谷口紀男
前
沢
成
一
郎
Design of a Circular Cutting Tool for Ultrasonic Machining
NorioTaniguchi SeiichiroMaezawa
Synopsis：There are some troubles in clltting work by the ultrasonic machining， hamely in such work t．he cutting tool can not be formed so thin， because such tool breaks down by tho buckling action of cuttiロg force and the cutting clearance becomes large due to the increasing lateral vibration． ． On the other hand， the usual cutting work by the rotating cutting wheel（diamond charged ■ phosphor bronze circular plate wheel or elastic bonded abrasive cutting whee1）has some merits in machining narrow cutting clearance by th6 rigid thin plate effect due to its own rotation， but there are fundamental defects of large heat generation and violent tool wear． So we have designed a new tool which has usual circular cutting wheel form， rotates around its own axis and vibrateg radially at the． ultrasonic frequgncy． Accordingly we expect that this tool shall have the binary action of ultrasonic machining and rigid thin plate effect． In this paper， as preliminary consiヨerations for the designing of this too1， the theory of axi− symmetric extensional vibration of a disc of variable thickness having a central hole and some nu元nerical results of them are given． An exa］mple of actual design of the tool based on these is also added． ’ ・ The shape of the treated disc in the theory is such that its thickness decrea合es as radius incre− aseg by following hyperbolic l aw： h＝ho（r／b）−2”， where 6＝inner radius of the disc， ’ 2ho＝thickness of the disc at the inner edge， 2h：＝thickness of the disc at radius r， 2α＝thickness reduction index． The natural frequencyみof the n−th mode of vibratiOn can be calculated from th6 equati頭： み一㌫γ≒（ρ）善 where E ＝＝ Young’s modulus，ρ＝density， p＝Poisson’s ratio of the material respectively and the coefficient zn is given by the n−thτoots of the equation lP−i（・・）一≒fi．：’”1み（・・）み一1（・）−P−：≡み（・） ぽ Y・−i・（・・）一ρ㌃”取・・）−Y・一・（・）ユニニ竺ち（・ジ n＝α／b， being the ratio of the outer radius to the inner radius， and jρ being the order of Bessel functions determined by P＝＝レ／1十Zαv十α2・1．緒 言
超音波加工を利用し切断加工を行ふ際に（所謂sl i−− Ncing， dicing等も含めて）その切断代を少なくしttつ その切断速度を増すためには種々の問題がある。EPち 現在の方式のまSであると超音波加工の本来の性質上 工具の厚み（従つて切断巾）を薄くすれば工具の高さ は余り大きくはとれない。EPち坐屈のための折れ曲 り、又横振効のための加工隙間の増大等のi現象がおこ るのを防がねばならないからである。 然し現在の加工方式はもともと異形の孔の加工を行 ふに便利のために考へられて考察されたのが初りであ るから切断等の仕事を考へる際には別な観点から考慮 されるのが至当である。一方硬質脆性物質の切断加工 は従来ダイヤモゾド充遣燐青銅円板工具、又C砥粒工 ラステイツク切断砥車等が用ひられて居り、之は薄い 切断巾で且つ厚いものの切断しうる利点があった。而 しこれはその反面切削加工であるので発熱も多く叉工 具の塵耗も著しいといふ欠点がある。このことから当 然超音波加工方式を用ふる衝撃破砕加工が適用されて 有利になるであろうことは容易に推測され、そのため この方式が徐々にその範囲を拡めて来たのである。然 し之には前述の如き欠陥があるのである。弦に於て我 々は従来の回転切断方式の工具に半径方向の超音波振 動を與へることによつて薄い切断代で且つ厚いものを 切断しえ、且つ発熱も少なく、工具の摩耗も少なく、 その上比校的低廉なC砥粒等で能率的な切断加工が行 ひえられるであろうとの推測のもとにこの工具の設計 を発足させたものである。＼
＼
鶴
→冷
動チ
軸
K
Fig．1 General View of Circular Cutting Too！2．設計方針
基本設計としては第1図に示す如く半径方向振動源 として磁歪環状振動子を用ひ、これによつて得られる 振巾を漸域断面をもつ回転円板のトラソスデユーサー によつて増巾し、その円板の周辺を工具として利用し っX超音波加工を行はんとするものである。その際ト ラソスデユサーは中間において節円をもつ一次の共振 系として設計し、その節円を支持してこれを回転軸 と結合して回転させ、且つ冷却水のシ・・ルド面ともな しうる如くするものである。磁歪振動子のための電気 入力は勿論摺動輪によるものとする。この方式によれ、 ぱ薄い円敬で可成り腰を高くしても坐屈することもな く且つ横振効も可成り生じ難くなり、又回転によつて 砥粒の供給や加工屑の排出も迅速となり、切断作用を劃期的に増大しうるものと考へるのである。
3．環歌振動子の形状とその自由振動
大略の殼計方針は以上の如くであるが、加工能率を 増大する目的から磁歪振動子及びトラソスデユーサー は共に励振周波数との共鳴点において利用するため、 これ等の固有振動数を求めることが第一の問題とな る。又一般に一つの振動振動体系の共鳴点における強 制振動の振動モードは小さい粘性減衰力（加工仕事の 際の平均の加工力を一応工具に対する粘些減衰力と考 えて）の下においては自由振動のモードに殆んど完全 に一致するので、この点からも自由振動の解析は欠く ととが！出来ない。 さて以下一般に半径に従つて厚みが比校的緩やかに 変化する環状物体（以下環状振動子と称する）の半径 方向の軸対称伸縮自由振動を考察して、磁歪振動子及 びトラソスデユーサーの設計の基礎にしようとするも のであるが、その前に我々は前述の如くこの振動子を 回転しつS利用せんとするのであるから、回転のこの 伸縮振動に及ぼす影響について簡単に考察しよう。先 づ定常廻転による遠心力は遠心応力によつて一応打消 されるので、伸縮振動に対する影響は振刮変位による 遠心力の増減と振動による本来の慣性力の大いさの比 によつて効いて来る。この比は軸回転数』Vと励振周波 数1の二莱の比に等しいので我々のように1Vが毎分数 千程度プが20∼30kcの程度では問題するに足りない。 叉コリオリスの力の作用は半径方向の振動は円周方向 の振動を誘発することSなり、伸縮振動は操り型の振 動を俘い、所謂モードの連成（coupling of modes） が起るが、この両者の振巾比は前述のNと∫の比の程 1 ‘ Fig．2 Diagramatic View of a Cilcul ar Vibrator ∂r グ ∂2 ∂2 ∂r f・ ＝・ｲ＋・そ＋（・＋2μ）讐一・Tr・一・ ………（1） 第一列第三式から芸一一．e｝。÷禦＋。睾…μ………（2）
これを第一列、eg−一式、第二式に代入して吟一荒妾∂㍑）＋2μ｛㌢＋言ジ
砺一・・＝＝ 2pa（∂es Pt∂r グ） 一・・………（3） 今r・＝一一定の円筒断面上の種々の量の平均値を一を付 けて表す、帥ち a−2i∫lic’rdz・ G5＝−2！h∫E’，，・・d・・ 万一嵩∫：、碗・一・………・（4） 等と書く。半径方向の運動方程式はρを材料の密度と して ・嘉一誓＋σデθ＋誓…・・…・一・一（5） の両辺を厚みの下面から上面まで積分して平均値を取 り、上面、下面での境界条件 7・・ 1・・一±h＝＝±｛診砺1−・・ を用いると省略なしに 度であるので、握り型振動の共鳴点以外ではこの影響 もやはり省略して差支えないであろう。 今環状振動子は外半径a，内半径bで厚み幼が半径r の函数として漸吹変化するものと考える（第2図）。円 筒極座標（r，θ，つのZ軸を振動子の軸に一致するよ うに撰び、軸対称伸縮振動の（r，θ，2）方向の変位を （u，v，w）と書き、 Lam6による弾性常数をλ，μとす れば、v＝Oであるから応力の6つの成分は通常め記法 を用いて i・・一（・＋2μ）警一＋・夢＋・農㌧7ん一・ ・・一・旦＋（・＋2μ）9＋λ一堕・7rz一μ1竺＋麹） ・警一素∂（2h・・）＋a・一・…一・…一・に6∂r ア） を得る。更にに3）を用い、上面、下面における半径 方向変位をUlとし 募（2励一言∫：、udz ＝2・・窪＋∫：、㍑4・…（7） を用いて変形し、最后に入，μをヤソグ率E，ボアソソ 比プで置き換えると運動方程式（6）は∂2u E ∂t2ρ（1ツリ
器∂！剖＋禦際均
＋嵩蠕㌘偏一・・）＋a（loghdr）× ｛d（：rl”！！IU1）＋（・一の学｝＋哀音昔（2厩）
…・………・・（8） の形となる。この式は平均変位Uに対する運動方程式 と考えられ厳密に成立つ式であるが％の表面値as1及び σ。との関係が不明であるのでこの儀では直ちに利用出 来ない。然し環状振動子の厚みの変化’2＄dh／dr及び厚 み対振到波長の比川λが小さい場合にはu−u1及びag は共に上述の二つの小さい量の二乗の程度の微小量 である（1）からこれを省略しても大した誤差を伴わな いであらう。殊に固有振動数はモードの偏差に対して stationaryな性質があるため近似の度は非常に高いと 思われる。 これ等の省略を行えば半径方向の平均運動の方程式 として ’（1]μ2）箒一9i’iU・＋｛1＋d（讐）｝砦 ＋｛÷4（禦）一“，｝fi・＝・・……・・……（9） を得る。 以下円振動数ωの定常振動を考えてεψ（ia・t）の time factorを取除き le…’（1−v2E）・・一…・・……・・…・…・…・（・・） なる常数径数ゐを用いて 莞＋｛÷＋塑紗｝膓：＋ ｛糾芦警注三｝u＝＝・一……・（・・） さて此所に厚み助が半径に対して所謂双曲線型に変 化するもの、即ち2hoを内周端r＝bにおける厚みとして h＝＝h・（÷一）2Ct但し2・・厚＝指数一（・2） と仮定すれば（11）は 農＋≒2α劉ゐ・−1−t？ya）万一・・…’・（・3） の形を取り②， P＝レ／1十2μα十α2…… …… …・・・・・・・・・… （14） と置けば（13）の微分方程式の一般解はP…；kcの第一種 及び第二種のベツセル函数み，Ypを用い、 A， Bを任 意常数として u＝rdi｛Aノ㌘（kr）十BYp（kr）｝・・一■・・・・・・・・… （ユ5） と書くことが出来る。 次に境界条件であるがこれは内周端面及び外周端面 共に自由と考える。トラソXデユーサーの内周面及び 磁歪振動子の内周面では文字通り自由であるが、両者 の接合面においても応力零なる様に撰んで、接合後の 一体の振刮子としての共鳴を保ち叉接合面に無理のか Xるのを防止する（3）。 EPち（1）（2）式から境界条1牛としてr＝・a， r・＝b において i・一、｛講＋劫一・…一………・……（・6） 更に（11）式を代入して、ベツセル函数の性質を利用 すれば A｛み一1（〃の一島み侮）｝＋ 五｛r・一・（〃の一晶γ・（le・・）ト・ A｛み一・㈹一嘉（ゐの｝＋ B｛Y・一・（〃の一静（々の｝一・ …（17） を得る、但しβは β＝＝P一α一v＝P土レ／予乙十v2 一“ 1…・・…・（18） で定まる常数である。 振動数方程式はA：Bの比を消去して 1 J・・一・（ka）一駝（lea）・ Y・一・（ka）一艶（lea） み一1働）一蕊万（leb）・Y・・−1（kb）一念（kb） ＝：0・・・・・・・・・・・・・・・・・・… （19） さて z＝kb…………・…・………・・・・…（20） と置きf（Z），g（Z）を次の如きZの函数を表すものと すれば、蕊㌶：：：／−一⑳
振動数方程式及び境界条件は内外半径比を n≡a／b…………・・・………・……・一（22） として次の一つの式に一括される。 三一一一＞ii；一鵠………・・一……（23） （23）式の超越方程式を満すzの根は無数に存在し、 無限に存在する振動モー・一ドに相当する。これ等を順次 に節円の数によつて低い方から第i次（i＝0，1， 2，3，………）のモードと名付け、第ぎ次モードを添 字iで表現すれば、固有振動数fiは fi一ﾌ一論巧≒（÷た一・一（24）
で與えられ更に振巾分布を定めるB／Aも（23）式に 2zを代入して求められる。此所に第零次の振動は磁歪振動子に篤一thAの振動はトランスデユサ｛に利用せん とするものである。 従つて間題は全く（23）の根を求めることに搾られ たわけであるが、実際の設計にあたつては広く函数表 を利用し得るベッセル函数の次数は整数次及び半奇数 次のものに殆んど限られるため、任意の厚み逓減指数 2αを採用しては計算が不可能でない迄も困難に近い。 従つて我々は逆にベッセル函数の吹数Pに都合のよい 値を撰び、αを（14）を解いた式 α＝＝ −v土レ／y2十』り2−1・一■・・一・一・… 一・・… （25） によつて與えられる特定の数値のみを採用する。（25） 式によればPの一つの値に対して正負二つのαの値が 可能であり、α＜0に対するものは厚みが半径と共に逓 増する円板を示し、この場合についてもα＞0の場合と 同様に取扱い得るが、我々の問題に関係がないので省 略しα＞0即ち先薄の円板についてのみ述べる。 Table I．Half thickness reducting inヨex α，the constantβin（21）and Qrders of Bessel functions p ＼＼ α β
へ
〃＝0．30 〃＝0．35 γ＝0．30 〃＝0．35 一 1．0 0．0000 0．0000 0．7000 0．6500L5
0．8576 0．8215 0．3424 0．3285 2．0 1．4578 1．4170 0．2422 0．2330 2．5 2．OlO8 1．9667 0．1892 0．1833 3．0 2．5443 2．4900 ↓ 0．1557 0．1600 さて実際に（23）式から根Ziを求めるには次の手法に よつた。部ち先ずf（Z）／g（Z）−9の曲線を函数表を用 いて作製する。〃・・O・30に対してP＝1．0，P＝1．5，P＝ 2．0，P＝2．5の四つのPの値に相当するものがそれぞれ 第4a）図、第4b）図、第4c）図及び第4d）図である。 6．0 B／A 4・°1加
o
一2．0 一4．0 一6ρ O f．0 2．0 3C 4，0 5．0 6．0 70 ワ Fig・4a）Curves B／A＝：−f（z）／9（z）versus zforp＝ 1．0（v＝＝O．30） 6．O 4．0 20 ↑° −2ρ 一・S．0 ％・一鰐・一鵠…舞s ヤ雷f・°・P＝α7°° ・m
CQ．．60ヰ
↑4・・ 2．O O −2．O o 20 −一一シoc Fig．3 Relation between the half thickness reductilng indexα， the constant βin the equation（21）and the order of ．Bessel hunction p（v＝・O．3） 第1表はボアッソ比の二つの値ッ・＝030及び〃＝＝O．35 に対するα及び（18）式のβの値とPの値の関係を示 し、第3図はv ＝O・30に対する同じ堅係を図示．したも のである。 P・ o一 一∨ ヂ 一60 0 f．0 2．0 3．0 40 S，0 6．0 7，0 −一ウz Fig・4b）Curves B／ノ1＝・一∫（9）／9（z）versus zforp＝1．5（〃＝0．30） 6．0 4．020
↑。
％鵠一」 御一工② ﾓω一砦⑭ ヤ雷f・5・ρ・。製・4・ ち 一20 一40 一6．o O t．0 20 30 40 S．0 60 70Fig・ 4c）Curves B／A＝＝一∫（z）／9（z）versus zforp＝2．0（〃：＝0．3） ％・一篇・一罐｝ P・20・P＝。24216
60
9A 4・e一 2．0 ↑0
一2ρ40
・6．o O t．0 20 3．0 40 5，0 6．0 7，0） ＿＿＿一◆2 F ig． 4d）Curves B／A＝一∫（z）／9（2）versus zforp＝2．5（〃＝0．30） 図に見る如くこれ等の曲線は多くの分技を含むが同一 分技或は異分技相互の間で縦座標の等しい二点は（23） 式の一つの根の位置に相当して いるわけであるから、 （右側の N 分技の横座標を左側の分技のぞN 対応するn−2−B／Aの組b：一一一 ， つ定ることになる。これ等の組 を順次手繰つて行けば結局内外 半径比nに対する根Zi及び任意 常数比β／Aの変化の全体が知ら れる。此所の注目すべきはVの 変化に対してこれ等の曲線の変 動が甚だ鈍い点であつて．、例え ばy＝035に対するP＝2・5の第4 d図に相当する曲線は2の小さ い値、邑口ち図の左端を除いては ヒの程度の縮尺においてはV＝ 0．30の場合と殆んど区別がっか ない程度であることである。従 つて厚み一波長比の影響、厚み 変化率の影響による誤差及び磁 歪振動子とトラソスデPt・・一サF・・■ の接着による誤差等を考察する と設計の第一段階としてボアツ シ比の差異の影響は省略しても 2iの値には大した影響は生じな いであらう。但し厚み逓減指数 の差は無視出来ないと思われ る。 ％・一揚・罐ヤエ2・5，P・°・184f6 ＾． ● ● かくして求めた根9iのn ・a／b に対する変化の模様を第零次モ f．0 0．6 己。6 ↑。A O．2O
o。400 Se 4．Oゑ0 20 t． S ｛．ぴ 一一→九＝％ ・Fig．・5 R・・t・・f the equ・ti・n（23）・・ of Zero Mode for various values of カand・adiu・・ati・s灯＝・／ろ（・＝0・30） 5．O40
300 や・2s 1 ＼●o鯉 o．o．oq 轤noピQ 1：；：｝ヤ・15チ・＝剥亮
r 2．O @▼ @ム ∀ ∼¶．0 ト25 2． ・1．5 ？・to
但 10ρ 馳 4° 3．0． 20帖
｛．o一一→π＝％
Fig．6 Roots of the equation（23）zl of the lst Mode for various val．ues of P and radius ratios n＝ a／b（v ＝o・30）＊ 一ドについては第5図、第一ii欠モt−一ドについては第6 図に示す。 又半奇数次のベツセル函数は所謂球ベツセル函数 （Spherical Bessel Function）に関係し、三角函数 とゾzの有理式で表わせるから（23）式の根も叉＊ ＊＊p＝5／2に対しては 竺一 ・一”t−zat［lfiifiz−10，Bn（x23β）＋ P＝3／2に対しては tan．T 1＋ S竺1）z）芸
x一
ﾋ吾需；⊇＋｛（＝）、・誓｝z
・・一・・・・・・・・・・・・・・・・… 一・・（26）＊＊ （1十β）％2 x2 2 （n−−1）’ （誘） x・一鯉）（（が＋1、n−1）z）−3βμ蒜＋ の根Xiから ・i ・＝芸1………一…・・……一・…（28） によつて計算する事も出来る。 第5図或は第6図の値に基いてベッセル函数表或は （26）（27）式により、特定のnの値について内挿法公 式によつて精度を上げた値が第H表、第皿表である。 第IV・表は第一次モードに対するB／Aの値を示す。 Tabla I［［． Values of Roots Zo of the equation’（23）for the Zero Mode （1＋β）2P美三醤⑭（墓）z＋
3βn3 （n−1）6 3β ・・・・・… 一・・・・・… （27） （｝）3 Table IV． Ratios of two arbitrary constants A：Bof lst mode for various valves of p Roots 20 73：＝ ｿ／b カニ1．0 1．5 2．0 2．5 、 「 1．0 0．9539 0．9539 0．9539 0．9539 1．5 0．7743 0．7926 0．8052 0．8170 2．0 0．6616 0．7078 0．7398 0．767325
0．5804 0．6522 0．7021 0．7431 3．0 0．5185 0．6106 0．6762 皐 O．7287 4．0 0．4262 0．5435 0．6374 0．7098 5．0 0．3603 0．4913 0．6032 0．6923 7．0 0．2727 0．3967 0．5067 0．6120 10．0 0．1977 0．2940 0．3727 0．4435 Table皿． Values of roots gl of the equation（23）for the lst mode ♪＝1．0 1．5 2．0 2．5 72＝ｿ／6
A：B
A：B
A：B
A：B
1．5 Q．0 十〇．7318：1 ¥〇．5528：1 1：十〇．0880 P：十〇．1681 1：−0．5423 l 戟F一゜・724° 堰{°・3162：1 @ 十〇．5687：1 2．5 1：十〇．1381 一〇．9584：1 一〇．1147：1 一〇．3891：1 3．0 1：−0．2781 一〇．3256：1 十〇．3348：1 一〇．9654：1 3．5 1：−0．5111 一〇．0811：1 十〇．6202：1 1：−0．6759 4．0 1：−0．6439 十〇．0401：1 ＋0．8106：1 1：−0．5172 5．0 1：−0．7232 十〇．0904：1 十〇．9293：1 1：−0．4098 7．0 1：−0．5968 一〇．1810：1 十〇．3783：1 1：−0．9711 10．0 1：−0．3740 1：−0．9915 ＋0．9602：1 これ等の値を用いて振巾の分布曲線を求めた結果が
第7a図、第7b図、第7c図、第7d図であり、第8図
は内外周の振巾比即ち振巾増巾率を示し、第9図は節 円の位置を示すものである。 At・o ／° ’”X．。 ％45 20 2．S 3．O 4．0 50 卜10d●i ぱ、t・忍
か＝＝1．0ROots
21 1．5 2．0 2．5LO
o◎ oo ◎o oo 1．5 6，345 6，320 6，345 6，405 2．0 3，237 3，198 3，244 3，311 2．5 2，212 2，165 2，200 2，283 3．0 1，704 1，652 1，685 1，765 3．5 1，402 1，349 1，376 1，450 4．0 1，201 1，149 1，172 1，283 5．0 0．9496 0．9092 0．9234 0．9721 7．0 0．6912 0．6885 0．7165 0．7515 10．0 0．5023 0．543806125
0．6877 Fig．7a） 2．0 〉ミ’・° ↑・ ●to t．o 2P ao 40 ，一ノ％ Amplitude Curve of the 1的 mode for p＝1．0 s．σ Fig．7a） 20 3ρ 4．0 5．0 −→％ A］rmplitude Curve of the lst mode for p＝＝1．5ぷ4。 τ加 2．0 t．0 o 一t，O t．O 40 5． 25 30 ぐ ％＝ @ ↓5 2．0 、
