行列、ベクトル

行列(Matrix) と行列式(Determinant)

1. 行列(Matrix)の演算

1.1 和、差、積

　1.1.1 行列とは

　1.1.2 行列の和差（加減算）

　1.1.3 行列の積（乗算）

1.2 転置行列、対称行列、正方行列

1.3 単位行列

2. 行列式(Determinant)と逆行列

2.1 行列式

2.2 逆行列

2.3 多元一次連立方程式のコンピュータによる解法

2.4 コンピュータによる逆行列の計算

　 2.4.1

定数項の異なる複数の方程式 　

2.4.2 逆行列の計算　

1. 行列の演算 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A

　例2．4行2列の行列 B

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 42 41 32 31 22 21 12 11 b b b b b b b b B

　例3．4行1列の行列 C

　　　　　　(別名：ベクトル) ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ = 2 1 c c c C

　例4．1行4列の行列 D（別名：横ベクトル）

[

d1 d2 d3 d4

]

= D 1.1.2 行列の和、差（加算、減算） 行数どうし及び列数どうしが等しい二つの 行列は加減算ができ、結果は要素ごとの 加減算である（定義）。 1.1.1 行列とは 　行列とは、数値を縦　m行、横n列の 長方形状に配置したものをいう。 m,n　は正整数

例1．3行5列の行列 A

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a A ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 f f f f f f f f f f f f f f f F

(

)

である。 なわち、 素はすべて等しい。す の各要 、すなわち、 ならば、 応用 ij ij f a f a f a f a f a f a f a f a f a f a f a f a f a f a f a f a = = = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± = ± F A, F A F A F A 0 35 35 34 34 33 33 32 32 31 31 25 25 24 24 23 23 22 22 21 21 15 15 14 14 13 13 12 12 11 11

例1.

1.1 和、差、積

例2.

のとき、 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 3 3 2 2 2 2 1 3 , 2 2 1 2 1 1 2 1 C B ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + − − − − − − + = − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − + + + − + − = + 5 5 3 4 1 3 3 2 3 2 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 3 1 , 1 1 1 0 3 1 1 4 3 2 3 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 3 1 C B C B 1.1.3 行列の積（乗算、掛け算） 　ある行列 A の列数と別の行列 B の行数 が等しいとき、この二つの行列は掛け算が でき、結果の行列 C の i 行, j 列要素c_ijは、 A の　i 行 と B の j 列との積和である（定 義）。 Aがm行k列、Bがk行n列のときC=ABは m行n列となる。一般にABとBAは違う。 , 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a a a a a a a a a a a a a a a A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 25 15 24 14 23 13 22 12 12 11 b b b b b b b b b b B

例1.　3行5列×5行2列Î 3行2列

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 25 15 24 14 23 13 22 12 12 11 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 b b b b b b b b b b a a a a a a a a a a a a a a a AB C ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + + ++ + + + = 51 35 41 34 31 33 21 32 11 31 51 25 41 24 31 23 21 22 11 21 51 15 41 14 31 13 21 12 11 11 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ + + + + + + + ++ + + + 52 35 42 34 32 33 22 32 13 31 52 25 42 24 32 23 22 22 12 21 52 15 42 14 32 13 22 12 12 11 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

(3行2列)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = 5 1 2 3 5 1 1 3 5 1 2 2 5 1 1 2 5 1 2 1 5 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k b a b a b a b a b a b a AB C

例2.　　　4行2列×2行3列Æ4行3列

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ −⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅− ⋅ + ⋅ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 4 4 2 5 4 3 2 2 1 5 1 4 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 3 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 1 2 , 2 2 1 2 1 1 2 1 BC C B のとき、

例3.　多元連立一次方程式

( )

1

4

3

3

2

2

9

3

2

L

L

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

−

+

−

=

−

+

−

−

+

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

方程式があるとする。

３元連立一次

たとえば、次のような

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 4 3 9 1 3 1 2 2 1 3 1 2 、定数項行列 係数行列 る。 ３行１列の行列にな とそれぞれ３行３列と の定数項に着目する この左辺の係数と右辺

( )

であることがわかる。 と書き表すと、 ここで、 2 4 3 9 , , 1 3 1 2 2 1 3 1 2 L L B AX B X A = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − z y x わかる。 が成立していることが で、 となり、 を実行して見ると、 実際、 B AX AX AX = = − + − = − + − − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ++ − − − + = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 4 3 3 2 2 9 3 2 4 3 9 3 2 2 3 2 1 3 1 2 2 1 3 1 2 z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x

転置行列の例2.　スカラー積

[

]

(

)

。 「ベクトル」参照 等しい のスカラー積に とベクトル これは、ベクトル とすると、 B A A X X A X A T T y x w v u y x w v u y x w v u = + + + + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4 3 2 4 1 3 1 2 , 4 1 3 1 2

[

]

と表すこともある。 を主対角要素という。 は対称行列である。 は、 のとき転置行列 A B B B A A A A . 3 4 2 1 , 3 1 2 0 1 4 0 1 2 0 2 3 0 1 3 1 , 33 22 11 33 22 11 Diag a d c d a b c b a a d c d a b c b a T T T = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =

対称行列の例　正方行列

(行数＝列数)

でもある。

1.2 転置行列、対称行列、正方行列 　ある行列の行と列を入れ替えてできる 行列を転置行列といい右肩にTを付して 表す。A=(a_ij)ÆB=AT Æ(b_ij) =(a_ji)

転置行列と元の行列が等しいとき、その 行列を対称行列という {(a_ji)= (a_ij)}。 　行数と列数が同じ行列を正方行列とい う。

転置行列の例1

[

2 1 3 1 4

]

, 4 1 3 1 2 , 35 25 15 34 24 14 33 23 13 32 22 12 31 21 11 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a B B A A A は、 転置行列 のとき

1.3 単位行列 主対角要素がすべて 1 で、他の要素が 0である正方行列を単位行列といい I で 表す。 行数(= 列数)を n とするとき、I_n と書くこと もあるが自明の場合または不定の場合 は単にI と表現する。 ある行列に単位行列を掛けても元の行 列と同じである。（ある数に 1 を掛けても 変らないのと類似的である。すなわち、I は 数値では 1 に相当する。）

単位行列の例

( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3 5 35 34 33 32 31 25 24 23 22 21 15 14 13 12 11 3 5 確かめてください のとき、 A A I A AI A I I = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = a a a a a a a a a a a a a a a

2. 行列式(Determinant)と逆行列

2.1行列式

　正方行列 A に対応して、「行列式」と呼ばれ る1 個の数値（スカラー） |A| が存在する。 ① A = [a] のとき、|A| = a A_ｌｍをa_ｌｍの余因子または余因数という。 |A| が 0 でないとき、A は「正則である」という。 21 12 22 11 22 21 12 11

_a

_a

_a

_a

a

a

a

a

₌

₋

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

A

A

のとき、

②

32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = A A のとき、 ③

( )

(

の 行と 列を除く小行列式

)

番号、 列 は任意の行 は、 の行列式 列の行列 行 一般に、 ③ m l A i A a A a n n m l lm n k ki ki n k ik ik A A A A × − = = = + = =

∑

∑

1 ) ( , 1 1

行列式の例1

単位行列の行列式は、1

( ) 1₀1 ₁0 00_{0 1}0 0₀0 ₁0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 3 2 = + − = = ⋅ − ⋅ = = I I

行列式の例2

(

)

(

)

(

)

になる。 て展開すると計算は楽 の多い行又は列につい しても同じである。 るいは列について展開 このように、どの行あ 列で展開 第 行で展開 第 行で展開 第 0 9 3 3 9 3 1 2 2 1 1 3 3 2 1 1 3 3 1 2 3 1 3 3 1 1 2 3 2 1 9 3 8 14 2 3 3 2 1 1 1 3 3 1 1 1 3 3 2 2 1 3 3 1 1 2 3 2 1 9 9 2 2 1 3 3 1 2 3 1 3 1 2 2 1 3 1 1 1 1 3 3 1 1 2 3 2 1 3 2 2 1 1 1 2 2 1 , 0 1 2 2 1 2 1 2 1 → = − + = + − = = + − = − + − = = + + − = + − = − = ⋅ − ⋅ = = ⋅ − ⋅ = 2.2 逆行列 　正方行列 A に対応して、「逆行列」と呼ばれ る行列 (A-1 _{と表記)が存在する。AX=IÆX=A}-1 ① A = [a] のとき、 A-1_{=[1/ a]} (注意)|A|=0 のとき逆行列は存在しない。

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

−

A

A

A

A

A

A

A

/

/

/

/

1

11 21 12 22 22 12 21 11 1 22 21 12 11

a

a

a

a

A

A

A

A

A

a

a

a

a

ij

を用いて、

余因子

のとき、

②

も同様。 状態にあることに注意 余因子の添字が転置の のとき、 ③ 3 , / / / / / / / / / , 1 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 23 13 32 22 12 31 21 11 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 > ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − n A A A A A A A A A A A A A A A A A A a a a a a a a a a A A A A A A A A A A A A B A X B A X IX AX A A B AX I AA A A 1 1 1 1 1 1 , − − − − − − = = = = = → = = すなわち、 を掛けて、 のとき、両辺に 求解　 多元連立一次方程式の 逆行列の利用 逆行列の性質

4 15 3 8 ) 5 ( 3 3 1 4 2 3 1 2 1 3 1 1 2 1 ) 1 ( 1 3 2 2 2 1 4 3 9 , , 1 3 1 2 2 1 3 1 2 33 23 13 32 22 12 31 21 11 1 − = − + = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + − − − − − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − A A A B X A A A A A A A A A A z y x のとき、 3 2 1 1 2 , 7 3 1 1 2 , 5 3 1 2 1 1 2 1 3 2 , 5 1 1 3 2 , 3 1 1 2 1 4 2 2 3 1 , 8 1 3 3 1 , 4 1 3 2 2 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 23 13 32 22 12 31 21 11 = − − = − = − − = − = − = = − − − = − = − = − = − − − − = − = − − = = − − − = = − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ A A A A A A A A A A A A A A A A A A の各要素は、 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − − − = − 75 . 0 75 . 1 25 . 1 25 . 0 25 . 1 75 . 0 1 2 1 3 7 5 1 5 3 4 8 4 4 1 1 A

多元連立一次方程式を解く例

が得られた。 すなわち、 から、 3 , 2 , 1 3 2 1 3 25 . 5 25 . 11 1 75 . 3 75 . 6 4 6 9 4 3 9 75 . 0 75 . 1 25 . 1 25 . 0 25 . 1 75 . 0 1 2 1 1 = = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − −+ + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = = − z y x z y x B A X B AX

2.3 多元一次連立方程式のコンピュータ

による解法

2.3.1　直接法

① ガウスの消去法（掃き出し法）

( )

3 3 0 0 0 , ' 3 ' 2 ' 1 3 2 1 ' 33 ' 23 ' 22 ' 13 ' 12 ' 11 3 2 1 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 L も同様 を導く方法。 て、 な式の変換を繰り返し 価 が変化しないような等 のとき、 として、 > ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = n b b b x x x a a a a a a b b b x x x a a a a a a a a a X B AX B X A

が得られる。 て、 行に代入し を第 が得られる。つぎに、 を代入して、 に 行の 第 から、 行の、 第　 を求めるには から 1 2 3 2 3 ' 2 3 ' 23 2 ' 22 ' 33 ' 3 3 ' 3 3 ' 33 ' 3 ' 2 ' 1 3 2 1 ' 33 ' 23 ' 22 ' 13 ' 12 ' 11 1 , 2 / , 3 , 0 0 0 x x x x x b x a x a a b x b x a b b b x x x a a a a a a = + = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ X う。 の形を上三角行列とい ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ' 33 ' 23 ' 22 ' 13 ' 12 ' 11 ' 0 0 0 a a a a a a A

( )

( )

( )

ある。 の添字は不変で 付替える。このとき、 の添字も 、 行を入れ替え その行と第 ものを選び、 の中で絶対値が最大の なら、 とする。もし、 ここで、 形で表すと、 連立方程式を元の式の x b a a a a a c b x a x a x a b b x a x a x a a b x a x a x a i ij 1 , 0 0 31 21 11 11 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 = ≠ = + + = + + + = + L LLL L L

(3)式を導く方法

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

' 0 ' 0 11 31 1 3 3 11 31 13 23 2 11 31 12 32 1 11 31 11 21 1 2 3 11 21 13 23 2 11 21 12 22 1 11 21 1 3 13 2 12 1 11 c a a b b x a a a a x a a a a x a a a c b a a b b x a a a a x a a a a x a a a b a b x a x a x a L L L L − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + × − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + × − = + +

a

₁₁

を基軸とした変換(掃き出し)

(

2行1列、3行1列を消去し 0 にする等価変換

)

次に、a’

₂₂

を基軸とした変換(掃き出し)を

行うと上三角行列化が完成する。

(

3行2列を消去し 0 にする等価変換

)

以下、数値例で示す。

Xはこの変換によって変らないので、A,B

のみで示す。

1 2 5 . 1 3 5 . 0 5 . 1 2 3 ) 3 / 4 /( 4 3 4 5 . 1 9 3 / 4 0 0 5 . 0 5 . 1 0 3 1 2 4 5 . 1 9 3 / 4 0 0 5 . 0 5 . 1 0 3 1 2 5 . 1 5 . 3 2 3 5 . 0 5 . 1 9 5 . 2 5 . 3 0 5 . 0 5 . 1 0 3 1 2 2 1 1 3 2 1 1 2 4 3 9 1 3 1 2 2 1 3 1 2 4 3 9 , , 1 3 1 2 2 1 3 1 2 = = × − = − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − × − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − × − − × − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = y y z z y x z y x 行に代入して、 第 から、 行に代入して、 第 行から、 第 の形にすると、 を実行 行 第 行 第 を実行 行 第 行 と第 行 第 行 第 は基軸 から出発する。 のとき、 B' X A' B X A L L L ともわかる。 によって不変であるこ で、この変換 また、行列式が、 これから、直ちに、 行 第 行 第 行 第 行 第 行 第 行 第 の形にもできる。 列 き出しを進めて対角行 さらに、上三角でも掃 ここでは、 る。 掛け合わせたものにな 角線上のすべての値を 対 きて、上三角行列の主 行列式も同時に計算で る。 き出し法」とも呼ばれ ガウスの消去法は「掃 4 ) 3 / 4 ( 5 . 1 2 3 , 2 , 1 4 3 / 4 0 0 0 5 . 1 0 0 0 2 , 4 3 2 3 / 4 0 0 0 5 . 1 0 0 0 2 3 / 4 5 . 0 3 2 , 3 / 4 3 / 8 3 1 4 5 . 1 10 3 / 4 0 0 5 . 0 5 . 1 0 3 / 8 0 2 5 . 1 1 2 1 4 5 . 1 9 3 / 4 0 0 5 . 0 5 . 1 0 3 1 2 4 ) 3 / 4 ( 5 . 1 2 − = − × × = = = − = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − × − − × − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − × − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = − × × z y x L L L

② LU分解法

AをA = LUと、上三角行列 U と下三角行

列 L の積になるように分解し、LUX = B

の形にし、まず、LY=Bから Y を求めると

LUX=LYÆUX=Y から X を求めます。

2.3.2　反復法

(

)

(

)

(

)

でいる。 ス　ザイデル法と呼ん を用いるのをガウ の をヤコビ法、常に最新 、次の代入に進むの をすべて計算してから ある。 アルゴリズムは簡単で 収斂する保証はないが 記の計算を反復する。 、上 などの初期値を代入し はじめに、 から、 k k k n k k nn nk nn n n k k k k k k x x x x a a a b x x a a a b x x a a a b x 1 / / / / / / 2 22 2 22 2 2 1 11 1 11 1 1 = − = − = − = =

∑

∑

∑

≠ ≠ ≠ L B AX

実際に多元連立一次方程式を解く必要性

は計算力学（有限要素法や差分法など）等

で出てくる。またその未知数の数も、数万～

数十万に及ぶものもある。

したがって、これを解くのに大きな時間を必

要とするので、これまでに述べた方法を比

較してみると

逆行列法は所要時間が長いので中小規模

システム向き

直接法のLU分解法は大規模システム用と

しても用いられている。

反復法は、収斂の保証がなく余り用いられ

ない。

計算回数

　逆行列法　約8/3n

3

_+2n

2

回

　掃き出し法　約2/3n

3

_+2n

2

回

　（名取他　「数値計算法」オーム社　による）

( )

と求められた。 が、 の各列に対応する解 これで、 素で割って、 各行を左辺の主対角要 行 第 行 と第 行 第 行 第 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − × − − × − 2 1 0 , 0 2 1 , 1 1 1 , 3 2 1 2 0 1 3 1 2 1 2 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 / 8 0 3 / 4 4 5 . 1 3 2 / 3 3 0 2 2 2 3 / 4 0 0 0 5 . 1 0 0 0 2 3 / 4 5 . 0 3 2 3 / 4 3 / 8 3 1 z y x A X B L L L L

(

)

が得られる。 から出発して、 に変化している。 から、 すなわち、 。 に変化することになる が の部分 出しを繰り返せば、 として出発して、掃き の代わりに 、右辺を を これを利用して、左辺 式 いるのがわかる。 に変化して が単位行列 以上の過程で、最後に 1 1 1 4 / 1 4 / 5 4 / 3 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 1 2 2 1 3 1 2 ) ( − − − = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ −− − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = A A IX I AX A I I B A I A L L A 2.4.2 逆行列の計算

2.4 コンピュータによる逆行列の計算

2.3.1 の掃き出し法による連立方程式の 解法を、何組かの異なる定数項 B に対 して適用し上三角掃き出しも実施すると、 同時に複数の方程式の解が得られる。 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ −− × − − × − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − × − − × − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 5 . 0 3 1 5 . 1 3 / 16 2 3 / 14 10 5 . 0 5 . 1 0 3 / 8 0 2 5 . 1 5 . 3 2 3 5 . 1 1 2 1 5 . 1 7 1 5 . 0 5 . 0 3 1 5 . 1 5 0 4 9 5 . 2 5 . 3 0 5 . 0 5 . 1 0 3 1 2 2 1 1 3 2 1 1 2 1 7 3 4 2 3 1 3 5 0 4 9 1 3 1 2 2 1 3 1 2 1 7 3 4 2 3 1 3 5 0 4 9 , 1 3 1 2 2 1 3 1 2 L L L 行 第 行 と第 行 第 行 第 行 第 行 と第 行 第 行 第 とする。 B A 2.4.1 定数項の異なる複数の方程式 掃き出し法による計算法を紹介する。