超伝導状態の輸送方程式におけるゲージ不変性とホール効果

超伝導状態の輸送方程式 における ゲージ不変性とホール項 z 輸送方程式について ‹ 研究の歴史 ‹ 微視的導出法 ‹ 問題点－Hall 項 ‹ 超伝導体の Hall 効果の実験 z 非平衡状態の摂動論―Keldyshの方法 z 輸送方程式の微視的導出と問題点 z ゲージ不変性とホール項 z まとめ 北大・理・物理 北　孝文

ドイツでの生活

バイロイト 10月－3月

カールスルーエ 4月－9月

カールスルーエのお城

ザルツカンマ－グート（オーストリア）

ドイツでの研究

z超流動 3_{He の渦構造（Karlsruhe）}

　T. Kita: Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 834

z超伝導体の_{de Haas-van Alphen効果〔安井〕}

　 K. Yasui and T. Kita:

J. Phys. Soc. Jpn. 70 (2001) 2852; cond-mat/0103336

z超伝導状態の輸送方程式（_Bayreuth)

　 T. Kita: Phys. Rev. B64 (2001) 054503; cond-mat/0103520

輸送方程式研究の歴史

z_{Boltzmann方程式(1872)} 　　　　　　　希薄気体；　H定理の証明 z_{Landau-Boltzmann方程式(1956)} 　　　　　　　フェルミ流体，相互作用強 z_{Landau-Boltzmann方程式の微視的導出} 　Landau(1958) , Kadanoff-Baym(1961-2) 　 Keldysh(1964) 　Dyson方程式出発点，準粒子近似（寿命 τ 大） 　保存則成立の条件(Kadanoff-Baym) 　動的な場合の摂動論（Keldysh） z準古典方程式の導出_{(ξ 積分)} 　Prange-Kadanoff（1964) 　　　寿命 τ が小さくてもOK，適用範囲大

z超伝導体の準古典方程式 　Eilenberger(1968)―静的な場合 （松原） 　Larkin-Ovchinnikov(1968)―より簡便な導出 　Eliashberg (1971) ―動的な場合(Keldysh) z超流動 3_{He への適用} 　Serene-Rainer(1983) z_{Landau-Boltzmann方程式・準古典方程式} 　におけるホール効果 　Levanda-Fleurov(1994),　Kopnin(1994-), 　Larkin-Ovchinnikov(1995) 　Houghton-Vekhter(1998) 　　　　　　　ホール項の微視的導出

ボルツマン方程式

(

)

( , , )

[

]

f

t

f

e

e

I f

f

f

t

¶ +

+

=

¶

ìïïï

íï

ïïî

¶

+ ´

×

¶

ß

×

¶

¶

p r

E

E

v h

p

v

r

h

衝突

外場

Lorentz力

: (

分布関数

の時間変化

 

  

   

:

微視的)磁場

 

(微視的)電場

    

 

       

 希薄気体・単

純

ドリフ

 

ト

 

金属の性質

なぜ輸送方程式か？

Landau-Boltzmann 方程式

準古典方程式

変数の消去 解けない！ （非一様系） Dyson 方程式 情報 失われず 何とか 解ける? 変数の消去 熱平衡＋T_c 近傍

Ginzburg-Landau方程式

(熱平衡の超伝導体）

輸送方程式の微視的導出法

Dyson 方程式

1 1

₁

G G GG

-

₌

-

₌

左―右 1 1

₀

G G GG

-

_-

-

₌

Kadanoff-Baym Prange-Kadanoff Eilenberger 積分

ε

ξ

_p 積分

Landau-Boltzmann

方程式

準古典方程式

問題点

(

)

[ ]

(

)

f

f

f

e

e

I

f

e

f

t

¶

_{+ × +}

¶

₊

_×

¶

₌

¶

´

¶

´

¶

¶

¶

×

v

E

r

v h

p

v h

p

  

の

の項が出てこない！？

z存在するのか？ 　（手で付け加えればよい？） z高周波の外場については？ z超伝導体では？

高温超伝導体

YBCOのホール効果

ホール抵抗の符号が反転！

xx

ρ

Hagen et. al. ‘93 z_{Bardeen & Stephen (‘65)}

z_{Nozieres & Vinen (‘66)}

z_{Time-dependent GL} xy

ρ

xx ₂ 2 xy ₂

/

/

c c

B H

B H

ρ

ρ

µ

µ

xx ₂ xy ₂

/

/

c c

B H

B H

ρ

ρ

µ

µ

理論は符号反転を説明できない！

単一渦糸に働く力

(渦糸の運動　　　電気抵抗) z_{Ao & Thouless (‘93)} 　横方向の力はマグナス力のみ！？ 　（クッタ－ジューコフスキーの揚力） 0

v

F

v 小

2

1

2

p

₊

ρ

v

₌

一定

Bernoulliの定理

ローレンツ力は？

(

)

f

e

´ ×

¶

¶

v h

p

 ？

超伝導体のHall効果はよくわかっていない！ 　　　　　（基礎方程式の不在）

グリーン関数

z シュレーディンガー方程式 z グリーン関数 z 時刻 _{t1 >t0} の解

( ) 0

i

H

t

t

ψ

æ

¶

ö

_÷

ç

_-

_÷

₌

ç

_÷

çè

_¶

ø

r

1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

(

,

)

(

) (

)

1

i

H G

G

t

t

t

G

t

δ

δ

t

-æ

_¶

ö

_÷

ç

_÷

ç

-

_÷

=

-

-ç

_÷÷

ç ¶

è

ø

=

r r

r

r

（

  と行列表示

 

できる）

0 0 0 0 0 1 1 1 1

(

t

)

G t

(

,

t

) (

t d

)

ψ

r

₌

ò

r r

ψ

r

r

z　　　　　　　　（自由粒子）のとき z_{H=H0+V のとき} 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

(

)

(

)

[(1

)]

=

G

G

G

V

G V

G

G

V

G

V

V

G

G G G

- - - -

-=

=

-

=

-+

+

+L

 

2 2 H m Ñ =-0 0 1 1 ( ) ( ) 4 0 0 1 1 2

(

,

)

( )e

(2 )

1

( )

/2

i i t t

d d

G t

t

G

G

p

m

ε

ε

ε

π

ε

ε

× ×

-=

=

-ò

p

p r r

r r

p

p

¬ ¬ ¬ ¬ ¬

+

´

+

´ ´

¬

+L

t

ゲージ不変性

z シュレーディンガー方程式 　は変換 　に対し不変　（形が変化せず） 2

( ) 0

1

( )

( )

(

2

)

i

H

t

t

H

e

t

e

t

V

m i

ψ

æ

¶

ö

_÷

ç

_-

_÷

₌

ç

_÷

çè

_¶

ø

æ

Ñ

ö

_÷

ç

=

_ç

_çè

-

_÷

_÷

_ø

+ F

+

r

A r

r

r

( )

exp[

( )] ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

t

ie

t

t

t

t

t

t

t

t

t

ψ

χ

ψ

χ

χ

ìïï

_®

ïïï

ï

_¶

ïï

_®

₊

íï

_¶

ïïï

_¶

ïF

®F

-ïï

_¶

ïî

r

r

r

r

A r

A r

r

r

r

r

熱平衡状態の摂動論

0 1

H

=

H

+

H

複素

t 平面

0

i β

-の区間での摂動展開

(0,

-

i β

)

摂動展開と松原グリーン関数

0 -

-e =-e

βH βH

U

( )

β  

1 0 1 0 1 1 1 1 0 -1 1

( )

1

( 1)

( )

( )

( )

e

e

n n n n n H H

U

d

d H

H

H

H

β τ τ τ

β

τ

τ

τ

τ

τ

-¥ =

= +

-´

=

å

_ò

ò

L

L

       

 

松原グリーン関数

† 1 2 1 2

( , )

T ( ) ( )

T : (0,

)

G

i

τ τ

τ τ

ψ τ ψ τ

β

=

- 

で の 演 算 子 の 整 列

非平衡状態の摂動論

(力学的摂動）

0

( )

t

=

H

+

H

¢

( ) (

t

θ

t

-

t

)

H

複素

t 平面

C

0

t

t

0

t

-

i β

曲線

C上での摂動展開

量子リウヴィル方程式

（密度行列の時間発展）

( )

[ ( ) , ( ) ]

t

i

t

t

t

ρ

ρ

¶

₌

-¶

H

0 1 0 † 0 0 0 0 1 1 1

( )

( , ) ( ) ( , )

( , )

1

( )

( )

( )

n t n t n t n n t

t

S t t

t S t t

S t t

i

d t

d t

t

t

ρ

ρ

-¥ =

=

º +

-´

å

_ò

ò

L

L

解 :  

       

H

H

演算子　 の期待値

O

† 0 0 0

( )

Tr ( )

Tr ( ) ( , )

( , )

t

t

t S t t

S t t

ρ

ρ

=

=

O

O

O

演算子の期待値

† 0 0 0

( ) (

( )

t

=

Tr

ρ

t S t t

, )

O

S

( , )

t

t

O

0

t

C

_t

を相互作用　 で再展開

,

S ρ

H

₁

Contour-Ordered Green’s function

† 1 2 C 1 2 C

( , )

T ( )

)

:

(

T

C

G t t

_{= -}

i

ψ

t

ψ

t

上 で の 演 算 子 の 整 列

z平衡状態と同じテクニックが使える！ z非線形効果まで扱える（力学的摂動_{) ！}

Keldysh グリーン関数

C

0

t

t

0

t

-

i β

R A K

G

G

G

G

G

G

G

G

G

º

-º

-º

+

上 上 上 下 上 上 下 上 上 下 下 上

  ： 遅 延

  ： 先 進

  ： K e l d y s h

R K A

0

G

G

G

G

Ú

é

_ê

ù

_ú

º ê

ú

ê

ú

ë

û

：

Keldysh 行列

を用いた摂動展開（

1964）

一様系

1 1 1 2 1 (1,2) 1 (1,2) 2 1 ( , ) i G t m µ δ t Ú Ú é _{¶ Ñ} ù ê _{+ +} ú ₌ ê _¶ ú ê ú ë û º r      3 1 2 1 2 (2 ) 2 ( )

(1, 2)

d d

e

i i t

G

ε

G

ε π π ε Ú Ú _×

-=

_ò

p

_ò

p p r

ß

2 R A K ( ) ( ) ( )

2

1

1

2 (2

1) (

)

G G G

p

m

i

f

ε ε ε ε ε ε ξ

ξ

µ

ξ

ξ

π

δ

+

-º

-=

-=

-=

-p p p p p p p p

   

 

輸送方程式の微視的導出法

Dyson 方程式

1 1

₁

G G GG

-

₌

-

₌

左―右 1 1

₀

G G GG

-

_-

-

₌

Kadanoff-Baym Prange-Kadanoff Eilenberger 積分

ε

ξ

_p 積分

Landau-Boltzmann

方程式

準古典方程式

ダイソン方程式

(正常状態)

1 2 1 1 (1,2) (1,2) 2 i t m U µ G δ é _{¶ Ñ} ù ê _{+ - +} ú ₌ ê _¶ ú ê ú ë û  

外場

(1

 

º r

 

₁

t

₁

)

Wigner表示

3 12 12 (2 ) 2

(1,2)

d d

( ,

)

e

i i t

G

ε

G

T

ε π π

ε

×

-=

_ò

p

_ò

p R

pr

ß

RT について展開 2 1 ( ) ( ) , ( ), 2 ( ) 2 T i U U G T m p U U T T U G m T ε ξ µ ξ ε ε ε æ ¶ ¶ ö_÷ ç + ¶ +_ççè × ¶ + × ¶ - _{× ¶ ÷÷ø} ¶ ¶ = -¶ º - º ¶ º ¶ p R p p R p R p p R R R R               

輸送方程式（左ー右）

( ) 0 U U G T T m T ε ε æ _{¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ÷}ö ç _{+ × + - × ÷ =} ç _÷÷ çç¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ è ø p p R R R p    

ß

変数の消去

(1)

ε 積分　　　Landau-Boltzmann Eq.

K K

(

) 0

2

1

(

)

(

)

2

2

d

G

d

f

T

G

T

i

T

i

ε

ε

π

ε

ε

ε

π

¥ -¥ ¥ -¥

¶

₌

¶

º

ò

ò

p R

pR

p R

準粒子近似

ß

( ) 0 U f T T m æ _{¶ ¶ ¶ ¶ ÷}ö ç _{+ × - × ÷ =} ç _÷÷ çç¶ ¶ ¶ ¶ è ø p pR R R p    

(2)

ξ

_p

積分　　　準古典方程式

K K

ˆ

(

)

(

)

2

(

) 0

2

d

f

T

G

d

G

i

i

T

T

ξ

ε

π

ξ

ξ

ε

ε

π

¥ -¥ -¥ ¥

¶

₌

¶

º

ò

ò

p p p

p R

p R

p R

準粒子近似

ß

ˆ ( ) 0 U f T T m T ε ε æ ¶ ¶ ¶ _{¶ ÷}ö ç _{+ × + ÷ =} ç _÷ çè_{¶ ¶ ¶ ¶} ø p p R R    

どちらの適用範囲が広い？

相互作用のある場合 Dyson方程式 に自己エネルギー項

( ,

ε

T G

) ( ,

ε

T

)

S

p R

p R

(1)

ε 積分

0

( 0

(

( )

)

)

ε

ε

ε

ε

ε

=

¶

S

»

S

+

S

¶

p

p

p

実数で近似 F F 0

(

(

ε

)

ε

)

(

ε

)

(

)

=

¶

S

»

×

¶

S

-+

S

p

p

p

p

p

p p

(2)

ξ

_p

積分

準古典方程式の適用範囲大

( ,

ε

T

)

S

p R

のp依存性弱い (1) ε 依存性は大きい場合あり (ex. 電子格子相互作用） 寿命が短くても使える (2)

ξ

積分では　　　　　　が 大きな虚部をもってもよいF

(

ε

)

S

p

コメント

z衝突項は自己エネルギー項から z超伝導状態の輸送方程式 　 　　　に同じ操作をすることで得られる。 　　　分布関数を決める式 　　　ペアポテンシャル ∆ を決める式 　　　（CDWの輸送方程式も同様）

( ,

ε

T G

) ( ,

ε

T

)

S

p R

p R

* * †

ˆ

(1,2)

(1) (2)

(1,2)

(1) (2)

G

F

G

F

G

G

i T

F

i T

ψ ψ

ψ ψ

é

ù

ê

ú

=ê

_-

_-

ú

ê

ú

ë

û

µ- ：南部行列

保存則成立の条件（

Baym）

Φ =

+

+

+

G

¶F

¶

Σ =

=

+

+

+

z _{Σ は Φ の G についての汎関数微分で！} z _{Σ と G を自己無撞着に決定！}

2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 (1,2) (1,2) 2 (1,3) (3,2) 3 (1,2) 1 (1,2) (1,2) 2 (1,3) (3,2) 3 (1,2) ( ) ( Dyson Dyson (1,2) i G G t m G d i G G t m G d i G t t µ δ µ δ ¶ _-æ-_{ç ö÷} Ñ - ÷ ç ÷ çè ø ¶ - S = ¶ æ-_{ç ö÷} - -_{ççè Ñ - ÷÷ø} ¶ - S = æ _{¶ ¶ ÷}ö _{Ñ +Ñ × Ñ} ç _÷ ç + _÷ -ç _÷÷ ç¶ ¶ è ø

ò

ò

                        左 右 右-  左    -
|
| 1 2 1 2 2 1 1 ) (1,2) 2 (1,3) (3,2) (1,3) (3,2) 3 0 ( ) (1) (1,1 ), (1) (1,2) 2 (1) (1,3) (3,2) (1,3) (3,2) 3 0 ! 1 ? ( ) G G d G m G G d n iG G m n t + + = -Ñ S - S = - Ñ -Ñ =- = ¶ _{+Ñ× =} ¶ - S - S =

ò

ò

j j    +        粒子数と運動量 粒子      右辺 数の時間変化     

(2) (1) 1 2 (2,1) (2,1) 1 2 (1,2) (2,1) (2,1) e (2,1)e (2,1) (2) (2,1) (2,1 (1,2) (2,1) ) (1) 0 1 i i d d G G d d G G G G G i G G i d d G G δ δ δ δ δ δ δ δ δ L - L F S = F F = = S ® = L - L = F = F F

òò

òò

の微小変化による の変化 ゲージ変換: の微小変化: ゲージ      の関係があるとき 変換により は不変で           あるから

|

|

|

2 (2,1) (1,2) (1,2) ( (1) (1) 2 (1,2) 2,1) 2 (1,2) (2,1) (1,2) (2,1 (2) (2,1) (2,1) ( ) 0 1) 1 i G G i d G G d G G i d S L S -S S -S L -L = = L

ò

ò

ò

ò

ò

は                     任意であるか  保存   ら 則成立！

準古典近似―考慮すべき図形

Φ =

+

+

+

衝突項

２体相互作用ではこれらの図形のみ！！ 他の項は量子補正

Serene&Rainer, Phys. Rep. 101 (1983) 221. 　 　　　　　　　　Appendix A

ホール項とゲージ不変性

(1) この方法ではホール項は導出できない

(

)

f

e

´ ×

¶

¶

v h

p

 

(2) ゲージ不変性がない！？ 1 1 2 1 12 ( ) 2 ( ) 2 e t T T i e i i e T

é

¶

¶

ù

-

ê

×

+

ú

ê

¶

¶

ú

Ñ

-

=-ë

û

Ñ Ñ

-+

r _R A A R r A R R

L

  

1

1

2

2

j k k ijk k j j k

A

A

A

h

R

ε

R

R

æ

_¶

ö

¶

_ç

_ç

¶

_÷

_÷

=

+

_ç

+

_÷

_÷

ç

¶

_çè

¶

_{¶ ÷÷}

_ø

これまでの研究

z _{Larkin and Ovchinnikov (1995)} 　　particle-hole asymmetry の効果 　　　　　　　　小さい！

z _{Kopnin (1994)}

　　静的電磁場・clean limit　の理論 　　　　導出過程が明快でない

z _{Houghton and Vekhter (1998)}

　　静的電磁場の場合の理論

　　　　ゲージ不変性なし！

z _{Levanda and Fleurov (1994)}

　　ゲージ不変なBoltzmann方程式 　　　　　　　　（半導体）

目的

zホール項を持ちゲージ不変性

　のある輸送方程式の導出

　　　　　

輸送方程式の

　　　微視的導出法の確立

　　　

(金属，超伝導，CDW)

z多体効果の影響

z時間変動する電場への応答

出発点ー

Dyson方程式（R成分）

(G

-1

_{G = 1)}

(

)

* * * 1 * 1 * 2 1 1 1 3 1 1

ˆ

0

ˆ

ˆ

ˆ

(1,2)

(1,2

ˆ

,

1

2

(

)

0

ˆ

_{(1,3) (3,2) 3}

ˆ

_(1,2)1

ˆ

, ):

G

F

G

F

G

i

e

G

G

i

e

G

m

t

d

τ

δ

µ

é

ù

é

ù

_ê

S

D

_ú

ê

ú

=

_ê

_ú

_{S= ê}

_ú

-

-é

ù

æ

_¶

ö

_÷

ç

_÷

ê

ú

ç

- F

_÷

-

_ê

_ú

ç

_÷÷

ç ¶

-è

-D

-S

ê

ú

ê

ú

ë

û

ë

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=

- Ñ -

-F

ø

ê

_ë

ú

_û

- S

ò

=

A

A

 

 電磁ポテ

ャ

 

シ

 

ン

ル

H

H

H

ゲージ不変性

1 * 1 3 1 1

0

ˆ

ˆ

ˆ

(1,2)

(1,2)

0

ˆ

_{(1,3) (3,2) 3}

ˆ

_(1,2)1

ˆ

i

e

G

G

t

G

d

τ

δ

é

ù

æ

_¶

ö

_÷

ç

_÷

ê

ú

ç

- F

_÷

-

_ê

_ú

ç

_÷÷

ç ¶

-è

ø

ê

_ë

ú

_û

- S

ò

=

  

H

H

1 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1

ˆ

_(1,2)

_exp(

_ˆ

_{) (1,2)exp(}

ˆ

_ˆ

₎

G

ie

G

ie

t

χ τ

χ τ

χ

χ

ìïï

ïï

_®

-ïïï

ï

_¶

ïï ® +

íï

_¶

ïïï

_¶

ïïF ®F

-ïï

_¶

ïïî

A

A

r

      この方程式は

   に対して不変（

形を変えない）

Gのゲージ変換性

12 12 1 3 2 12 1 3 2

1,2

( , ) Fouri

ˆ

_(1,2)

_exp(

_ˆ

_{) (1}

ˆ

_ˆ

,

( , )

Fouri

,2)ex

e

er

)

r

p(

T

t

G

i

t

e

χ τ

G

ie

χ τ

ß

®

-ß

R

r

r

      

変換が(

)だけに依存するように

  

の双方に依存

 につ

 

についての

変換

！

いての

ダメ

変換

1 1 1 1 3 1 1 2 3

ˆ

_ˆ

_ˆ

_ˆ

( , )

( )

( , ),

( ,

)

(1,2) exp[ ( , ) ] (1,2)exp[

(

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,

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,

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G

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I R r

G

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r

A

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r

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r

r

r

r r

r

r

    

 

 

 

直線

ゲージ変換性 3 3

(1,2)

ˆ

₍

_ˆ

ˆ

_ˆ

(1,2),

(1,2)

(1,2)exp[2

( )

1,2)

exp[

( ) ] (1,2)exp[

( ) ]

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2

G

ie R

G

i

G

G

F

e

e

F

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R

R

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χ

τ

χ

χ

τ

®

®

-®

r

r

r

電荷 のW.F.

重心座標　　のみに依存！

R

r

ß

12 12

( , )

r

t

Fourier

 

についての

変換OK

Strategy

ˆ

ˆ

G

®

G

z　

_{Dyson方程式の書き換え}

z　重心座標の

Gradient Expansion

z　左

_{Dyson－右 Dyson}

z　

_{ξ　について積分}

ß

ゲージ不変な輸送方程式

(R成分につき実行―A,K成分も同様）

微分項

(静的電磁場）

(

)

(

)

1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 1 1 ( , ) ( , ) 1 1 ( , ) ( , ) 1 1

(1,2)

(1,2)

(

2

1

2

,2)

(1,2)

(1,2)

2

(

2

2

)

iI R r iI R r iI R r iI R r iI R r iI R r

e

i

e

G

t

i

G

t

e

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A

r

r

h r E

A

R

A

R

r _r r r _r r r _r r

(

)

(1,

4

2)

e

t

F

é

ù

ê

-

´ -

ú

ê

¶

ú

ë

r

h r E

û

E：電場 h：磁場

ゲージ不変な微分

＋

ホール項！

ゲージ不変な微分

* * * *

on ,

, ,

2

( ) on

2

( ) on

on ,

, ,

2

( ) on

2

( ) on

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G G

T

ie R

F

T

ie R

F

T

G G

ie R

F

ie R

F

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¶

¶

+

ïïî

R R R R R

E h

E h

A

A

r

r

r

r

微分項はすべて

と

で表せる

自己エネルギー項

zゲージ不変な微分で表せるか否か？

z電子の質量

_{mが如何に変更を受ける}

　か？

z新たな項が現れるか否か？

ß

z ゲージ不変な微分で表せる！

z

_{m　　　　m*}

z　否

より具体的には

3 ) ) F F F F 1 2 1 2 ( ( (2 ) 2 ˆ _{(1, 2 ) ˆ ( , )} ˆ ˆ ( , ) ( , ) ˆ ˆ ˆ _{(1, 3) (3,2) 3} ˆ ( ) :

e

i i t t d d T T T G d G m a a ε ε π π ε ε ε -× - -S S ´ S » S +

S

S

=

æ

_ö÷

ç

_-

_÷

_×

-ç

÷

çè

ø

ò

ò

ò

p r r p p R p R p R v p p p               ( 1 ) を と で 表 す ( 2 ) ゲ ー ジ 不 変 な 微 分 の 使 用 ( 3 ) F o u r i e r 変 換 ( 繰 り 4 ) 展 開 込 み 因 子

左

Dyson方程式

(

)

(

)

(

)

3 3 3 3 3 3 3 F F

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ ˆˆ

ˆ

ˆ

1

2

ˆ

ˆ

ˆ

_{ˆ ˆ}

ˆ

3

8

ˆ

ˆ

3

8

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G

i

G

G

G

i

G G

a

G

ε

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τ

τ

τ

τ τ

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-

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¶

+

×

+

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R

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p

v

E

p

o

o

3 F 2 F 3 F ˆ ˆ ˆ ( , ) ( , )

ˆ

: :

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ˆ

1

2

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p

a

T

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τ

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_S

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ø

p R p R

v

フェルミ速度, 

パウリ行列

z

ξ　を消去（左－右）

z

_{ξ　について積分}

準古典方程式

3 3 F F 3 F

ˆ

ˆ ˆ

( ,

)

ˆ

( ,

)

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

[

,

ˆ ˆ

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2

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T

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G

T

a

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i

g

e

g

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ε

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ε

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σ

τ

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¶

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p R

p R

p R

v

h

v

p

v

E

o  

準古典グリーン関数

準古典方程式

記号の説明

, 2 F 3 F 3 F ˆ ˆ ˆ ( , ) ( , ) ˆ

[ , ]

{ , }

exp

2

( , ) ( , )|

[ , ]

ˆ

ˆ

1

2

1

0

:

0

1

:

T T T T

A B

AB BA

A B

AB BA

i

A B

T

T

A T B

T

A B

A B B A

p

a

a

m

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ε

ε

ε

ε

σ

µ

¢= ¢= S

º

-º

+

é

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_ç

_{¶ ¶}

_{¶ ¶ ÷}

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¢

¢

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¶ ¶

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¢ ¢

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ú

ê

ú

ë

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p R p R

v

o

o

o

o

パウリ行列

フェルミ速度

正常金属

R A K K K F F F K A R K

1

(

)

[2

(

)]

g

g

g

g

e

e

g

T

i

g

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σ

σ

σ

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₊

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¶

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=

+

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v E

v

h

R

p

（

状態密度）

ゲージ不変性

3 F 3 F F

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

[

, ]

ˆ ˆ

(

)

[ , ]

2

0

g

i

g

i

e

g

ετ

σ

τ

ε

-

+

׶

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_¶

ù

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ú

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´ ×

+ ×

_ú

¶

¶

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=

R

v

v

h

v E

p

o 3 3 ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ eie R ˆ e ie R g g T χ τ χ τ χ χ

-ìïï ®

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ïï ® +

íï

_¶

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¶

ïF®F-ïï

_¶

ïî

A A R r r この方程式は に対して不変（形を変えない）

時間変動する電磁場

}

(

)

3 1 F 1 F 1 0 F 0 1 F 3 3

2

2

2

1

,

2

,

1

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

[

, ]

ˆ ˆ

ˆ ˆ

[ , ]

{ , } 0

2

2

2

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g _f g f

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i

i

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i

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e

T

d e

T

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τ

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+ ׶

+

+

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ò ò

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v

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v E R

v

h

v

R

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O

O

O

O

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F

₂

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T

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ç

+ ×

_ç

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_{- ¶ ÷}

_÷

ø¶

p

v E R

まとめ

zホール項を含んだ超伝導輸送方程式

　（準古典方程式）の導出

　

方程式のゲージ不変性に着目

　渦糸状態のホール効果研究の基礎

z輸送方程式の微視的導出法の確立