数学２ 第５回 群の構造：正規部分群
2009/10/28 いろいろなシンメトリーを考える話はまだ続くのですが、今回は間を入れて、群自体についての考察 です。 ■１．部分群 正三角形は三角形として最大にシンメトリックな図形です。これに対して二等辺三角形は、回転のシ ンメトリーは失われていますが、鏡映のシンメトリーを残しています。逆に考えると、正三角形は二等 辺三角形のシンメトリーを“部分的”に持つといえます。まあしかし、正三角形は二等辺三角形の一種 だから当たりまえといえば当たりまえですね。しかし、例えば正六角形のシンメトリーを考えてみまし ょう。 図を見てわかるように、正六角形は内部に正三角形を“隠し持って” いますから、正三角形のシン メトリーを“部分的”に持っていることになります。 「図形のシンメトリー群」というのは、図形の形を変えない操作の集まりでしたから、「正六角形の シンメトリー群」は「正三角形のシンメトリー群」を含んでいるはずです。このような「大きな群の中 にある小さな群」を部分群といいます。 ある群のなかにまた群があるという意味は、群がノッペラボーなものではなく、ある種の構造がある ことを示しています。その構造を調べるのが群論の目的のひとつです。 さて、群というのは、端的にいうと何らかの「操作の集まり」のことであり、特に操作を続けて行う ことをある種の掛け算（積）と考えるのでした。これを抽象的に定義すると、 【定義】 集合Ｇの任意の２つの要素ｘ、ｙに対して以下の４条件が成り立つときとき、Ｇを群といいます。 （１）積ｘ・ｙがあり、積の結果はＧの要素の一つ ：閉じた演算 （２）（ｘ・ｙ）・ｚ＝ｘ・（ｙ・ｚ）が成り立つ ：結合法則 （３）ｘ・１＝１・ｘ＝ｘ を満たすＧの要素「１」すなわち単位元（何もしない操作）が存在する （４）ｘ・ｘ－１＝ｘ－１・ｘ＝１ をみたすＧの要素ｘ－１、すなわちｘの逆元（逆操作）が存在するとなります。群のなかの群、すなわち部分群も群である以上はこの定義（公理）を満足するものでなけ ればなりません。 （例１）３次置換のシンメトリー群（３次の対称群） これはこれまで何度か登場した群ですが、改めて述べておきましょう。３次の置換操作は次の６つで す。 １＝
3
3
2
2
1
1
σ＝
1
3
3
2
2
1
τ＝
2
3
1
2
3
1
ａ＝
3
3
1
2
2
1
ｂ＝
1
3
2
2
3
1
ｃ＝
2
3
3
2
1
1
この６つの置換の集まりが「３次置換のシンメトリー群」です。Ｇの乗積表は次の表 1 のようになりま す： 1 σ τ a b c 1 1 σ τ a b c σ σ τ 1 c a b τ τ 1 σ b c a a a b c 1 σ τ b b c a τ 1 σ c c a b σ τ 1 乗積表（表 1）を見ると、表の左上隅の操作「１、σ、τ」の部分には「１、σ、τ」しか出てきて いませんよね？ つまり、巡回置換操作「１、σ、τ」同士で掛け算しても他の３つの互換操作「ａ、 ｂ、ｃ」は出てきません（図形的には「回転で鏡映像を作ることができない」ことを表しています）。 ３つの操作Ｎ＝｛１、σ、τ｝は、全部で６個ある操作の集まりの中で“閉じた”グループ（巡回派閥？） を形成しているわけで、すなわちＮはＧの部分群なわけです。 ところで、このような閉じたグループは“巡回置換グループ”だけではありません。例えば「恒等置 換１と互換ａ」の２つの置換操作は、この２つ同士でいくら掛け算しても、「１とａ」以外の構成員は 出てきませんから、閉じた小グループになっています。念のため「１とａ」の乗積表を書いておきまし ょう： 〔表 1〕 3 次置換のシンメトリー群Ｇの乗積表 （左端の列）・（上端の行）を計算した表です。 例）σ・ｂ＝ａ 1 a 1 1 a a a 1結局、Ｈ＝｛１とａ｝はＧの部分群です。同様に「１とｂ」、「１とｃ」もＧの部分群となります。 もちろん、Ｇからテキトーに要素を選んだだけで、それらが部分群になるとは限りません。例えば、 「１とσ」で乗積表をつくると となって、“仲間外れ”のτが出てきてしまうから閉じていません。また、「１、σ、ａ」だと となって、全然閉じていないのでこれもだめです。 こうやって調べていくと、Ｇの部分群は Ｎ＝｛１、σ、τ｝、 Ｈ＝｛１、a｝、 Ｈ'＝｛１、b｝、 Ｈ''＝｛１、c｝ の４つしかないことがわかります。 ・・・と言いたいところですが、ちょっと待ってください。「恒等置換（単位元）のみ」＝｛１｝と いうのは、一応群の公理を満たしていますから、これも部分群として扱うべきです。また、いま考えて いるのはＧの「部分」であって、Ｇ自体は「全体」なのですが、しかし、Ｇ自身を「部分群」のひとつ と数えておくと何かと便利です。そんなわけで、Ｇの全部分群は Ｇ、 Ｎ＝｛１、σ、τ｝、 Ｈ＝｛１、a｝、 Ｈ'＝｛１、b｝、 Ｈ''＝｛１、c｝、 １ の６つとなります。 どんな群でも「群それ自体」と「単位元のみ」という部分群を必ず持ちます。しかし、この２つは部 分群としてはあたりまえすぎて、あまりおもしろいものではないので「自明な部分群」と呼び、この２ つ以外の部分群を「真部分群」と呼んで区別することがあります（つまり、Ｇの真部分群は４つ）。 ★ ★ ★ さて、今の例ではなんだかあっさりと全ての部分群を書き出しましたが、実際は、何か群が与えられ たとき、その部分群を見つけるのは結構難しい作業となります。直接的な方法としては、群のすべての 要素の組み合わせについて、その乗積表を作って閉じているかどうかをチェックすればいいのですが、 1 σ 1 1 σ σ σ τ 1 a σ 1 1 a σ a a 1 b σ σ c τ
群の要素数がちょっとでも多くなると、これは膨大な作業となってしまいます。 しかし、いくらなんでもそこまではしなくてもよく、次のようなありがたい定理があります。 ラグランジュの定理：部分群の要素数は、親の群の要素数の約数になります。 （ただし、（残念ながら）約数の要素数の部分群がいつでもあるとは限りません。） （例）「正方形のシンメトリー群」は全部で８個の操作（回転４＋鏡映４）からなります。８の約数は １、２、４、８ ですから、部分群があるとすれば、その要素数はこのうちのどれかでなければなりません。このうち、 要素数１と８の部分群は「自明な部分群」です。 （例）「４次置換のシンメトリー群」は全部で４！＝２４個の置換からなります。２４の約数は １、２、３、４、６、８、１２、２４ ですから、部分群があるとすれば、その要素数はこのうちのどれかでなければなりません。 （例）「５次置換のシンメトリー群」は全部で５！＝１２０個の置換からなります。１２０の約数は １、２、３、４、５、６、８、１０、１２、１５、２０、２４、３０、４０、６０、１２０ ですから、部分群があるとすれば、その要素数はこのうちのどれかでなければなりません（実は、１５、 ３０、４０の部分群は存在しません）。 ■２．巡回群 巡回置換を思い出しておきましょう。「Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ」さん５人がこの順で円テーブルに座っ ているとします。各人がいっせいに左隣の人で置き換えるという操作を行いますと各人の席位置は「Ｂ ＣＤＥＡ」となります。 このような置換を「巡回置換」というのでした。今の置換を「σ」という記号で表し、置換操作による 席位置の変化を、 σ（「ＡＢＣＤＥ」）＝「ＢＣＤＥＡ」
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
という式で表すことにしましょう。さて、同じσ操作をもう一度行うと席位置は「ＣＤＥＡＢ」、式で 書くと σ・σ（「ＡＢＣＤＥ」）＝σ２（「ＡＢＣＤＥ」）＝「ＣＤＥＡＢ」 となりますが、元の「ＡＢＣＤＥ」からみると、これは「いっせいに２つ左隣の人で置き換える」とい う操作になっていることがわかります。席位置は変わったものの、隣接する人の順番は変わっていませ んから、σ２も巡回置換の１つです。さらに、σの置換を何度も続けて行うと、σは隣接する人の順番 を変えませんから、いつか元の席位置「ＡＢＣＤＥ」に戻ります（つまり人がぐるぐる“巡回”するわ けです。これは正５角形の回転操作と完全に対応します）。 σ３（「ＡＢＣＤＥ」）＝「ＤＥＡＢＣ」 σ４（「ＡＢＣＤＥ」）＝「ＥＡＢＣＤ」 σ５（「ＡＢＣＤＥ」）＝「ＡＢＣＤＥ」 こうして１つの巡回置換から５つの巡回置換が作り出されました。これを全て集めたもの、 Ｃ＝｛１、σ、σ２、σ３、σ４｝ （σ５＝１＝恒等置換に注意！） は群の公理を満足します。この群を「（５次の）巡回群 cyclic group」といって「Ｃ５」などと表記し ます。 巡回群が大事なのは、次のような性質を持つからです。 （１）巡回群は（上の例のように）１つの要素から作られる。 （２）巡回群では掛け算の順番は関係ない。 （３）要素数が素数の群は必ず巡回群である。 （４）巡回群の部分群は、必ず巡回群。 （５）巡回群の要素数の約数には、対応する部分群が必ずある。 （例）正六角形の回転シンメトリー群（６次巡回群） 正六角形は６０度回したら同じ形に重なります。そこで「６０度回転操作」をσとしましょう。する と、σ２＝「１２０度回転」、σ３＝「１８０度回転」、σ４＝「２４０度回転」、σ５＝「３００度回転」、 σ６＝「３６０度回転」＝「何もしない」 となります。 これは結局「６人が円テーブル」に座っているのと同じことなので、 Ｃ６＝｛１、σ、σ２、σ３、σ４、σ５｝ は巡回群になります。乗積表を作ってみると、
1 σ σ２ σ３ σ４ σ５ 1 1 σ σ２ σ３ σ４ σ５ σ σ σ２ σ２ σ２ σ３ σ３ σ４ σ４ σ５ σ５ この巡回群の要素数は６ですので、その約数２，３の要素数の部分群があるはずです。これは、回転 を考えればすぐわかるように、 ｛１、σ３｝、 ｛１、σ２、σ４｝ です。 ■３．群の分解と正規部分群 ３次の置換シンメトリー群Ｇは部分群Ｈ Ｈ＝｛１、ａ｝ （互換の１つ） と Ｎ＝｛１、σ、τ｝ （巡回置換） というのを持っていました。この２つの部分群の違いは、見た目まず要素数が違うというのがあります が、それ以上に重要な性質上の違いがあります。 まずＨです。Ｈ以外のＧの残りの要素は ｛σ、τ、ｂ、ｃ｝ の４つで、（そもそも恒等置換がないから）これらだけで群をつくることはできませんが、ただの“余 り”ではなく、部分群Ｈとそれなりに関係しています。 “余り”の要素の中から（どれでもいいのですが）置換ｂを取り出して、これをＨの各要素に右から 〔表２〕 ６次の巡回群Ｃ６ 空欄を埋めてね！
掛け算してみます（乗積表をみて計算してね）。すると、 Ｈｂ＝｛１・ｂ、ａ・ｂ｝＝｛ｂ、σ｝ となって、“余り”のうちの２つがＨから出てきました。さらに、Ｈの各要素に右からｃを掛け算して みると、今度は Ｈｃ＝｛１・ｃ、ａ・ｃ｝＝｛ｃ、τ｝ となります。つまり、Ｓ３はＨによって「Ｈ＋Ｈｂ＋Ｈｃ」と“仲間わけ”されることがわかりました （これを部分群ＨによるＧの右分解といいます）。これはちょうど、整数を「偶数＋奇数」と仲間わけ すること、あるいは３で割った余りで「０の数＋１の数＋２の数」と仲間わけできるのと似た状況です。 ところで、今は要素を「右から」掛け算しましたが、普通の数とは違って、群では掛け算の順番を変 えると結果が異なることがあります。そこで、今度は「左から」要素をかけてみましょう。すると、 ｂＨ＝＝｛ｂ・１、ｂ・ａ｝＝｛ｂ、τ｝ ｃＨ＝｛１・ｃ、ｃ・ａ｝＝｛ｃ、σ｝ となって、先の「右掛け」と同様Ｇの“仲間わけ” 「Ｈ＋ｂＨ＋ｃＨ」（部分群ＨによるＧの左分解と いいます）ができました。しかし、よく見ると、その構成員は右分解の場合とは違ったものとなってい ますね。 さて、今と同じことを、今度はもう一つの部分群Ｎ＝｛１、σ、τ｝に対しても行ってみましょう。 Ｎを除いたＧの残りは｛ａ、ｂ、ｃ｝です。そこで要素ａをＮに右から掛けてみましょう： Ｎａ＝｛１・ａ、σ・ａ、τ・ａ｝＝｛ａ、ｃ、ｂ｝ となって、ＧはＮとＮａの２つに“仲間わけ”されました。次に、左掛けしてみると、 ａＮ＝｛ａ・１、ａ・σ、ａ・τ｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝ となって、今度はＨの場合と違って、右分解と左分解が一致しました。 これが、この説の初めの方で述べた「部分群の性質の違い」です。Ｎのように、（親の群）Ｇの要素 を右掛け、左掛けしたとき、構成要素が一致するような部分群を「正規部分群 Nomal subgroup」とい います。何が“正規＝ノーマル”なのかはこれだけではよくわかりませんが、この部分群はいろいろと （数学者にとって）良い性質を持っていて、そんな良い性質のものは（数学者にとって）ノーマルなわ けです（説明になってませんが・・・要するに、左右を区別しなくてもよいので、整数と似た性質を持
つ、というのがノーマルなのです）。実は、この「正規部分群」こそ、方程式が解けるか否かのカギな のです。 ともかく、多くの群が部分群を持ちますが、その中には正規な部分群と非正規な部分群があるわけで す。いささかあたりまえの例としては、「自明な部分群」すなわち「群自分自身」と「単位元」という のが正規部分群で、この２つはどんな群でも持つ正規部分群です。特に、この２つしか正規部分群を持 たない群は「単純群」と呼ばれます。整数が素数の掛け算で書けるように、すべての群は単純群の合成 で書くことができます。つまり、単純群は群の世界の「素数」の役割を持ちます。
