雑誌名 福井大学工学部研究報告

θ及Rの解析

著者 橋本 良基

雑誌名 福井大学工学部研究報告

巻 2

号 2

ページ 62‑67

発行年 1953‑12

URL http://hdl.handle.net/10098/6383

62  福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第2巻 第2号

固定モーメント法に依る節点の移動する ラーメンの θ ^及 Rの解析

橋 本

The Analysis of the Deformations 8 and R  of  Rigid  Frames

， 

in which the Joints move laterally

， 

b踊edon the Foundation of  the Principles of Cramped・MomentMethod. 

Yoshiki  HASHIMOTO 

良

基

The end moments of  the members of rigid frames

， 

in which the joints move laterally

， 

are genera

I l

y caluculated by the Cramped Moment‑Type Method. 

The  author  considers  the  basis  of  the  cramped‑moment  method  as  follows  First，  restraining the joint ro‑tation the previnus lateral displacementsムRare calculated ; then  the corresponding rot rotations6fJ  are able to be expresseo by the pisplacements of adjacent  stories.  Final1y

， 

the true rotations and displacements  are  obtaind  as  summations of 6.{} 

andムRrespectively. 

Thus (j  and R are alternately using

， 

deformations  of  joints or  stories  obtain  in  any  degree of accuracy desired. In the same way the end moments of members are  determined  by a comrnon method. 

1 . 緒 雷

節点の移動が著しくない構では節点。回転だけで此を解く事も出来るが相当の誤差は免れない

J

近時 節点の移動を考慮して間定法に依り此を解〈事が試みられている。その根拠D主体であるO及Rの性質

を理論的に究明し，此を取扱う範囲等を知るの資に供せんとして此の篇を草した。

2.

理 論

先づ最初に於

τ

普通り固定法により節点回転角。及部材回転角Rを求める。下図に示す短形構ラ{メ ンが外力と平衡白状態にある場合各節点には節点回転角。及各柱には部材自転角Rが生十、る白此の時テ

P .   . 

.LLJ.

・ ・ ・ .. 

^I

・ ・ ..  .  .  .  . 

^{I • • • 10  I 60} 

ー弓

， . .

kL 

~.

与 与

p 与

Ic: _a 

4  4 

K. _d 

a  第 1 図

K ，.

戸メンの一部AーLORUを取り出して見ると節点方程式より下の式の様な関係がある。

。

^3KoRo十3KuR

^叫 z

^K 

o 

1  CAr‑CA.L+ M   A一反応千‑Ko+K

孟瓦)‑

2(Kl+Ko+Kr+K拙〉十反

Kλ 高 高 司 瓦 )

2 E  …・・(1)

と〉に Kh K，.は梁材 AL，ARの岡g度 Ko， Kuは柱材 AO，AUの剛度

， s  

K 0 = KlOl+KoOa+Kr6'r十K叫九

CA h  CA.は梁材， AL，AR<DA，点の左右端。垂直荷重に依る固定モーメントであt， MはA点に衛

a <

苦戸 メントである。 (1)式を書き直すと次の様になる。

04=~.口 Ko+3~担 K叫 fl~ Kl  80 Ko  0.，.. K?" 。叫K時 1 M‑CAl+CAr 

A‑‑;::'‑‑‑ ‑‑..一一一一一ーー ー』ーー一一ー一一一ーー叫一一一一‑‑‑‑‑一一一

2ρA・2 PA  2ρA  2ρA  2ρA  2 PA  PA  4 E  と〉に ρA=(Kz+Ko十Kr+Ku)

第 2 図

。

L  f 4 ‑ F f i p f k r   ら矧 j 3 r

^チ

^{9 R  r}

KnKuKlK 

で11 ァ ， グ .1'¥..1'は節点Aに於ける上下の柱及左右O

flA ρAμAμA 

梁への分配率である。又(1)式の第二項θ関係を図示す ると第 2図の様になる。

次に層方程式より次の様な関係が求めらる。

S (MAO^十MOA)= A

Hh

_o  S‑HhO=Poho 

l'(MAO^十MOA)=I6EKo({} A + flo)‑212EKoRo  212EKoR口=I6EKo(OA+OO)+Poho 

1  (¥lKo(flA十九)I Poho1 

一~T ~) :~.! ー一戸十←~~ ...・H ・‑…・(2) rr‑‑IKo l

ム

2 I 12EJ 

U 

9 A  

47  

と〉にPoは節点Aより上に作用する水平力の和である。JllIちPo=Pl十日+…

同様にして

̲̲1̲ 

[ ¥ 1 里 五 色 ? を ω+ ^堕竺 1.   .

叫一疋叫

lL 2  12Ej  〈‑3〉 .l'Ko• IKuは節点Aの上下り層の柱の

Kv

横の和である口又l'Ko(OA+Oo)/2

は一本の柱の柱j~， 柱脚の節点回転角の平均値に其の柱のKを乗じたものの

横の和である。

次にく2)式及。〉式を(1)式のRo，R叫に夫々代入すれば(}CO一般式として次 の様な式が得られる。

。=J‑

_A‑2ρA 

f 

lÆ~LJ_-~o ):~μA 十 8仏革~ "1ß叫〈九十九21-~型

2 

~ ^f SK

叫 ム

2 J ‑2ρA  1 fKo Poho I K叫 Ph制 M

一

CAlCA

パ

一一{一一^L

! ' ; : "  

+一一一一一十一一一一一j・・^H・^H・‑…(4) 2ρA¥IKo 4E I SKu 4E I  2E  / 

上の式θ第四項は水平荷重，垂直荷重及モーメントに依る荷重項で荷重さえ与えられ〉ぼ他白OやRに無 関係に定る値である。

今問題を簡単に取扱うために水平街重だけに就いて考えればむは次の様である。

64  福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第2巻第2号

~f空堕包E也旦引 L也土0ω空i2+川空墾豆

A‑Z匂PA

l

1:Koμ 2

ム

1

. t

K

制 心

2  J ‑2ρ向A. 2均PA¥IKo 4E . IK世 4E

ノ R . L =  

_{~~r ~} ハKuC九十九)，+一一『一一1  Ph叫

叫‑.EK^也ι 2 I 

. . . r

Ku 12E 

九 一

E

R E  

‑一

+ 

足

AU一

汁一

!

叩 一 い

附 一

ー わ }

一 町 一

R  一 ﹁

今すべてのOを0とした場合即各柱の柱頭，柱脚を同定した場合θ荷重に依る部材回転角Rは(2)式及 (3)式の第一項を夫々Oとする事に依り求まるから其の場合の部材回転角を夫々 R'o，R'uとすれば

1 Pobo  1 Ph 

3Ro'= >;，~r  ...^IJ"U  3R 一一一..L~~U …...・ H ・ .(5)

IKo 4E 剖‑1:K制 4E

を得・るロ此は柱。両端を夫々間定した場合C荷重にる部材回転角の3倍である。

叉(4')式D右辺のすべての節点回転角。をOとした場合の{}Aを{}A'とすると

IL

， = J ‑( 

~~~_ P?~O十 L 堕外

一一

^一圃

A

一語二¥

IK; 4E" IKu 4E)  を得る。又上白式に(5)式の値を代入すると

'=0 _2ρA 

~

^(3KoRo' 

+ 

^3KuRu' ) 

， .

 

= 一 一 一 十 一 一3Ro' Kn， 2 ρA  3R'2 ρ叫UV~'\..uλ  ・ H ・-… (6) と〉に K01pA' KU/PAは夫々節点Aの上下の柱への分配率である。

(6)式は水平荷重がラーメンに作用した場合，各柱θ両端を国定して横に移動を与えた場合の部材回転 角 R'に依る節点A([)回転角であり，叉節点の回転角が最初0であったものの，増加とも考えられる。而

も此は荷重が与えられ、ば各々の節点に於て求むる事が出来る口

斯〈して各節点の{}'が求まると次に再び(2)式及(3)式の第一項のOに今求めた{}'fD値を代入する，

そうすると各節点の回転角が最初Oから{}'になった為に Ro，R叫 D増 分 が 生 宇 、 る 。 夫 れ を そ れ ぞ れ ムRo'¥8¥，ムRu'191とすれば

1 ，¥lKu，({}A' 

+ { } '  

u)  dRu' ，9¥こ 一 一 円. IK制ム」

¥ ノ

ヴdft¥ 

• •

•

• •

•

•

•

•

•

B a a ‑

‑ ‑

・ ︑

B ' a

E

・ ・

E

‑ E ' '

1 '¥lKo( {} A I十0

0 ') 

dR' n，lI¥ = ~~r ) :  

日¥tI'J‑ ..EKoLJ  2 

を得る。此fD(7)式のムRo'¥9¥，ムR1/(9¥の値を (4)'式に夫々代入すると節点回転角むの第二次の増 分が求まる。即ち

ゲ ー3ムRo'(91  Ko， 3b.Ru' ¥9¥  Ku  1  d{}" A一 _{2 ρ}一ー十 回 ← 一 一=‑‑1:KO'

A  2 ρλ2ρA 

以上の様な方法を11国次に繰返せば第三次，第四次等次々のム0を求むる事が出来る。

'"  3ムRO"l91Ko I  3ムRu"¥6¥ Ku  1 ^'r"TJ" sII 

ム(}A'"  '"""'~...'\.U ¥"1  ~~~ +一一一一一一一一一~IK{} 1/

且 ρA 2 ρA  2PA 

而も回数を重ねるに従ってム{}rD値は漸次小さくなり遂に

o

~こ収散する。 故に此等毎回のム(}r[)値D 合計を取れば終局D節点回転角が求まる。

叉ムOとムRとが交々に求まって行くのであるから同様にして部材回転角RGD終局慣を求むる事が出 来る。.ll

P

ち

。

^{AニfJ'A十6fJA"} 

⁺ 

^{L::jJ'l'λ十・・H・H・‑…}

Ro‑‑R

o '   + 

^ROf/ 19'十 ムRO'lf¥9' +・^H ・^H ・..…

R也=Ru'+^Ru" ^{d}l十 ム}Ru'!f

，

81十

. a . .

・^H ・‑…

3.

図 上 計 算 法

以上の結果から f，J Rを求むる為に図上計算をなす場合の順序を簡単に示すと以下の様である。

(1)  各節点の分配率を求め節点の周囲に記入するD

Kl  Ko  K 'I Ku 

Kz+Ko十KI'十K^邸 Kl+K^口+Kr十K^制 Kz+Ko十Kr十K^叫 Kl+Ko+KI'+Ku (2)  各層の柱の剛度 K の横の総和を求おうるD

.EKo•

. E K

u 

(3)  CA)水平荷重C場合には 3Ro'=1/.SKo. Poho 14E， 

3Ru'^ニ lj.EK^時 Phu/4Eを求めてラーメン外の一番左に記入する。

(B)垂直荷重及モ{メントの場合には

。 _‑

^{1 M一 CAl+CAr}

A一一Kl十Ko+K'I+ K^叫 4E  を求めて節点右下Oの直下に記入する。

以下例題に就いて述べよう。

伊

l t

1. 第4図の様な対材、構に水平荷重が作用した場合，

第 4 図 。A=fJB PA=(1+1)ニ 2 Au=l+l 2 

A  ^B 

_{1  Ph  1 Ph  ~ ~ ~~ fPh¥} 

3R'

叫一一一一

‑..EKu4E‑

一一ー一一 8 

E =0.125( τ )  ¥ι/ 

K =  I 

?  ^。A'=n~

^{(3KuRu')， 3Ru'= 1250x 10‑ー壷4} 

^(τ} 

^fPh¥

え _{l 凡}

_i::::1

κ (

^t'= 

^I 

^{h μ A ¥r...ノ}

3 ¥lKuO' 

ム3R'ω=一一、1 ‑一一

帆 l : 'K

叫 ム

2 

i 

6(}j/一空全Ru~ ~ ^{A  ̲}  ̲ fJB/~

2 ρA  2ρλ 

C 

D 

第 第 5図の如く求めた O及3Rの値を携角法で解

J 

ι

R..  1.

長崎

lA， 1 河

‑+‑1J，.fO  + )1;Z，.ru I + JI/.~.N

いた値と比較すると下図の如くなる白 第 6  図

l  一一‑‑‑‑‑:. ... .468.7J'  +/11.111'" ;1.11' 

「

^3R

l O A   l 

^+ssn+fωI 

~仰

L^， +  .731.  :.，  " IJ 1...  U I 

撰角法に依る値 0.17857 O.ω5714  ，;，:  =‑‑!.:.ι+

仰に」竺 一一一一卜一一一← 卜一一‑‑， s‑I 品 …

.J"f7

1 +  

^J{?!1， 

計 算 値 0.17856 0.035712 

p r  

伊良. 第7図の様な非対称構に水平荷重が作用した場合 Ku 7. 1  K  3 

PA=1+3=4，  ~=一ρA  4 ' ρ^{一 二 一}A  4 

5 図

‑f 

局 ^d 

‑78.11，  ‑1.Jb.2./' 

‑ 9.7，品 ‑ I!JJ 

‑ lJ，1，  ‑ 1" ~4'

司 '‑IS ‑ 01 

a 

_s 

+ J!1....iI  + .11.16  + t.II  . .   Q' I 

‑+‑ "" 

. . .   J.f'll，t. 

鵠2程 第2号 福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告

師

7  図

第 ^{Ku1'  2} 

^K

_{一 向}

一 一 35 

ρB  5' 

ρB=3+2‑5

， 

A  8 

k =

.J 

，̲ 

1 Ph ̲ 1 Ph ̲ ^ ^o'; (Ph ¥  Ru =立厄=語 ~Ê"= 0.083 

" L E " )  

斗 33.33x

川幸)

k  ..

晶 . . = . 3

べ

"t::.J 

? 式 上

1.̲  22Shfi 

. z 企 号

‑j(J~ φ/4i2パ +1““

...  /I.U + 1/1. 71 

千 //，(J ‑ 111  0

.11  ...  I.J?  +司27 ...  01 

3 3 

ιK...4r・"i"‑':

7百2 叫

千/Ul/.I，{

i 

^{+/1μ 司 μ q}

+ 1711 1‑JO、f ‑

4 . "  

~þ/l- ε J，l ‑ ~.f 7

0'1‑.<.71  ‑1.11 

aQ 

1昌 司91 ‑ .1t/.t  o D8 I ̲ D. JtI 

+ 押1.72

図

~ ^k 

‑ τ z  

e  8 し 山

一 川 一 ︒ 第

9

， 

...  IA..tO 

. . .   iSJ  +

・ 1.11

千 (/J  +  Ifll  .，. 

t 9 .

J ，J ...  (J'.t 

伺俳

噌・

J Il ....  ...  833.J.1  ...  ZlI.1f 

由 S

司 ， .

t ..17 

161  O.6B 

D  以上により第8図の如く求めた{}A及。nの 値を撲角法で解いた値と比較すると第 9図の 様である。

ζ 

‑砂

+  + 

図 9 

I 

OA  9n  撰角法に依る値 0.00595 I 

印刷!産

「一一一一一一一「一一←ー← ^← 'Iph  計 算 値

I

o.

∞

597  I 0.01932 

I

^亙

第 9 

2 一

5

L 一 一

K01  1  一 向

函 ‑ C : : S'

第10図の様な非対称構に等布荷重が作用した場合，

KUl  2 

ρB=2十2+1=5，

一

ρ

一

B 

‑

5'  例3.

一 一

v m

一九円

Kol  1  Pc=1 +2==3， 

. .

_{ρ 3 '}  

. . . . 0 . =

^ー

10  図 第

K2  2  ρ ρ 4   Kor  2 

ρρ2十2::::::4，~=-~，

' ρ ρ 4  '  b 

に " ‑ 2

k ふり k o . t ‑ = t  

C 

Kl  1 

ρ 8   Kur  4 

pe  8'  Km'  2 

ρ6=2+2十4 4，zf=忌一，

t < ， = . z   E  8 

. s

K叫‑6 5Ko^で 3

k . . . . c . . . 田 4

三 . t =Z

Co^ρ=+6

∞

^Okg. ffi

^， 

^{CDo=‑60ωkg.m} 

1 1 ^{/ r .}   ，，1  6山泊 1

=  ._ρ ..

_{。 4}

~(COD)~ _{"'‑'gD.lE ‑}=一 一_4x3 E = 十5

∞‑

1 1 / r <   ，，1  6000 1 

= ァ ー

μ : ; ;   4" 

(C'‑DO)'DO 

/E‑‑

一一=一一一一4 x 4 

‑ E  

=^{‑ ‑ 0 . 1}‑3751 'oJ:

E 

:

4  F 

此等の数値に依り第11図。如く図上計算を行えば節点回転角。及部材回転角Rが得られる由

第 11  図 _~!l ..!cJfd 

;rJ:.  .l見

守1J.f" 申l.lI' +1'411. 

‑ ， ， 9 .

I.r 

令 11.41 ‑I U.r 

c  ^{..  7.JJ  ‑}J."  ̲ n  F

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τ ^万

¹¹

ヒ立と

+JfJl 

A  F 

(JB  f)o  (}D  (JE  3Ro  3R制

‑107. 十680.4 ‑63

1 .

0  +57.6  ‑285.6  +4.54  此に依り各節点モーメントを算出すれば次の様である。

第 四 図

Mop=‑30

卸 ，

MBo=+l叩4

，

MDO=+3673

， 

MOB=+3080

， 

MB， E ‑ー 628

，

ME.ρ=‑917 

M^.DE=‑3672

， 

MEB=+ 32 

‑ ぜ 1'，，4 _.'IIJS ^F 

MAB=‑447

， 

MBA=‑876

， 

ME~+ 槌5， MFE ‑+425  此を図示すれば第12図の様になる。