On relationships between canonical genus and flat Seifert surfaces

On relationships between canonical genus and flat Seifert surfaces

三浦 嵩広

(神戸大学大学院 理学研究科) 概 要

link L のcanonical genusとは， L のすべてのcanonical Seifert surface におけるgenusの最小値として定義されるlink invariantである．canonical

genusの下からの評価としてMorton の不等式が知られている．Mortonの

不等式によりcanonical genusが決定できるlinkの集合を定義し，linkがそ の集合に属するための十分条件を与える．

1. Introduction

Seifert

の

algorithm

によって得られる

Seifert surface

を

canonical Seifert surface

という．また，link

L

のすべての

canonical Seifert surface

における

genus

の最小値を

L

の

canonical genus

といい，g

c(L)

で表す

([5])．すなわち，

g_c(L) = min{g(S)|S

は

L

の

canonical Seifert surface}

である．

linkL

に対し，次の関係式により得られる多項式

P(L) = P(L;v, z)∈Z[v^±1, z^±1]

を

L

の

HOMFLY

多項式という．HOMFLY 多項式は

link

の多項式不変量である．

canonical genus

の下からの評価として，次が知られている．

定理 1.1 ([6] Morton’s inequality) r-component link L

に対し，次が成り立つ．

2g_c(L) +r−1=z-maxdegP(L).

ここで

z-maxdegP(L)

は

P(L)

の

z

における最高次数である.

S

を

canonical Seifert surface

とし，次の集合

M

を考える．

定義 1.2 M={L: link |L

は

z-maxdegP(L) = 2g(S) +r−1

をみたす

S

を張る

}.

定理

1.1

と

M

の定義により，ただちに次が得られる．

系 1.3 L∈ M

であるとき，L の

canonical genus

は

z-maxdegP(L) = 2g(S) +r−1

をみたす

S

の

genus

に等しい．すなわち，g

c(L) = g(S).

以下の

link

は

M

に属することが知られており，この事実を用いることにより

canon- ical genus

が決定できている．

• 13

交点以下の

knot [8].

• homogeneous link (alternating link, positive link) [2].

• (i)〜(iv)

の

knot

の

Whitehead double，およびdouble．











(i) (2, n)-torus knot [9].

(ii) 2-bridge knot [7].

(iii) pretzel knot P(a₁, a₂, . . . , a_n),(a_i >0) [1].

(iv) (i)〜(iii)

を含む ある

alternating knot family. [4].

ここで

knotK

の

double

とは，その中心が

K

となるように埋め込まれた

annulus

の

境界として表される

2-component link

のことである．

K

が

(i)〜(iv)

の

knot

であれば，

その埋め込み方（すなわち

annulus

のねじれ方）によらず

M

に属することが知られ ている．同様に

Whitehead double

の場合もその埋め込み方によらず

M

に属すること が知られている．また，任意の

alternating knot

の

Whitehead double，およびdouble

が

M

に属していることが予想されている

([9],[7])．このように，いくつかのlink

に対 しては，

M

に属しているという事実を用いることで

canonical genus

の値を決定する ことが可能である．

本研究では，

M

がどのような集合であるかを調べるために，

M

に属する

link

の構 成について考える．第

2

章では，主結果（命題

2.4）を述べる．flat Seifert surface

を定 義し，それに対応する

plane graph

を用いて，link

L

が

M

に属するための十分条件を 与える．第

3

章では，第

2

章で与えた命題

2.4

について，その証明の概略を述べる．第

4

章では，命題

2.4

の証明に用いたいくつかの補題に証明を与える．

2. 主結果

link L

が

M

に属するための十分条件を与える．

link diagramD

の任意の

Seifert circle

が，S

²\ {Seifert circle}

に

disk

を張れるとき

D

を

special diagram

という．special diagram から

Seifert

の

algorithm

によって得ら れる

surface

を

flat Seifert surface

という．任意の

link

は

flat Seifert surface

をも つことが知られており，特に次の定理が知られている．

定理 2.1 ([3])

任意の

canonical Seifert surface

は，ある

flat Seifert surface

と

ambient isotopic.

次に，

flat Seifert surface

に対応する

graph

を考える．F を表す

signed plane graph G= (V, E, f), f :E −→ {±1}

を次のように定義する（図１）:

(1) F

の

Seifert disk

を

G

の

vertex

に対応させる．

(2) F

の

half-twist band

を

G

の

edge

に対応させ，境界の交差の符号に応じて

edge

の符号を定める．

図１

注意 2.2 G

が

connected, bipartite

であるとき，

∂F

の向きの違いを無視すれば

F

と

G

は

1 : 1

に対応する．

さらに，G から得られる

graph ˜G= ( ˜V ,E,˜ f),˜ f˜: ˜E −→ Z

を次のように定義する

（図２）:

(1)

次数

2

の

vertex

に接続している

2

本の

edge

をつなぐ.

(2) (1)

で得られた

edge e ∈E˜

に対し，元の

edge

の符号の和を

f˜(e)

とする．

図２

注意 2.3

議論を簡単にするために，以下の

graphG

は，次数

2

の

vertex

に接続する

2

本の

edge

が常に同符号であるものとする．すなわち，無駄なねじれをもたない

flat Seifert surface

のみを考えることにする．

次の命題が主な結果である．

命題 2.4 G

を

connected, bipartite, signed, plane graph，F

を

G

が表す

flat Seifert surface

とする．

G˜ = ( ˜V ,E,˜ f˜)

が次をみたすとき，∂F

∈ M

が成り立つ：

(1)

任意の

e∈E˜⁺

に対し

f˜(e)

は

2

以上の偶数である．

ここで

E˜⁺ ={e∈E˜ |f˜(e)>0}

である.

(2) ˜G

の

subgraph ( ˜V ,E˜⁺)

において，任意の

a∈V˜

に対し

dega̸= 1

をみたす.

3. _{証明の概略}

命題

2.4

について，その証明の概略を述べる．

まず，L

∈ M

であるための必要十分条件を与える．

O²

を

2-component trivial link

とする．O

²

の

HOMFLY

多項式を

δ¯

で表す．すな わち，

δ=P(O²) = (v⁻¹−v)z⁻¹

である．また

δ⁻¹

を

δ¯

で表す．

多項式

P^∗(L) = P^∗(L;v,δ)¯ ∈Z[v^±1,δ¯^±1]

を次のように定義する．

P^∗(L;v,δ) =¯ P(L;v,(v⁻¹−v)¯δ).

また，flat Seifert surface

F

を表す

signed plane graph G

に対し

P^∗(G)

を次のように 定義する．

P^∗(G) =P^∗(∂F)

さらに，C

i(G)∈Z[v^±1]

を

P^∗(G)

における

δ¯ⁱ

の係数として定義する．

このとき，次の補題が成り立つ．

補題 3.1 L∈ M

であることの必要十分条件は，L は

G= (V, E, f)

が表す

F

の境界 であり，かつその

G

が

C_1−|V|+|E|(G)̸= 0

をみたしていることである．

補題

3.1

は第

4

章で証明する．

補題

3.1

より，M に属する

L

を得るためには

C_1−|V|+|E|(G)̸= 0

をみたす

graph

を 与えればよいことがわかる．

次に，v の多項式

C1−|V|+|E|(G)

について考える．

P^∗(G)

に対し次の等式が成り立つ．

命題 3.2

P^∗(G) = ∑

E2⊂E1⊂E

(−1)^|E1|+|E2| P^∗(G⁺₂) ¯δ^|E|−|E2| v^−2|E1−|,

ここで

G⁺₂ = (V, E₂, f⁺), f⁺:E₂ −→ {+1}, E₁⁻ ={e∈E₁|f(e) = −1}

である．

この命題からただちに次が得られる．

系 3.3

C_1−|V|+|E|(G) = ∑

E2⊂E1⊂E

(−1)^|E1|+|E2| C_1−|V|+|E2|(G⁺₂)v^−2|E1−|.

E₁ ⊂E

に対し，Q(E

1)∈Z[v^±1]

を次のように定義する．

Q(E1) = ∑

E2⊂E1

(−1)^|E1|+|E2| C_1−|V|+|E2|(G⁺₂) v^−2|E−1|.

このとき，系

3.3

より次が成り立つ．

C_1−|V|+|E|(G) = ∑

E1⊂E

Q(E₁).

また，E

₁⁺, E₁⁻

をそれぞれ次のように定義する．

E₁⁺ ={e∈E1|f(e)>0}, E₁⁻={e∈E1|f(e)<0}.

さらに，ϵ(G) を

E˜

の元

e

で

f˜(e)

が奇数となるようなものの数と定義する．すなわち，

ϵ(G) =|{e∈E˜|f˜(e) : odd}|

とする．このとき

Q(E1)

の最高次数について次の不等式が成り立つ．

補題 3.4

maxdegQ(E1)5

{ |E₁⁺| − |E₁⁻| (ϵ(G₁) = 0,1),

|E₁⁺| − |E₁⁻|+ϵ(G₁)−2 (ϵ(G₁)=2).

ここで

G₁ = (V, E₁, f)

である．

補題 3.5 G

が命題

2.4

の条件

(1), (2)

をみたすとき，maxdegQ(E

⁺) = |E⁺|

が成り 立つ．

補題 3.6 G

が命題

2.4

の条件(1), (2) をみたすとき，

E₁ ̸=E⁺

ならば

maxdegQ(E₁)<

|E⁺|

が成り立つ．

補題

3.6

は第

4

章で証明する．

最後に命題

2.4

の証明を与える．

命題

2.4

の証明

C_1−|V|+|E|(G) =∑

E1⊂EQ(E₁)

であることと，補題

3.5

および補題

3.6

から，G が命 題

2.4

の条件

(1), (2)

をみたすとき

C_1−|V|+|E|(G)̸= 0

が成り立つ．したがって補題

3.1

より，∂F

∈ M

である．

以上の補題の性質を見ることによって，

C_1−|V|+|E|(G)̸= 0

をみたすための

G

の十 分条件を与えることができた．命題

2.4

の条件をみたす

graph

を与えることで，

M

に 属する無限の

link

が構成できる．しかし残念ながら，この条件をみたす

graph

からは

knot

を得ることができない．命題

2.4

よりも弱い十分条件を与えて，

M

に属するより 多くの

link

を得ることが今後の研究課題である．

4. 補題の証明

この章では補題

3.1

と補題

3.6

に証明を与える．

補題

3.1

の証明

S

を

canonical Seifert surface

とする．定理

2.1

より，ある

flat Seifert surface F

が存在して

∂F =∂S

が成り立つことから，F についてのみ考えればよいことがわか る．また

P^∗(L)

の定義より，

¯δ-maxdegP^∗(L) =z-maxdegP(L)

が成り立つ．したがっ て

δ-maxdegP¯ ^∗(∂F) = 2g(F) +r−1

を得る．さらに，F を表す

graph G = (V, E, f)

に対し

g(F) = (2 − r − |V| + |E|)/2

が成り立つことから，

δ-maxdegP¯ ^∗(G) = ¯δ- maxdegP^∗(∂F) = 1− |V|+|E|

を得る．これは

P^∗(G)

の

δ¯^1−|V|+|E|

の係数が

0

でない ことと同値である．

これらをまとめると，

M = {L: link|L

は

z−maxdegP(L) = 2g(S) +r−1

をみたす

S

を張る

}

= {∂S|S : canonical Seifert surface s.t. z−maxdegP(∂S) = 2g(S) +r−1}

= {∂F|F : flat Seifert surface s.t. z−maxdegP(∂F) = 2g(F) +r−1}

= {∂F|F : flat Seifert surface s.t. ¯δ−maxdegP^∗(∂F) = 2g(F) +r−1}

= {∂F|F : flat Seifert surface s.t. ¯δ−maxdegP^∗(G) = 1− |V|+|E|}

= {∂F|F : flat Seifert surface s.t. C_1−|V|+|E|(G)̸= 0}.

補題

3.6

の証明

ϵ(G₁) = 0,1

のとき，仮定より

E₁ ̸=E⁺

であるから

|E₁⁺| − |E₁⁻|<|E⁺|

を得る．ま た，ϵ(G

1)=2

のときは，命題

2.4

の条件

(1)

より

ϵ(G1)5|E₁⁻|

が成り立つ．よって

|E₁⁺| − |E₁⁻|+ϵ(G₁)−25|E₁⁺| −25|E⁺| −2<|E⁺|

を得る．補題

3.4

より

maxdegQ(E₁)<|E⁺|

である．

参考文献

[1] M. Brittenham and J. Jensen, Canonical genus and the Whitehead doubles of pretzel knots, arXiv:math.GT/0608765 v1.

[2] P. R. Cromwell,Homogeneous links, J. London Math. Soc. (2)39(1989), no. 3, 535–552.

[3] M. Hirasawa,The flat genus of links, Kobe J. Math.127(1995), 155–159.

[4] H. J. Jang, S. Y. Lee,The canonical genus for Whitehead doubles of a family of alternating knots, Topology Appl. 159 (2012), 3563–3582.

[5] A. Kawauchi,On coefficient polynomials of the skein polynomial of an oriented link, Kobe J. Math.11 (1994), 49–68

[6] H. R. Morton, Seifert circles and knot polynomials, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.

99 (1986), 107–109.

[7] T. Nakamura, On the crossing number of a 2-bridge knot and the canonical genus of its Whitehead double, Osaka J. Math. 43(2006), 609–623.

[8] A. Stoimenow,Knot data tables, http://stoimenov.net/stoimeno/homepage/ptab/index.html [9] J. Tripp, The canonical genus of Whitehead doubles of a family torus knots, J. Knot

Theory Ramifications 11(2002), 1233–1242.