後期 期末試験（ 2月 3日）類題と解答 （ tyu-8

微積分

I(2008

前期)

中間試験類題

(工学部共通)

(10) tan−1(2x) (11) sin−1(1− x) (12) log| cos(2x)| (13) eα log x

2 次の関数の微分係数または導関数を定義から計算せよ。 例：f (x) = x2 の場合のf0(a) 解：f0(a) = lim h→0 (a + h)2− a2 h = limh→0 2ah + h2 h = limh→0(2a + h) = 2a (1) f (x) =√2xの場合の f0(2) (2) f (x) =√x2_{+ 1の場合のf}0₍₁₎ (3) f (x) = √ x x + 1 の場合の f 0_{(x) (4) f (x) = e}−2x_{の場合のf}0_(c) 3 f (x)がx = aで微分可能であるとき，次の極限値をf0(a), f (a)を用いて表せ。 (1) lim h→0 √ f (a + h)−√f (a)

h (ただし，f (a)6=0とする) (2) limx→a

xf (a)− af(x) x− a 4 f (x) = 1 1 + xのとき,合成関数f (f (f (x)))の導関数を求めよ。 5 次の極限値を求めよ。 (1) lim x→1 x2− 3x + 2 x− 1 (2) limx→2a x2− 4a2 x2_{− 5ax + 6a}2 (3) lim_x→1 √ x− 1 x− 1 (4) limx→0 √ 1 + x−√1− x 3 √ 1 + x−√3 1− x (5) lim x→0 tan(3x) x (6) limx→0 cos x− 1 x (7) limx→0 sin−1(2x) x (8) x→+∞lim x( √ x2− 1 −√_x2_{+ 1)} (9) lim x→+∞tan −1(x 2 ) (10) lim x→+∞ ax 1 + ax (11) lim_x→0x sin ( 1 x ) 6 lim x→1 x2+ ax− 2 x− 1 が有限な値になるように定数aを定め，その極限値を求めよ。 7 lim x→−2 x3− ax + b (x + 2)2 が有限な値になるように定数a, bを定め，その極限値を求めよ。

8 次の曲線y = f (x)上の点(1, f (1))での接線の方程式を求めよ。 (1) y = x2− 3x + 1 (2) y = cos (_πx 3 ) (3) y =√2x− 1 (4) y = x x2_{+ 1} 9 f (x) = sin−1xとするとき，次を求めよ。 (1) f (0) (2) f (1) (3) f (1 2) (4) f (− √ 3 2 ) 10 f (x) = tan−1xとするとき，次を求めよ。（ただし (4)では，−π 2 < x < π 2 とする。） (1) f (0) (2) f (1) (3) f (−√1 3) (4) f (tan x) 11 直線y = aと次の曲線の交点を求めよ。 (1) x= 0でのy = xn (2) −π 25x5 π 2 でのy = sin x (3)−π 2 < x < π 2 でのy = tan x (4) y = e x _{(5) y =} ex− e−x 2 12 次の関数のグラフを描け。 (1) y = 2 sin(x +π 4) (2) y = 2x− x 2 _{(3) y =−|x| (4) y =}√_{2− x (5) y =} x 1− x (6) y = tan−1(x− 1) (7) (x − 1)2+ (y + 1)2 = 4 (8) y =√2x− x2 _{(9) y =} 1 1 + x2 (10) y = 2x− 2 (11) y = ex+1 (12) y = log 2x (13) y = log|x − 1| 13 次の式で正しくないものを選べ。  (1)√a2 _{= a (2)}√_a2_{+ b}2 _{= a + b (3)} 1 a + b = 1 a+ 1 b (4) e − log x_=−x

(5) log A = log B + log C のとき A = B + C (6) log(ex− e−x) = log e

x e−x = log e 2x _{= 2x} (7) (ex)0 = xex−1 (8) ( 1 log(1 + x2₎ )₀ = _2x1 1+x2 14 次の関数のn次導関数を求めよ。 (1)√x + 1 (2) 1 2x + 1 (3) e 2x _{(4) log|x| (5) log|1 − x|}

【 略 解 】 1 (1) 9(1 + 3x)2 (2) √ −1 (1− x)(1 + x)3 (3) 3x + 1 √ 2x + 1 (4) −(x − 2) √ (x2− 4x + 1)3 (5) x 4 √ (2x2_{+ 1)}3 (6) 2xlog 2 (7) (1− 3x)e−3x (8) √ 1 1 + x2 (9) e −x_{(2 cos(2x + 1)− sin(2x + 1))} (10) 2 1 + 4x2 (11) − 1 √ 2x− x2 (12)−2 tan(2x) (13) αx α−1 2 (1) f0(2) = lim h→0 √ 2(2 + h)−√4 h = limh→0 2h (√2(2 + h) + 2)h = 1 2 (2) f0(1) =略= √1 2 (3)f0(x) = lim h→0 1 h( √ x + h x + h + 1− √ x x + 1) = limh→0 1 h √ x + h(x + 1)−√x(x + h + 1) (x + h + 1)(x + 1) = lim h→0 1 h (x + h)(x + 1)2− x(x + h + 1)2 (x + h + 1)(x + 1)(√x + h(x + 1) +√x(x + h + 1)) = lim h→0 1 h h(x + 1)2− 2hx(x + 1) − h2x (x + h + 1)(x + 1)(√x + h(x + 1) +√x(x + h + 1) = 1− x 2√x(x + 1)2 (4) f0(c) =略=−2e−2c 3 (1) f 0_(a) 2√f (a) (2) f (a)− af 0_(a) 4 −1 (2x + 3)2 5 (1)−1 (2) a = 0のとき1でa6=0のとき−4 (3) 1 2 (4) 3 2 (5) 3 (6) 0 (7) 2 (8) −1 (9) π 2 (10) 0 < a < 1 のとき 0でa > 1のとき 1 (11) 0 6 a = 1. 極限値は3 7 (a, b) = (12,−16). 極限値は−6 8 (1) y =−x (2) y =− √ 3π 6 x + √ 3π + 3 6 (3) y = x (4) y = 1 2 9 (1) 0 (2) π 2 (3) π 6 (4) − π 3 10 (1) 0 (2) π 4 (3)− π 6 (4) x

11 (1) √n_{a (a}=0) _{(2) sin}−1_{a (}−15a51) _{(3) tan}−1_{a (4) log a (a}=0) (5) log(a +√a2_{+ 1)} 12 略  13  すべて正しくない。（関連する正しい式を挙げる） (1)√a2 ₌|a| ₍₃₎ a + b ab = 1 a + 1 b (4) e − log x_{= x}−1

(5) log A = log B + log C のとき A = BC (6) log ex_{− log e}−x_{= 2x}

(7) (ex)0 = ex, (xn)0 = nxn−1(nは実数) (8) ( 1 log(1 + x2₎ )₀ =− 2x (1 + x2_{){log(1 + x}2_)}2 14 (1) (−1) n_{(−1) · 1 · 3 · · · (2n − 3)} 2n (x + 1) 1 2−n (2) (−2) n_n! (2x + 1)n+1 (3) 2 n_e2x (4) (−1) n−1_{(n− 1)!} xn (5)− (n− 1)! (1− x)n (6) sin(x + nπ 2 ) (7) cos(x + nπ 2 ) (8) 2 n_{cos(2x +}nπ 2 ) (9) 2 n−1_{sin(2x +} nπ 2 ) (10)−2n−1cos(2x +nπ 2 )