メンバシップ関数設定の柔軟性を考慮したファジィ数理計画問題
Fuzzy
mathematical
programming problem
with
flexibility
of
membership
functions
大阪大学大学院情報科学研究科 蓮池隆
Takashi Hasuike
Graduate School ofInformationScience and Technology, Osaka University
広島大学大学院工学研究院 片桐英樹
HidekiKatagiri
Graduate SchoolofEngineering,HiroshimaUniversity
統計数理研究所データ科学研究系 椿広計
Hiroe
TsubakiDepartment ofDataScience,Thelnstitute of Statistical Mathematics
1.
はじめに 実社会の様々な意思決定問題に対し，数理計画問題を利用して最適な意思決定を行う場 合，パラメータ値を固定すれば，多様な数理計画法を用いて最適解を求め，実社会の意思 決定につなげることが可能となる．しかし，実社会には不確実性が多数存在し，これらを 数理計画問題で表現するには，関連する係数を確率統計手法により確率分布を求め導入す ることが考えられる．さらに，言語や画像情報などの非数値情報の解釈や人間心理の影響 に由来する不確定性を考慮する場合，確率統計手法の適用が必ずしも適切であるとは限ら ず，ファジイ理論などの適用により，数理計画法の枠組みで意思決定支援を行うことが考 えられる． 実際，ファジィ理論を用いたファジイ数を係数に導入したファジイ数理計画問題に関し ては，相当数の理論応用研究が存在し，その有用性については，それぞれの論文におい て，特に固定値の場合や確率分布を用いた場合等と比較して議論がされている．しかし確 率分布のように，統計的手法のような客観的かつ理論的な分布の構築法とは異なり，メン バシップ関数を主観的に設定し，その関数を基に最適解を求め，他手法との比較検証を 行っているものが多いことも事実である．しかし，意思決定の場面において，このような 主観的手法と他の客観的手法との比較を議論しても，メンバシップ関数設定の妥当性を保 証していないで行っているため，「やってみればこうなった」 という，実際の意思決定現場 への適用をあまり意識しない，つまり信頼性を有しない議論展開をすることになってしま う．意思決定問題においては，係数の妥当な事前設定が出力となる最適解の信頼性を担保 し，ダイレクトに意思決定の信頼性へとつながることに注視しなければならない． 主観性をメンバシップ関数により構築できる点は，ファジイ理論の特徴であり，また制御理論のように出力結果をフィードバックし，メンバシップ関数を調整することで状況を 適切に表現したメンバシップ関数を得ることができるかもしれない．しかし，意思決定の 場面はその一時限りの場合も多く，また出力結果からのフィードバックをすぐに得られな い場合も多い．以上のことから，本論文では，数理計画問題における妥当なメンバシップ 関数構築法は非常に重要な研究テーマであり，これまでにも様々なメンバシップ関数構築 法同定法に関する研究が多くなされている[1,4-6, 8-10, 12, 14-16]. にもかかわらず，メン バシップ関数の妥当な構築法は，意思決定分野を含めたほとんど全ての適用分野において 未解決である．やはり，ファジイ理論の特徴である主観が大きく寄与していることが原因 の1つとして挙げられる．しかし，意思決定者の主観であったとしても，ある事象が所属 する，所属しない，つまりメンバシップ値が1と $0$ の領域に関しては，意思決定者も自信 を持ってその根拠を説明できることが多いため，主観が入っていても一定以上の客観性が 存在すると考えられる．一方で，所属か非所属か判然としない，つまりメンバシップ値が 1/2 の状況が最も自信のない状況であり，この部分にはかなりの曖昧さが残っている．以上 の議論からも，メンバシップ関数は 1 つの関数ではなく，メンバシップ値に依存した，あ る程度幅を持った関数であると考えることが自然である． このメンバシップ値が幅を持っているメンバシップ関数として，Type-2 fuzzy数が近年フ ァジィ理論で盛んに研究され始め，数理計画問題に応用した研究もいくつか存在する [3, 7, 11]. しかしこれらの研究において，メンバシップ関数設定の妥当性は議論されていない． そこで本研究では，Type-2 fuzzy 数の中でも特に，上記の妥当なメンバシップ関数設定を考
慮して，メンバシップ値を区間値で表現した Intervaltype-2 fuzzy数を数理計画問題に導入す
る．その範囲内に入るどのメンバシップ関数になったとしても，共通の意思決定を行って いるだけで良好な結果を出せば，メンバシップ関数設定の柔軟性を有しながら，妥当な意 思決定が可能である．そこで，本研究では，Intervaltype$-2$ fuzzy 数での最小値と最大値に注 目し，それらを新たな区間値ととらえ，区間値計画法をベースとした意思決定手法を提案 する． 2. ファジイ数理計画問題とメンバシップ関数設定 確率理論のみならずファジィ理論をべースとした数理計画問題とその実社会問題への適 用に関しては，様々な形で研究がなされている．本研究では以下で表わされる最も基本的 な線形計画問題を取り扱う．
Minimize
$\sum_{j=1}^{n}c_{j}x_{j}$subject
to $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\geq b_{j},$ $i=1,2,\ldots,m$(1)
目的関数の係数$c_{j}$や制約条件の係数$a_{ij}$や$b_{i}$が確率変数，もしくはファジィ数といった不確
実不確定状況を考えなければいけないことは，前章からも明らかであり，これらの状況 下での適切な意思決定を行う必要がある．最適性基準として，確率変数ファジィ数両方 において，平均値や分散，目標値を設定した確率機会制約や可能性必然性測度など，様々
な最適化意思決定が行われる．本研究では，以下のCarlsson and Fuller[2]により提案され
たpossibilistic
mean
valueの下での最適化に焦点を当てる．$E( \tilde{a})=\int_{0}^{1}\gamma(a_{L}(\gamma)+a_{U}(\gamma))d\gamma$ (2)
ここで$\tilde{a}$はファジィ数であり，その
$\gamma$カット集合を$[\tilde{a}]^{\gamma}=[a_{L}(\gamma),a_{U}(\gamma)]$ として設定する．
このpossibilistic
mean
value は確率変数における期待値の自然な拡張となっており，既存のファジイ数理計画問題でも広く一般的に利用されている．よって本研究では，以下の数理
計画問題の最適解を得ることを目的とする．
Minimize
$E( \sum_{j=1}^{n}\tilde{c}_{j}x_{j})$subject
to $E( \sum_{j=1}^{n}\tilde{a}_{ij}x_{j})\geq b_{j},$ $i=1,2,\ldots,m$(3) $x_{j}\geq 0, j=1,2,\ldots,n$ メンバシップ関数に関しては，前章の議論より， ある事象が所属する，所属しない，つまりメンバシップ値が 1 と $0$ の領域に関しては， 意思決定者も自信を持ってその根拠を説明できることが多い その他の部分に関しては，メンバシップ値に曖昧さが生じるが，核となる関数は存在 し，そこからの曖昧さに起因する幅を考える ことを考慮して，核となるメンバシップ関数は以下の台形型メンバシップ関数を設定する． $\tilde{c}_{j}=(c_{j}^{L},c_{j}^{R},\alpha_{j},\beta_{j})=\{\begin{array}{l}\frac{\omega-(c_{j}^{L}-\alpha_{j})}{\alpha_{j}}1\frac{(c_{j}^{L}+\beta_{j})-\omega}{\beta_{j}}0\end{array}$
$(c_{j}^{U}\leq\omega\leq c_{j}^{U}+\beta_{j})(c_{j}^{L}-\alpha_{j}\leq\omega\leq c_{j}^{L})(c_{j}^{L}\leq\omega\leq c_{j}^{U})otherwise$ (4)
上記は目的関数の係数がファジィ数c$\sim$
の係数$\tilde{a}_{ij}$ に関しても台形型メンバシップ関数をもつファジィ数と設定する．目的関数
$\sum_{j=1}^{n}\tilde{c}_{j}x_{j}$ の possibilistic
mean
value は，Zadeh の拡張原理も利用して，次のように得られる．$\sum_{j=1}^{n}\tilde{c}_{j}x_{j}=(\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{L}x_{j},\sum_{j=1}^{n}c_{j}^{R}x_{j},\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}x_{j},\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}x_{j})$ (5) $E( \sum_{j=1}^{n}\tilde{c}_{j}x_{j})=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}(c_{j}^{L}+c_{j}^{R})x_{j}+\frac{1}{6}\sum_{j=1}^{n}(\beta_{j}-\alpha_{j})x_{j}$ 一方で，本研究でさらに考えるべきこととして，上記の核となる台形型メンバシップ関 数における，メンバシップ値が $0$ と1以外の部分に関する曖昧さがある．特にその曖昧さ は前章の議論から，1/2の時に最も大きくなるように設定すべきである．この曖昧さをメン バシップ関数がとりうる領域と考えることで，様々なメンバシップ関数を包含する関数を 柔軟に設定することが可能となる．以上のことから， $\gamma$ カット $[\tilde{c}_{j}]^{\gamma}$ における両端の値
$C_{j}^{L}(\gamma),c_{j}^{U}(\gamma)$ を中心とした区間幅$[$
CjL-
$(\gamma$ $)$,$c_{j}^{L+}(\gamma)]$および$[$CjU-
$(\gamma$ $)$,$c_{j}^{U+}(\gamma)]$ を考慮した次のメンバシップ関数を導入する． 図 1 核となるメンバシップ関数からの幅を考慮したメンバシップ関数 図1のメンバシップ関数はメンバシップ値が曖昧である場合を表現できるType-2fuzzy数の メンバシップ関数の1つと見ることができる．また特に，メンバシップ値が1/2の時の区間 幅を，その時の区間幅を$[\hat{c}_{j}^{L-},\hat{c}_{j}^{L+}]$および$[\hat{c}_{j}^{U-},\hat{c}_{j}^{U+}]$ と置くことで図1における各領域境界 を線形式で書くことが可能となる．しかし区間幅を持つことで，(5) で計算された possibilistic
mean
value の値もまた区間値となってしまう．よって本研究では区間値計画法を導入することで，区間幅となっても妥当な解を導出できることを示す．
3. 区間値計画法を利用した提案ファジイ数理計画問題の解法構築
図
1
により設定されたメンバシップ関数において，そのpossibilistic
mean
valueの区間値は，図2と図3で表わすメンバシップ関数を用いて計算することで，それぞれ最小値と最
大値を求めることができるため，困難ではない．
図2 possibilistic
mean
value が最小となるメンバシップ関数図 3 possibilistic
mean
value が最大となるメンバシップ関数図2におけるメンバシップ関数を利用して，最小となるpossibilistic
mean
value を求める．$E_{\dot{m}n}( \tilde{c}_{j})=\int_{0}^{\iota/2}\gamma((c_{j}^{L}-\alpha_{j})+2\gamma(\hat{c}_{j}^{L-}-(c_{j}^{L}-\alpha_{j})))d\gamma$ $+ \int_{1/2}^{1}\gamma((2\hat{c}_{j}^{L-}-c_{j}^{L})+2\gamma(c_{j}^{L}-\hat{c}_{j}^{L-}))d\gamma$ $+ \int_{0}^{1/2}\gamma((c_{j}^{U}+\beta_{j})-2\gamma(c_{j}^{U}+\beta_{j}-\hat{c}_{j}^{U-}))d\gamma$ (6) $+ \int_{1/2}^{1}\gamma((2\hat{c}_{j}^{U-}-c_{j}^{U})-2\gamma(\hat{c}_{j}^{U-}-c_{j}^{U}))d\gamma$ $= \frac{1}{4}(c_{j}^{L}+c_{j}^{U}+\hat{c}_{j}^{L-}+\hat{c}_{j}^{U-})+\frac{1}{24}(\beta_{j}-\alpha_{j})$ よつて， $E_{\min}( \sum_{j=1}^{n}\tilde{c}_{j}x_{j})=\sum_{j=1}^{n}\{\frac{1}{4}(c_{j}^{L}+c_{j}^{U}+\hat{c}_{j}^{L-}+\hat{c}_{j}^{U-})+\frac{1}{24}(\beta_{j}-\alpha_{j})\}x_{j}$ となる．同様 にして，$E_{m\alpha}( \sum_{j=1}^{n}\tilde{c}_{j}.x_{j})=\sum_{j=1}^{n}\{\frac{1}{4}(c_{j}^{L}+c_{j}^{U}+\hat{c}_{j}^{L+}+\hat{c}_{j}^{U+})+\frac{1}{24}(\beta_{j}-\alpha_{j})\}x_{j}$ となることか
ら，この$E_{\min}( \sum_{j=1}^{n}\tilde{c}_{j}x_{j})$ と $E_{\max}( \sum_{j=1}^{n}\tilde{c}_{j}x_{j})$ を用いて目的関数は区間値で表現できる．さ
らに，制約条件 $E( \sum_{j=1}^{n}\tilde{a}_{ij}x_{j})\geq b$ に対しても，$\tilde{a}_{ij}=(a_{ij}^{L},a_{ij}^{U},\delta_{ij},\xi_{ij})t$こ関するメンバシッ
プ値1/2の区間幅を$[\hat{a}_{ij}^{L-},\hat{a}_{ij}^{L+}]$および$|\hat{a}_{ij}^{U-},$
鐙
$]$ と設定することで，同様の計算結果を得る．一方で，数理計画問題の観点から，目的関数や制約条件内に区間値が含まれているまま
では，直接数理計画法を適用することができない．そこで本研究では，
Sengupta
et al. [13]による Acceptability Index を利用 した解法を構築する 2つの区間値
$A=[a_{L},a_{R}],$ $B=[b_{L},b_{R}]$ において，Acceptability Index
AI(A
$\leq$B)
は次のように定義され
る．
$AI(A \leq B)=\frac{m(B)-m(A)}{w(B)+w(A)}$ (7)
ただし，$m(A)= \frac{1}{2}(a_{L}+a_{R})$, $w(A)= \frac{1}{2}(a_{R}-a_{L})$である．このAcceptabili奴石dex に対し，
特性1
$AI(A\leq B)\{\begin{array}{l}=0ifm(A)=m(B)>0,<1ifm(A)<m(B)anda_{R}>b_{L}\geq 1ifm(A)<m(B)anda_{R}\leq b_{L}\end{array}$
特性 2
意思決定者が定めたパラメータ値$\alpha$
G $\in$$[$
0, 1
$]$ に対し，$Ax\leq B\Rightarrow\{\begin{array}{l}a_{R}x\leq b_{R}AI(B<Ax)\leq\alpha_{G}\end{array}$
この
2
つの特性から，possibilistic
mean
value をベースとしたファジイ数理計画問題(3)は以下のように等価変換できる．
Minimize
$\frac{\sum_{j=1}^{n}((c_{j}^{L}+c_{j}^{U})+\frac{1}{2}(\hat{c}_{j}^{L-}+\hat{c}_{j}^{L+}+\hat{c}_{j}^{U-}+\hat{c}_{j}^{U+})+\frac{1}{3}(\beta_{j}-\alpha_{j}))x_{j}}{\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{2}(\hat{c}_{j}^{L+}+\hat{c}_{j}^{U+}-\hat{c}_{j}^{L-}-\hat{c}_{j}^{U-})x_{j}}$subject
to
$\sum_{j=1}^{n}(\frac{1}{4}(a_{ij}^{L}+a_{ij}^{U}+\hat{a}_{ij}^{L+}+\hat{a}_{ij}^{U+})+\frac{1}{24}(\xi_{j}j-\delta_{ij}))x_{j}\geq b_{j},$ $i=1,2,\ldots,m$(S)
$\sum_{j=1}^{n}(\frac{1}{4}(a_{ij}^{L}+a_{ij}^{U})+\frac{1}{8}(\hat{a}_{ij}^{L-}+\hat{a}_{ij}^{L+}+\hat{a}_{ij}^{U-}+\hat{a}_{ij}^{U+})+\frac{1}{12}(\xi_{ij}-\delta_{ij}))x_{j}$
$+ \frac{\alpha_{G}}{8}\sum_{j=1}^{n}(\hat{a}_{ij}^{L+}+\hat{a}_{ij}^{U+}-\hat{a}_{ij}^{L-}-\hat{a}_{jj}^{U-})x_{j}\geq b_{i}, i=1,2,\ldots,m$
$x_{j}\geq 0, j=1,2,\ldots,n$ 上記問題(8)はパラメータが多いため，一見複雑そうに見えるが，全ての式が線形式である ため，基本的な分数計画問題である．よって，(目的関数)$=t$ とパラメータを導入すること により，同等の最適解が得られる線形計画問題へと変換することが可能である．よって， 大規模な問題であったとしても，計算時間を要することなく最適解を求めることが可能で ある．またメンバシップ関数値の最小値と最大値を利用した解法であるため，その中間的 なメンバシップ関数であっても，最適に近い実用的な意思決定が可能であると考えられる．
4.
まとめ本研究では，ファジイ線形計画問題に関して，メンバシップ関数の妥当性な表現が可能
な部分と柔軟性を必要とする部分を考慮するため，Type$-2$ fuzzy 数を導入し，それに対応す
るファジイ数理計画法を提案した．まず最適性基準としてpossibilistic
mean
valueを導入し，その値が区間値として表現されるため，区間値計画法の1つであるAcceptability Index を導 入し，主問題を等価な分数計画問題として定式化した．これにより，メンバシップ関数の 形に関わらず，また大規模であっても最適解を求めることができるような数理モデルを構 築することが可能となっている．一方で，区間幅を設定するための核となるメンバシップ 関数構築法に関しては，台形型メンバシップ関数を想定し，また Type-2fuzzy数に関しても， 線形領域を仮定していることから，領域表現による柔軟性はあるものの，完全な形での客 観的なメンバシップ関数設定とは言い難い．よって，今後はより完全かつ妥当な形でのメ ンバシップ関数構築法を開発するとともに，意思決定にどの程度メンバシップ関数の妥当 性が必要かを検証していく． 参考文献
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