ロボット制御工学第3回～第7回

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ロボット制御工学 第3回～第7回

誤差の取り扱い方編

2019年10月16日

電気情報系学科

横田孝義

授業計画

10/2 10/9 10/16 10/23 10/30 11/13 11/20 11/27 12/4 12/11 12/18 1/8 1/15 1/22 休講 中間テスト 前半の復習

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誤差＝測定値―真の値

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誤差(error)には三種類ある

（１）系統誤差(systematic error) ゼロ調整の狂いなど。 後から補正が効く

計測器の固有誤差

環境誤差（温度、湿度、気圧など）

個人誤差（目盛の読み方の個人差など）

例をいくつか考えて見よう。

（２）偶然誤差(random error)

誤差(error)には三種類ある

つきとめられない原因による誤差

符号、大きさが変化する。

系統誤差が測定の繰り返しに対して一定であるのに対して、

測定ごとにばらつく誤差のことを偶然誤差という。

測定手法に不確定性が生じていることによる。

誤差を取り除くことはできないが、数多く測定することで

誤差の影響を少なくすることが可能。

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測定値（㎜） 度数 相対度数 50.0026 2 4% 50.0027 3 6% 50.0028 2 4% 50.0029 10 20% 50.003 4 8% 50.0031 13 26% 50.0032 9 18% 50.0033 4 8% 50.0034 1 2% 50.0035 2 4% 計 50 100 ある部品の長さのデータ ヒストグラム 度数

9 測定値（㎜） 度数 相対度数 50.0026 2 4% 50.0027 3 6% 50.0028 2 4% 50.0029 10 20% 50.003 4 8% 50.0031 13 26% 50.0032 9 18% 50.0033 4 8% 50.0034 1 2% 50.0035 2 4% 計 50 100 ある部品の長さのデータ ヒストグラム 相対度数

𝑓 x =

1

2πσ

𝑒

−

(x−m)

2

2σ

2

正規分布(Normal Distribution)

確率密度関数で自然界でよく表れる分布として正規分布がある。 m: 平均値 σ: 標準偏差

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正規分布(Normal Distribution)

標準正規分布 N(0,1)

標準正規分布 N(0,1)

標準正規分布の累積分布関数

正規分布(Normal Distribution)

誤差関数 x

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誤差関数

正規分布の累積分布関数

テキストの (5-2)式

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正規分布の性質

互いに独立で正規分布する二つの確率変数x,yの和ｘ＋ｙは正規分布に従う。

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正規分布の性質

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正規分布の性質

互いに独立で正規分布する二つの確率変数x,yの和ｘ＋ｙも正規分布に従う。 から、

σ=0.25 _σ=0.5

σ=0.75

σ=1

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測定値がある値の範囲に入る確率を求める。

確率密度関数をｆ（ｘ）とすれば、この確率は

p x

₁

< x < x

₂

= f x dx

x

₂

x

₁ で与えられる。 σ=0.75

P(m-σ<x<m+σ)=68.3%

P(m-2σ<x<m+2σ)=95.5%

P(m-3σ<x<m+3σ)=99.7%

P(m-1.96σ<x<m+1.96σ)=95%

測定値がある値の範囲に入る確率

±σ ±2σ ±3σ 68.3% 95.5% _99.7%

測定値がある値の範囲に入る確率

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平均値と標準偏差

x =

1

n

x

i

n

i=1

s

_n

=

1

n − 1

(x

i

− x )

2

n

i=1

n個の測定値

x

₁

, x

₂

, … , x

_n

より、試料平均と試料標準偏差、試料不偏分散は 試料平均 試料標準偏差

s

_n

2

試料不偏分散

あるネジの長さを何度も測った例

x =

1

n

x

i n i=1

=50.00282

_mm

2

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統計の考え方

母集団

非常に多くの要素 真の平均 母平均 m 真の分散 母分散 s2 計測 有限個の標本 標本（試料）平均 標本（試料）分散 通常は母集団は『神のみぞ知る』場合が多い。 母集団がわかる例とわからない例を挙げてみよう。

正確さ、精密さ、精度

標本平均 母平均 標本平均 母平均 母平均 母平均 正確さ ○ 精密さ ○ 正確さ × _{精密さ ○} 正確さ ○ 精密さ × 正確さ × _{精密さ ×}

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標本平均のばらつき

標本平均 有限回の測定から算出される標本平均は 母平均とは誤差を持ち、 を標準偏差として分布する。 ここで、σは母集団の標準偏差である。 母平均 例： 1回の測定で求めた標本平均（測定値そのもの） は母集団の標準偏差と同じばらつきが生じている。 36回の測定で求めた標本平均は母集団の 標準偏差の1/6程度のばらつき範囲に 収まっている。

正規乱数をどうやって発生させるか

一様乱数を複数足し合わせても 正規乱数になる。_{（中心極限定理）}

一様乱数の分布 一様乱数2つを加算した分布

31 一様乱数12系列の加算で生成した正規乱数（母集団） 乱数系列の印象が 変わったのがわかる だろうか？ 一様乱数系列 分布

正規乱数をどうやって発生させるか

余談：コンピューターの進歩

18ヶ月に倍のペースで性能向上し続けている ムーアの法則 1980年代後半のスーパーコンピューターは 今日のPCの1/100の性能、1,000倍の価格 である。 主メモリ 64MB HDD ～2GB 0.63 GFLOPS 数億円 HITAC S-810/20K(1987) メモリ～8GB x 100

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間接測定による誤差

直接測定

測定量をそれと同種類の基準量と比較して測定すること

例 長さを巻尺で測る

間接測定

測定量と一定の関係にあるいくつかの量について測定を

行いそこから測定値を導き出すこと

例 GPSでの測位、地震のマグニチュード値 etc…

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間接測定における誤差 系統誤差の影響

測定値qを複数の独立な測定値 から、計算で求めるものとする。 測定値 に、それぞれ系統誤差による偏り があるとき、式(1.7)で算出したqにも その影響が生じて⊿qの偏りを引き 起こす。 ⊿qは となる。 いわゆる全微分

間接測定における誤差 系統誤差の影響

系統誤差の影響の最悪値は

から、

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誤差の伝播のイメージ

(1.8)式から

(1.8)式からは

厳密には

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間接測定における誤差 偶然誤差の影響

各測定値 に偶然誤差によるばらつきがあり、その標準偏差を それぞれ であるとき、qのばらつきの標準偏差 は、 となる。

どうしてか？

偶然雑音はそれぞれ独立なので

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例題

球の質量mと直径dを測定して、m=35.0±0.1g, d=20.00±０．０１mmの結果を得た。 密度ρとその誤差⊿ρを求めよ 球の体積Vは？ 密度ρは？ ここでの誤差は偶然誤差であるので（１.１０式）を適用する。

母標準偏差 σ=1.2μm 母集団 母平均 ？ 母分散 1.2μm 標本抽出 標本平均 24.985mm 標本数 ５ 標本平均の 標準偏差は σ/√5=0.536 μm

標本平均のばらつき

43 43 標本平均（５回測定） 24.985 mm 長さ 母平均? c₁σ/√5 -c1σ/√5 母平均? 確率95% に相当するc１の値は 1.960 c₁σ/√5= 1.960x 1.2 /2.236= 1.05 μm 母平均は24.985 ±0.001 mmの範囲内 に95% の確率で存在する。 こういう図をイメージしよう。 母集団の左の裾野よりに測定したのか、 右の裾野よりに測定したのか曖昧さがある。 曖昧さの範囲を規定するのが信頼区間の 考え方である。 母集団の分布の可能性

標本平均のばらつき

母平均の区間推定

母平均の不偏推定量は

正規分布に従う確率変数 は独立

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母平均の区間推定(母分散が既知の場合）

母平均の不偏推定量は 母集団 母平均 μ ？ 母分散 既知 母分散が で既知なら、 と変数変換すると、確率変数 ｔ は 標準正規分布 N(0,1)に従う。

母平均の区間推定(母分散が既知の場合）

R

信頼水準：すなわちtが から の区間にある確率

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母平均の区間推定(母分散が既知の場合）

平均値μについて解くと 信頼度Rと の関係 1.96 R 0.95 0.99 2.58 など

母平均の区間推定(母分散が既知の場合）

信頼度Rと の関係 1.96 R 0.95 0.99 2.58 例題 標本数 n=36 標本平均 M=50 母分散 =25 の時、信頼水準 95% で母平均 _{の信頼区間を求めなさい。}

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母平均の区間推定(母分散が既知の場合）

信頼度Rと の関係 1.96 R 0.95 0.99 2.58 例題 標本数 n=36 標本平均 M=50 母分散 =25 の時、信頼水準 95% で母平均 _{の信頼区間を求めなさい。}

母平均の区間推定 (母分散が未知の場合）

母平均の不偏推定量は 母集団 母平均 μ ？ 母分散 ? 母分散が未知なら、 標本分散（不偏分散）で代用して確率変数tを作る。 _{この確率変数t} は Student t 分布に従う。

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母平均の区間推定 (母分散が未知の場合）

Student t 分布とは標準正規分布に似ているが若干異なる。自由度が大きくなると 正規分布に収束する。

母平均の区間推定 (母分散が未知の場合）

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母平均の区間推定 (母分散が未知の場合）

信頼水準 Rに対応するｔの範囲は 次式で決まる。

55 :自由度 = n-1 カイ二乗分布 標本分散と母分散の比の総和

母分散の区間推定

母集団は正規分布に従うとする・

母分散の区間推定

例 自由度 φ＝9の時の カイ２乗分布

信頼水準Rに相当する上下限は？

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母分散の推定

母分散の区間推定

95% 99% カイ二乗分布表

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母分散の区間推定

例題 母集団は正規分布にしたがうとする。 201回の計測を行った。その際の標本平均からの二乗誤差の 総和が200.0であった。母分散の80%信頼区間および、 99％信頼区間を求めよ。

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誤差の影響をいかに軽減するか

最小自乗法 1795年 Gauss(Karl Friedrich Gauss） が18歳の時に考案

1777-1855

Karl Friedrich Gauss 惑星の起動がケプラーの法則に従っているので、 数個の観測結果から惑星の軌道を厳密に求めることが 出来る。 現実には観測には必ず誤差を伴う。すなわち、真実を 近似しているに過ぎない。 ブラウンシュヴァイク, 神聖ローマ帝国

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世の中には比例関係とみなせる現象が多い。（これを線形モデル式と呼ぼう。）

この関係にあるとみなされる現象のn組の測定値が得られたとする。

これらの測定値を用いて線形モデル式のパラメータa,bを求めたい。

ある測定値 をモデル式に当てはめた時の誤差を とすると、

この値の2乗和をSとすると、

(1.13)

65 Sはパラメータa,bの2次関数で下に凸の形。 すなわちパラメータa,bがSを最小にする時 にはa,bに対してSの傾きはゼロになる。 このあたり？ このあたり？ 具体的には a,bをどうやって求めるか？ (1.13’)

最小自乗法 回帰分析

2次元で見てみると、 (1.13) このあたりがSを最小にする パラメータa,bの値

S

0.6 b

最小自乗法 回帰分析

67 傾きが０になるとは、偏微分をして、その値が０であるということ。 まずSをパラメータaで偏微分してそれを０とおく。 すなわち、 (1.15) (1.14)

最小自乗法 回帰分析

もうひとつのパラメータbで偏微分してみると、

すなわち、

(1.16)

69 (1.15) (1.16) の2つの条件式が得られた、 欲しいのは を満たす,a,bの値である。 それらは、(1.15)(1.１６）式を連立することで求められる。 実際にこの時間内に導出してみよう。制限時間20分

最小自乗法 回帰分析

まず、(1.16)式 から、

これを(1.15)式に代入すると、

aについて整理すると

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(1.17)

を に代入すると、

(1.18)

例題 1.6

73 に求めたa,bの値を代入してグラフを描くと このようになり、データの間を縫うような直線と なる。 実際には毎回手計算をしていては 大変なのでExcelなどで用意されている 機能を利用する。

最小自乗法 回帰分析

青い範囲を選択して メニューの「挿入」 グラフの種類の中から散布図を選ぶ 近似曲線の追加 グラフ上のデータを選択して

参考 Excelでの最小自乗法の使い方

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とおけば、

参考 Excelでの最小自乗法の使い方

青い範囲を選択して メニューの「挿入」 グラフの種類の中から散布図を選ぶ 近似曲線の追加 グラフのY軸を選択して右クリック、 対数目盛を表示するにチェック、閉じる グラフ上のデータを選択して、