コホモロジー的AGT対応とK群類似

柳田 伸太郎  (名大・多元数理)

Encounter with Mathematics October 29, 2016

AGT予想とは？

L. F. Alday, D. Gaiotto, Y. Tachikawa,

“Liouville Correlation Functions from Four-dimensional Gauge Theories”, Lett. Math. Phys. 91 (2010), arXiv:0906.3219.

• 物理的には (6 次元の理論から議論が出発して) 4次元N = 2 SU(2) ゲージ理論 = 2 次元 Liouville 場の理論 という、量子場の理論の等価性を主張している。 • 数学的にも、両辺ともある程度理解されていて (ランク 2 の)Nekrasov 分配函数 (代数幾何学的対象) = 共形ブロック (Virasoro 代数の表現論の対象) • 幾何学的表現論の立場からは (インスタントンのモジュライ空間の同変ホモロジー群) ⟲ Virasoro(ないし W) 代数

お話しすること • 昨日の中島先生の話の復習 • インスタントン・モジュライ • 同変コホモロジー • Nekrasov分配関数 • Virasoro代数、Whittakerベクトル • 退化版(コホモロジー的)AGT対応 • 退化版対応の K 群 (ないし q) 類似 • 同変K群、K理論的Nekrasov分配関数 • 変形Virasoro代数、Whittakerベクトル • K理論的対応 • gl1量子トロイダル代数

お話できないこと • 物質場つき Nekrasov 分配関数 • 1 = [M(r, d)]以外のものを同変積分して定義される。 • Nekrasov分配関数/Liouville 共形ブロックの解析的性質 • 全般的によく分かっていない。 • 名古屋さんの話：c = 1ならPainlev´eと関連する。 • 山田先生のコメント：τ関数を量子化して調べればよい。 • 一般の W 代数に関する話 • Maulik-Okounkovの話はしません。 • K理論的 Nekrasov 分配関数の物質場つき version • “Liouville場の理論のq変形”は不明。 • gl₁量子トロイダル代数のFock表現には“3点関数”が定義できる。

目次

Nekrasov, Adv. Theor. Math. Phys. 7 (2003) 中島・吉岡, Invent. math. 162 (2005)

§2.1 Gieseker

モジュライ

インスタントンとの関係 Mreg 0 (r, d)⊂ M(r, d): 局所自由層（ベクトル束）のなす開部分空間。 = Donaldson (1984) Md SU(r): S 4 _(=R4_{∪ {∞}) 上の SU(r) インスタントンの} 枠付きモジュライ空間 =   (A, ϕ) A :主 SU(r) 束 P 上の 反自己双対 SU(r) 接続 ϕ : P|_∞−→ SU(r)∼    / { γ ゲージ変換 γ_∞= id } • 上記の Donaldson の定理は任意の古典群 G に対するもの。

Uhlenbeckモジュライとの関係 Ud SU(r): M d SU(r)の Uhlenbeck 部分コンパクト化 Ud SU(r)= d ⊔ k=0 Mk SU(r)× S d−k_R4_. • Ud SU(r)はアフィン代数多様体の構造を持つ（ADHM構成から分 かる）。 • 射影的な射 π :M(r, d) → Ud SU(r) があって

(E, φ) 7−→ ((E∨∨, φ), Supp(E∨∨/E))

• 非特異代数曲面 X 上の torsion free 層E に対して E∨∨は常に局所自由。 E∨_{:=H(E, OX)}

また 0→ E → E∨∨→ A → 0 で定義される A は有限個の点に台を持つ層に なる。

ADHM構成 • U(r, d) =   (B1, B2, j, k)    B1, B2∈ End(Cd), j∈ Hom(Cr,Cd), k∈ Hom(Cd,Cr) (1)    // GLd(C) (1)[B1, B2] + jk = 0 • 但し // は GLd(C) 作用に関する GIT 商 g· (B1, B2, j, k) := (gB1g−1, gB2g−1, gj, gk) （座標環の GLd(C) 不変部分環に対応するアフィン代数多様体） • M(r, d) ≃ {(B1, B2, j, k)| (1), (2)} / GLd(C) (2) Bα(S)⊂ S(α = 1, 2) かつ Im j ⊂ S なる 真部分空間 S⊂ Cn は存在しない.

トーラス作用

固定点 (E, φ) ∈ M(r, d)T iff E = I1⊕ · · · ⊕ Ir with (1) Iα=IZα, dim Zα= 0, Zα ⊂ P 2_{\ ℓ} ∞, (2) φ(Iα|ℓ_∞) = α-th factor ofO⊕rℓ_∞, (3) Iαは (C∗)2作用で不変。 各Iαは単項式で生成されるC[x, y] の余次元有限のイデアル Iα と同一視できる。 更に各 Iαは xi−1yj−1 ←→ (i, j) で Young 図形 Yαと 1 対 1 に対応する。 I =⟨x5, x4y, xy2, xy3, y4⟩ ←→ -? i j x4 x3y xy2xy3 Y これから M(r, d)T_←→ Y(r, d) := {r 個の Young 図形の組 (Y1, ... , Yr)| ∑r α=1|Yα| = d}

eαで 1 次元T 加群 (t1, t2, e1, ... , er)7→ eα を表す。tiも同様。 するとT の表現環 R(T) は R(T) ≃ Z[t±1₁ , t±1₂ , e±1₁ , ... , e±1_r ]. 接空間のT ウェイト [Ellingsrud-G¨ottsche 1998] − → Y ∈ Yrと対応する (E, φ)∈ M(r, d)Tを同一視する。 − → Y での接空間 T−→_YM(r, d) は T 加群と思える。 R(T) ∋ T−→_YM(r, d) = r ∑ α,β=1 Nα,β(t1, t2), Nα,β(t1, t2) := eβe−1α ( ∑ □∈Yα t−l₁ Yβ(□)taYα(□)+1 2 + ∑ ■∈Yβ tlYα(■)+1 1 t −aYα(■) 2 ) .

同変ホモロジー

• Thomasonの局所化定理: ι_∗ : KT(M(r, d)T)loc−−→ K∼ T(M(r, d))loc. ι0についても同様。 • 逆写像 ι−1_∗ は ι−→_Y :{−→Y} ,→ M(r, d) を使って ι−1_∗ (−) = ⊕−→_Y∈Y(n,r) ι∗_−→ Y(−) ∧ −1T∗−→YM(r, d) • 更に次の図式は可換 KT(M(r, d))loc ι−1_∗ ∼ // π_∗  KT(M(r, d)T)loc=⊕−→_YR ∑ − →_Y  KT(Ud SU(r))loc ι−1_0∗ ∼ _{// KT((U}d SU(r))T)loc=R

同変 (Borel-Moore) ホモロジー • HT_∗(−) = HT_∗(−, Q): T 同変 Borel-Moore ホモロジー。 • {Un}n≥1: Tの分類空間ET → BTの有限次元近似 (非特異既約, Hi_(U n,Q) = 0 for 1 ≤ i ≤ n, Un→ Un/T: 主 T 束) • HTn(X) := Hn−2 dim T+2 dim Un(X×TUn). • HTd(X) = 0 for d > 2 dim X. • deg [M(r, d)] = 2 dimCM(r, d) = 4rd. • HT_∗(−) は H∗_T(pt)加群。H∗_T(pt)≃ S(T) := Sym((Lie T)∗) • HT_∗(−)loc := HT_∗(−) ⊗S(T)S, S := Frac(S(T)). • 局所化定理: ι_∗: HT_∗(M(r, d)T)loc−−→ H∼ T_∗(M(r, d))loc. ι0についても同様。

• 次の図式は可換 HT_∗(M(r, d))loc ι−1_∗ ∼ // π_∗  HT_∗(M(r, d)T)loc=⊕−→_YS ∑ − →_Y  HT_∗(Ud SU(r))loc ι−1_0∗ ∼ _{// H}T ∗((UdSU(r))T)loc=S • 特に ∑ − →_Y ι∗_−→ Y(−) e_T(T→−_Y) = (ι0∗) −1_π ∗(−)

（物質場無し）Nekrasov

分配関数

図式の可換性 ∑ − →_Y ι∗_−→ Y(−)/eT(T−→Y) = (ι0∗) −1_π ∗(−) より Nekrasov の与えた明示式が復元できる。 Zd(ε1, ε2, −→a ) = ∑ − →_Y∈Y(r,d) 1 ∏ 1_≤α,β≤rn − →_Y α,β(ε1, ε2, −→a ) , n−→_α,βY (ε1, ε2, −→a ) := ∏ □∈Yα [−ℓYβ(□)ε1+ (aYα(□) + 1)ε2+ aβ− aα] × ∏ ■∈Yβ [(ℓYα(■) + 1)ε1− aYβ(■)ε2+ aβ− aα].

Z−→_Y(ε1, ε2, −→a ) := [ ∏ 1≤α,β≤r n−→_α,βY (ε1, ε2, −→a )]−1. と略記する。 rk = 1で計算してみる。ZY = 1 nY 11(ε1, ε2) nY 11= ∏ □∈Y[−ℓY(□)ε1+ (aY(□) + 1)ε2][(ℓY(□) + 1)ε1− aY(□)ε2] Z0= Z(∅) = 1, Z1= Z(1) = 1 ε1ε2 Z2= Z(2)+ Z(1,1) = 1 2ε2(ε1− ε2)ε2ε1 + 1 ε2ε1(ε2− ε1)2ε1 = 1 2ε2₁ε2₂ Z3= Z(3)+ Z(2,1)+ Z(1,1,1) =· · · = 1 6ε3 1ε 3 2 実は rk = 1 の時は Zrk=1(q; ε1, ε2) = ∑ d_≥0 qdZd(ε1, ε2) = exp( q ε1ε2 )

Virasoro

代数

• Virasoro Lie代数Vir

• 生成元: Ln(n∈ Z) • 関係式: [Ln, Lm] = (n− m)Ln+m+n(n 2₋₁₎ 12 δn+m,0c. • 三角分解: Vir+ :=⟨Ln(n > 0)⟩, Vir0:=⟨L0, 1⟩, Vir−:=⟨Ln(n < 0)⟩. • Verma加群M(∆)(c, ∆: generic) • 最高ウェイトベクトル|∆⟩ Vir+_{|∆⟩ = 0, L} 0|∆⟩ = ∆ |∆⟩. • L0ウェイト分解: M(∆) =⊕n≥0M(∆)n, M(∆)n:={v ∈ M(∆) | L0v = (∆ + n)v}. • 双対 Verma 加群 M(∆)∗ • 最高ウェイトベクトル⟨∆| ⟨∆| Vir−_{= 0, ⟨∆| L} 0= ∆⟨∆|. • Shapovalov形式· : M(∆)∗× M(∆) → C • 双線形形式, • uLn· v = u · Lnv (u∈ M(∆)∗, v∈ M(∆)) • ⟨∆| · |∆⟩ = 1.

Whittker

ベクトル

(

退化

AGT

関係式

Zrk=1も Heisenberg 代数の Whittaker ベクトルと関係する。 • Zrk=1(q; ε1, ε2) = exp(q/ε1ε2). • H: Heisenberg 代数, [an, am] = nδn+m,0. • πλ=C[a₋₁, a₋₂, ...]|λ⟩: Fock 表現, a0|λ⟩ = λ |λ⟩. • deg a−n= n, deg|0⟩ = 0. • Whittakerベクトル w(ξ) =|0⟩ +∑_n≥1ξn/2wn, deg(wn) = n, a1wn = wn−1, akwn= 0 (k > 1). • w(ξ) =|0⟩ +ξ1/2 a−1|0⟩ +ξ2/2 12a 2 −1|0⟩ + · · · = exp(a−1ξ1/2)|0⟩. • w∗(ξ) =⟨0| exp(a1ξ1/2). • w∗(ξ)· w(ξ) = ⟨0| exp(a1ξ1/2) exp(a−1ξ1/2)|0⟩ = exp([a1a−1]ξ) = exp(ξ). • よって w∗(ξ)· w(ξ) = Zrk=1(q; ε1, ε2), ξ = q/ε1ε2

一般の

rk

の場合

• Nekrasov分配函数と Virasoro 代数には共に q 類似がある。 • K理論的 Nekrasov 分配関数 Nekrasov (2003) 中島・吉岡Transform. Groups 10 (2005) • 変形 Virasoro 代数 白石・久保・粟田・小竹 (1996) • AGT予対応にも q 類似があるはず。 粟田・山田(2010), arXiv:0910.4431

K

理論的

Nekrasov

分配函数

• 固定点定理から ZK_d(t1, t2, −→e ) = ∑ − →_Y∈Y(r,d) 1 ∏ 1_≤α,β≤rN − →_Y α,β , N−→_α,βY := ∏ □∈Yα (1− exp[ℓYβ(□)ε1− (aYα(□) + 1)ε2− aβ+ aα)] ∏ ■∈Yβ (1− exp[−(ℓYβ(■ + 1)ε1+ aYα(■)ε2− aβ+ aα]) • (q, ti, eα) = (ℏ2rq′, eℏεi, eℏaα)でℏ → 0 とすれば ZK(q; t1, t2, −→e )→ Z(q′; ε1, ε2, −→a ) • (ι0∗)−1 = chT （群T の指標）から ZK_d(t1, t2, −→a ) = ∑ i (−1)ich_THi(M(r, d), O_M(r,d)).

• ホモロジー版と同様に、rk = 1 の時は簡単で ZK_rk=1(q; t1, t2) = exp (∑ n_≥1 qn n(1− tn 1)(1− tn2) ) • rk = 2の場合にも退化 AGT 関係式の類似があるはずと予想したの が粟田・山田 (2009). ホモロジー版の時は Virasoro 代数が現れた。K 群だと分配関数は その乗法類似、ないし q 類似に置き換わっていたので、代数の方も q類似をとる必要がある· · ·

変形

Virasoro

代数

• Vir の q 変形？ t = eβℏ_{, q = e}ℏ_{,ℏ → 0 の limit で T(z) =}∑ nTnz−nを T(z) = 2 + βℏ2(L(z) +(1− β) 2 4β ) + O(ℏ 4₎ と展開すると、 L(z) =∑Lnz−n に現れる{Ln} が Vircの関係式を満たす. 但し c = 13− 6(β + 1/β).

Whittaker

ベクトル

(

K

理論的

AGT

対応

• 一般の rk の場合、W(slr)代数の q 類似である変形 W(slr)代数が ⊕dKT_∗(M(r, d))loc に作用して、Whittaker 条件等を満たすはず。 • コホモロジー版の時の方針を思い出すと「correspondence で代数 を作って、それが欲しい代数であることをチェックする。」 • correspondenceによる、⊕dKT_∗(M(1, d))loc に作用する代数の構 成は、Schiffmann-Vasserot と Feigin-Tsymbaliuk によって（時 期的には AGT と前後して、別の動機で）なされていた： gl₁量子トロイダル代数（Ding・庵原・三木代数）

gl

量子トロイダル代数

• Burban-Schiffmann (arXiv:math/0505148)により楕円曲線上の

Hall代数の Drinfeld ダブル (elliptic Hall algebra) として導入さ れる。 • 三木 (2007 出版年) により “(q, γ)-analog of W1+∞”という名前 で導入される。 • 2009年の春頃、3 つのグループによって研究される。 Schiffmann-Vasserot, arXiv:0905.2555 B.Feigin-Tsymbaliuk, arXiv:0904.1679

B.Feigin・橋爪・星野・白石・Y, arXiv:0904.2291,

“Ding・庵原代数”

• B.Feigin-E.Feigin・神保・三輪・Mukhin (2010) ”quantum continuous gl_∞”

幾何学的アプローチ

• (C2)[n]の correspondence の作り方を思い出すと· · ·

• Zn,n+i ={(I, J) ∈ (C2)[n]× (C2)[n+i]| J ⊂ I}. • K群の場合はi =±1, 0のものだけから生成元を作る。 • τn,n±1: Zn,n±1の “普遍束” （(C2)[n]× (C2)[n±1]上のもの. • τn: (C2)[n]の普遍束。 • τn,n:τnの (C2)[n]× (C2)[n] ↠ (C2)[n] による引き戻し。 • K := ⊕d≥0KT((C2)[d])loc上の作用素として u_−1,k:= −t−1/2₁ ∏_n≥0τ_n,n+1⊗k−1, u1,k:= t−1/22 ∏ n≥0τn+1,n⊗k (k∈ Z), u0,l:= ∏ n≥0∧ l_τ n,n− (1 − t−l1 )−1(1− t−l2 )−1 (l > 0), u0,−l :=− ∏ n_≥0∧ l_τ∗ n,n+ (1− t l 1)−1(1− t l 2)−1 (l > 0). 定義 Ut1,t2(gl1) :=⟨u−1,∗, u0,_∗, u1,_∗⟩_C(t1/2 1 ,t 1/2 2 )

• Ut1,t2(gl1)には次のような生成元の取り方もある。 Ut1,t2(gl1) =⟨ui,j| (i, j) ∈ Z2\ {(0, 0)}⟩

• 更にこのZ2_{分の生成元の関係式は（概ね）SL(2,Z) 不変。} i j u_−1,j u1,j u0,j

Macdonald

対称函数からのアプローチ

• Heisenberg Fock空間 πα=Q[a−1, a−2, ...]|α⟩ を a_−n 7→ pn = xn₁+ xn₂+· · · (n 次べき和対称函数) で対称函数の空間 ΛQと同一視する。 an 7→ n∂pn. • {Pλ(q, t)| λ : 分割 }: Macdonald 対称函数: ΛQ(q,t)の基底。 • ”差分作用素”の同時固有関数: E1Pλ(q, t) = Pλ(q, t)· ( ∑ qλi_t−i₎ • E1は次のような表示を持つ。 E1= (η0− 1)/(t − 1) with η(z) = ∑ ηnz−n, η(z) := exp( ∑ n>0 1− t−n n a−nz n)_exp(₋∑ n>0 1− qn n anz −n)

• 次のような問題を考えてみる: 「η(z) を含むような量子群はあるだろうか？」 • 取り合えず η(z) 同士の関係式を調べると η(z)η(w) = (1− w/z)(1 − qt −1_w/z) (1− t−1w/z)(1− qw/z) ◦ ◦η(z)η(w)◦◦ から G−(w/z)η(z)η(w) = G+(z/w)η(w)η(z), G±(x) := (1− q±1x)(1− t∓1x)(1− q∓1t±1x) • 実は Ding・庵原の Hopf 代数（族）の一部になっている。

定義

(

定理

(

(

テンソル表現と変形

W

代数

定理 ∆(n)_{(t(z)) =}∑n i=1Λi(z)と書けて、これらはWq,t(sln)の関係式のう ち知られているもの全てを満たす. 特に fn(w/z)Λi(z)Λj(w) = _◦◦Λi(z)Λj(w)◦_◦ ×      1 i = j, γ+(w/z; q, t) i < j, γ₋(w/z; q, t) i > j. 但し γ±(x; q, t) := (1− q∓1x)(1− qt∓1x) (1− x)(1 − t∓1x) .

Whittaker

ベクトルと

Macdonald

対称函数

• これで Fock 空間 παがVirq,t加群と思える。generic な q, t, h に ついて M(h)≃ πα, h = p1/2qα+ p1/2q−α • この同型で wq,t(ξ)∈ M(h)[[ξ1/2]]を πα[[ξ1/2]]≃ Λ[[ξ1/2]]の元 と思える。 定理

(Y.)