幾何学
小テスト
担当
中島 啓
年
月 日
水
問題 から互いに交わらない 本の直線 を除いた空間 !#" のコホモロジ
─群$&%'(!#"*)+, を求めよ-
./0!#" の閉部分多様体とコンパクトな部分多様体で1 そのポアンカレ双対が12$&%(!#"*)+,31
$&%
4
!#"5)6, の基底になっているものの絵を描け- なぜ1 基底になっているのかの説明もつ
けること-
問題 7980:<; を複素二次元射影空間とし1>=?A@CBD@CEGFHI?J)6B)KE&LM8> を同次座標とする-ONQP
R =?S@ B@T5FVUW?J)6BXYL#Z ;\[
R
(X)6 ^] ] とする-YN は複素一次元射影空間と微分同相な180: ; 内
の. 次元閉部分多様体である- また1N\_P R =?S@TO@TE5F0UW?J)KE `L#Z
;\[
R
(X)6 ^] ] を同様に考え
る-`N`1NV_ のポアンカレ双対を a*b)6a5b5cdLe$ ; (80: ; )6, で表わす- ただし向きは1 非同次座標
で入れる- このとき
fYa5bPga*b c を示せ-
./hN とN _ の交わりを調べることによって
iXjlknm
a5b<opa5b
を求めよ-
コホモロジ─の係数 qr)+Ss は省略することにする-
解答 t 番目の直線をNV" とし1 十分小さい u&vw を取り1xNV" の管状近傍 yz"{P R ?|L
U/}~'I?J)KNV" uT] を取る- !#"Dyz"P!#"^1!#"Dyz"P A(; [ R
2]531Cyz"P ;
である- ただし1nP は微分同相の意味で1n ; P R ?SLS ; UU?VUTu2] である-
&'/
~
6
~r 完全列により1
$
(!#" `$
(!#"¡$
¢£
; $
¢¤A(
; [ R
]5
$ ;
(!#" `$
;
(!#"¡$
;
¢£
; $
;
¢¤A(
; [ R
]5
¥ ¦n§
$
(!#" `$
(!#"¡$
¢£
; $
¢¤A(
; [ R
]5
¥ ¦n§
$&¨f(!#" `$&¨f(!#"¡$©¨f¢£
; ª $©¨f¢¤A(
; [ R
]5
¥ ¦ §
となる- ここで10$&%l¢«¬ ; P® ¢¯SP¤/31>P£¬¢¯|°P¤ と10$&%'I±¢ ;[
R
]5²P®
¢¯tP³X)'f^1nPg©¢¯°P³X)'f を代入する-
まず1C$ (!#" P $
(!#" であるが1$ (!
¨
Pw$
¢
HP であるから1$ !#"'`P
を得る-
次に $ ; !e"+ から$ ; !e" への全射が存在するが1C$ ; !
¨
P´ であるから1 帰納的に
$&;f(!#"0PQ が分かる-
また1!#" が連結であることは明らかであるから1X$ ¨ !e"VPg であり1 ª が全射であるこ
とも分かる- そうすると1
²µ $
(!#"0µ $
!e"0µ $
¢¤¬¢
; [ R
]5\µ
という短完全列を得る- したがって帰納的に $ !#"' P " である-
./>¶h" を NV" の回りを一周する小さな円1·C" を N0" を境界に持つような半平面とし1 適当
に調節して互いに交わらないようにしておく-
このとき1¶Y¸1·¸ のポアンカレ双対を1a/¹/º\LS$&;4 !e"31a/»3ºxL$
!#"' で表わす-¼<½¿¾>½QX
このときa*»ºXo©a/¹À は1·¸&¶VÁ のポアンカレ双対であり1·¸&¶VÁ の向きは1·¸1n¶VÁ の向きと
!#" の向きから自然に決まる向きである-H·¸X&¶VÁ は ¾°PÂ のときは交わらない-Y¾\P¿Â のと
きは1n·¸Ã1¶VÁ の向きを適当に入れておくと1 向きはÄ となり1 したがって
iÅYÆ
a/»ºo©a/¹ÀhP³Ç3¸ÈÁ
となる- これにより1 R a*»ºÃ] ¸ÊÉ" は一次独立であり1 また$ !#"' の次元の数だけあるので1 こ れが基底であることも分かった-$ 4; !e" の双対基底が R a/¹/ºÃ] "¸ÊÉ である-
解答 7ËdÌf@Z²: ; µ Z²: ; を ËJÌ+=?¬@nBS@E5FWHP®+=?¬@BÍl/Î0ÏEV+~rÐ`Î@B+~ÐhÎzÄE>Í/ÎÃF に よって定義する-Ë
¨
PÑ~} で1zËdÒÓ
;
=Ô?@BÕ@JE5FÖ×PØ=?@0ϼE#@BTF である-ËdÒ'Ó
;
は微分同相で
ËdÒ'Ó
;
(N>0PgN\_ であるから1XË×ÙÒÓ
;
a*b c Pa*b が成り立つが1XË
¨
と1ËdÒ'Ó
;
はホモトピックであるか ら1Ë<ÙÒ'Ó
;
P~r} であり1 結論が従う-
./ N と N\_ は1 一点ÚpPÛ=Ê@X@5F で交わる- 非同次座標 =?e@Bp@XEGFJܵ ¢BXÝG?J)KE/ÝG? を取り1
さらに ZP ; によって1XÞ に値をとる =ß<@TO@T5F の回りの座標を取ると1
àá
N¬P
R
W?^)+?
;
)K)K YLS
Þ
]T)
àá
N _ P R
¢X)KX)?
)+?
Þ
hLS Þ ]
となり1 横断的に交わっており1 また向きは正の向きで交わっている- 従って
i jlk m
a5b<opa5bPw
が分かる-
