微積分I(2005前期) 中間試験類題 (工学部共通) 1 次の関数の微分係数または導関数を定義から計算せよ。 例：f(x) =x 2 の場合のf 0( a) 解：f 0 (a) = lim h!0 (a+h) 2 ;a 2 h = lim h!0 2ah+h 2 h = lim h!0 (2a+h) = 2a (1) f(x) = p 2xの場合のf 0(2) (2) f(x) = p x 2+ 1の場合の f 0(1) (3)f(x) = p x x+1 の場合のf 0( x) (4)f(x) =e ;2x の場合のf 0( c) 2 f(a)6=0のとき, lim h!0 p f(a+h) ; p f(a) h の極限値をf(a)とf 0( a)を用いて表せ。 3 次の関数の導関数を求めよ。 (1) (1 + 3x) 3 (2) q 1;x 1+x (3) x p 2x+ 1 (4) 1 p x 2 ;4x+1 (5) xe ;3x (6) log( x+ p 1 +x 2) (7) e ;xsin(2 x+ 1) (8) tan ;1(2 x) (9) sin;1(1 ;x) (10) logjcos(2x)j (11) e logx 4 f(x) = 1 1+x のとき,合成関数f(f(f(x)))の導関数を求めよ。 5 次の極限値を求めよ。 (1) lim x!1 x 2 ;3x+ 2 x;1 (2) lim x!2a x 2 ;4a 2 x 2 ;5ax+ 6a 2 (3) lim x!1 p x;1 x;1 (4) limx!0 p 1 +x; p 1;x 3 p 1 +x; 3 p 1;x (5) lim x!0 tan(3x) x (6) lim x!0 cosx;1 x (7) lim x!0 sin;1(2 x) x (8) lim x!+1 x( p x 2 ;1; p x 2+ 1) (9) lim x!+1 tan;1 (x 2) (10) limx!+1 a x 1 +a x (11) lim x!0 xsin 1 x 6 次の曲線y=f(x)上の点(1;f(1))での接線の方程式を求めよ。 (1) y=x 2 ;3x+ 1 (2)y = cos( x 3 ) (3) y= p 2x;1 (4)y = x x 2+ 1 7 直線y=aと次の曲線の交点を求めよ： (1)x=0でのy=x n (2) ; 2 5x5 2 でのy = sinx (3) ; 2 <x< 2 でのy= tanx (4)y=e x (5) y= e x ;e ;x 2 8 次の関数のグラフを描け。 (1)y = 2sin(x+ 4) (2) y= 2x;x 2 (3) y=;jxj (4) y= p 2;x (5) y= x 1;x (6) y= tan ;1( x;1) (7) (x;1) 2+ ( y+ 1) 2 = 4 (8) y= p 2x;x 2 (9) y= 1 1 +x 2
9 次の関数のn次導関数を求めよ。但し n>2とする。 (1) f(x) = sin2x (2)f(x) =e ;3x (3) f(x) =xe x (4)f(x) =xcosx (5)f(x) = 1 p 1;2x (6) f(x) =x 2 log(2x) 10 次の式で正し くないものを選べ。 (1)p a 2 = a (2) p a 2+ b 2= a+b (3) 1 a+b = 1 a+ 1 b (4) e ;logx = ;x
(5) logA= logB+logCのときA=B+C (6) log(e x ;e ;x) = log e x e ;x = log e 2x= 2 x (7) (e x)0 = xe x;1 (8) 1 log (1+x 2 ) 0 = 1 2x 1+x 2 略解 1 (1) f 0(2) = lim h!0 p 2(2 +h); p 4 h = lim h!0 2h (p 2(2 +h) + 2)h = 12 (2) f 0(1) = 略= 1p 2 (3) f 0( x) = lim h!0 1 h ( p x+h x+h+ 1 ; p x x+ 1) = limh!0 1 h p x+h(x+ 1); p x(x+h+ 1) (x+h+ 1)(x+ 1) = lim h!0 1 h (x+h)(x+ 1) 2 ;x(x+h+ 1) 2 (x+h+ 1)(x+ 1)( p x+h(x+ 1) + p x(x+h+ 1)) = lim h!0 1 h h(x+ 1) 2 ;2hx(x+ 1);h 2 x (x+h+ 1)(x+ 1)( p x+h(x+ 1) + p x(x+h+ 1) = 1;x 2p x(x+ 1) 2 (4) f 0( c) =略=;2e ;2c 2 f 0 (a) 2 p f(a) 3 (1) 9(1 + 3x) 2 (2) ;1 p (1;x)(1+x) 3 (3) 3x+1 p 2x+1 (4) ;(x;2) p (x 2 ;4x+1) 3 (5) (1;3x)e ;3x (6) 1 p 1+x 2 (7) e ;x(2cos(2 x+ 1);sin(2x+ 1)) (8) 2 1+4x 2 (9) 1 p 2x;x 2 (10) ;2tan(2x) (11) x ;1 4 ;1 (2x+3) 2 5 (1) ;1 (2) a= 0のとき1でa6=0のとき ;4 (3) 1 2 (4) 3 2 (5) 3 (6) 0 (7) 2 (8) ;1 (9) 2 (10) 0 <a<1のとき0でa>1のとき 1 (11) 0 6 (1) y=;x (2)y=; p 3 6 x+ p 3;3 6 (3) y=x (4) y= 1 2 7 (1) n p a (a=0) (2) sin ;1 a (;15a51) (3) tan ;1 a (4) loga (a=0) (5) log(a+ p a 2+ 1) 8 略 9 (1) 2nsin(2 x+n=2) (2) (;3) n e ;3x (3) ( x+n)e x (4)nsin(x+n=2) +xcos(x+n=2) (5) (2n)! 2 n n!(1 ;2x) ; 1 2 ;n (6) 2( ;1) n;3( n;3)!x ;n+2 10 すべて正しくない。
