ルベーグ積分入門後編

ルベーグ積分入門後編

会田茂樹

平成

24

12

13

0

これは

,

B2

.

1.

2.

3.

(a)

(b) Fubini

(

) (c) Fubini

(

) 4.

5.

6.

(a)

(b)

(c)

7.

Radon-Nikodym

8.

Stieltjes

9.

∗まだ完成品ではありません. 順次更新します.

1 測度の再導入

前期の講義で

R

A

m

(A)

. m

(A) = inf

{ ∑

i=1

| I

| I

R

( ∏

i=1

[a

, b

] ( −∞ < a

< b

< ∞ )

)

A ⊂ ∪

I

} .

m

(a) 0 ≤ m

(A) ≤ + ∞

(b) A ⊂ B

m

(A) ≤ m

(B )

(c)

A

(i = 1, 2, . . .)

m

(∪

A

) ≤ ∑

i=1

m

(A

).

これらを示すのは簡単である

.

A

R

R

E

m

(E) = m

(E ∩ A) + m

(E ∩ A

) (1.1)

A

B

( R

)

(d) B

( R

)

σ-

(e) B

(R

)

(f) m

B

( R

)

m

( R

, B

( R

), m

)

m

(A)

.

Jordan

.

演習問題

1.1.

Jordan

Lebesgue

り

, Jordan

(

)

.

以下の定理を証明しかつ有界集合が

Jordan

Jordan

Lebesuge

.

定理

(1)

I = ∏

i=1

[a

, b

]

m

(I) = ∏

i=1

(b

− a

),

I

.

(2) A ⊂ R

1前期、およびこれまで外測度をm(A)などのようにmの上にバーをつけて表してきたが、測度の完備化の方でこ の記号を用いたほうがよいので、ここではm^∗のように∗をつけて外測度を表すことにする

2外測度の性質からこの等式は不等式m^∗_L(E)≥m^∗_L(E∩A) +m^∗_L(E∩A^c)と同値である. また前期は「内測度」の 視点からこの等式の意味を説明した.

(i)

I

m

(I) ≥ m

(I ∩ A) + m

(I ∩ A

).

(ii)

E

m

(E) ≥ m

(E ∩ A) + m

(E ∩ A

).

上記の外測度から測度を構成する部分では考えている集合がユークリッド空間である必要は無 く全く一般の集合で差し支えない．これは

Carath´ eodory

,

定義

1.2. X

. X

A

0 ≤ m

(A) ≤ + ∞

m

.

(1) m

(∅) = 0

(2) A ⊂ B

m

(A) ≤ m

(B)

(3) (

)

X

A

(i = 1, 2, . . .)

m

( ∪

A

) ≤ ∑

i=1

m

(A

).

定理

1.3 (Carath´ eodory

).

X

m

.

E ⊂ X

m

(E) ≥ m

(E ∩ A) + m

(E ∩ A

)

が成立するような

A

m

-

m

-

F

. (1) F

σ

(2) m

F

m

(X, F

, m)

.

証明

. (1) ∅ , X ∈ F

A ∈ F

A

∈ F

. A

∈ F

(i = 1, 2, . . .)

∪

A

∈ F

. B

= ∪

A

.

.

(i)

E ⊂ X

m

(E) ≥ m

(E ∩ B

) + m

(E ∩ B

).

(ii) A

∈ F

(1 ≤ i ≤ n)

A

∩ A

= ∅ i ̸= j

m

(E ∩ B

) =

∑

m

(E ∩ A

).

(iii) A

∈ F

(i = 1, 2, . . .)

A

∩ A

= ∅ i ̸ = j

B = ∪

A

m

(E) ≥ m

(E ∩ B) + m

(E ∩ B

).

(i)

F

. (iii)

σ

. (i)

. n = 1

. n

.

m

(E) ≥ m

(E ∩ B

) + m

(E ∩ B

)

≥ m

(E ∩ B

∩ A

) + m

(E ∩ B

∩ A

) + m

(E ∩ B

∩ A

) + m

(E ∩ B

∩ A

)

≥ m

(E ∩ B

) + m

(E ∩ B

). (1.2)

(1.2)

, A

B

= (B

∩ A

) ∪ (

B

∩ A

)

∪ (B

∩ A

) , B

= B

∩ A

. (ii)

. A

∈ F

m

(E ∩ B

) = m

(E ∩ B

∩ A

) + m

(E ∩ B

∩ A

)

= m

(E ∩ A

) + m

(E ∩ B

) = · · · =

∑

m

(E ∩ A

). (1.3) (iii)

. (i), (ii)

m

(E) ≥ m

(E ∩ B

) + m

(E ∩ B

)

=

∑

m

(E ∩ A

) + m

(E ∩ B

)

≥

∑

m

(E ∩ A

) + m

(E ∩ B

) (1.4)

(1.4)

n → ∞

m

(E) ≥ ∑

i=1

m

(E ∩ A

) + m

(E ∩ B

) ≥ m

(E ∩ B) + m

(E ∩ B

).

以上より

F

σ

.

(2) A

∈ F

(i = 1, 2, . . .)

A

∩ A

= ∅ i ̸ = j

, B = ∪

A

. (1.3)

E = X

m

(B) ≥ m

(B

) =

∑

m

(A

).

n → ∞

m

(B) ≥ ∑

i=1

m

(A

) ≥ m

(B)

m

(B ) = ∑

i=1

m

(A

)

.

さてルベーグ測度は

Jordan

.

,

Hopf

.

定理

1.4 (Hopf

). (X, A, m

)

. F = σ(A)

. (1) F

m

m(A) = m

(A) ∀ A ∈ A

となるための必要十分条件は

m

A

• A

∈ A (i = 1, 2, . . .)

A

∩ A

= ∅ (i ̸ = j), ∪

A

∈ A

m

( ∪

A

) =

∑

m

(A

)

が成立することである

.

(2)

(X, A , m)

σ

,

(a) X

⊂ X

⊂ · · · X

⊂ · · · , ∪

X

= X, X

∈ A (b)

n

m

(X

) < ∞

とする

.

m

.

証明

. (1)

. (2)

.

,

.

m

A ⊂ X

m

(A) = inf {

∑

i=1

m

(A

) A

∈ A , A ⊂ ∪

A

}

.

外測度になるのは定義から自明である．

Carath´ eodory

(X, F

, m

)

.

.

(i) A ⊂ F

(ii) m

(A) = m

(A) ∀ A ∈ A .

(i)

.

E ⊂ X, A ∈ A

m

(E) ≥ m

(E ∩ A) + m

(E ∩ A

) (1.5)

. m

(E) = +∞

m

(E) < ∞

. ε > 0

B

∈ A (i = 1, 2, . . .)

E ⊂ ∪

B

∑

m

(B

) ≤ m

(E) + ε. (1.6)

3σ有限性が無いと一般的には一意性は従わない. 例えば演習問題3.11を見よ. しかしもっと人工的な例がそう難し く無く作れる. 例えば伊藤清三の本を参照せよ.

E ∩ A ⊂ ∪

(B

∩ A), E ∩ A

⊂ ∪

(B

∩ A

)

m

(E ∩ A) ≤ ∑

i=1

m

(B

∩ A), m

(E ∩ A

) ≤ ∑

i=1

m

(B

∩ A

).

各辺を足し算して

m

(E ∩ A) + m

(E ∩ A

) ≤ ∑

i=1

m

(B

∩ A) +

∑

m

(B

∩ A

)

=

∑

m

(B

) (m

)

≤ m

(E) + ε

((1.6)

).

これは

A

m

-

m

A

. (ii)

(ii)

. A ∈ A

m

(A) ≤ m

(A). m

(A) ≤ m

(A)

A ⊂ ∪

A

, A

∈ A

A

,

m

(A) ≤ ∑

i=1

m

(A

) (1.7)

を示せば良い

. B

= A

∩ (

∪

A

)

∩ A

B

⊂ A

, ∀ n B

∈ A , B

∩ B

= ∅ (n ̸ = m) (1.8)

A = ∪

B

⊂ ∪

A

(1.9)

(1.9)

m

A

m

(A) =

∑

m

(B

) ≤ ∑

i=1

m

(A

).

すなわち

(1.7)

.

有限加法的測度から完全加法性をもつ測度を構成する方法を説明したが

,

Hopf

,

. R

A = {

A ⊂ R

I = ∏

i=1

(a

, b

]

}

(1.10)

.

I

−∞ ≤ a

≤ b

≤ +∞

,

. A

,

A =

∪

I

i ̸ = j

I

∩ I

= ∅

4bi= +∞^のとき(ai, bi] = (ai,+∞)と考える.

のように有限個の半開区間の

disjoint union

. m

A = ⨿

i=1

I

m

(A) =

∑

| I

| , | I

| =

∏

(b

− a

)

(i) ( R

, A , m

)

m

A

.

Hopf

( R

, B( R

), m

),

B( R

)

,

(ii) F

,

m

ということになる

.

,

, Hopf

m

(A) = inf

{

∑

i=1

|I

| I

R

A ⊂ ∪

I

}

. (1.11)

と書いてよいこともわかる⁶

.

(i)

m

A

.

.

命題

1.5. I

.

disjoint

I

I = ∪

I

| I | =

∑

| I

|

証明

. N

. ∪

I

⊂ I, I

| I | ≥ ∑

i=1

| I

|

.

| I | ≥ ∑

i=1

| I

|

.

. (1) | I | < ∞

ε > 0

. J ⊂ I

J

| J | ≥ | I | − ε (1.12)

となるものがある

. I

I ˜

∑

| I ˜

| ≤ ε +

∑

| I

| (1.13)

とできる

. J ⊂ ∪

I ˜

J

N

J ⊂ ∪

I ˜

. (1.14)

5A=⨿N

i=1Iiのように書くこともある.

6簡単なことであるが、確かめるべきことである.

7∏_n

i=1[ai, bi]の形の集合

8∏n

i=1(ai, bi)という形の集合

(1.14), (1.12), (1.13)

|I | ≤ |J | + ε ≤ ε +

∑

| I ˜

| ≤ 2ε +

∑

|I

|

.

(2) | I | = + ∞

(1)

.

i

|I

| = +∞

,

i

| I

| < ∞

.

R

. J ⊂ I

J

| J | ≥ R (1.15)

となるものがある

. I

I ˜

∑

| I ˜

| ≤ 1 +

∑

|I

| (1.16)

とできる

. J ⊂ ∪

I ˜

J

N

J ⊂ ∪

I ˜

. (1.17)

(1.17), (1.15), (1.16)

R ≤ | J | ≤

∑

| I ˜

| ≤ 1 +

∑

| I

|

∑

i=1

| I

| = + ∞

.

細かいことであるが、次を注意しておく

.

I

∏

i=1

[a

, b

]

(1.11)

.

定理

1.4 (2)

,

(Monotone class theorem)

.

1.6. (1) M

X

:

(1) A

∈ M , A

⊂ A

⊂ · · · A

⊂ · · ·

∪

A

∈ M . (2) A

∈ M , A

⊃ A

⊃ · · · A

⊃ · · ·

∩

A

∈ M .

(2) X

C

C

.

M( C )

.

1.7 (

). A

X

.

σ( A ) = M( A ).

証明

. M( A ) ⊂ σ( A )

M( A )

σ

.

9Cを含むすべての単調族の共通部分をとればよい

(i) A ∈ M(A)

A

∈ M(A) (ii) A, B ∈ M( A )

A ∩ B ∈ M( A )

.

(i)

: M

( A ) = { A ∈ M( A ) | A

∈ M( A ) }

, M

( A ) = M( A )

. A ∈ A

A

∈ A

A ⊂ M

( A ).

M

( A )

.

(1)

A

⊂ A

⊂ · · · , A

∈ M

( A )

∪

A

∈ M

( A )

.

∪

A

∈ M(A)

. A

∈ M(A)

{A

}

M(A)

( ∪

A

)

= ∩

A

∈ M( A ).

よって

∪

A

∈ M( A ).

(2)

A

⊃ A

⊃ · · · , A

∈ M

( A )

. ∩

A

∈ M

( A )

.

∩

A

∈ M( A )

OK.

( ∩

)

A

= ∪

A

∈ M( A )

A

∈ M( A )

.

以上

(1), (2)

M

( A )

. (ii)

2

.

(a) M

(A) = {A ∈ M(A) | ∀B ∈ A A ∩ B ∈ M(A)}

M

(A) = M(A)

.

A ⊂ M

( A )

.

M

( A )

.

A

⊂ A

⊂ · · · , A

∈ M

( A )

,

B ∈ A

A

∩ B ∈ M( A ).

B ∈ A

( ∪

A

) ∩ B = ∪

(A

∩ B ) ∈ M( A ).

よって

∪

A

∈ M

( A ).

A

⊃ A

⊃ · · · , A

∈ M

( A )

∩

A

∈ M

( A )

.

M

( A )

.

(b)

M

(A) = {A ∈ M(A) | ∀B ∈ M(A) A ∩ B ∈ M(A)}

M

(A) = M(A)

.

(ii)

.

(a)

, A ⊂ M

( A ).

, M

( A )

.

(a)

.

注

1.8.

A

M

σ( A )

.

.

演習問題

1.9. µ

(I, B(I))

.

I = [0, 1]

B(I )

. f

I

.

0 ≤ t ≤ 1

∫

[0,t]

f (x)dµ(x) = 0

f (x) = 0 µ-a.e.x

10これが示されれば有限加法族であることがわかる

Hopf

(

)

. m

, m

m

F (= σ(A))

. C = { A ∈ F | m

(A ∩ X

) = m

(A ∩ X

) ∀ n ∈ N}

と定める

. A ⊂ C

C

σ( A ) ⊂ C

となりすべての

A ∈ F

m

(A ∩ X

) = m

(A ∩ X

).

この式で

n → ∞

m

(A) = m

(A)

.

C

であることを示せばよいが

,

m

(X

) = m

(X

) = m

(X

) < ∞

.

注

1.10. Carath´ eodory

Hopf

(1) (

)

(2)

などで使われる

. (1)

. (2)

.

2 測度空間の完備性・完備化

ルベーグ測度などのように外測度から

Carath´ eodory

,

σ

.

2.1.

(X, F , m)

(C)

.

(C) A ∈ F

m(A) = 0

,

B ⊂ A

B ∈ F

,

m(B) = 0.

注

2.2. ( R

, B( R

), m

)

.

B( R

)

(

)

, m

.

(a)

0

(b)

ℵ

0

(c) B( R

)

ℵ

11確率過程論で重要なブラウン運動には情報増大系と呼ばれるσ加法族がある.このσ加法族は完備ではないが、完 備化すると色々と有用な事がある.

から濃度の比較によりルベーグ可測だがボレル可測ではない集合が存在することがわかる．これ は前期にレポートとして出題した

.

(c)

.

(

)

.

定理

2.3. (X, F, m)

. F

=

{

B ⊂ X | m-

N ∈ F

A ∈ F

A △ B ⊂ N · · · ( ∗ ) }

と定める

.

A△B = (A \ B) ∪ (B \ A).

(

)

, F

F

m

.

(1) F

σ

, F ⊂ F

.

(2) (1)

( ∗ )

B

m(B) = m(A)

.

,

well-defined

, (X, F

, m)

.

A ∈ F

m(A) = m(A)

.

(X, F , m)

.

証明

. (1)

F ⊂ F

. σ

. (i) A ∈ F

A

∈ F

(ii) A

∈ F (i = 1, 2, . . .)

∪

A

∈ F

を示せばよい

. (i)

. A ∈ F

, B ∈ F

N ∈ F

A △ B ⊂ N , m(N) = 0

. A

△ B

= A △ B ⊂ N

, B

∈ F

A

∈ F . (ii)

.

A

B

∈ F , N

∈ F

A

△ B

⊂ N

, m(N

) = 0

.

( ∪

A

) △ ( ∪

B

) = (( ∪

A

) ∩ ( ∩

B

)) ∪ (( ∪

B

) ∩ ( ∩

A

))

= {

∪

( A

∩ (

∩

B

))}

∪ {

∪

( B

∩ (

∩

A

))}

⊂ ( ∪

(A

∩ B

)) ∪ ( ∪

(B

∩ A

))

⊂ ∪

N

.

m( ∪

N

) ≤ ∑

i=1

m(N

) = 0

(ii)

.

(2)

well-defined

.

A

∈ F, N

∈ F

A

△B ⊂ N

, m(N

) = 0

.

A △ A

= (A \ A

) ∪ (A

\ A)

⊂ (

(B ∪ N ) \ A

)

∪ (

(B ∪ N

) \ A )

⊂ (

(B \ A

) ∪ N )

∪ (

(B \ A) ∪ N

)

⊂ N ∪ N

なので

m(A △ A

) = 0.

m(A) = m(A

).

m

m

. m

,

m

.

(C)

.

12古い本ですが復刻版が出ています.