2 変数 3-tensors の整同値類について

2 変数 3-tensors の整同値類について

小林優司

2003

2

18

目次

1

2

2

4

3

10

4 3-tensors

13

5 Class of primitive 3-tensors 18

6

order 25

7 Composition identity 29

1

本論文は，

Anthony C.Kable

“Classes of integral 3-tensors on 2-space”([1], 2000

SL(2)

× SL(2)

× SL(2)

Z

⊗ Z

⊗ Z

V

= Z

⊗ Z

⊗ Z

3-tensor

本論文では，まず始めに概均質ベクトル空間を定義する．概均質ベクトル空間は，

相対不変式とよばれる式を持った表現空間であり

1960

標数

0

[4]

29

本論では，正則性や同値性の定義について述べないが

29

て群

GL(1) × GL(2)

の空間を利用して群

G = GL(2) × GL(2) × GL(2)

V = Aff

⊗ Aff

⊗ Aff

(G, V )

3-tensor

次に

3-tensor

V

により整

3-tensor

両方の判別式が等しいことと原始的であるという条件が必要になる．原始的な整

2

2

3

3-tensor

4

本論では２つの主定理を示すこととする．F_D^∗ を判別式

D

F

1

定理

1.1

D

3-tensor

D > 0

h(D)

D < 0

4h(D)

証明については，5節の定理

5.17

[6]

て

Gauss

２変数２次形式の類と対応するというものであるが，この定理を利用すると２次体の 類数を求めることができる．ただし判別式などによって細かい条件が必要になる．こ のような理論は，Gaussの簡約理論とよばれる．

次に，２変数２次形式の類の合成

(composition)

7

order

D

order

は

(集合として)

含めて対応するように２変数２次形式の類の積を決めているのである．類の合成を考 えることで

F

定理

1.2

3-tensor

D

3-tensor

F

この定理の証明は

7

7.16

3-tensor

積を考える方が簡単で実用的である．その点で１つ目の主定理の証明で用いられる対 応が重要になる．

最後に本論文を書くにあたって，多忙ななかご指導いただいた雪江明彦先生，整数 論セミナーでお世話になった森田康夫先生に深く感謝いたします．

2

この節では，概均質ベクトル空間について述べる．概均質ベクトル空間は，相対不 変式とよばれる式を持った表現空間であり

1960

[4]

0

29

概均質ベクトル空間を定義する前に，いくつかの準備をする．

定義

2.1 A

A

X

A-有理点の

X

k

k

定義

2.2 T

n

¯ k

T

GL(1)

T

定義

2.3 G

GL(1)

G

G

X

(G)

X

(G)

GL(1)

φ ∈ X

(G)

φ = ψ

(ψ ∈ X

(G), m ∈ Z )

m = ± 1

φ

いまから代数群の簡約性や半単純性について簡単に説明する．詳しい定義については

([2], p27-28)

定義

2.4 k

k

(1) G

Borel

Borel

(2) G

R(G)

R(G) = ( ∩

B)

G

G

(identity component)

(3) R(G) = { e }

G

= { e }

G

G

G

G

= { a ∈ G | (a − e)

= 0, ∃ n ∈ Z , e

}

上の定義により代数閉体上の代数群に対して簡約と半単純を定義した．これは任意の 体

k

k

G

×

k ¯

(半単純

G

(半単純群)

いま簡約群と半単純群の例を挙げる．

例

2.5

(1) GL(n)

(2) SL(n), Sp(2n), SO(2n)(n ≥ 2), SO(2n + 1)(n ≥ 1)

(3)

G = {(

1 a 0 1

) ¯¯ ¯¯ ¯ a ∈ Aff }

とおくと，Gは簡約群とはならない．

今から概均質ベクトル空間を定義する．kを任意の体，Gを

k

定義

2.6 G

G

G

k

(G, V, χ)

(1) Zariseki

U ⊂ V

U

= G

x

x ∈ U

(2)

∆(x) ∈ k[V ]

a ∈ Z

∆(gx) = χ(g)

∆(x)

(2)

∆(x)

概均質ベクトル空間を扱う上で，よく

V

k

p > 0

Z

G

identity component

G

Z

条件

2.7 t ∈ Z

tv = ψ(t)v ( ∀ v ∈ V )

ψ ∈ X

(Z)

概均質ベクトル空間

(G, V, χ)

命題

2.8

2.7

G

V

χ

, χ

G

(G, V, χ

), (G, V, χ

)

χ

= χ

証明 

¯ k = k

(G, G)

G

G

このとき

T ⊂ Z(G)

G = T G

G

T

条件

(2.7)

tv = ψ(t)v ( ∀ t ∈ T, v ∈ V )

T

ψ

∆

(x), ∆

(x) ∈ k[V ]

∆

(gx) = χ

(g)

∆

(x), ∆

(gx) = χ

(g)

∆

(x)

g = tg

(t ∈ T, g

∈ G

)

∆

(gx) = χ

(g)

∆

(x) = χ

(t)

∆

(x)

= ∆

(tx) = ∆

(ψ(t)x) = ψ(t)

∆

(x)

よって

χ

(tg

)

= ψ(t)

χ

(tg

)

= ψ(t)

χ

(tg

)

= χ

(tg

)

χ

, χ

χ

= χ

¤

命題

2.8

(G, V, χ)

2.7

χ

(G, V )

いまから相対不変式の性質を述べる．相対不変式は概均質ベクトル空間において重 要なものである．あとで概均質ベクトル空間の例として述べるが２変数２次形式の空 間の判別式は，相対不変式である．

補題

2.9 ∆

, ∆

∆

(x)

/∆

(x)

a, b

証明 定義から，ある整数

a, b

∆

(gx) = χ

(g)

∆

(x), ∆

(gx) = χ

(g)

∆

(x)

となる．このとき

∆

(x)

/∆

(x)

G

∆

(x)

/∆

(x)

¤

上の補題から相対不変式は斉次多項式であることが導ける．

命題

2.10

証明 

∆(x)

g ∈ G

∆(gx) = χ(g)

∆(x) (a ∈ Z )

∈ GL(1)

χ(g)

∆(tx)

∆

(x) = ∆(x), ∆

(x) = ∆(tx)

2.9

∆(tx)/∆(x)

(t

∆(tx) = c(t)∆(x) (c(t) ∈ GL(1))

c

GL(1)

c(t) = t

N

N > 0

∆(x)

¤

上の命題により相対不変式は，斉次多項式であるから次数が定義できる．次の命題 は次数が最小となるような相対不変式が存在することを示している．

命題

2.11 R

k[V ]

R = k[∆]

¯ k

証明 

k[V ]

UFD

∆(x)

∆(x) = cP

(x)

P

(x)

· · · P

(x)

(c ∈ k

, p

∈ Z , P

(x)

によって表す．一方，∆1

(x)

∆

(x)

∆

(x) = c

P

(x)

P

(x)

· · · P

(x)

の形をしなければならない．（ただし^t

(p

, · · · , p

),

(q

, · · · , q

)

互いに素な整数

r

, · · · , r



  p

.. . p



  = s



  r

.. . r



 

,



  q

.. . q



  = s



  r

.. . r



  (s

, s

∈ Z , s

, s

≥ 0)

仮定より

s

≥ s

| s

∆

(x) ∈ k[∆]

s

s

s

= αs

+ β (α, β ∈ Z , α ≥ 0, β ≥ 0, β < s

)．

∆

(x)∆(x)

s

R

∆(x)

後半の証明は省略する．証明は

([2], p50)

10.5，命題 10.9

¤

いまから相対不変式の性質を少し述べる．V^ss

= { x ∈ V | ∆(x) 6 = 0 }

semi-stable point

2.11

V

∆

k

k

)

2.7

V

G

-軌道は一つではない．しかし， (G, V )

V

G

-軌道をもつ．正則性についての説明はし

[2]

命題

2.12 G

2.7

G

V

もし，U

= Gw

Zariski open

G

(群スキームとして smooth)

w ∈ V

(1) U

affine

(2) U

G

-軌道

(G, V )

るのである．この事と，V_k^sssep がただ一つの

G

-軌道を持つことについての証明は ([2],p53)

Cor 10.17

実在する例に対して命題

2.12

命題

2.13

dim T (G

)

= dim G − dim V

となるような点

w ∈ V

V

G

k

smooth

ただし，T

(G

)

G

e

G

([2],p54)

Proposition 10.20

概均質ベクトル空間の説明は，ここまでにして次に２変数２次形式の空間を例とし て挙げることにする．

G = GL(1) × GL(2)

定義

2.14 Aff

= GL(1) × GL(2), V = Sym

Aff

V

v = (v

, v

)

(G, V )

V

x

x = x(v) = x(v

, v

) = x

v

+ x

v

v

+ x

v

次に２次形式の空間の作用を定義する．その際に，変数

v

定義

2.15 G

V

(t, g

)x(v) = tx(vg

), g = (t, g

) ∈ G, x(v ) ∈ V

いまから命題

2.12

2.13

w

w = w(v) = v

v

∈ V

命題

2.16 (G, V )

G

∼ = GL(1)

証明 

(G, v)

2.13

dim T (G

)

= dim G − dim V

G = GL(1) × GL(2), V

= Sym

Aff

dim G = 5, dim V = 3

T (G

)

そのために

(

1 + ²t, I

+ ² (

a b c d

))

の作用を考える．ただし

k[²]/(²

)

dual number

v

(v

+ ²(av

+ cv

), v

+ ²(bv

+ dv

))

w(v)

w(v) −→ ²tw(v) + w(v

+ ²(av

+ cv

), v

+ ²(bv

+ dv

))

= w(v) + ²(bv

+ (t + a + d)v

v

+ cv

)

となる．作用した後も

w(v)

= c = 0, t = − (a + d)

T (G

)

(

− (a + d), (

a 0 0 d

))

の形の元からなる．よって

dim T (G

)

= 2

dim T (G

)

= dim G − dim V

次に

G

∼ = GL(1)

H = {(

(t

t

)

, (

t

0 0 t

)) ¯¯

¯¯ ¯ t

, t

∈ GL(1) }

とおくと，明らかに

H ∼ = GL(1)

H ⊂ G

dim G

= 2

G

= H

上の命題により

(G, V )

)

∆(x) = x

− 4x

x

∆((t, g

)x) = χ(t, g

)∆(x), χ(t, g

) = t

(det g

)

(2.17)

を満たしていることが確かめられる．このことからわかるように判別式

∆(x)

2

∆(x)

3

この節では，２変数２次形式の類の個数から２次体のイデアル類群の位数を求める ことについての説明をする．これは

Gauss

定義

3.1

f (u, v) = au

+ buv + cv

(a, b, c ∈ Z )

D

D = b

− 4ac

gcd(a, b, c) = 1

GL(2)

f (u, v)

g · f(u, v) = f((u, v)g) (g ∈ GL(2))

次で定義するように整２変数２次形式の類といった場合は，SL(2)-軌道の類を表すこ ととする．

定義

3.2 F

, F

SL(2)

F

F

SL(2)

-同値であるといい F

∼ F

F

[F

]

定義

3.3

D

F

同値類の集合

F

D > 0

F

= { [F ] | F ∈ F

}

D < 0

F

= { [F ] | F ∈ F

, F

}

注

3.4 F

F

[7],[8]

d 6 = 1

2

K = Q ( √

d)，O

K

O

O

= Z [ω], ω =

{

2

(d ≡ 1 mod 4

√ d (d ≡ 2

3 mod 4

として表せる．また

K

D

D

=

{ d (d ≡ 1 mod 4

4d (d ≡ 2

3 mod 4

で与えられる．いまから２次体のイデアル類，および類数の定義をする．イデアル類 には積が定義できるから整数環のイデアル類全体の集合は群をなす．イデアル類を狭 義と広義で区別するのは，実２次体においてイデアル類群と狭義のイデアル類群が異 なるためである．

定義

3.5 K

J

J

α( 6 = 0)

(α)

P

P

は

J

J

P

a P

(a ∈ J

)

K

C

= J

/ P

K

C

K

h

P

P

P

= { (α) ∈ P

| α ∈ k, N

α > 0 }

により定める．ただし

N

J

= J

/ P

K

次の命題は，狭義のイデアル類群

C

C

命題

3.6 (1) K

P

= P

, h

= h

(2) K

1

²

N

²

= − 1

P

= P

, h

= h

²

= 1

P

P

h

= 2h

いま，整数環の整イデアルから２変数２次形式への対応を考える．

I

O

0

F

a = Z α

+ Z α

I

N (a) = # O

/a

2

f

(x, y)

f

(x, y) = ax

+ bxy + cy

= N (a)

N

(α

x + α

y)

f

(x, y)

F

f

(x, y) = ax

+ bxy + cy

= a(x + θ

y)(x + θ

y)

f

( − θ

, 1) = 0

θ

= α

α

, θ

= b + √ D

2a

a

α

, α

次の定理は非常に有名である.

定理

3.7 (Gauss)

a → f

(x, y)

K

F

1

1

< 0

a > 0

特に

K

h

D

h(D

)

注

3.8

K

D

D

D

= D

K

K

このことについては次節で述べることにする．

D

< 0

3.6

P

D

> 0

上の定理を使って

K

Gauss

例えば

D < 0

F

f (x, y) = ax

+ bxy + cy

c > a ≥ b > − a

c = a ≥ b ≥ 0

を満たすものの数を考えるとそれが類数になる．D <

0

2

D > 0

2

2

1

1

2

4 3-tensors

この節では，まず

3-tensors

V

V

定義

4.1 GL(2)

Aff

G = GL(2) × GL(2) × GL(2)

V = Aff

⊗ Aff

⊗ Aff

3-tensors

3-tensor

V

x

(x

)

, e

Aff

3-tensor x ∈ V

x =

∑

x

e

⊗ e

⊗ e

の形で表すことができる．もちろん

{ e

⊗ e

⊗ e

| i, j, k = 1, 2 }

V

定義

4.2

e

⊗ e

⊗ e

x

(x

)

S

V

G

V

定義

4.3 I

{ 1, 2, 3 }

{ 1, 2 }

∈ I

e

= e

⊗ e

⊗ e

V

S

σ(e

) = e

, σ ∈ S

上記の定義において

3-tensor x

e

x

σ(x)

= x

S

G

V

= (g

, g

, g

) ∈ G

σ(g) = (g

) (σ ∈ S

)

このようにして対称群

S

V

補題

4.4

g ∈ G, σ ∈ S

, x ∈ v

σ(gx) = σ(g)σ(x)

GL(2)

W = Sym

Aff

形変換により与えられるものとする．

空間

W

G

W

(g

, g

, g

)w = det g

det g

g

w, (g

, g

, g

) ∈ G, w ∈ W

により定める．W2

, W

= (123) ∈ S

G

∼ = W

, W

∼ = W

いまから

3-tensor x

Q

(x), Q

(x), Q

(x)

3-tensor

定義

4.5 3-tensor x

M

(u, v) = (

x

x

x

x

) u +

(

x

x

x

x

) v

のように２変数

u, v

2 × 2

このとき

(u, v)

M

(u, v) = g

M

((u, v)g

)

g

, g = (g

, g

, g

) ∈ G

が得られる．そこで，２変数

u, v

Q

(x)

Q

(x)(u, v) = det(M

(u, v))

Q

: V −→ W

G-equivariant，即ち

Q

(gx) = g

· Q

(x) (g = (g

, g

, g

) ∈ G, x ∈ V )

と表せるように

G-作用と写像 Q

Q

(x), Q

(x)

Q

(x) = Q

(ν(x)), Q

(x) = Q

(ν

(x)) (ν = (132) ∈ S

)

と定義する．同様に

Q

: V → W

, Q

: V → W

G-equivariant

j = 1, 2, 3

Q

(x) = A

u

+ B

uv + C

v

, ∆

= B

− 4A

C

とおく．このとき

∆

Q

(x)

(x)

x

(x)

補題

4.6 Q

(x) = A

u

+ B

uv + C

v

(j = 1, 2, 3)

A

, · · · , C

Q

(x)

A

= x

x

− x

x

B

= x

x

+ x

x

− x

x

− x

x

C

= x

x

− x

x

Q

(x)

A

= x

x

− x

x

B

= x

x

+ x

x

− x

x

− x

x

C

= x

x

− x

x

Q

(x)

A

= x

x

− x

x

B

= x

x

+ x

x

− x

x

− x

x

C

= x

x

− x

x