A power approximation for the multinomial J-divergence goodness-of-fit test

A power approximation for the multinomial J‑divergence goodness‑of‑fit test

その他（別言語等）

のタイトル

J‑divergenceに基づく多項分布の適合度検定の検出 力近似

著者（英） Taneichi Nobuhiro, Sekiya Yuri journal or

publication title

Research bulletin of Obihiro University.

Natural science

volume 18

number 4

page range 261‑263

year 1994‑06‑28

URL http://id.nii.ac.jp/1588/00001949/

R e s .  B u l l .   O b i h i r o  U n i v . ，  1 8 β994) :  261‑263 

A power approximation f o r  t h e  multinomial  J  ‑ d i v e r g e n c e  goodness

o f ‑ f i tt e s t  

Nobuhiro TANEICHIl and Yuri SEKIYA'  ( R e c e i v e d :  November  2 6 ，  1 9 9 3 )  

Abstract 

T

c h i C  3 )   i n t r o d u c e d  t e s t   s t a t i s t i c s   f o r   goodness ‑ o f  ‑ f i t   o f   t h e   multinomial  d i s t r i b u t i o n  based on t h e  J  ‑d i v e r g e n c e ，  and o b t a i n e d  t h e  a s y m p t o t i c  d i s t r i b u t i o n  o f   t h e  s t a t i s t i c s  under a  s i m p l e  n u l l  h y p o t h e s i s  and i t s  l o c a 1  a l t e r n a t i v e s .  

I n   t h i s  paper i t   d e r i v e s  t h e   a s y m p t o t i c  d i s t r i b u t i o n  o f  t h e  s t a t i s t i c s  under f i x e d   a 1 t e r n a t i v e s .   T h i s  a s y m p t o t i c  r e s u l t  can be used t o   approximate t h e  power o f   t h e   g o o d n e s s ‑ o f ‑ f i t  t e s t  based on t h e  J ‑ d i v e r g e n c e  

Key words  J  ‑ d i v e r g e n c e ，  Power Approximation ，  Multinomial D i s t r i b u t i o n ，  G o o d n e s s ‑ o f ‑ F i t  T e s t ， φentropy. 

~ 1 .   Introduction  where  (q ，  p )   E M   t / xM.. 

L e t  

2 6 1  

Burbea and Rao (  2  )  p r o p o s e d  t h e  φentropy  and t h e  J  ‑ d i v e r g e n c e .   L e t   M.  b e  t h e  parameter  s p a c e  o f  t h e  multinomi a 1  d i s t r i b u t i o n s ，  i .   e ， 

r  ^{α ( 1} )‑I(x.‑x)(a>O.a 手1).

φ α (x)  ~ i  l  xlogx α~ l).

~

M.~{( π10'''， π.l' πτ >0. í~ 1. ・• k .  L  ~.;~ 1 l .  

L e t 世 be a c o n v e x  C2 ‑f u n c t i o n  on  ( 0 ，  1)  s a t i s f y i n g   t h e   conditionφ(0)  ~ø lJ) ~O

Then t h e  φ‑entropy ofpEM. i s  d e f i n e d  by  H...  (p)  ~-L φ ( P ， ) .  

The J  ‑ d i v e r g e n c e  i s  d e f i n e d  by  {q  +  P ¥  

J . .  . ( q ，  _p)~H... ( . ー τ) ^{‑{tH..  . ( q )} + t H . .  . ( p )   ， )

Usingφ=φ". we can d e f i n e  t h e  J  ‑d i  v e r g e n c e   o f  d e g r e e α ，  which i s  d e n o t e d  by  J . .   a .  

LetX~(X" . . . ー ， X / t )   ，  b e  a  random v e c t o r   w i t h   t h e   multinomial d i s t r i b u t i o n   Mult.  ( n  

π).  For t e s t i n g  t h e  s i m p l e  n u l l  h y p o t h e s i s  

Ho: π~ p ，  (p  ~ (p"  . . … ，   p.) • EM.) ，  T a n e i c h i   (3)  proposed t h e  f o l l o w i n g  s t a t i s t i c s   based on t h e  J  ‑d i v e r g e n c e  

T t > =8nJ.. t > (i ，  p) ， 

l D i v i s i o n  o f  L i b e r a 1  Art ，  O b i h i r o  U n i v e r s i t y  o f  Agricu 1 t u r e  and V e t e r i n a r y  M e d i c i n e  I n a d a ‑ c h o ，  Obi  h i r o ，  Hokk

do0 8 0 ，  J  apan 

2Kushiro Campus ，  Hokkaido U n i v e r s i t y  o f  E d u c a t i o n ，  Shiroyama ，  Kushiro ，  Hokkaido 0 8 5 ，  Japan 

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