大規模電力系統の故障計算手法に関する研究

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大規模電力系統の故障計算手法に関する研究

田中, 和幸

https://doi.org/10.11501/3117292

出版情報：Kyushu University, 1996, 博士（工学）, 論文博士 バージョン：

権利関係：

大規模電力系統の故障計算手法に関する研究

田中和幸

フ犬二支見本莫霊亘プフヨミ乏充α〉古まと陸註言十主宰弓三才去じこ隠司す一る石井ラ宅

まえがき

1 . 故障計算の概要と用途 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 7 1 . 1大規模系統の故障計算に求められる要件

1 .2対称座標法

1 .3故障計算の基本的方法 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 18

1 .4安定度解析計算における位置付け 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 22

1 .5短絡容量計算における位置付け 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 26

2 .各種故障の統一的定式化手法の開発 一一一一一 一一一一一一一一一一一一一- - 31 2. 1地絡故障 一一ー一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一-

- 32 2.2線間短絡故障 ー一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 33 2.3ブランチ断線・遮断 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一-- 3は 2.件直列コンデンサの短絡故障 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一- -

36 2.5各種故障計算式の統一的表現 一一一一一一一 一一一一一一一一一一一一一- -

38

3 . 任意の多点故障計算手法の開発 一 一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一 - - 41 3. 1多点故障の基本方程式 ー一一一一一一一一一一一一---- --ー一一一一一一一一一 札1 3.2故障数に制約のない計算法 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一-- 42 3.3非基準相故障の場合の計算法 ー一一一一一一一一一一一一一一一一一一一- - 44 3.4零相回線開影響の効率的計算法 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 切 3.5ブランチ中間点故障の効率的計算法 一一一一一一一一一一一一一一一一一- -

3.6零相分や逆相分電源を考慮する場合の計算法 一一一一一一一一一一一一一一 555 9

4 . 故障計算プログラムの開発 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 63 4. 1プログラム構成と機能の概要 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一- - 63 は.2単純モデル系統に対する試算例 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 66 4.3小規模モデル系統に対する試算例 一一一 一一一一一一一一一一一一一一一一 72 件.4大規模モデル系統に対する試算例 一ーー一一一一一一一一一一一一一一一一 85

5 . 過渡安定度解析計算への適用 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一- - 96 5.1プログラム機能の概要 ー一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 96 5.2シミュレータ実験との対比例 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 99 5.3大規模モデル系統に対する試算例

5.4各種故障が安定度に及ぼす影響の考察

1

6 . 短絡容量計算への適用 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一11 6 6. 1短絡容量計算の基本式 一一 ー一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一11 6 6.2 Z行列特定要素の効率的な修正法 一一一一一一一一一一一一一一一一一一12 1 6.3プログラム構成と機能の概要 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一1 26

6.4大規模モデル系統に対する試算例 一一一一一一一一一一一一一一一一一一12 9 6.5短絡容量とその計算条件に関する考察 一一 一一一一一一一一一一一一一一13 8

あとがき 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一1比3

参考文献 -一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一14 5

付録 ・一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一ー -- 1件9

1. Y行列に基づく電圧 ・電流計算法 一一一一一一一一一一一一一一一 一一一149 2. Z行列の特定要素の計算法 一一一一一一一 一一一一

一一一一一一一一一一15 4

日

まえがき

我が圏内外を問わず、 長距離・大電力の輸送を担う基幹電力系統のほとんどは架空送電 線で構成されている。 これらの送電線は地理的に大きな拡がりを持ち、 また空間的に無防 備な状態にさらされているため、 落雷など外部からの影響(系統外乱)を受ける危険が避 けられない(表1参照)。 この系統外乱は、 一般に送電線への地絡故障や短絡故障として 多く現れ、 これに対する電力系統側からの対応の如何によっては、 最悪の場合、 停電を招 きかねない。 ことにこれが電力系統の広範囲に及ぶ場合には、 電気の途絶による社会的な 影響は甚大なものとなる。

電力系統の故障計算は、 起こるであろう故障に対しても電力系統の健全性を保持するた めの、 すなわち電力供給の安定性を維持するための各種方策の検討に必須の基礎的計算と 言うことができる。 電力系統の安定性を維持するための主要な検討項目には、 次のような ものがある。

①保護継電方式の検討計算(故障の検出・除去方法の選定に関する計算)

②過渡安定度解析計算(故障に伴う発電機群の同期運転継続の可否に関する計算)

③短絡容量計算(遮断器の遮断容量の選定や電磁誘導障害の有無に関する計算〉

言うまでもなく、 故障計算はこれら全てに必要となる。

故障計算のための基本論理には、 対称座標法やクラーク座標法があり、 また近年では相 座標法と呼ばれる新しい論理も提案されている3)o このうち、 前2者の論理には大差がな く、 実態として研究教育の場や電気事業等の実務で長年、 対称座標法が広く用いられてい ることは周知の事実である。 また相座標法は、 前2者とは異なり計算回路を現実そのまま の3相で表現して扱うものであるが、 直観的に見てもその分だけ計算労力が多大になるこ とは避けられない。 蛇足になるが、 故障計算の歴史的経緯をみると、 そもそも3相そのも のを扱う複雑な計算を容易にするために前2者が考案されたと見るのが自然、であり、 近年 改めて相座標法が注視され始めているのは多分に今日に至る計算機能力の飛躍的進歩と無 縁ではない。

このように、 故障計算の基本論理として最も馴染みが深く、 使用実績もまた長いのが対 称座標法であり、 本論文で述べる故障計算もこの対称座標法に基づく。

さて、 上記3種類の解析計算を念頭に置いた場合、 対象とすべき故障種類は、 送変電線 での平衡や不平衡の地絡故障、 短絡故障、 断線故障、 直列コンデンサの保護ギャップ放電 故障といったいわゆる故障の他に、 系統側からの制御動作である遮断器の遮断計算も含め て考えなければならない。 最後に挙げた遮断計算は手法面では断線計算と等価である。 し かし適用面からは、 断線は通常1つの地点を前提とすれば済むのに対し、 制御動作である 遮断計算では1つの故障ごとに少なくとも送電線の両端2ヵ所での計算が必要となるとい う相違点がある。 後述するように、 本研究に着手した大きな理由のひとつに、 複数地点で の同時遮断計算の実現化という目的があった。

従来、 故障計算の上記各種解析計算への適用にあたっては、 たとえば過渡安定度解析で

は3線3相地絡故障/3相遮断(3LG/3LO)に代表されるいわゆる平衡故障が主と して用いられていたため、 故障条件に係わる問題はそれ程には深刻ではなかった。 一方、

保護の検討計算では異地点での同時不平衡故障など比較的複雑な現象計算も行われていた ものの、 計算にあたっては故障地点から遠方の系統は集約した単純化モデル系統が用いら れていた。 この背景には、 計算精度よりは計算効率重視といった実務上の理由もあるが そもそも計算手法面での制約から数百母線といった大規模モデル系統の計算が困難であっ たことの方が大きい。

しかしながら、 近年における電力系統の故障の実態を考えると、 表1からも分かるよう に従来の代表的な故障条件である3LG故障よりは、 むしろ1L Gなど不平衡故障の発止 頻度が相対的に大きくなってきている。 また、 こうした故障実態の変化に関連し、 故障に 対する電力供給の信頼度向上のため、 送電線故障時に故障相のみを選択遮断し再接続する 多相再開路システムという高度な系統制御・保護方策が広範囲に導入されている。 更に、

電力系統の広域にわたる連系の強化など電気的結合の拡大が進み、 計算精度を保つ上から、

より大規模な電力系統モデルに対する計算の必要性が増している。 こうした要件を満たす には、 以下のような故障計算機能の実現が不可欠となる。

(1)計算対象系統が大規模であっても効率良く計算でき

(2)かっ、 故障の種類や数ならびに発生位置が自由に選択できること

これらの機能は、 具体的には(1)については千母線オーダーの大規模モデル系統に対しでも 効率的に計算可能なことを指す。(2)については、 たとえば図1に例示するような複雑な故 障状態に対しでも高効率かっ高精度で模擬できることを意味する。 しかしながら、 これま で、 これらの要件を満たし得る手法が確立されているとは言えなかった。

筆者は、 これらの問題解決を目的として、 過去1 0年余にわたり新しい故障計算手法の 開発研究に携わってきた49-59)。本論文はこの間の成果を取りまとめたものであり、 内容 の大略は上記の機能を満足する新しい故障計算法と、 その過渡安定度解析計算や短絡容量 計算への効果的な適用方法、 ならびに大規模モデル系統に対する検証結果から成る。

以下、 大規模モデル系統の故障計算を目的として開発した各種手法について順次述べる が、 まず第1章では序論として開発した手法の要点や対称座標法について概説し、 更に安 定度解析計算や短絡容量計算における故障計算の位置付けや適用時の特徴などについても 概観する。

次の第2、 3章では新たに開発した故障計算手法について、 続く第4，...，6章では開発手 法の具体化として上記①~③の解析計算のために開発した計算機プログラムの概要ならび に大小の電力系統モデ、ルへの適用例について記述する。

まず第2章では、 地絡や短絡故障、 断線故障など各々の故障を統一的に1つの計算式で 表す新しい定式化手法を述べる。 本手法の主な特徴は2つに大別できる。 ひとつは、 各種 の故障条件式をひとつの統一的な形で定式化したことにより、 故障種別による分類を不安 とした点にある。 このことが、 多数の地点での同時故障計算の実現につながった。 特徴の あとひとつは、 特に断線(あるいは遮断)計算について回路網の構造を変更しないですむ

- 2 ^-

求解式を導いたという点にある。 第1章で詳述するが、 大規模モデル系統、 すなわち大規 模回路網の変更計算は一般に極めて煩雑な演算手)1債を必要とする。 したがって、 この同路 網の構造が変更不要という利点により、 大規模モデル系統に対する計算が格段に容易かっ 効率的に行えるようになった。

次いで第3章では、 任意の故障種別から成る多地点での同時放障を効率的に計算する手 法-多点故障計算手法ーについて述べる。 多点故障計算にあたっての最大の課題は、

任意の組合せ故障をどのように定式化するかという点にある。 一般的な方法でこれを行う とすれば膨大な数の求解式が必要となる。 このため、従来の方法ではせいぜい2地点まで の同時故障が限界であった。 本論文では、 第2章で述べた統一的定式化に基づき、 単に1 つの方程式のみで任意の数の組合せ故障を計算できる手法を開発した。

この他、 多点故障計算に不可欠な幾つかの問題を指摘できる。 まず、 一般に指定される 故障が常に基準相、 すなわち1線故障ならばa相であり、 また2線故障ならばb c相とは 限らない。 多点故障を計算する場合、 故障種別に加え、 こうした故障相の相違をどのよう に定式化するかが問題となる。 また、 想定される故障位置が常に母線(ノード)とも限ら ない。 仮に故障位置がノードであれば、 計算に必要となる故障点電圧や電流は計算を行う 際の直接 の状態変数であるノードの値を利用することができる。 しかし、 故障位置が送電 線(ブランチ)上の場合には直接的に状態量が得られないため、 問題となる。 これを行う ために一時的に架空のノードを追加する方策も考えられるが、 その都度複雑な計算回路網 の計算が必要となるため、 現実的とは言えない。

更にまた、 対象系統に多回線からなる並行送電線を含む場合、 故障に伴って流れる零相 電流に起因する回線聞の影響の計算も問題となる。 ちなみに我が国の基幹系統は、 一般に 2回線以上の並行送電線で構成されている。 この回線間影響の計算方法としては、 対称座 標法における二相回路理論が良く知られているが、 しかしながらこの理論は計算対象が2 回線のみの単純系統の場合には利点があるものの、 本論文で扱うような多回線送電線を&

む大規模系統に対しては有効な手段を提供し得ない。

本論文では、 これら諸問題に対しても複雑な計算回路が一切不要で、 かっ効率的に計算 するこのとできる新しい手法をそれぞれ開発した。 この詳細を第3章で記述する。

続く第4'""-'6章では、 開発した手法に基づき作成した官頭①~③の項目ごとの個々の計 算機プログラムの概要と大小の電力系統モデルを用いた検証例、 ならびに故障に関連した 電力系統の諸特徴についての考察結果等について、 順次記述する。

第4章では、 作成した故障計算プログラムの機能と構成について述べるとともに、 木プ ログラムを大小のモデル系統に適用することにより、 開発した故障計算手法の機能検証を 行った結果について述べる。 すなわち、 任意の多地点での同時故障計算機能、 多回線並行 送電線における故障計算機能、 更に大規模モデル系統への適用性の検証結果等で、ある。

第5章では、 開発した故障計算手法の過渡安定度計算への適用結果について述べる。 本 章では、 電力系統模擬シミュレータ実験との対比に基づく過渡安定度計算における故障計 算精度の検証結果、 大規模モデル系統への適用性の検証結果について述べる。 更に、 モデ

-3一

ル系統試算に基づき、 種々の故障条件が過渡安定度に及ぼす影響の差異についての考察を 記述する。

最後の第6章では、 開発した故障計算手法の短絡容量計算への適用結果について述べる。

すなわち、短絡容量の効率計算のために開発したノード分割や結合時の計算手法と、 これ を大規模モデル系統の試算を通じて検証した結果について述べる。 また、計算に用いられ る送変電線のインピーダンス定数の精組が短絡容量計算結果に及ぼす影響の試算と、この 結果に基づく考察を記述する。

開発した各々のプログラムの扱い得る系統規模は、ノード数1500 、 ブランチ数1800

、発電機数件00である。 これらのプログラムは、側)電力中央研究所が開発した「電力系統 解析システムcll (図2 )の機能高度化の一環として追加し、既に電気事業の実務ならびに 研究用途で広く活用されている。

- 4 ^-

表1 187kV以上の2回線送電線の雷事故実績 (1980年4月----1985年3月、 電力1 0 社) 事 故様相 ^を_匠旨ヨ 事 故 相数 地 絡数 件 数 割合(%)

1ゆ 1 _{L G} 481 ₇ 2 .8

2 _{L G} 3 _{5 5 .3}

2ゆ 2_LG (8) _{6 6 1} 0 .0

3 _{L G} 2 1 3 _.2 4_{LG 1} 4 2 . ₁ 3中 3 _{L G} (1) 2 0 3 .0

I

4_LG 8 1 _.2

5 LG 7 1 . 1

6LG 9 1 .4

メo^入 目十 ^{661 1} 0 0 .0

(注) _{1. L G} :地絡故障(Line Ground)の略記 2. ( )内は2回線にまたがる事故件数

大規模電力系統モデル

...

寸 トー

/イ ト一一

\シ

a相ì 1 b相}回 C相j線

、こ斗

a相ì ₁ b相}回 c相J線 a'相ì 2

×寸b'相ト巨 x-l c'相j線

(a)断線を伴う線路地絡の状態 (b)並行送電線の多相再開路状態 図1 . 複雑な故障の例

- 5 ^-

う 一 々ノ 一 一一一 一Jデ一 一 f 灯 一 一 Lふqu 一 / 一刀牛 一 正 ん

旬 月 一 /|L

_{(注)1. Pro.:計算機}

プログラム 2. 口:開発した機能

(

^{i法は故障計1}

算部分を開発j

図2 . 電力系統解析システム

-6一

1 . 故障計算の概要と用途

本章では、 序論として、 とくに大規模電力系統モデルの故障計算において求められる要 件や本論文で述べる故障計算の基礎とした対称座標法の概要について述べるとともに、 安 定度解析計算など故障計算の代表的な適用分野における計算面での位置付けや役割等につ いて概説する。

なお、 以下では送電線・変圧器とブランチ、 母線とノードの用語を必要に応じて使い分 ける。 また、 用いる英字記号は特に断らない限り全て複素数を表すものとする。

1.1大規模系統の故障計算に求められる要件

故障計算では、 故障条件が特定されさえすれば、 すなわち同時故障数の数、 ならびに各 々の故障の種類・故障相・発生位置の全てが指定されさえすれば、 原理的には既存の方法 であってもこれら指定条件に基づく求解手順を示すことができる。 しかしながら現実的な 観点、からは、 原理的に可能であるということが必ずしも実現可能ということには結びつか ない。 ことに千母線オーダーといった大規模モデル系統の計算を可能とするためには、 次 のような要件を満たすことが不可欠となる。

( 1 )今日では大規模系統モデルの計算に適した効率的な演算手順が広く採用されている が、 故障計算機能を付加しでも、 この利点を大幅に損なわないこと

(2)故障の数や種類、 発生位置などの故障条件設定上の制約が少ないこと (3)多回線並行送電線であっても、 その零相回線開影響が計算できること

これらに関する計算手法については次章以下で詳述するが、 本節ではその理解を助ける上 から以下、 上記3点に係わる一般的な計算方法について概説する。

( 1 )効率的な故障計算手法

本項目の理解のためには上述の “大規模系統モデルの計算に適した効率的な演算手順"

の内容についてある程度の知見が必要であるので、 若干冗長にはなるがまずこの手順の概 略について記述しておく。

上述した系統モデルの計算とは、 ここでは電力系統を表す回路網計算、 すなわち回路網 の各地点に現れる電圧あるいは各地点を流れる電流分布を計算することを指す。 具体的に は、 ノード数Nから成る次の多元連立の線形方程式を解くことに等しい。

y(1)・ E(1)= 1 ^(l) 4』't'，，E、、 4，BB・• 、、，，，，

ここに、 各変数は全て直角座標表示の複素数、 また添字(1 )は正相分を表し

o E ^: N次元のノード電圧ベクトル(未知変数)

。Y: (NXN)次元のノードアドミタンス行列(既知変数)

o 1 : N次元のノード注入電流源ベクトル(既知変数)

上式の変数の添字(l)は、 故障を含まない系統解析計算では省略されることが多いが、 本論 文では以降逆相分(2)や零相分(0)の状態変数も出現するため、 それらと区別するために添字 を振った。 この式の左辺のノードアドミタンス行列Yは通常、 単にY行列と呼ばれ、 その 行列要素YiJは次式で表される。

- 7 -

(

^Yi1=ZF1J

YiJ=-YiJ (i=Fj)

(1 .2)

ここに、 右辺のY^{i J} (i手j)はノードiとjの聞の正相ブランチアドミタンス、 Y^{i i} はノー ドiの正相対地アドミタンスを意味している。 Y行列の非対角要素であるYⁱ J (i手j)は ブランチが送電線や変圧器の場合にはYⁱ j= Y j iである。 ブランチi-j が移相変圧器であ る場合のみ、 Yⁱ J学Y j iとなる。 しかし、 我が国の電力系統には移相変圧器はほとんど設

置されていないので、 Y行列は一般に対称行列とみなしてよい。

(1. 1 )式では通常、 ノード注入電流Iを既知としてノード電圧Eを求めることが目的と なる。 ちなみに、 良く知られている潮流計算でも、 この(1.1 )式の計算が主体となる。 潮 流計算では(1.1 )式の次元が2Nになり、 Y行列がヤコビアン行列、 Iが電力ミスマッチ Eが電圧修正分で構成される行列となり、 更にこうした行列計算を繰り返し行うという特 徴があるのみであり、 潮流計算であっても計算の大半が(1. 1 )式のような多元方程式の計 算であることに変わりはない。

Eを得るにはY行列の逆行列Z=y-1を計算し、 E=ZIによるのが最も手っとり早い。

しかし、 一般に逆行列計算のための労力はおおよそN3 に比例するため、 行列の次元Nが 大きくなるとZの計算には多大の労力を要することになる。 また(1.2)式の行列要素かり 成る電力回路ではZ行列要素は全て非ゼロとなる特徴があるため、 実際に計算を行う上で の必要メモリーの点での欠点も無視できない。 歴史を振り返ると、 1960年代まではこうし たZ行列ベースの計算に依存していたため、 大規模系統モデルに対する計算は極めて困難 であった。

しかしながら今日では、 以下に述べるようにY行列から直接的にEを求める技法が広く 用いられている。 まず、 Y行列の構造に注目すると、 Y行列はその要素中にゼロが多いと いう特徴を有する。 すなわち、 Y行列は疎行列である。 その疎性の程度を概略推定すると、

まずY行列のその非対角要素Y，j(i=Fj)は、 ( 1.2)式からノードiとjの間にブランチが ある場合にのみ非ゼロの値を持つ。 こうした非ゼロ要素の数は、 ブランチ数をBとすれば 2 Bとなる。 また、 対角要素Yjiは全て非ゼロなので、 その数はNである。 すると、 Y行 列中に非ゼロ要素が占める割合をαとすれば、 αは

α= (N + 2 B) /N2

と書ける。 ところで、 回路理論の示すところによれば、 NとBとの聞には2を独立したル ープの数とするときB=N+Q-lの関係が成立するため、 上式はさらに

α= (3N+2 Q-2) /N2

となる。 ここで、 電力系統を表す回路はよく知られているように、 回路構成としては極め て単純な部類に属する。 すなわち、 Nが数百の値を持つような場合でもdの値は極めて小 さい。 そこで、 上式はおおむね

αー3N/N2 = 3/N と表現できる。

( 1.3) (1. 3)式は一般にY行列が極めて疎であり、 そうした特徴はNが大きいほど、 すなわち

-8 ^-

系統が大規模であるほど顕著になることを示している。 たとえばNが1 00であれば疎な割 合は3%、 500 であれば0.6%でしかない。

こうした特徴を活かす観点から、 (1 1 )式の電圧Eの計算にあたっては、 今日ではYfÏ^. 列の疎性を活かした効率的な演算技法 一一 Y行列の三角化行列への分解手順に基づく計 算法 一ー が広く用いられている1. _5. 6)。 歴史的に見ると、 電力系統の解析にこの技法か 導入されたことにより、 系統解析で取り扱える系統規模が飛躍的に増大したことは論をま たない。

参考までにこの方法の具体的な計算手順を付録1.に示すが、 この一連の計算はおおよそ 苅1.1に示すような3つの計算ステップに分けることができる。 すなわち、 最初に回路構 成を確定してまずノードの順序付け操作を行い、 次いで回路インピーダンスを用いてY行 列の三角化行列への分解計算を行い、 その後にノードへの注入電流条件の下で回路電圧の 計算を行う、 という3段階の計算ステップを踏む。 このうち、 計算労力は初期のステップ が最も厳しい。 たとえば、 各ステップの演算時間比率は100ノード以上の大規模モデルで はおおよそ6 : 2 : 1である。

このように全体の計算を分離する理由は、 一般にY行列演算を繰り返し計算する必要が ある場合でも、 最初のステップだけはあらかじめ一度だけ計算しておばよいことが多し1か らである。 先に触れた潮流計算がこれに該当する好例であり、 この計算ではY行列と類似 の特徴を持つヤコビアン行列に対する収数計算が必須となるが、 その収数のループはステ ップ2と3で足りるので、 図1.1のように全体の計算を分離しておくことで全体としての 計算の高速化を図ることができることになる。

以上、 前置きが長くなったが、 述べたようなY行列演算に基づきたとえば図1で例示し たような複雑な故障計算を行うことを考える。 この場合、 従来の方法では遮断については いったん遮断点を開放する必要があり、 またブランチ上の地絡等については故障点に対応 する架空ノードを追加する必要がある。 こうした変更はY行列の次元拡大を含む変更計算 を行うことに等しく、 これを上記Y行列演算プロセスに則して言えば、 その初期ステップ に戻って再計算する必要があるということになる。 すなわち、 Y行列の煩雑な再計算が必 要となる。

加えて、 1.4節で述べる安定度解析への適用を考えた場合には、 故障様相(故障の数や 種別)が時系列的に様々に移り変わるような条件指定が行われることを念頭に置く必要が あり、 これら諸点を考えると、 従来の方法に基づく故障計算は困難を究めると判断せざる を得ない。

これまで、 述べたような複雑な計算の労力軽減を主目的とした種々の提案が行われてい る29 38)。 しかしながら、 それらの全ては多少なりともY行列の変更を伴うという点で 本論文で扱う大規模系統モデルの計算を容易に行い得るとは言えない。

本論文では、 図1.2に示すように遮断(断線)計算についてもY行列の再計算を一切必 要としない新しい計算法を開発した。 これにより、 大規模系統モデルに対しても効率的な 故障計算が可能となった。 これは第2章で詳述する。

- 9 ^-

STEP 1

。y行列の三角化分解計算 Y行列を3つの行列の積(印LT) で表したときの各行列要素計算

Y oノード番号の順序付け Y行列の三角化分解時に新たな非 ゼロ要素出現を抑制するため行う

STEP 2

STEP 3

。回路網の電圧・電流計算 行列LDLTを用いてYの逆行列が 不要な手順によるノード電圧計算

次ケース有り?

N

図1.1 Y行列演算の一般的な手順

ハU

対称分回路

l

断線点

"'--

^I

\一

^{_ .u， �}

一ノ (sトベt )ゲ�ー(r)

-...J( I

変数=故障電流(I ) (a)従来の方法(回路変更必要)

変数=断線開電位差(E) (b)開発した方法(回路不変) 図1.2 断線・遮断計算方法

(2)故障数や故障位置に制約のない故障計算手法

故障の代表的なものは地絡、 短絡ならびに遮断(あるいは断線)である。 通常、 これら の計算式は各々異なる形の方程式で記述される。 したがって、 故障解を記述する方程式の 数も3種類となる。 他方、 故障には1線、 2線および3線故障の計3ケースがある。 これ らの計算式もまた、 通常は各々異なる3種類の方程式で表される(厳密には短絡では1線 故障は考えられないが簡単のためここでは存在するものとして考える)。 そこでたとえば 同時に発生する故障数Mが1つの場合には、 3^x 3 = 9パターンの定式化を行い、 対応す る計算式を用意すれば故障計算を行い得る。 実際上は更に、 1線と2線故障についてはど の相が故障相かという分類が加わるが、 議論を簡単化するためここでは考えない。

では、 こうした従来の計算手順に準拠し、 故障数Mを複数に拡張することを考える。

たとえばM豆2が必要となる場合を考える。 この場合、 M=2ではそれぞれの故障相数 の組合せが3線- 3線、 3線- 2線、 3線-1線、 2線-2線、 2線- 1線、 および1線 -1線の6ケースが考えられる。 これらのうち、 たとえば2線-2線では地絡一地絡、 地 絡-短絡、 地絡-遮断、 短絡-短絡、 短絡-遮断、 遮断一遮断の計6ケースの故障組合せ が加わる。 また3線-2線では上の6ケースに加え、 短絡一地絡、 遮断一地絡、 遮断一短 絡を加えた計9ケースの故障組合せが更に加わる。 このようにして、 M=2の場合に必要 となる定式化数を全て数え上げると45ケースとなる。 したがってM豆2の場合には、 こ の45ケースにM=lでの9ケースを加えた計54ケースについて定式化を行わなければな らない。

更にM三五3の場合には、 全体のケース数が優に100を越えることになることは言うま でもない。

このことから推察されるように、 Mの増加に伴い必要定式化数は級数的に増える。 現実 的な観点、からは、 こうした数多くの求解式を導くための多大の労苦に加え、 そもそもMか 5あるいは6以上の高次の場合に求解可能な形を導出できるかどうかも疑わしい。

述べたような理由から、 従来の方法で計算し得る同時故障の数Mは実質的に2つが限界 であった。

無論、 実際上は5つや6つもの故障が同時に発生するような計算を行わなければならな いような必要性はほとんどないと言ってよい。 しかしながら、 このことは故障を地絡や短

絡といった本来の故障を指す場合にのみ妥当性を持つに過ぎない。 すなわち、 手法上は遮 断(断線)も故障のひとつとして数え上げられることから、 たとえば故障相のみをブラン チ両端で遮断する多相再開路模擬を含む計算を行いたい場合には、 多数の地点での同時故 障計算の必要性が現実味を帯びてくる。 たとえばまえがき図1(b)で例示した状態を実現 するには、 遮断数4、 地絡数1の計5つから成る同時故障計算が必要となる。

本論文では、 故障種別や故障相による分類が一切不要な故障計算の新しい定式化論理を すなわち故障数が複数から成るどのような組合せ故障であっても必要な求解式が単にlつ で済む求解手法を開発した。 本開発により、 Mの数に一切制約がなく、 しかも効率的な故 障計算が可能となった。

一方、 故障位置について考えると、 現実的には多くの故障が送電線の母線端、 すなわち ノードで発生する訳ではなく、 むしろ送電線上である確率が大であるのは当然、である。 し かしながら従来、 故障計算では多くの場合に故障位置はノードに限定されるか、 あるいは 一時的に架空のノードを追加するという方策が用いられていた。 これは、 ノード故障であ れば計算が容易という理由による。 言うまでもなく、 故障計算を行うには故障点の電圧や 故障電流などの状態量が必要となる。 故障位置がノードであれば、 故障点電圧は回路網計 算の直接の計算結果として得ることができ、 また故障電流はノードの注入電流として容易 に設定できるので、 計算上好都合であった。 しかし、 故障位置がブランチ上の場合には、

特に故障電流の設定をし1かに行うかという問題を生じる。 本論文では、 故障位置がブラン チ上の任意の地点であっても、 従来から行われているノード故障の計算に若干の追加的処 置を施すだけで計算できる手法を開発した。

これらの詳細については第3章で記述する。

(3)多回線並行送電線の零相回線間影響の計算手法

送電ルートが1回線構成ではなく、 2回線送電線など白線と並行した送電線を有する場 合、 正相分や逆相分と異なり、 零相分では他回線を流れる電流からの影響(電磁誘導)カご

無視できないため、 これを考慮する必要がある。

従来、 回線開影響を計算する代表的な方法として、 二相回路理論、 等価回路構成法の2 つが良く知られている。 二相回路理論は、 図1.3(a)に示すような2回線並行送電線での故 障計算方法として最も一般的なものである2.4.24.25)。 この方法では、 故障区間を零相の 第1回路と第2回路とに分離することを基本として計算するものであり、 系統構成上の一 定の条件が成立していれば計算が容易という利点を持つ。 ここで言う一定の条件とは、 2

(注)- -- :追加ブランチ、 +:追加ノード k

三①今、 ，金、①ご

活字?のご

ヌ�べk

�_.'ー の \

(a)並行2回線送電線 (b)従来の計算手法 (kとtの2地点故障) 図1.3零相回線問影響

。ム

回線ブランチで構成され、 かっ全てのブランチにおいてその両端ノードが共通ということ を指す。 換言すれば、 仮に1つでもこれに該当しないブランチ(この典型例が並行多回線 ブランチやπ分岐ブランチ等であり現実の系統に少なからず存在する)が含まれれば、 こ の方法を用いることはできない。

一方、 等価回路構成法は送電ルート内の電気的関係が等価となるような計算回路を構成 して計算するものである5 )。 この方法では、 前者と異なり系統構成上の制約はないという 利点がある反面、 同図(b)に示すようなブランチ上での故障では計算するための回路要素 を多く増やさざるを得ないという難点がある。

これらの欠点を改善するために、 計算回路の簡易化を目的とした提案33) や、 回路要素 追加に伴うY行列演算時の疎性悪化を低減させる提案39) 等が行われている。

しかしながら、 いずれの方法も正相あるいは逆相回路とは異なる構造の零相回路を計算 する必要があるという点での非効率性が免れない。 また、 より複雑な構造の回路の必要性 は、 必要メモリーや総合演算性等で現行の長所を著しく回害する。 事実、 これまで多くの 場合、 安定度解析などで簡略的に正相回路と同じ構造の零相回路が用いられてきたのは、

このことと無縁ではない。

そこで本論文では、 零相計算回路の構造が正相や逆相回路と全く同等のままで、 多回線 ブランチ聞の回線間影響を計算できる新しい手法を開発した。 これについては、 第3章で 記述する。

1.2対称座標法

今日、 対称座標法は国内外を問わず、 最も一般的な故障計算論理である。 後述するよう に、 故障計算論理には他に2、 3の方法があるが、 いずれも研究教育の場や電気事業にお ける活用の度合し、から見て対称座標法には遠く及ばない。

振り返れば、 この対称座標法は長年の歴史を有する。 この理論を最初に考案したのは米 国のDr.C.L.Fortescue氏で、 1918年のことである。 当時の米国電気学会に投稿された論 文名は “ Method of Symmetrical Co-ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks" である。 これを直訳すれば “多相回路の計算のための対称座標法" となる。 多 相回路は電力系統では3相回路を指す。

“対称座標法" という名でこの理論を我が国に紹介した最初の技術者は、 当時の逓信省 電気試験所に所属していた別宮貞俊氏である。 1925年11月の電気学会誌においてである。

題名は “封稀座標法とその送電線問題に於ける臆用" という。 ちなみに、 この別宮氏は当 時電力系統の保護・継電関係に従事していた技術者であり、 この論文の冒頭に対称座標法 に出会って大変に感激したとの記述がある。 確かに、 対称座標法の基本概念、はその考案時 点で既に確立していた感はある。

なお、 この対称座標法の英語での呼称は、 今日では原文のSymmetrical Co-ordinates ではなくSymmetrical Components と称される場合が多い。 その理由は、 数学的な厳密さ からは、 座標変換というよりは変数分解と呼ぶ方が適切であるという理由によるものであ

円ぺU

ろう。 我が国でも、 過去に対称分法と意訳した研究者が一部にあった。 しかし、 対称分法 という名前の持つ漠然としたイメージに抵抗を持たれたせし、か広まることがなく、 ム は原題の直訳そのままの対称座標法という呼称が広く定着するに至っている。

さて対称座標法に関しては、 その基本原理や適用等についての書籍は極めて多く、 電力 系統工学を扱っている著書であれば必ず記述されているといってよい。 そこで、 ここで改 めてくどく説明することは割愛し、 その要点だけを以下に述べることとする。

で

( 1 ) 正相分変数

(1. 1 )式で注釈をしないまま正相分という用語を用いた。 潮流計算を始めとする電力系 統の種々の解析計算では通常、 この正相分変数が用いられる。 以下に、 この変数の特徴に ついて述べる。

図1.4に示すように、 そもそも電力系統は3相交流の電圧・電流で構成されている。 し たがって、 基本的には電力系統の解析は3相そのままで取り扱うべきである。 図 1.4の例 Vaa， =Va-Va， (Vbb' やVc c'も同様)と表すとき、 この3相電圧・電流の関係を示 で、

せば次式となる。

Z ac Z a b Z aa

V a a'

、、，，，，hH『• 4・l'〆'i、、

Z b c Z bb Z b a

V b b'

Z c c Z c b

Z c 且

V c c'

Z c c a、 b、 c相回路の自己インピーダンス

o Z a b、 Za c 一一一 :各相閣の相互インピーダンス

しかし、 それぞれの送変電 線 に対して逐一3相回路のままで定式化を行うのは極めて煩雑 な手順を必要とし、 また求解のための計算労力も多大となる。 そこでいま、 基幹系統の通 常の運用状態で十分に成立しうる次の事項を前提としてみる。

(

前提1.:各相イン日ンスは完全に平衡した値を持つ(対称3相回路)

前提2. :各相電圧・電流は完全に平衡した状態にある(3相平衡電力)

これを数式的に表現すれば、 演算子a=1.0ど120。を用いて

(

前提1.: Za

a

=Zbb=Zc 、

前提2. : V b = a ₂ V a 、 Vc = a V a 、 Ib =a₂ Ia 、 ₁ c = a ₁ 11 となる。 これらの諸条件を(1.4)式に代入して整理すれば次式を得る。

Zab=Z8C= . Z b b、

。Z88、

スJ亀

Vb・

\，，ノca

aa p回初 ワ'心ワlu

ft\ i，

‘

..

，e--

-

_{，，，，e'} ・・1'l'‘

司

， 一

‘ -」‘-，• . ‘

且 戸 国

_，

，

一

一

、、，ノ一

-

-

仰し・nu-

-

- LU Pν

一

一

)一

Z Z

一

一

b a一/t、一 一 a

b一

\''''''

一

-

-、

，- -

k

l' 一ワ'Uワ'u・一，一〆't、、一

- zt -、‘，，-‘ae'- k

l'

、 ー

'

Z 88

Z b b Va

Z C C Vb

、J巳 図1.43相送電線の回路

Vc

-14-

rill111111、

ー】ノ ワlu

ワむ /『‘、

一一 、‘11Etl'tE『』E11ptiti-E，J

v v

v

^{(1 .5)}

すなわち(1.4)式と異なり、 a相電圧はa相電流のみに依存し、 またb相電圧はb相電 流のみに依存するというように、 3相が完全に分離した式を得る。 更に、 分離されたこれ ら3つの式は全て等しいので、 実際にはこれら各相全てについて計算する必要がない。 代 表的にa相分だけの状態のみを求めさえすれば、 残りの相の状態は前提2.から容易に知る ことができる。

このことから、 電力系統の状態を解析するにあたって上記の2つの前提が妥当性を持つ ような場合には3相回路を扱う必要はないため、 代表的にa相分の変数だけを取り出した 単相ベースでの計算が行われる。 よく知られている電力潮流計算は、 これに該当する好例 である。 なお(1.5)式で、 Zaa-Zabを正相インピーダンスと呼ぶ。

このことから、 (1. 1 )式の正相分方程式は暗に上記2つの前提が成立する範囲での計算 式を意味していることになる。 したがって故障計算でいえば、 もし対象とする故障が3相 地絡故障や3相遮断などの3相平衡故障であれば(1.1 )式により正確に計算しうる。

これを逆にいえば、 もし1線地絡など不平衡の故障をも対象とする場合には(1. 1 )式の みに頼ることができないことになる。 何故ならば、 不平衡の故障では上記の2つの前提の うちの前提2.が明らかに成立しなし、からである。

(2) 対称分変数

そこで、 不平衡故障も計算対象に含めたい場合は、 改めて(1.4)式に戻って前提2.を除 いた定式化を試みる必要がある。 いま、 不平衡故障の場合でも前提1.は成立するとみてよ いので、 このときの(1.4)式を記述すると次式を得る。

Vaa， ì (Zna Zab ZabÎ (1 ^a Vbb'

1

=1 Zab Zaa Zab

I

・

I

₁ b V b b' ) l Z a b Z a b Z a a ) l 1

c

しかし、 この式は単に右辺のインピーダンス定数の種類が減少しているだけに過ぎない。

すなわちa-b-c相それぞれの変数が相互に結合していることに変わりはなく、 電圧・電流 の関係式の複雑さは基本的に解消されていない。

この複雑な関係式を、 3相が分離された別の変数に変換して計算する論理が対称座標法 (1 .6)

である。 対称座標法の基本原理は、 lín次元の任意のベクトルは独立したn本の対称ベク トルの和に分解することができる」に基づく。 本問題の場合にはn=3であることから、

ベクトル分解のための変換行列Tは次式で表される。

1 (1 1 1 1 1 1

T = -

I

^{1 a a2}

I

^{、 T-1=}

1

^{1 a2 a}

1

^(1.7)

3 ^l 1 a2 a) l 1 a a2

ここに、 aは(1.5)式の上方で、述べた演算子1.0ど120。である。 このaには、 1 + a +a2 三O、 およびa3 三1の関係がある。

-15-

具体的に分解の手JI闘を述べると、 いま(1.6)式のベクトル変数V、 I にそれぞれこの行 列Tを乗じた新しい変数を次式で定義する。

Voo・ V ^{a a'}

Vll・ I=T・I V ^{h b'} 11 1= T・I 1 ^b ( 1.8) V ^22・ V ^b b・

次いで、 この(1.8)式で導入した新しい変数を用いて(1.6)式を表せば次式を得る。

Voo' Vll・

V ^22・

2 a 8 2 !I b 2 a b

=T I ^{2ab 2 R a Z a} b T 1 ^•

2 ß b 2 B h 2 fl fl

2 a a 2+ ^{2 8 b}

。 。

。

^{Z角a Z a b}

。

。 。

^Zaa-Zab

200

。

^{Z 11}

。

⁰

。1

· ^・

r �:

^{1 1}

o 0 222) lI2

(1 .9)

すなわち、 新しい変数の下では3相が完全に分離された式となる。 このことを概念的に示 すと図1.5のようである。

このように、 対称座標法では電力系統に生じ ^{ao"，，- /9a'} る3相不平衡な現象を3つの独立した単相回路

b ど?で戸

上で計算することができる。 この特徴が対称座

ぷxミ\

標法の最大かっ唯一の利点、である。 もし、 最終 ^{lT 'U C} 的な計算結果がa-b-c座標で必要とされる場合(a)a-b-c座標系

行列T 00 っ0'

q

1 0 つ1'

Cコ

行列T-1 2ひ っ2 ' (b) 0-1-2座標系 は、 単に0-1-2座標の値を(1.7)式の変換行列 図1.5座標変換による変数分離 を用いて逆変換するだけでよい。 ちなみに、 本

節冒頭で対称座標法という呼称について言及したが、 (1. 7)式の変数操作を適切に言い てる呼び名としては、 座標変換というよりは変数分解といった方が適切のようではある。

(1. 9)式で、 添字Oに関する変数を零相分、 添字1に関する変数を正相分、 添字2に関 する変数を逆相分と呼ぶ。 このうち、 正相分の関係式が(1.5)式に等しいことの説明は不 要であろう。 各対称分変数の特徴を図的に表せば図1.6のようである。

ところで、 電力系統の通常の運用状態では前提1.に加え、 前提2.もまた成立すると考え

V bb・ 逆相分

正相分 図1.6 3相電圧の対称分電圧

てよい。 すなわち、 通常の運用状態では正相分のみが系統に存在し、 零相分と逆相分成分 は系統に存在しない。 このことを電圧を例に数 式的に確かめると、 前提2.の条件を(1.8)

式に代入することにより Voo

Vl1・

1 (1 1 1 ì ( V 88'

1 _a a2

I・I

^{a2 V 88'}

。

V 88' ，，，‘、 ‘『-a' aEEE' 、、，，，，nu

V 22・ ) 3 ^{l 1} a2 a) l a V _{8 a・} ) l 0

のように容易に確かめることができる。(1.10)式は、 物理的には発電機の出力や負荷など 広い意味での電源全てが3相バランスしていると見なしていることを意味している。

(3)対称分インピーダンス

(1. 9)式右辺のZ00 、 Z 11、 Z22の各対称分インピーダンスは(1.9)式の意味するとこ ろから、 それぞれ図1.6のような対称分電圧・電流を系統に想定したときのインピーダン スに相当することは明らかである。 このうち、 正相分と逆相分インピーダンスは、 送変電 線では(1 .9)式の例示でZ11とZ22が共にZ88-Z8bと等しいように、 ブランチインピー ダンスとして等しい値を持つ。 ただし、 回転機である発電機のリアクタンスについては、

逆相分は2倍周期の成分を含むことから、 両者は異なる値となる。 したがって電力回路全 体でみた場合でも、 正相分と逆相分は相異なる値となる。 ただ、 実際の計算ではその差異 は少ないと見なして同値として扱う場合も少なくない。

一方、 3相同相電流に基づく零相分インピーダンスは、 送変電線であっても上記2成分 とは異なり、 しかも大きな値を持つことはい.9)式からも明らかである。 この零相分イン ピーダンスに関し、 まず送電線について述べると、 その算定は大地帰路電流が前提となる ので簡単ではない。 たとえばい.9)式で示した値Z8 a +2 Z 8 bは、 大地表面が完全導体と仮 定したときの理想的な数値であり、 実際には帰路電流の線路としての大地の扱い方に応じ て、 もっと大きな値となる。 このように、 零相分の値は導線の形状や鉄塔配置だけでは決 まらず、 たとえば平野部か山間部かなど送電ルート下の大地の電導性に少なからず依存し たものとなる。

また、 送電ルートが1回線構成ではなく、 2回線送電線など白線と並行した送電線を有 する場合、 正相分や逆相分と異なり、 零相分では他回線からの影響(電磁誘導)を考慮す る必要が生じてくる。 いま、 図1.4を並行多回線送電線のひとつと見なし、 そこを流れる 各対称分の電流による別回線への影響度合いを考えるものとする。 このうち、 正相分と逆 相分電流については回線単位(3相一括)で見て常にゼロであるため、 実際の電線配置グ 電気的に幾分は不均衡ではあるものの、 計算上は回線同士の相互影響は無視できる。 しか し、 零相分電流については各相同相電流というその性質上、 回線単位で常にゼロと見なす 訳にはいかないため、 回線同士の相互影響を考慮に入れる必要がある。 こうした計算を行 うにあたり用いられる定数が回線問零相インピーダンスである。 この値は、 他回線に零相 分の単位電流が流れたときに自回線a相の単位区間に現れる誘導電圧に等しい。

変圧器の零相分インピーダンスもまた異なる。 この相違のあり様は、 上記送電線とは異 なり、 変圧器自身が2巻線であるか3巻線か、 あるいはまた変圧器の中性点の接地方 式な

どに依存する。 これらの選定は故障検出の容易性あるいは故障による設備保護などの観ハ、

から決定されるが、たとえば、ある送電線を流れる零相分電流の終点がスター結線の変 器であり、この時その変圧器の中性点が非接地であれば、 結果的にこの系統に零相分電流 は流れ得ない。 何故ならばこの場合、同相の3相電流は変圧器端に流れ込むことができな

し1からである。 逆に接地されていれば、接地抵抗に依存した電流が流れる。

したがって、変圧器の零相分等価回路も1次・ 2次間での回路の分離、あるいはインピ ーダンス接続、片端のみの接地など様々な表現で構成される。

1.3故障計算の基本的方法

本節では、対称座標法に基づく故障計算の基本的方法について概説する。

なお、故障計算に用いられる論理としては他にクラーク座標法や相座標法がある。 しカ し、クラーク座標法は (1.7)式の形式とは異なる変数変換を行う点が異なるのみであり、

基本的な考え方は対称座標法と大差ない。 一方、相座標法は a-b-c座標の (1.4)式を直接 そのままの形で解く方法である。 したがって、理論的には仮に多重故障であっても計算は 容易といえる3)O しかし、一般の大規模系統への適用を念頭に置いた場合、控えめに見て も前2者の3倍の計算機メモリーと計算労力が必要であるということ、また適用先が本論 文のように線路インピーダンス等の3相対称を前提とした安定度解析や短絡容量計算であ るということ、などの点から見て利点があるかどうかは議論の余地があろう。

(1 ) 対称座標法の一般式への展開

ここでは図1.4のような1つの送電線に対してではなく、 図1.7に示すように系統の任 意の地点kにおける故障を考える。 いま、故障が発生する直前のk点電圧をEa 、Eb 、 E c とする。 この状態で故障が発生し、このときk点から系統の外に流れ出る故障電流が 1 a 、 1 b 、 1 c 、 そのときのk点電圧がVa 、Vb 、Vc になるものとすれば、これら の変数の間に次の関係が成立することは明らかである。

Va E白 Zaa Zab Zab

Vb

1 = 1

^Eb

1 -1

^{Zab Zaa Zab}

l

^・

1

1 b ，，E、、 縄EEE・ - 縄E・E・ 4a，‘. 、、，，，

Vc E c Zab Zab Zlln

この式の右辺のインピーダンス行列は (1.6)式と同形である。 ただし、 Z要素の持つ意味 は異なる。 すなわち、 (1 .6)式は単に1本の送電線インピーダンスに対するものであるが、

この(1.11)式の各要素は図1.7からも分かるようにk点から系統内部を覗いたときの一括 したインピーダンスを表している。

この(1.11)式の各変数に対して、 (1.7)--- (1.9)式で行ったと同様な0-1-2座標への変 換を施す。 すなわち、(1.11)式の両辺に左側から行列Tを乗じて

Va E a Znll Zab Zab

(1 . 12a) T

I

^Vb

I=TIEb I

^-T

I

^{Zab Zaa}

ZablT

^{1・ T}

1

1 b

Vc E c ZlIb Zab Za8

OAU --aA

k点E a

/ �

^VR

a平目 。

Eb\ 電力系統 b相 c ‘ (故障前)

Ec\

c 相 。 、

と表す。 この式で、Tが掛かった 各ベクトルはそれぞれ(1.8)式で定義した対称分ベクト ルで記述することができる。 すなわち

V k (0) Va

、

ム1 k ⁽⁰⁾

ム1 k(l)

I

^{= T・}

ム1 k (Z)

免U LU

PLW

YE'A YE・A VE-A

( 1 . 12b) Vk(1)

I

=T・I V b

V k(Z) Vc

ここに、ム1 k (n) (n =0， 1 ，2)は 各対称分回路のk点故障電流、 またV k(n)は故障時のk}�

対称分電圧に相当する。

また (1.12a)式の右辺第l項のEa、E b、E c は故障前 の電圧であり、(1.10)式で述 べたように正相電圧のみから成る。 更に、第2項のインピーダンス行列は (1. 9)式の形に 等しい。 したがってい.12)式は

V k (0) ì (0 ^{Z (O} kk 。 。} ム1 k ⁽⁰⁾

V k(l) Ea 。 Z k� 。 ム1 k ⁽¹⁾

V k (Z)) l 0 ) l 0 0 ZパZ)) ^lム1 k (Z)

のように表すことができる。 ここで便宜上、k点のa相 電圧EIl をE k と表して

1:ー-

^{V k (1) =} - Z k� ^{Z k�O)1)} ・ム1 k(l) ^{ム1 k ( 0) +}Ek (1.13) を得る。 この式がk点、を故障点とする故障計算の基本式である。 図的に示せば図1 .8 のよ うである。 この(1.13)式で、右辺のz dn}は(1.11)式の下方で述べたことから明らかなよ うに、 それぞれ各対称分回路のk点から回路内部を覗いたときの一括した対称分インピー ダンスとなる。 したがってこの(1.13)式は、いわば全系の特性をひとつのノードkに縮約 して表現したものとも言える。

そこで、故障時の系統状態を故障点kのみならず系統全体について求めるという観点か ら(1.13)式を全系統を対称とする表現形式で示すと、便宜上、対称分Z行列を用いて次の 形式の方程式を得ることができる。

(

_{V(1)= - z}^{=-Z〈} ム1 (0)}

(1) .ム1 (1)+ E ，，I、、 a，E'a' - 4・・a' hH坤 、1J

o v(n) 故障時の対称分電圧ベクトル

図1 .8故障計算の基本回路

o Z (n) . 対称分Z行列

。ム1 (n) :要素kのみに(1 .1 3)式のム1 k (n)を持ち、他要素は全てゼロのベクトル

o E 故障前の正相分電圧ベクトルであり(1.1 )式の解E(1)に等しい 当然だが、この式でk行の式だけを取り出して記述すれば(1 .1 3)式を得る。

さて、EはY行列ベースで表した(1 .1 )式の解に等しいので、(1 .1 4)式についてもY行 列ベースの関係式で表現しておくと、次式を得る。

y(O) 刊二一ム1 ⁽⁰⁾

y(1)・ V(l)=-ム1 (1)+ 1 (1) (1 .1 5)

この(1.1 5)式あるいは先の(1 .1 4)式から明らかなように、故障時の系統状態は故障電流 ベクトルム1 (n)を得さえすれば容易に計算することができる。 したがって、地絡や短絡な どの故障種別、およびそれぞれの故障に与えられる故障相を故障条件として、それらを満 たすようなム1 ^k (n)を求めることが故障計算の基本的な目的となる。

(2)具体的な計算方法

ここでは、上記ム1 k (n)の求解例として、k点におけるa相1線地絡(1 ^L G ) 故障の 場合を示す。

この場合、k点、では図1 .7でa相電圧は0、またb相とc相では外部に流れ出る故障電 流はOでなければならない。 すなわち、この故障で満たされるべき制約条件はa-b-c座標 系でVa = 0、およびIb =Ic =0である。 そこで、この条件を (1 . 1 2b)式を用いてO -1 -2座標系に変換すれば、次式を得る。

(

VUO〉+VUI}+VP=o

ム1 k ⁽⁰⁾ -ム1 k ( 1) ム1 k ^(Z) (1 .1 6) 次いで、この(1.16)式の関係を(1 .1 3)式に代入してVk(川を消去して整理すれば、次のよ うにム1 k(川を求めることができる。

ム1 k(O) =ムI K{1) =ム1 k ^(Z) = E ^k / (Z k� ⁰⁾ + Z k� 1) + Z k� ^Z) ) (1 . 1 7) 故障時の系統状態は、この値を(1.1 4)式あるいは(1 .1 5)式に代入することにより簡単に得 ることができる。

ここで、解である(1 .1 7)式のム1 k (n)が故障前のk点電圧Ek の関数となっていること

に、奇異を感じられるかも知れない。 何故ならば、E k はいったん(1. 1 )式の故障前系統 計算を行わなければ知れ得なし1からである。 したがって上記の計算手順では、本方法では 故障時の電圧分布を得るためにまず(1.1 )式の計算を行ってEk を得て、次いでこのE k から計算される(1.17)式のム1 k (n)を(1.15)式に代入計算して最終解を求める、というこ 度手聞を要するように見れる。 しかし次章で述べるように、実際の計算ではこうした負伊 を要しない効率的な計算手順により解を求めることができる。

さて、故障時の系統計算の基本式は上述のように(1.13)---(1.15)式で与えられる。 次章 以下では、これらの基本式に基づく新しい故障計算法について述べるが、ここでこれらの 式から導かれる故障の系統計算の別な方法について触れておく。

その方法とは、正相回路上で故障点に故障インピーダンスを挿入して計算する方法であ る。 たとえば1線地絡故障では、(1.13)の正相分基本式と(1.17)の両式に含まれるEk を 消去して次式を得る。

Vk(l)_ (Zk�O)+Zk�Z)) ・ム1 k ( l)

この関係式から、1線地絡故障は図1.9に示すように正相回 路のノードkからインピーダンス (Z k� ⁰⁾ + Z k� Z) _{) を対地} に接続することにより表現できることが分かる。

この1線地絡故障を含め、一般に故障がひとつだけの単純 故障であれば、 どのような故障種別であれ正相回路において 故障点へ故障インピーダンスを挿入することにより故障を模

(1. 18)

擬することができる。 この手順は、単に (1.1 )式の正相分行 図1.9故障点抵抗の接続 安IJy(l)の一部の要素に変更を要するのみである。

すなわち、故障計算を行う方法には大別して次の2つがある。

( 1 ) 故障条件に応じて各対称分の故障電流値を求め、注入電流として計算する方法 (吟 故障点への故障等価電流の注入)

(2) 故障条件に応じて正相Y行列要素を変更する方法 (ゆ故障点への故障等価インピー ダンスの挿入)

一般の電力系統解析に用いる故障計算方法として両者を比較すると、故障が単純故障で あってかっ正相分のみに関する系統諸量が得られれば十分な場合は後者が扱い易く、事実 長年にわたり多用されている。

たとえば電力各社の実務で電力系統の安定度が検討される場合、現状では想定される故 障の多くは単純故障である。 また安定度上からは、 その安定・不安定を支配する諸量は主 として正相分である (発電機の同期運転の可否はほぼ正相分で決まる)。 そこで、こうし た計算に限られる場合には、後者の故障インピーダンス挿入法が適用し易い。 安定度関連 の専門書籍で、故障の表現方法としてこの故障インピーダンス挿入法が記述されることが ほとんどであるのも、系統故障と安定度との因果関係についての物理的な説明が容易であ るという面も含め、 こうした背景によるものと考えてよい。

しかし、このように単純故障では後者が計算し易いとはいっても、これにまったく欠点

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