、複素平面にプロットすれば、コンス
タレーションとなる。
複素振幅を SCILAB でプロット
する
同一周波数の波の合成方法
) 2
sin(
) 2
cos(
)
( t ft ft
x
右式の合成を調べる
それぞれの波の
コンスタレーションを
調べ、合成する
0
虚数軸、 Q 相
実数軸、 I 相
j 0 1 j
1 0
ft j
ft j ft
j
e j
e j e
j t
x
2
2 2
) 1
(
) 1 0
( )
0 1
( )
~ (
複素指数関数に変換
合成波の振幅と位相がわかる
A 2 4
j 1
合成波
x ( t ) 2 cos( 2 ft / 4 )
21振幅、位相の計算
0
虚数軸、 Q 相
実数軸、 I 相
