第２３章　電流と電気抵抗　(11/20)

電流

導体に電源をつなぐと、導体内に 電界が生じて自由電子が移動する。 この電荷の流れを電流という。電流 の強さ I は、流れに垂直な断面を単 位時間あたりに通過する電荷の量 で表す。 微少な時間 _t の間に通過した電 荷を Q とすると、電流 I は、 となる。 電流の単位は_{[A（アンペア）]であ} り、定義より、 1[A] = 1[C/s] となる。 逆に、ある時間 t に移動する電荷 Q は、電流を積分することで得られ る。 特に、時間によって向きや大きさ が変わらない電流を定常電流と言う。 0 d _lim d t Q Q I t t      _         Q _t I 電 子 の 動 く 向 き と 電 流 の向きは逆 時間 _t 電流 _I I(t) 1 0 ( ) t t Q

_

I t dt t₀ t₁

導体中での自由電子のふるまい

導体内に電界があると、自由電子 は導体内の陽イオンにランダムに当 たりながらも、電界と逆の方向に移 動する。この時の平均速度をドリフト 速度と言う。 断面積_S[m2_{]の導線の中を、ドリフ} ト速度_v[m/s]の自由電子が移動する とき、体積_vS[m3_{]の中の自由電子が} 1秒間にSの断面を通過したことにな る。単位体積あたりの自由電子数を n[個/m3_{]とすると、移動した総電子} 数は_{nvS[個]となり、}自由電子_1個の 電荷をe[C]とすると、_{1秒間にある} 断面を通過する電荷はenvS[C]と なり、これより電流_Iは、次式となる。 I = envS 電界 ドリフト速度 平均化された自由電子 E v S      

自由電子のドリフト速度

導体の両端に電圧 _{V[V]を加える} と、導体の内部に電界 _E が発生する。 導体中の自由電子は、この電界と 反対方向の力 _F を受け、 の加速度が生じる。このため、ドリフ ト速度 _v[m/s]は、 となる。陽イオンに衝突して止まるま での時間を  _{[s]とすると、衝突直前} の速度は、 となり、平均であるドリフト速度 _{v は、} 平均化された自由電子 E v eV  V  S       [V/m] V E  _ [N] eV F ma   2e [m/s] v V m   2 [m/s ] eV a m   [m/s] eV v t m   [m/s] eV v m   

導体の電気抵抗

導体中の自由電子のドリフト速度 v[m/s]は、 となり、これを先の電流の式 に代入すると、導体中を流れる電流 I[A]は、 となる。ここで、 とすると、導体中の抵抗 _{R は、} から、 となる。 は導体の種類や温度で決 まり、導体の長さおよび断面積あた りの抵抗を表す。これを電気抵抗率 という。 平均化された自由電子 E v eV  V  S       2e [m/s] v V m   [A] I envS 2 2e e nS2 I enS V V m m      _{ }   _{ }   _{ }   _{ }       2 2m e n    V R I  2 2 V m R I e n S  S                 2 [Ω] [m ] [Ωm] [m] R S    

各物質の電気抵抗率

物 質 抵抗率[m] 物 質 抵抗率[m] 酸化物高温超伝導体 （_YBa2Cu3O7） 0.5～5×10-4 炭素 _3.50×10-5 ゲルマニウム_{(Ge) 4.60×10}1 銀 _1.59×108 ケイ素_{(Si) 6.40×10}2 銅 _1.68×108 水_{(純水) 2.5×10}5 アルミニウム _2.82×108 ポリ塩化ビニール ₁₀9_～1012 ナトリウム_{(0℃) 4.74×10}8 天然ゴム ₁₀12_～1015 ニッケル 6.99×108 _{パラフィン 10}14_～1017 タングステン _5.60×108 ガラス ₁₀10_～1014 鉄 _1.00×107 ポリエチレン ₁₀15_～1017 ニクロム_{(Ni、Fe、Cr) 1.50×10}6 表示温度のない物質の温度は20℃

抵抗の温度依存性

金属の温度が上昇すると、原子の 振動が激しくなり、衝突するまでの 時間  が短くなり、電子の平均速度 が小さくなる。抵抗率でみると、抵抗 率は温度 _{T[℃] の関数となり、} となる。ここで、₀ は温度が_20[℃]の 時の抵抗率、 は抵抗温度係数と いう。 0{1 (T 20)}     物質 抵抗温度係数_[/℃] 銀 _3.8×10-3 銅 _3.9×10-3 金 _3.4×10-3 アルミニウム _3.9×10-3 タングステン _4.5×10-3 鉄 _5.0×10-3 ニクロム _0.4×10-3 炭素 0.5×10-3 ゲルマニウム 4.8×10-2 シリコン 7.5×10-2 サーミスター 4.4×10-2 半導体はもともと電流が流れにくい ため、温度上昇により陽イオンの振 動が激しくなり、自由電子の数が増 えることがある。そのため、逆に抵 抗が減少する。

電気的エネルギーと電力

微小時間 _{dt において電気が行う} 仕事 _{dW は電気のエネルギー qEd} を用いて、 で表される。一般に_{dW / dtの代わり} に、単位時間当たりの電気エネル ギーの消費量 _{P[J/s = W]を用い、こ} れを電力という。ここに、 を代入すると、 となる。 電気回路で消費される電力は抵 抗などで熱に変換される。この変換 された熱をジュール熱という。 d( ) d dWt  qEddt d dq I t  V Ed d d dW dq P Ed IV t t    

抵抗の直列・並列接続

合成抵抗 _{R は、} 合成抵抗 _{R は、} V V₁ V₂ V I R₁ R₂ R₂ R₁ I I₁ I₂ 1 1 2 2 1 2 1 2 ( 1 2) V R I V R I V V V R I R I R R I         ， 1 2 R R R  1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 V V I I R R I I I V V _V R R R R                   ， 1 2 1 1 1 R R R 

キルヒホッフの法則

３つ以上の導線の交点を分岐点、分岐点 から隣の分岐点までの間を分岐路という。 １つの分岐点に出入りする電流の代数和 は0である。 分岐路が集まってできる輪になった回路を 網目という。網目の中の各分岐路の抵抗と 電流の積（_RiIi）の代数和は、網目の中にあ る起電力の代数和と等しい。 第１法則 回路中の分岐点 第２法則 回路中の網目 I₁ I₂ I_{3 I} 4 I₅ R₁ R₂ I₁ I₂ I₃ R₁ R₂ R₃ V₁ V₂ 5 1 2 ( 3) 4 ( ) 0 I I  I   I I  0 i I 



1 1 ( 2 2) 3 3 1 ( 2) R I  R I R I   V V i i i R I  V





キルヒホッフの法則の必要な例

回路に流れる電流を図のように定 義する。未知数が３個なので、３つ の連立方程式を立てればよい。 点_{Bに第１法則を適用すると、} （_1） また、ABCD、ABD、BCDの3つの 閉 回 路 が あ る が 、 こ こ で は_ABDと ABCDの２つをとりあげる。閉回路 ABDに第２法則を適用すると、 （2） 閉回路_{ABCDでは、} （_3） これら３本の連立方程式を解くこと で電流_I1～_I3を求めることができる。 式(1)～(3)をまとめると、 よって、電流_I1～_I3は、 を解けばよい。 A B C D V₁ V₂ I₁ I₂ I₃ R₁ R₂ R₃ 1 2 3 0 I I  I 1 1 3 3 1 R I R I V 1 1 2 2 1 2 R I R I  V V 1 1 3 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 0 0 0 I R R I V I V V R R                                           _{ }          1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 0 0 0 I I R R V I R R V V                                           _{ }          

３×３行列の逆行列

について、 のとき、逆行列が存在し、 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a                11 22 33 21 32 13 31 12 23 11 32 23 31 22 13 21 12 33 0 det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a  22 33 23 32 32 13 33 12 12 23 13 22 1 23 31 21 33 33 11 31 13 13 21 11 23 21 32 22 31 31 12 32 11 11 22 12 21 1 det a a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a                _ _ _ _    11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a + + +    11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a det 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a a₂₃a₃₁  a₂₁a₃₃ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 12 21 22 31 32 a a a a a a 11 12 13 21 22 23 a a a a a a 11₂₁ 12₂₂ a a a a

キルヒホッフの法則の必要な例

なので、逆行列が存在し、 よって、 より、 1 3 1 2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 0 0 det R R R R R R R R R R                      2 1 3 1 2 1 1 2 2 3 3 1 R V R V V I R R R R R R          _{ } 1 2 3 1 2 2 1 2 2 3 3 1 RV R V V I R R R R R R            1 2 2 1 3 1 2 2 3 3 1 RV R V I R R R R R R   _{ } 1 2 3 2 3 1 3 1 3 1 1 3 1 2 2 3 3 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 0 0 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R                                            2 3 2 3 1 2 1 3 1 1 3 1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 1 2 1 1 2 0 1 R R R R I I R R R R R V R R R R R R I R R R R R V V                                           _{ }      _{ }       

ホイートストンブリッジ回路

(1) 分岐電流による解法 m個の分岐路とn個の分岐点を持 つ回路で全ての分岐電流が未知の 場合は、_{(n  1)個の分岐点とN = m}  (n  1)個の独立な網目を適当に 選び、合計_{m個の Ii = 0 と} R_{iIi =} V_i を作れば、未知電流を求めるこ とができる。 独立な₄  1 = 3個の分岐点として、 独立な6  (4  1) = 3個の網目とし て、 これら６つの連立方程式を解けば、 I₁～_I5、_{Iを得ることができる。} A R₁ R₂ R₄ R₃ I₁ I₂ I₄ I₃ I₅ R₅ B C D V Ⅰ Ⅱ Ⅲ I 5 1 4 1 2 5 2 3 0 0 0 A B C I I I I I I I I I          5 5 1 1 2 2 5 5 3 3 4 4 2 2 3 3 0 0 R I R I R I R I R I R I R I R I V          Ⅰ Ⅱ Ⅲ

ホイートストンブリッジ回路

(2) 網目電流による解法 m個の分岐路とn個の分岐点を持 つ回路で_{N = m  (n  1)個の独立} な網目電流を考える。_{Ⅰ、Ⅱ、Ⅲに流} れる網目電流をそれぞれ、_I1'、I2'、 I₃'とすると、 これらを使って第２法則を表すと、 これらを網目電流についてまとめる と、 A R₁ R₂ R₄ R₃ I₁ I₂ I₄ I₃ I₅ R₅ B C D V Ⅱ Ⅲ I 1 1 2 1 3 5 1 2 3 2 3 4 2 5 1 2 2 1 3 3 2 3 0 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' R I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I I V                                                        Ⅰ Ⅱ Ⅲ I₁' I₂' I₃' 2 1 3 1 1 3 2 3 4 2 5 1 2 3 ' ' ' ' ' ' ' ' ' I I I I I I I I I I I I I I I          Ⅰ

ホイートストンブリッジ回路

これら３つの連立方程式を解けば、 I₁～_I5、_{Iを得ることができる。} また、 ただし、 より、_{R1R3 = R2R4} のとき、_{I5 = 0 と} なる。 A R₁ R₂ R₄ R₃ I₁ I₂ I₄ I₃ I₅ R₅ B C D V Ⅲ I I₁' I₂' I₃' 2 4 1 3 5 R R R R I  _ V 5 5 1 2 1 2 2 3 5 1 3 4 5 2 3 3 2 1 3 2 2 3 3 0 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' R R R I R I R I R I R R R I R I R I R I R R I V                                   Ⅰ Ⅱ Ⅲ 1 4 2 3 2 3 1 4 5 1 4 2 3 R R R R R R R R R R R R R                                Ⅱ Ⅰ

ホイートストンブリッジ回路

1 5 5 1 2 2 5 3 4 5 3 2 2 3 2 3 3 0 0 ' ' ' I R R R R R R R R R R I V R R R R I     _{ }     _{ }     _{ }     _{ }     _{ }     _{ }     _{ }  _{  }              5 5 1 2 1 2 2 3 5 1 3 4 5 2 3 3 2 1 3 2 2 3 3 0 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' R R R I R I R I R I R R R I R I R I R I R R I V                                   Ⅰ Ⅱ Ⅲ 1 1 1 2 5 5 2 5 5 2 3 4 3 2 3 2 3 3 0 0 ' ' ' I R R R R R I R R R R R V R R R R I   _{ }     _{ }     _{ }     _{ }     _{ }     _{   }   _{   }                   これを行列の形で書き直すと、 各網目電流は、逆行列を用いることで求めることができる。

図のような回路の場合、電源_V1お よび_V2のみの回路について解く。 V₁のみの回路の場合、_R3に流れる 電流_I3は、 V₂のみの回路の場合、_R3に流れる 電流_I3は、 よって、

重ね合わせの原理

電源を複数もつ回路において、任 意の点の電流や電圧は、それぞれ の電源が単独で存在していたときの 和に等しい。これを重ね合わせの原 理という。 A B C D V₁ V₂ I₁ I₂ I₃ R₁ R₂ R₃ V₁ V₂ 1 2 31 2 3 1 2 3/( 2 3) V R I R R R R R R R   _   R₁ R₂ R₃ R1R₃ R2 2 1 32 3 1 2 3 1/( 3 1) V R I R R R R R R R   _   3 31 32 2 1 1 2 1 2 2 3 3 1 I I I R V RV R R R R R R     _{ }

Y（デルタスター）変換

接続とY接続のそれぞれ で、_IA、_IB、_ICを_VA、_VB、_VCで 表し、これらが恒等式となる ように係数を求める。 これらを解くと、 1 3 A A C O A B A a V V V V V V I R R R       1 2 1 2 3 b R R R R R R  _{ } 2 3 1 2 3 c R R R R R R  _{ } R₁ R₂ R₃ R_a R_b R_c A B C A B C I_A I_A I_B I_C I_B I_C V_A V_B V_C V_A V_B V_C 2 1 B C A B B O B b V V V V V V I R R R       3 2 A B C C C O C c V V V V V V I R R R       V_O 0 A O B O C O a _b c V V V V V V R R R       3 1 1 2 3 a R R R R R R  _{ } 1 a b b c c a c R R R R R R R R    2 a b b c c a a R R R R R R R R    3 a b b c c a b R R R R R R R R    y R R R R_   



opposite R R R R  



 

ホイートストンブリッジの

Y変換

ホイートストンブリッジの_R1、_R2、_R5 からなる網目をY変換することで、 R_A、_RB、_RCからなる等価回路に変 換することができる。この結果、回路 は単純な直並列回路にすることがで きるため、各部の電流が容易に計 算することができる。 I = I_B = I₃ + I₄、_{IA = I4}、_{IC = I3} 同様に_R3、_R4、_R5に適用することで、 I₁、_I2を求めることができ、これらと第 １法則を組み合わせることでも_I5を 求めることができる。 A R₁ R₂ R₄ R₃ I₁ I₂ I₄ I₃ I₅ R₅ B C D I V A R₄ R₃ I₄ I₃ B C D I V R_B R_A R_C I_B I_A I_C

RC回路

図のような回路のスイッチ_S1を閉じ ると、コンデンサー_{Cに電荷が蓄えら} れる。次に、スイッチ_S1を開けて、ス イッチ_S2を閉じるとコンデンサーに蓄 えられた電荷が抵抗_{Rを通って流れ、} 失われていく。_S2を閉じた時刻を_{t =} 0とし、このときコンデンサーCに蓄え られていた電荷を_Q0とすると、抵抗 Rを流れる電流Iは、コンデンサーの 電荷が失われて電位差が小さくなる に連れて小さくなる。すなわち、 と、 より、 となる、これは微分して同じ関数に なることを意味するので、 となる。 S₁ S₂ S₁ S₂ C C R R d dQ I t  0 Q RI C   1 d dQt RCQ 0 t RC Q Q e  Q t Q₀ Q₀/e RC RC回路の時定数

例題

例題１ 図の回路の合成抵抗を求めよ。た だし、抵抗は全て同じで_{Rとする。} 例題２ 図の回路の合成抵抗を求めよ。た だし、抵抗は全て同じで_{Rとする。} 2R 2R R/4 R/2 R/2 _R/4 R/2_R/2 R/2 (7/4)R_(7/4)R R/2 よって、合成抵抗は、 R/2 + (7/4)R / 2 + R/2 = (15/8)R I₁ I₂ I₃ I₃ I₄ I I I₁ I₂ I₃ I₃ I₄ I₁I₂ I₂I₃ I₄I₃ I₄I₃ I₂I₃ I₁I₂ Ⅰ Ⅱ Ⅲ I₁2I₂+I₄ 1 4 0 I I I   1 1 2 4 3 4 0 { ( ) ( ) } R I  I I  I I I  2 2 3 1 2 2 4 1 2 0 { ( ) ( ) ( )} R I I I  I  I I  I I  3 4 3 2 3 2 0 { ( ) ( )} R I  I I  I I  1 37₆₉ , 2 ₆₉24 , 3 14₆₉ , 4 32₆₉ I  I I  I I  I I  I 37 24 ₂ 14 32 121 69 69 69 69 69 V R I R            